Sáng kiến kinh nghiệm - Một số phương pháp giải phương trình có ẩn dưới dấu căn ở đại số lớp 10 THPT NGHĨA HƯNG A

Vì vậy giáo viên truyền thụ kiến thức cho họcsinh phải làm cho học sinh thấy được dạng toán nào là cơ bản, có những địnhhướng, nguyên tắc biến đổi như thế nào để học sinh thấy không có q

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU

dạng toán học trong hệ thống môn

Toán ở trường phổ thông là rất lớn Vì vậy giáo viên truyền thụ kiến thức cho họcsinh phải làm cho học sinh thấy được dạng toán nào là cơ bản, có những địnhhướng, nguyên tắc biến đổi như thế nào để học sinh thấy không có quá nhiều dạngbài tập, giáo viên có vai trò để học sinh thấy được học sinh cần nắm được đâu làbài toán cơ bản, khi học sinh gặp một bài tập khó thì bài toán đó cái gốc ban đầu là

từ đâu, tư đó phát triển tư duy sáng tạo của học sinh, đối với dạng toán phươngtrình vô tỷ, dạng cơ bản là (1), sau khi đặt điều kiện cho hai vế không âm, bìnhphương hai vế của phương trình, sẽ dẫn đến các phương trình bậc nhất, bậc haimột ẩn, phương trình chứa ẩn dưới dấu căn đều biến đổi về phương trình dạng (1)

Trong quá trình dạy Toán ở trường Trung học phổ thông nói chung, dạytoán đại số lớp 10 nói riêng, tôi cố gắng truyền thụ kiến thức Toán một cách đơngiản nhất cho học sinh, trong đó cố gắng tránh sự áp đặt và truyền thụ máy móc,hướng dẫn học sinh thuộc và nhớ công thức toán mà giảm tối đa phương pháp họcthuộc lòng Học sinh không cần nhớ nhiều dạng toán, mà từ dạng toán này ta cầnbiết biến đổi về bài toán gốc ban đầu của nó, bài toán cơ bản nào mà ta cần hướngđến, làm sao để học sinh thấy thú vị khi giải các bài toán dù khó, nhưng khi hiểuđược nguyên tắc cơ bản của nó thì bài toán trở nên đơn giản

Riêng chương III đại số lớp 10 (ban cơ bản) là một chương rất thuận lợi cho việcdạy và học theo xu hướng trên Đã nhiều năm, tôi thực hiện theo cách này Nayghi lại gọi là chút kinh nghiệm, giải bày cùng đồng nghiệp và quí bạn đọc Đề tài

( ) ( )

f x g x

được gọi tên là: “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ ẨN DƯỚI DẤU CĂN Ở ĐẠI SỐ LỚP 1O”.

Dạy - học bảo đảm nội dung kiến thức cần truyền thụ của chương, sau đóhọc sinh sẽ lĩnh hội được dạng bài tập khó

b N hiệm vụ :

Giúp cho giáo viên thực hiện tốt nhiệm vụ dạy học và nâng cao chất lượnggiáo dục, giúp cho học sinh hình thành tư duy lôgic kỹ năng phân tích để đi đếnmột hướng giải đúng và thích hợp khi gặp bài toán giải phương trình vô tỷ từ phứctạp đưa về dạng đơn giản, cơ bản và giải được một cách dễ dàng

Giải quyết được một số dạng bài tập phương trình chứa ẩn dưới dấu căn,

mà với phương pháp giải chỉ cần đến kiến thức lớp 10 là giải quyết được mà chưacần đến kiến thức lớp 12 Tức là học sinh tự tìm ra cách biến đổi để đưa về dạng

cơ bản đã được học, ở phần này có những phương pháp cần đến kiến thức lớp 12,tuy nhiên các dạng toán đều giải được với kiến thức đã học ở lớp 10

Trong bài viết này, tôi trình bày chi tiết và đầy đủ các cách giải một bàitoán, sau đó tôi trình bày theo phương pháp mà tôi lựa chọn và có các bài toán giảitheo phương pháp đó được tôi trình bày một cách chi tiết, sau đó có bài tập đượcgiải bằng phương pháp đã nêu

Đề tài được sử dụng phù hợp để bồi dưỡng cho học sinh khối 10 có học lựckhá trở lên

Bài viết có ba phần chính:

1 Giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bằng phương pháp đổi biến không hoàntoàn

2 Giải phương trình chứa nhiều căn bậc hai bằng phương pháp nhẩm nghiệmnguyên, sau đó đưa về phương trình tích.

3 Phương trình chứa ba căn bậc hai, trong đó có một căn bậc hai là tích của haicăn bậc hai còn lại

3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU :

Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

4 PHẠM VI NGHIÊN CỨU :

Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU :

a Nghiên cứu lý thuyết:

Cơ sở để tìm hiểu chương phương trình trong Toán lớp 10 là đại số cao cấp Tìm hiểu phương pháp dạy học, chuẩn kiến thức kỹ năng môn toán ởtrường phổ thông, Tài liệu bồi dưỡng giáo viên - Toán lớp 10, Sách giáo viên đại

số 10, Sách giáo khoa Đại số 10

b Nghiên cứu thực tế:

Thông qua học sinh làm được bài thi trong các kỳ đại học, cao đẳng

Thăm dò ý kiến học sinh và đồng nghiệp

II NỘI DUNG

1 THỰC TRẠNG :

1.1 Thuận lợi:

- Các kiến thức không phức tạp, dễ tiếp thu, kiến thức gắn liền với phương trìnhđại số mà học sinh đã được học ở các lớp dưới, ở đây chỉ thông qua các phép biếnđổi tương đương để giải các phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, cănbậc ba

bậc nhất, sau khi thực hiện phép

biến đổi tương đương học sinh dễ dàng giải được phương trình (1) Một vấn đềđược đặt ra là khi gặp dạng mà g(x) là hàm số bậc hai nếu sau khi đặt điều kiệncho hai vế của phương trình không âm và bình phương hai vế của phương trình sẽgặp phương bậc cao, rất khó giải nếu nghiệm của phương trình là nghiệm vô tỉ;

( ) ( )

f x g x

  2

( ) 0( )

f x g x

sau đây tôi trình bày một ví dụ thể hiện nhiều cách giải, bằng kinh nghiệm nhỏ tôitrình bày phương pháp giải phương trình dạng (1) bằng cách đổi biến không hoàntoàn.

Bài toán 1: Giải phương trình sau:

5 292

x x

x x x

5 (2)

5 2

x

x x

So sánh với điều kiện:

t 

1 292

t5 292

x Vậy: S= 1;5 29

x x

Với ta có:

Nhận xét thông qua các phương pháp giải của bài toán 1 như sau:Phương pháp

1: Dạng cơ bản quen thuộc đối với học sinh, học sinh theo phương pháp 1, tuy

nhiên sau khi bình phương hai vế của phương trình sẽ dẫn đến phương trình bậc

cao, nếu nghiệm vô tỷ, rất khó khăn khi giải Phương pháp 2: Sau khi sử dụng

máy tính tìm được nghiệm nguyên ta có thể giải bài toán 1 trên bằng cách đưa vềphương trình tích, phương pháp 2 là một cách khá hay, tôi sẽ trình bày ở dạng toán

2 Phương pháp 3: Sau khi đặt ẩn phụ một cách thích hợp ta chuyển bài toán

phương trình chứa căn bậc thành hệ phương trình đối xứng loại hai, tuy nhiên việcchuyển về hệ phương trình đối xứng loại 2 nhiều bài toán đưa về hệ khá phức tạp

Phương pháp 4: Giải bằng “phương pháp đổi biến không hoàn toàn”, ở phương

pháp này sau khi đặt ẩn phụ ta được một phương trình theo ẩn phụ, tuy nhiên dataphải là một hằng đẳng thức, ở đây học sinh phải khéo léo để tách, sau đó giải theo

ẩn chính và gặp phương trình cơ bản có phương pháp giải đưa về phương trình bậcnhất, phương trình bậc hai một ẩn Sau đây tôi trình bày một số bài toán mà khigiải theo phương pháp 4 đổi biến không hoàn toàn sẽ giải ngắn gọn và dễ dàng màchưa cần đến kiến thức lớp 12

Bài toán 2: Giải phương trình sau

(1)Giải:

dấu với nhau khi đó bài toán hầu hết được giải quyết được, bài toán được giải nhưsau:

3 212

x x x

5 172

x x x

Khi đó phương trình (1) có dạng:

Với ta có:

Với ta có:

(ptvn)Vậy: Tập nghiệm của phương

x x x

Bài toán 5: Giải phương trình:

(1)Giải:

phương trình là:

Bài toán 6: Giải phương trình:

(1)Giải:

x x

5 736

x x x

t x

2

43

7 696

7 696

x x x

x x x

t x t

x x x

t 

12

x  

43

S   

 

Bài toán 8: Giải phương trình:

Giải:

Đặt

Phương trình có dạng:

Với ta có:

Phương trình (2) vô nghiệm

Vậy: Tập nghiệm của phương

trình là:

Bài toán 9: Giải phương trình:

(1)Giải:

Cách 1: Đặt:

Phương trình (1) trở thành hệ

phương trình:

Phương trình (1) là bài toán gốc

để biến đổi thành hệ đối xứng

loại 2, tuy nhiên bài toán này giải được bằng phương pháp đổi biến không hoàntoàn một cách dễ dàng và ngắn gọn

x x

x x

Vậy: Tập nghiệm phương trình là:

Bài toán 11: Giải phương trình:

(1)Giải:

Đặt điều kiện cho các căn có nghĩa:

Chuyển vế cho các vế không âm,

sau đó thực hiện phép biến đổi

f x g x

tương đương bằng cách bình phương hai vế của phương trình đưa về dạng cơ bản

đã biết cách giải

Dạng toán phương trình (1) nếu

là hàm số bậc hai chúng ta có thể đặt ẩn phụ để đưa về dạng (1) với là hàm số bậcnhất khi đó sẽ được giải bằng phương pháp trên

Bài toán 1: Giải phương trình:

(1)

Giải:

Đk:

Phương trình (1)

So sánh với điều kiện: Vậy

x = 8 là nghiệm của phương

trình

Bài toán 2: Giải phương trình

(1)Giải:

Phương pháp 1:

Đk:

Phương trình (1)

Vậy: Tập nghiệm của phương trình là:

Phương trình (1) được viết lại như sau:

Sau đó số 3 được tách một cách hợp lý sao cho sau khi nhân lượng liên hợpphương trình đưa được về phương trình tích có nghiệm x = 1

(2)

Đk: phương trình (2) vô

nghiệm

Vậy: là nghiệm của phương trình

Nhận xét thông qua hai phương pháp giải như sau: Ở dạng 2, tôi sẽ trình bày

phương pháp giải phương trình chứa nhiều căn bằng cách sử dụng máy tính tìmnghiệm nguyên sau đó đưa được về phương trình tích, những bài toán này sẽ cónhiều cách giải, tuy nhiên với cách giải này sẽ cho chúng ta giải một số bài toándạng chứa nhiều căn bậc hai mà giải theo phương pháp 2 sẽ giải được đơn giản, tôitrình bày một số bài toán mà cách giải bằng cách nhẩm nghiệm nguyên sau đónhân lượng liên hợp và đưa được về phương trình tích

Bài toán 3: Giải phương trình

Với là nghiệm phương trình:

Phương trình (2) vô

nghiệm

Vậy: là nghiệm của phương trình

Bài toán 4: Giải phương trình:

3 x

  5

(1)

Giải:

Đk:

Sử dụng máy tính ta

được là nghiệm của

phương trình, khi đó: Phương trình (1) được biến đổi như sau:

(1)

Giải:

Đk của phương trình là:

Phương trình (1)

Vậy tập nghiệm phương trình là:

Bài toán 8: Giải phương trình:

x x

Dạng 3: Phương trình chứa ba căn bậc hai trong đó có một căn bậc hai là tích của

hai căn bậc hai còn lại, ở dạng toán này chúng ta có các cách giải khác nhau, ởdạng bài tập này tôi trình bày theo nhiều cách giải sau đó sẽ đưa ra cách giải màthông thường học sinh thường lựa chọn và đưa ra nhận xét để nhận dạng bài tậpdạng này:

Dạng: (1)

Đặt: khi đó ta biểu thị căn bậc

hai còn lại theo , phương trình

(1) sẽ đưa về phương trình bậc hai theo, sau khi giải được, sẽ quay lại cách đặt giải

Nhận xét thông qua hai cách giải như sau: Với cách giải 1, sau khi đặt ẩn phụ,

phải tìm điều kiện của ẩn phụ với bài toán phức tạp học sinh khối 10 chưa làmđược, đối với bài toán có chứa tham số giải theo cách 1 là hợp lý, cách 2, phươngtrình một ẩn, sau khi đặt ẩn phụ ta chuyển phương trình có hai ẩn , tuy nhiên ẩn

x x

x x

này dễ dàng biễu diễn qua ẩn kia mà không cần tìm điều kiện của ẩn phụ phức tạp,

từ một phương trình chứa ba căn bậc hai sau khi đặt ẩn phụ đưa bài toán về giảiphương trình chứa hai căn bậc hai, sau đó biến đổi tương đương về phương trìnhbậc nhất, bậc hai một ẩn Vì vậy tôi sẽ trình bày giải cụ thể một số phương trìnhdạng này theo cách 2 như sau:

Bài toán 2: Giải phương trình:

Bài toán 3: Giải phương trình:

(1)Giải:

Phương trình (1) có dạng:

Với Ta có :

Vậy phương của trình là:

Bài toán 4: Giải phương trình:

73 4 307

73 4 307

x

x x

a Điều kiện thực hiện giải pháp, biện pháp

Đối với học sinh có học lực khá trở lên sẽ dễ dàng tiếp thu các phương pháp giảicác dạng bài tập trên, thông qua các phương pháp trên học sinh sẽ giải được cácphương trình chứa ẩn dưới dấu căn một cách ngắn gọn

b Quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp

Thông qua các phương pháp mà tôi trình bày, học sinh sẽ thấy được một bài toán

có rất nhiều cách giải, với từng toán thì nên lựa chọn cách nào giải là phù hợp nhất

3 KẾT QUẢ THU ĐƯỢC :

Mặt mạnh: Thông qua phương pháp giải một số dạng toán học sinh sẽ giải được

một dạng bài tập tương đối khó

Mặt yếu: Các dạng bài tập chỉ phù hợp với học sinh khá, giỏi, học sinh trung

bình, yếu khó tiếp thu

x x

S   

 

Sáng kiến kinh nghiệm: “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

CÓ ẨN DƯỚI DẤU CĂN Ở ĐẠI SỐ LỚP 1O” là một kinh nghiệm tổng hợp và

giảng dạy nhỏ của bản thân, giúp cho học sinh có thêm tài liệu để tham khảo, từ đócác em có những cách giải hợp lý trong quá trình ôn tập và luyện thi Sáng kiếnkinh nghiệm này không tránh khỏi thiếu sót, rất mong sự góp ý chân thành từ đồngnghiệp và các bạn đọc giúp tôi hoàn thiện hơn Tôi xin chân thành cảm ơn

2 KIẾN NGHỊ:

(Một số kiến nghị có liên quan đến đề tài)