Một số phương pháp giải pt vô tỉ .Phương trìnhpt chứa căn là 1 nội dung rất quan trọng trong chương trình bồi dưỡng HSG toán bậc THCS và THPT,thường xuyên xuất hiện trong các đề thi chọn
Trang 1Một số phương pháp giải pt vô tỉ
Phương trình(pt) chứa căn là 1 nội dung rất quan trọng trong chương trình bồi dưỡng HSG toán bậc THCS và THPT,thường xuyên xuất hiện trong các đề thi chọn HSG,thi vào lớp 10 chuyên và kể cả thi đại học
Các phương pháp để giải phương trình(gpt) vô tỉ rất đa dạng và phng phú,đòi hỏi học sinh chúng ta phải tư duy thông minh,linh hoạt,khéo léo trong việc vận dụng ,kết hợp các phương pháp giải
I/Phương pháp biến đổi tương đương
Chúng ta xét một ví dụ đơn giản sau:
Ví dụ 1:
Gpt:
Lời giải:
Pt đã cho tương đương:
Giả sử 2 vế pt cùng dấu,bình phương 2 về rồi rút gọn được:
<=> <=> <=>
Thử lại thấy thỏa mãn.Vậy pt có nghiệm
Rõ ràng,biến đổi tương đương là phương pháp đơn giản nhất đẻ gpt vô
tỉ.Nhưng khi bình phương 2 vế,ta cần chú ý tới điều kiện cùng dấu của 2 vế pt.Để cho chắc chắn,sau khi ra kết quả,chúng ta nên thử lại và loại bỏ những nghiệm không thỏa mãn
Chúng ta xét tiếp ví dụ sau:
Ví dụ 2: Gpt:
Lời giải:ĐKXD
Nếu gpt này bằng cách bình phương 2 vế thì lời giải sẽ dài dòng và không phù hợp với mỹ quan toán học 1 chút nào.Ta chú ý rằng có biểu thức nhân liên hợp là và tích của chúng là
Do đó,pt đã cho tương đương:
<=>
Bình phương 2 vế được:
<=>
<=>
<=>
Vậy pt có nghiệm
Trang 2II/Dùng hằng đẳng thức để gpt vô tỉ
1)Pt dạng <=> và <=>
Ví dụ 3:
Gpt:
Lời giải:
ĐKXD
Pt đã cho tương đương:
<=>
<=>
<=>
Ví dụ 4:
Gpt:
Lời giải:
ĐKXD Pt đã cho tương đương:
<=>
Việc giải tiếp 2 pt vô tỉ này quả thực là không quá khó khăn Chúng ta sang dạng tiếp theo:
2)Pt dạng
Ví dụ 5:
Gpt:
Lời giải:
ĐKXD
Pt đã cho tương đương với
<=>
<=>
3)Pt dạng <=>
Ví dụ 6:
Gpt:
Lời giải:
ĐKXD
Trang 3Pt này tương đương:
<=>
<=> <=>
Ví dụ 7:Gpt:
Lời giải:
Pt đã cho tương đương:
<=>
<=>
Vậy pt có nghiệm
III/Sử dụng định lý Viét để biến đổi pt chứa căn thành pt tích
Ví dụ 8:
Gpt:
Lời giải:Đặt ta có:
<=>
<=>
<=>
<=>
Ví dụ 9:Gpt:
Lời giải:
ĐKXD
Pt đã cho tương đương:
<=>
Đặt thu được:
<=>
Trang 4<=>
Qua 2 ví dụ trên,ta thấy các bước giải cơ bản của phườn pháp này là:
Bước 1: Viết phương trình về dạng bậc 2,đặt ẩn phụ
Bước 2: Biến đổi về dạng thích hợp và kiểm tra dạng Viét
IV/Đặt ẩn phụ
Khi bình phương 2 vế của 1 pt chứa căn mà ta được 1 pt bậc caokhos giải thì chúng ta thường nghĩ ngay đến phương pháp đặt ẩn phụ.Ẩn phụ thường chính
là biểu thức chứa căn ,làm pt đơn giản hơn hoặc đưa pt về hệ phương trình theo ẩn phụ
1)Đặt ẩn phụ để làm gọn pt
Ví dụ 10:Gpt:
Lời giải:
ĐKXD hoặc [TEX-1 \leq x \leq 0[/tex].Chia cả 2 vế cho ta được:
<=> hay (loại)
=> <=> <=>
2)Đặt ẩn phụ đưa pt về hpt
Ví dụ 11:Gpt:
Lời giải:
ĐKXD
Đặt
=>
Ta thu được hệ:
Ta dễ dàng giải được hệ này!
3)Một số dạng pt đặt ẩn phụ cơ bản
a)
Đặt <=> ,ta thu được pt bậc 2:
b)
Trang 5Đặt =>
Thu được pt bậc 2:
c)
Thu được pt bậc 2
d)
<=>
Thu được
thu được
===============
V/Sử dụng BDT để gpt vô tỉ
Khi gpt vô tỉ ta chú ý đến các BDT sau:
1)BDT Cauchy(AM-GM)
Cho số không âm Khi đó ta có BDT:
Đẳng thức xảy ra <=>
Ví dụ 12:Gpt:
Lời giải:
ĐKXD Theo BDT AM-GM ta có:
Đẳng thức xảy ra <=>
2)BDT Bunhiacopski(B.C.S)
Với 2 bộ số và bất kì ta có:
Đẳng thức xảy ra <=>
Ví dụ 13:
Gpt:
Lời giải:
ĐKXD
Áp dụng BDT B.C.S ta có:
Đẳng thức xảy ra <=>
Trang 6<=> (do
3)Áp dụng tính chất nghịch biến của hàm khi và đồng biến
Ví dụ 14:Gpt:
Lời giải:ĐKXD
=>
Đẳng thức xảy ra <=>
4)Sử dụng tính chất đơn điệu để gpt chứa căn
Dạng thường gặp là:
=>
Ví dụ 15:Gpt:
Lời giải:
ĐKXD
Giả sử => =>
=> => => =
Các tính chất đơn điệu cơ bản của hàm số như sau:
* là hàm đơn điệu tăng
* là hàm đơn điệu tăng với
*Nếu là hàm tăng,suy ra là những hàm tăng
*Nếu là những hàm tăng và luôn dương suy ra là hàm giảm và
là hàm tăng
5)Các BDT khác:
Đẳng thức xảy ra <=>
Ví dụ 16:Gpt:
Lời giải:ĐKXD
Ta có:
Đẳng thức xảy ra <=> =>
b)Với ,ta có BDT:
Trang 7Ví dụ 17:
Gpt:
Lời giải:
Ta có:
Đẳng thức xảy ra <=> <=>
==================
VI/Một số dạng pt chứa căn đặc biệt
Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 18: Gpt:
Để gpt này có rất nhiều cách,tuy nhiên có một cách khá đơn giản là đưa pt thành hpt bằng cách đặt ẩn phụ
Đặt ,ta thu được hệ:
Vậy ,ta có: <=>
<=>
Vậy pt có nghiệm
Ví dụ trên minh họa cho dạng pt sau:
Ta có thể đặt và đưa về hpt đối xứng:
Hay dạng
Bằng cách đặt ,ta cũng có thể đưa về hệ:
Việc giải 2 hpt này quả thật là không quá khó đối với trình độ THCS
=============
Cuối cùng,mời các bạn làm một số bài tập ứng dụng:
Giải các pt sau:
D
ạ ng I:
Trang 82/
3/
4/
5/
D
ạ ng II:
6/
7/
8/
9/
10/
D
ạ ng III
11/
12/
D
ạ ng IV
13/
14/
15/
16/
17/
D
ạ ng V
18/
19/
20/