GVHD: Nguyễn Thị Thanh Hà LỜI NÓI ĐẦU Trong nền kinh tế tthị trường hiện nay, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của các ngành nghề, ngành giáo dục hơn bao giờ hết cần phải có sự đổi mới, vận động và phát triển để khẳng định vai trò của mình. Có như vậy chúng ta mới đáp ứng được yêu cầu xã hội, tạo ra cho xã hội những sản phẩm là những con người có tri thức, vững chắc luôn năng động, sáng tạo, thích hợp với cuộc sống hiện đại. Là một sinh viên, em thấy được vai trò và tầm quan trọng của việc học toán hiện nay. Chính vì vậy em đã chọn đề tài nghiên cứu khoa học là: “Nghiên cứu lý thuyết về phương trình trong SGK toán THCS, phân tích, bình luận. Hệ thống hoá các bài tập về phương trình trong SGK và các sách bài tập toán THCS, bình luận đề xuất các kiến nghị và các bài toán hay”. Trong quá trình thực hiện đề tài em đã được sự hướng dẫn tận tình của các thầy cô đặc biệt là sự quan tâm giúp đỡ nhiệt tình của cô giáo Nguyễn Thị Thanh Hà. Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô đã giúp đỡ em hoàn thành đề tài này. Mặc dù em đã cố gắng nhiều song do thời gian và năng lực có hạn nên trong đề tài này sẽ còn nhiều thiếu sót, em rất mong sự đóng góp ý kiến để đề tài của em được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Sinh viên thực hiện Phạm Thị Thơm Trường CĐSP Hà Nam Lớp Toán – Lý K11 1 GVHD: Nguyễn Thị Thanh Hà I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 3 II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU .4 III. PHẦN 1: PHƯƠNG TRÌNH .4 A. ĐỊNH NGHĨA PHƯƠNG TRÌNH 4 B. MỘT SỐ KHÁI NIỆM LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH .5 1. Tập xác định của phương trình 5 2. Nghiệm của phương trình 5 3. Giải Phương Trình .5 4. Khái niệm phương trình tương đương .7 5. Các định lý về phương trình tương đương .8 C. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH .8 1. Phương trình bậc nhất 8 2. Phương trình bậc 2 một ẩn .13 3. Phương trình quy về phương trình bậc 2 .14 4. Phương trình tích: 14 ỨNG DỤNG CỦA VIỆC LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐỂ GIẢI TOÁN .19 1. Phương trình đại số bậc cao .20 3. Phương trình vô tỷ: ( phương trình chứa ẩn dưới dấu căn) 25 4. Một số dạng phương trình không mẫu mực .27 4.1. Phương trình một ẩn: 27 4.2. Phương trình nhiều ẩn .34 MỘT SỐ BÀI TOÁN HAY .36 Trường CĐSP Hà Nam Lớp Toán – Lý K11 2 GVHD: Nguyễn Thị Thanh Hà I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình và hệ phương trình là một nội dung trọng tâm, xuyên suốt trong chương trình đại số ở trường THCS. Nội dung này rất phong phú và đã dạng. Trong chương trình chính khoá cũng như trong chương trình nâng cao, bồi dưỡng học sinh giỏi THCS thì đây là mảng kiến thức quan trọng và được đề cập đến thường xuyên. Vì vậy là một sinh viên, một giáo viên tương lai chúng ta cần phải nghiên cứu kỹ nội dung này để có kiến thức và kỹ năng tốt phục vụ cho việc học tập tại trường và sau này khi trở thành một giáo viên chúng ta có thể hướng dẫn chỉ dạy cho học sinh đại trà và cả học sinh giỏi trong việc giải các bài tập mẫu, giúp học sinh biết khai thác để tạo ra được những bài tập tương tự hoặc khái quát hơn. Nghiên cứu về lý thuyết phương trình và hệ phương trình chúng ta sẽ nắm được các kỹ năng cơ bản giúp cho việc giải quyết các loại phương trình và hệ phương trình được dễ dàng thuận lợi hơn. • Kỹ năng giải thành thạo các phương trình bậc nhất, bậc hai và các phương trình quy về bậc nhất, bậc hai, các áp dụng của định lý Viét. • Giải vững các phương trình vô tỷ thông thường • Biết cách giải phương trình bậc ba, bậc bốn, phương trình bậc cao đặc biệt. • Giải được một số phương trình và hệ phương trình không mẫu mực. • Rèn luyện thói quen và biết đặt điều kiện khi giải phương trình và hệ phương trình. • Rèn luyện kỹ năng biện luận, tính toán bằng số. Nghiên cứu về phương trình và hệ phương trình trong chương trình giúp ta hiểu nội dung chương trình và có một hệ thống bài tập về phương trình và hệ phương trình để phục vụ tốt cho công tác giảng dạy sau này. Với tất cả những lý do trên em thấy việc nghiên cứu phương trình và hệ phương trình là rất bổ ích và rất cần thiết không chỉ cho quá trình học tập trong nhà trường CĐSP va quá trình công tác của chúng ta khi trở thành một giáo viên Trường CĐSP Hà Nam Lớp Toán – Lý K11 3 GVHD: Nguyễn Thị Thanh Hà II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU • Nghiên cứu về lý thuyết phương trình và hệ phương trình • Hệ thống hoá các dạng bài tập phương trình và hệ phương trình trong chương trình toán THCS. III. PHẦN 1: PHƯƠNG TRÌNH Ngay từ khi còn là học sinh tiểu học, học sinh đã được học về phương trình. Nhưng khi đó để tránh cho học sinh khó hiểu ta chỉ gọi đó là bài toán “Tìm x biết”. Tên gọi của bài toán này được sử đến lớp 7. Lên đến lớp 8, học sinh sẽ được tiếp cận với một thuật ngữ mới thay cho cụm từ “Tìm x, biết” là “phương trình” Tuy nhiên trong chương trình Toán THCS thường chỉ đề cập đến phương trình đa thức, ít đề cập đến phương trình siêu việt. Với dạng phương trình siêu việt thường chỉ dành cho học sinh giỏi. A. ĐỊNH NGHĨA PHƯƠNG TRÌNH. Định nghĩa phương trình là một vấn đề khó. Cho đến nay vẫn còn nhiều ý kiến chưa thống nhất trong việc đưa khái niệm phương trình vào chương trình Toán THCS. SGK cải cách 1986 đã gắn khái niệm phương trình với “một việc phải làm” là giải phương trình. Cách làm này có ưu điểm là tránh được tính hình thức trong định nghĩa. Tuy nhiên trên thực tế không phải lúc nào nói đến phương trình là cũng phải giải phương trình, mặc dù giải phương trình là yêu cầu trọng tâm về kỹ năng của nội dung phương trình. Vì vậy để đơn giản các vấn đề nêu trên SGK không xây dựng khái niệm phương trình một cách hoàn chỉnh mà chỉ giới thiệu thuật ngữ “phương trình” thông qua một số ví dụ. VD: Trong SGK Toán 8: Tìm x, biết: 2x +5 = 3(x-1) +2 Ta gọi hệ thức 2x + 5 = 3 (x-1) + 2 là một phương trình với ẩn số x ( hay ẩn x ) Vế trái của phương trình là: 2x + 5 Vế phải của phương trình là: 3(x-1) + 2 Trường CĐSP Hà Nam Lớp Toán – Lý K11 4 GVHD: Nguyễn Thị Thanh Hà Thông qua VD này học sinh sẽ hình dung được về phương trình là: Một phương trình với ẩn x có dạng A(x) =B(x) trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức có cùng một biến x. B. MỘT SỐ KHÁI NIỆM LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH. Khi đề cập đến phương trình ta thường thấy có những khái niệm không thể tách rời khái niệm phương trình: “Tập xác định của phương trình”, “nghiệm của phương trình”, “phương trình tương đương”. 1. Tập xác định của phương trình Tập xác định chỉ được đề cập đến một cách đơn giản gọi là điều kiện xác định. Đối với những phương trình không phải là phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình chứa ẩn dưới dấu căn như phương trình bậc nhất một ẩn, hai ẩn, phương trình bậc hai,,… thì chương trình SGK Toán THCS không đề cập đến tập xác định. Nhưng khi học sinh được học về “phương trình chứa ẩn ở mẫu”, “phương trình chứa ẩn dưới dấu căn” thì tìm điều kiện xác định của phương trình là một bước rất quan trọng mà khi làm những bài toán liên quan đến dạng phương trình này học sinh không thể bỏ qua. 2. Nghiệm của phương trình. Khái niệm nghiệm của phương trình được trình bày thông qua những ví dụ cụ thể. SGK lớp 8 trình bày: : Khi x = 6, tính giá trị của mỗi vế của phương trình: 2x + 5 = 3(x-1) + 2. Ta thấy 2 vế của phương trình trên đề nhận cùng một giá trị là 17 khi x = 6. Khi đó ta nói số 6 thoả mãn hay nghiệm đúng phương trình. 3. Giải Phương Trình Giải phương trình là tìm tập hợp nghiệm S của nó. Nếu S được biểu thị bởi một hay nhiều công thức thì chúng được gọi là nghiệm tổng Trường CĐSP Hà Nam Lớp Toán – Lý K11 5 ?2 GVHD: Nguyễn Thị Thanh Hà • Nếu miền xác định mở rộng ra nhưng không có nghiệm ngoại lai thì phương trình đã cho và phương trình biến đổi vẫn tương đương. • Nếu tất cả các ẩn số trong miền bị thu hẹp không thoả mãn phương trình đã cho thì phương trình đã cho và phương trình biến đổi vẫn tương đương. Xét các ví dụ sau ta sẽ thấy: VD 1 : 0x ≠ . 2 2x + = 2 2 (1) 2 8x − = 2 2 (2) * Phương trình (1) có miền xác định là: D 1 = [ 2 2 ; +∞ ) Phương trình (2) có miền xác định là: D 2 = ( −∞ ; - 2 2 ] ∪ [ 2 2 ; +∞ ) * Giải pt (1) ta được tập nghiệm của (1) là S 1 = { 2 2 } Giải pt (2) ta được tập nghiệm của (2) là S 2 = {- 2 2 ; 2 2 } Ta thấy từ (1)  (2) đã xuất hiện nghiệm ngoại lai là - 2 2 Vì vậy phép biến đổi từ (1)  (2) không phải là phép biến đổi tương đương. VD 2 : (x + 3)(x – 2) = 2(x - 2) (3) x + 3 = 2 (4) Giải Pt (3) ta được nghiệm là x = -1 và x = 2 Giải PT (4) ta được nghiệm là x = -1. (3)  (4): (x – 3)(x – 2) = 2(x – 2)  x + 3 = 2  x = -1. Từ (3)  (4) đã làm mất nghiệm của phương trình. Vì vậy phép biến đổi từ (3)  (4) không phải là phép biến đổi tương đương. Bởi vậy, các tác giả chỉ nêu ra 2 phép biến đổi hay dùng và gọi chúng là quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân với 1 số ( không dùng từ phép biến đổi ) đồng thời thừa nhận rằng chúng là các phép biến đổi tương đương Hai quy tắc này sẽ được sử dụng trong suốt chương trình như 1 công cụ chủ yếu để giải phương trình. Với khẳng định: Từ 1 pt, nếu ta áp dụng quy tắc chuyển vế thì được phương trình mới tương đương với phương trình đã cho. Nêu lên khẳng định này các tác giả muốn nhấn mạnh rằng việc áp dụng quy tắc chuyển vế hoàn toàn không kể đến việc thực hiện các Trường CĐSP Hà Nam Lớp Toán – Lý K11 6 GVHD: Nguyễn Thị Thanh Hà phép toán đại số sau đó, vì khi thực hiện các phép toán đại số, ta có thể nhận được phương trình không tương đương. VD: Giải phương trình: 1 1 1 1 1 x x x + = + − − (1) Chuyển các biểu thức chứa ẩn của (1) sang 1 vế ta được: 1 1 1 1 1 x x x + − = − − Thu gọn ta được x = 1 Nhưng x = 1 làm cho (1): 1 1 1 1 1 1 1 1 + = + − −  1 1 0 0 = không xác định. Vậy qua ví dụ này ta thấy khi giải một bài toán liên quan đến phương trình thường xuất hiện nghiệm ngoại lai hoặc mất nghiệm. + Nghiệm ngoại lai là những nghiệm của phương trình biến đổi, thuộc vào phần mở rộng của miền xác định. + Mất nghiệm là hiện tượng nếu sau phép biến đổi nào đó, miền xác định của pt đã cho bị thu hẹp lại thì tập hợp nghiệm của nó cũng có thể bị thu hẹp lại một số nghiệm nào đó có thể bị mất đi. Trước đây các định lý về pt tương đương được gọi là các phép biến đổi tương đương và thường được trình bày một cách có hệ thống sau khi đã giới thiệu khá đầy đủ về khái niệm phương trình. Cách làm đó còn mang tính kinh nghiệm, ít hiệu quả và thường gây sự nhàm chán cho HS. Hiện nay để tăng cường tính thực hành, chương trình Toán THCS đã có sự thay đổi: Không đưa vào các định lý về các phép biến đổi tương đương phát biểu như cũ. * Khái niệm tập nghiệm của phương trình. Tập S là một tập hữu hạn hay vô hạn. Chương trình SGK Toán THCS định nghĩa ngắn gọn dễ hiểu hơn đối với học sinh. Giải Phương trình là tìm tất cả các nghiệm hay tìm tập nghiệm của phương trình đó. 4. Khái niệm phương trình tương đương. * Khái niệm này dựa trên khái niệm nghiệm của phương trình. Đó là một cách tiếp cận đơn giản và chính xác. Từ đó giúp học sinh hiểu được rằng: Hai phương trình có cùng tập Trường CĐSP Hà Nam Lớp Toán – Lý K11 7 GVHD: Nguyễn Thị Thanh Hà nghiệm nghĩa là nghiệm của phương trình này cũng là nghiệm của phương trình kia và ngược lại. * Khái niệm phương trình tương đương có các tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu. Khái niệm này đã thiết lập một quan hệ tương đương trong tập hợp các phương trình. Tuy nhiên trong chương trình Toán THCS không nói rõ vấn đề này vì tính chất đó là hiển nhiên và học sinh cũng dễ chấp nhận khi sử dụng. * Ký hiệu “ ⇔ ” lần đầu tiên được sử dụng để chỉ sự tương đương của pt. VD: x + 1 = 0 ⇔ x = -1 Trong quá trình giải các bài toán liên quan đến pt thì học sinh sẽ phải dựa vào tập số mà ta đang xét để giải quyết các bài tập đó 5. Các định lý về phương trình tương đương. C. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH. Trong chương trình Toán THCS, học sinh sẽ được học các dạng phương trình sau: 1. Phương trình bậc nhất một ẩn, bậc hai một ẩn. 2. Phương trình bậc nhất 2 ẩn. 3. Phương trình tích. 4. Phương trình chứa ẩn ở mẫu. 5. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. 6. Phương trình quy về phường trình bậc nhất, bậc hai. Ngoài ra còn có những dạng phương trình khác nhau như: phương trình bậc 3, bậc 4, phương trình bậc cao, phương trình vô tỷ ( phương trình chứa ẩn dưới dấu căn). Tuy nhiên những dạng phương trình này thường giành cho học sinh khá giỏi, chủ yếu là học sinh tự học, tự nghiên cứu. 1. Phương trình bậc nhất. 1.1. Phương trình bậc nhất một ẩn a. Định nghĩa: Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng: ax + b = 0 với a, b cho trước và a ≠ 0 b. Cách giải phương trình bậc nhất 1 ẩn: Trường CĐSP Hà Nam Lớp Toán – Lý K11 8 GVHD: Nguyễn Thị Thanh Hà ax + b = 0 (a ≠ 0) ⇔ ax = -b ⇔ b x a = − Phương trình bậc nhất ax + b = 0 (a ≠ 0), luôn có một nghiệm duy nhất b x a = − - Chương trình SGK Toán 8 chỉ đưa vào cách giải phương trình bậc nhất một ẩn với hệ số của x khác 0 còn trường hợp a = 0 không được đưa vào để tránh làm cho học sinh cảm thấy phức tạp. 1.2. Phương trình bậc nhất 2 ẩn a. Khái niệm: Phương trình bậc nhất 2 ẩn x và y là hệ thức dạng: ax + by = c (*) Trong đó a, b, c là các số đã biết (a ≠ 0 hoặc b ≠ 0 ) Cặp số (x 0 ; y 0 ) được gọi là một nghiệm của phương trình (*) hay (*) có nghiệm là (x; y) b. Tập nghiệm của phương trình bậc nhất 2 ẩn. - Phương trình bậc nhất 2 ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng ax + by = c (d) - Nếu a ≠ 0, b ≠ 0 thì (d) chính là đồ thị của hàm số. c x a = a c y x b d = − + - Nếu a ≠ 0, b = 0 thì pt trở thành ax = c ⇔ c x a = (d) là đường thẳng song song hoặc trùng với trục tung - Nếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình trở thành by = c hay c y b = Trường CĐSP Hà Nam Lớp Toán – Lý K11 9 0 (d) x y GVHD: Nguyễn Thị Thanh Hà (d) là đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành. VD1: Biểu diễn tập nghiệm của pt sau: 3x – y = 2 Lập bảng giá trị x 1 3 − 0 2 3 1 y -3 -2 0 1 Bài 4: Với giá trị nào của m thì phương trình sau vô nghiệm (m+1) 2 x + 1 – m = (7m – 5)x Bài 5: Với điều kiện nào của m, a, b thì các phương trình sau có vô số nghiệm: a. m 2 x = 9x + m 2 – 4m + 3 b. (x-1)a + (2x + 1)b = x + 2 Bài 6: Xét (d): (2m + 3)x + (m +5)y + 4m – 1= 0 (m là tham số ) a. vẽ (d) ứng với m = 1 b. Tìm điểm cố định mà mọi đường thẳng (d) đều đi qua Bài 7: Đường thẳng ax + by = 6 ( a>0, b>0) tạo với các toạ độ một tam giác có diện tích bằng 9. Tìm tích a.b Bài 8: Cho a, b ∈ R + thỏa mãn a + b = 4 ab . Tính tỉ số a b Bài 9: Chứng minh các phương trình sau có nghiệm với mọi a, b a. x(x-a) +x(x-b) + (x-a)(x-b) = 0 Trường CĐSP Hà Nam Lớp Toán – Lý K11 10 3x – y = 2 0 x y [...]... bản về lý thuyết cũng như về kỹ thuật tính toán như quy tắc giải pt bậc 2 dạng ax 2 + c = 0, ax2 + bx = 0 và dạng tổng quát ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) và việc nhẩm nghiệm của pt bậc 2 dựa vào định lý Viét và ứng dụng của chúng 3 Phương trình quy về phương trình bậc 2 + Phương trình trùng phương + Phương trình chứa ẩn ở mẫu + Phương trình tích 4 Phương trình tích: Phương pháp tiếp cận phương trình tích... Hà Nam Lớp Toán – Lý K11 GVHD: Nguyễn Thị Thanh Hà 19 ỨNG DỤNG CỦA VIỆC LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐỂ GIẢI TOÁN * Giải bài toán bằng cách lập phương trình có thể nêu cho học sinh khả năng phân tích, trừu tượng hoá các sự kiện cho trong bài toán thành các biểu thức và phương trình Đồng thời nên luyện kĩ năng giải phương trình và lựa chọn nghiệm thích hợp * Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình Bước... dạng phương trình không mẫu mực Phương trình không mẫu mực là phương trình mà đầu bài có vẻ “lạ”, “không bình thường” và những bài toán đó không thể giải bằng cách áp dụng trực tiếp các quy tắc, phương pháp quen thuộc trong quá trình giải toán mà học sinh có thể gặp phải Tuy nhiên “quen thuộc” hay “không mẫu mực” chỉ là tương đối, phụ thuộc vào trình độ, kinh nghiệm của người giải toán 4.1 Phương trình. .. là phương trình bậc 2) là phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0 trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số ( a ≠ 0) 2.2.Cách giải + Đưa về phương trình tích + Sử dụng công thức nghiệm: ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) ∆ = b 2 − 4ac * ∆ >0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 = −b + ∆ −b − ∆ ; x2 = 2a 2a * ∆ =0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = − b 2a * ∆ . trọng của việc học toán hiện nay. Chính vì vậy em đã chọn đề tài nghiên cứu khoa học là: Nghiên cứu lý thuyết về phương trình trong SGK toán THCS, phân tích,. giải phương trình và hệ phương trình. • Rèn luyện kỹ năng biện luận, tính toán bằng số. Nghiên cứu về phương trình và hệ phương trình trong chương trình