ung dung phuong phap toa do vecto toa do diem vao giai bat dang thuc phuong trinh bat phuong trinh he phuong trinh

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VECTƠ & TỌA ĐỘ ĐIỂMVÀO VIỆC GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC, PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Vấn đề 1: Dạng toán chứng minh bất đẳng thức... Thử vào hệ thỏ

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VECTƠ & TỌA ĐỘ ĐIỂM

VÀO VIỆC GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC, PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH,

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Vấn đề 1: Dạng toán chứng minh bất đẳng thức.

BÀI 1: Chứng minh rằng: a22a 5 a22a 5 2 5 (1)

Cách giải:

(1)  (a1)222  (a1)222 2 5

Đặt a  (1 a; 2),b(a1; 2)  a b  (2; 4)

(a1) 2  (a1) 2  a    b a b  2 5 (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: a b ; cùng hướng 1-a = a+1a = 0.

BÀI 2: Chứng minh rằng: x2xy y 2  y2yz z 2  z2zx x 2 ,x y z R, ,  (1)

Cách giải:

Ta có

;

               

a y x b  y  z a b   x z 

            

Do a   b a b  nên x2xy y 2  y2yz z 2  z2zx x 2 ,x y z R, ,  (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: a b ; cùng hướng

0

0

x z

xy yz zx





1

x z

k

x kz y z k

k

 









BÀI 3: Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng

3

Cách giải:

Chọn u 1; 2 ;v 1; 2 ; w 1; 2 u v w 1 1 1; 2 2 2

             

Ta có

                        

     

3

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c = 3

BÀI 4: Chứng minh 5 2 5 2 5 2 6 3, , , 2, 6

5

x  y  z  x y z  x y z  

Cách giải:

Xét hai vectơ: u 1;1;1 và v 5x2; 5y2; 5z2

Ta có u  3,v  5(x y z   ) 6 6

u v  x  y  z

Áp dụng bất đẳng thức u v   u v  ta có 5 2 5 2 5 2 6 3, , , 2

5

x  y  z  x y z  Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: u1;1;1 , v 5x2; 5y2; 5z2 cùng hướng

2

y

x y z



BÀI 5: Chứng minh s inx 2 s in +s in 2x x 2 s in 2x  3, x

Cách giải:

Xét hai vectơ: u sin ;1; 2 sinx  2x và v1; 2 sin 2x;sinx

Áp dụng bất đẳng thức u v   u v  ta có

s inx 2 s in +s inx x 2 s in x sin x 1 2 sin x 1 2 sin x sin x 2 3, x

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: usin ;1; 2 sinx  2 x và v1; 2 sin 2 x;sinx

cùng hướng

2

2 2

sin 1

x

x x

x







 

BÀI 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A x y   x  y  x y

Cách giải:

Xét hai vectơ: u (x1; ; 2),y v   ( ;x y 1;1)   u v  (1; 1;3)

Do a   b a b  ta có: A (x1)2y2 4 x2(y1)21  11.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: u(x1; ; 2),y v   ( ;x y 1;1) cùng hướng

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 11 khi 1, 2

x  y 

BÀI 7: Chứng minh

(x1) (y1)  (z 1)  (x1) (y1)  (z 1) 2 2,x y z, ,

Cách giải:

Trong không gian Oxyz, lấy các điểm A(1;1;-1), B(-1;1;1),M(x;y;z) Khi đó

2 2

AB .

Từ bất dẳng thức MA MB AB  , ta suy ra

(x1) (y1)  (z 1)  (x1) (y1)  (z 1) 2 2,x y z, ,

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: M nằm giữa AB AM t AB t,  0;1

 

1 2

1 2

 





   



Vấn đề 2: Dạng toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình.

BÀI 1: Giải phương trình (4x) x 2 7 2 x  85 57 x13x2x3 (1)

Cách giải:

Ta có: (1)(4x) x 2 7 2 x (5x x)( 28x17)

2

Xét a 4x;1 , b x2; 7 2 xa b  (4x) x 2 7 2 x

Và a  (4x)21,b  (x  2) (7 2 )x  5x

x

a b a b c a b



2

(4 x) (7 2 )x x 2 x 3

Vậy phương trình có nghiệm x = 3.

BÀI 2: (A – 2014) Giải Hệ Phương trình

2 3







Cách giải:

Điều kiện: 2 y 12, x 2 3.

Xét a x; (12x2) , b 12y; y khi đó phương trình (1) có dạng

.

a b  a b  a b , cùng hướng.

nên (1) x y  (12x2) 12  y y 12x x2, 0 thay vào phương trình (2)

Ta có: x38x 1 2 10x2  x38x 3 2( 10x2 1)

2 2

2

2(9 ) ( 3)( 3 1)

x

x



2

2

2( 3)

x

x

2

2

3

2( 3)

x

x

x









x= 3 suy ra y = 3.

Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (3;3)

BÀI 3: Giải hệ phương trình:

1







Cách giải:

Gọi ( ; ; )x y z0 0 0 là một nghiệm tùy ý của hệ nếu có Xét hai vectơ sau trong không

gian:

( ; ; ), (1;1; 2)

u  x y z v khi đó

u  x y z  v  , ta có 2 2 2

u v x  y  z 

Mặt khác: os( , ) . 7 1

6

u v

c u v

u v

 

 

Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

BÀI 4: Giải hệ phương trình:

2

2

x y y x z



   





Cách giải:

Hệ phương trình đã cho viết lại:

x x y y y z





Xét các véctơ trong một hê trục nào đó

( ; ), ( ; ), w ( 1; 2 1)

u  x y v x y y z   x z

Khi đó hệ viết lại:

u v u









 

 

Chỉ có hai khả năng xảy ra:

Khả năng 1: Nếu u 0 ta có x = y = 0 0 1

2

u    z Ta có nghiệm 0;0; 1

2

Khả năng 2: u 0

TH1:

1 0

2 1 0

0 0

x z v

x y

y z

 



  



     



  



  

vô lý

TH2: Nếu v , w cùng khác 0, do (4) và (5) thì v , w là hai vectơ cộng tuyến, do (6)

ta có

w 2v

 

hoặc w 2v

+ Nếu w 2v 

0

1

2

x





1 2

z 

+ Nếu w 2v

1 3

4

x y

z

 

 



   

   



Thay vào (1) ta có: 2 (1 3 )2 1 3 7 2

Phương trình này vô nghiệm.

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: 0;0; 1 , 0; ;1 1

BÀI 5: Giải hệ phương trình: 2 2 2

1 1 1

x y z

x y z

  



   



   



Cách giải:

( ; ; ); ( ; ; )

u  x y z v x y z trong đó ( ; ; )x y z0 0 0 là nghiệm của hệ.

u v x  y z 

u  x y z 

v  x y z  x y z  x y y z z x

 2 2 2 2 2 2

Vậy u v  1 (2)

Dấu bằng trong (2) xảy ra

0

0

x y

z x





Vì u v   u v 

Nên từ (1) và (2) suy ra điều kiện cần là: u v  1

Nên ta có

0 0

0 0

0 0

0 0 0 1

x y

y z

z x

x y z









   



suy ra phải có trong ba số x y z0; ;0 0 có hai số bằng 0, một số bằng 1.

Thử vào hệ thỏa mãn.

Vậy hệ đã cho có ba nghiệm sau (1;0;0), (0;1;0),(0;0;1).

BÀI 6: Giải phương trình: x22x 5 x22x10 29 (1)

Cách giải:

Tập xác định D = R

(1) (x1) 2  (x1) 3  29

Đặt u (x1; 2) u  (x1)222

v  x  v  x 

Suy ra u v   ( 2;5)  u v  29

Như vậy (1)  u    v u v  u v , cùng hướng 3( 1) 2( 1) 0 1

5

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 1

5

x .

BÀI 7: Giải bất phương trình: 2(x3)22x 2 x  1 x 3 (1)

Cách giải:

Điều kiện: x1

(1) 2 (x3) ( x1)  x  1 x 3

Đặt u(x3; x 1) u  (x3)2( x1)2 , v(1;1) v  2

Suy ra u v   x  1 x 3 và u v   2 (x3)2( x1)2

2 2

u v   x  x  u v  u v u v  cùng hướng

Vấn đề 3: Bài toán cực trị.

BÀI 1: Cho hai điểm A(1;1;0), B(3;-1;4) và đường thẳng (d): 1 1 2

x  y  z

 Tìm điểm M trên đường thẳng (d) sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất

Cách giải:

Do điểm M trên đường thẳng (d), ta có: M(-1+t; 1-t; -2+2t)

Khi đó: MA (2t)2  t2 (2 2 )t 2  6t212t8

MB t  t   t  t  t

Khi đó

Xét hai vectơ 1; 1 , 3 ; 1

u t  v t 

Ta có MA MB  6u  v   6 u v  4 2

Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi 1; 1 , 3 ; 1

u t  v t 

cùng hướng

1

1 2 (1; 1; 2)

3

t

t





Vậy điểm M cần tìm là: M(1; 1; 2)