HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 1.. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1... Xét tính chẵn, lẻ của hàm số Cho hàm số y = fx có tập xác định là D.. Tìm tập xác định của các hàm số a.. Tì
Trang 1CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1 Công thức lượng giác cơ bản
sin² α + cos² α = 1
1 + tan² α = 12
cos α (α ≠ π/2 + kπ, k là số nguyên)
1 + cot² α = 12
sin α (α ≠ kπ, k là số nguyên) tan α cot α = 1 (α ≠ kπ/2, k là số nguyên)
2 Cung đối nhau
cos (–α) = cos α sin (–α) = –sin α tan (–α) = –tan α cot (–α) = –cot α
3 Cung bù nhau
sin (π – α) = sin α cos (π – α) = –cos α tan (π – α) = –tan α cot (π – α) = –cot α
4 Cung hơn kém π
sin (π + α) = –sin α cos (π + α) = –cos α tan (π + α) = tan α cot (π + α) = cot α
5 Cung phụ nhau
sin (π/2 – α) = cos α cos (π/2 – α) = sin α tan (π/2 – α) = cot α cot (π/2 – α) = tan α
6 Công thức cộng
cos (a – b) = cosa cosb + sina sinb cos (a + b) = cosa cosb – sina sinb
sin (a – b) = sina cosb – sinb cosa sin (a + b) = sina cosb + sinb cosa
tan (a – b) = tan a tan b
1 tan a tan b
tan a tan b
1 tan a tan b
7 Công thức nhân hai và nhân ba
sin 2a = 2sina cosa cos 2a = cos² a – sin² a = 2cos² a – 1 = 1 – 2sin² a
tan 2a = 2 tan a2
1 tan a sin 3a = 3sin a – 4sin³ a cos 3a = 4cos³ a – 3cos a
8 Công thức hạ bậc
cos² a = 1 cos 2a
2
sin² a = 1 cos 2a
2
sina cosa = sin 2a
2
9 Công thức biến tích thành tổng
cosa cosb = 1
2 [cos (a – b) + cos (a + b)]
sina sinb = 1
2 [cos (a – b) – cos (a + b)]
sina cosb = 1
2 [sin (a – b) + sin (a + b)]
10 Công thức biến đổi tổng thành tích
cosu + cosv = 2cosu vcosu v
cosu – cosv = –2sinu vsinu v
sinu + sinv = 2sinu vcosu v
sinu – sinv = 2cosu vsinu v
11 Hàm số sin: Hàm số y = sin x có tập xác định là R và –1 ≤ sin x ≤ 1, với mọi số thực x Hàm số y = sin x
là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì 2π
sin x = 0 <=> x = kπ, với k là số nguyên
sin x = 1 <=> x = π/2 + k2π, với k là số nguyên
sin x = –1 <=> x = –π/2 + k2π, với k là số nguyên
12 Hàm số côsin: Hàm số y = cos x có tập xác định là R và –1 ≤ cos x ≤ 1, với mọi số thực x Hàm số y = cos x là hàm số chẵn và tuần hoàn với chu kì 2π
cos x = 0 <=> x = π/2 + kπ, với k là số nguyên
cos x = 1 <=> x = k2π, với k là số nguyên
cos x = –1 <=> x = (2k + 1)π, với k là số nguyên
Trang 213 Hàm số tan: Hàm số y = tan x = sin x
cos x có tập xác định là D = R \ {π/2 + kπ | kZ} là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì π
14 Hàm số cot: Hàm số y = cot x = cos x
sin x có tập xác định là D = R \ {kπ | kZ} là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì π
15 Xét tính chẵn, lẻ của hàm số
Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D
f(x) là hàm số chẵn <=> với mọi x thuộc D thì –x thuộc D và f(–x) = f(x)
f(x) là hàm số lẻ <=> với mọi x thuộc D thì –x thuộc D và f(–x) = –f(x)
Bài 1 Tìm tập xác định của các hàm số
a y = 1 cos x
sin x
b y = tan x
3 cos x c y =
cot x sin x 1
d y = cot (x + π/3) e y = cos x 3
sin x 1
g y = tan x 3
sin 3x
cos xcos 3x
j y = tan x + cot x k y = 1 cos x
1 cos x
Bài 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số
a y = 4 + 2sin x – cos 2x b y = 1 + cos 2x + cos x c y = 4 – 3cos x + 2sin² x
d y = 3 2
1 2 sin x e y = 3 – 2sin x + cos² x g
2
2 sin x
h y = 3sin (x – π/4) + 2 i y = 3(sin x + cos x) + 2sin 2x
Bài 3 Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số
a y = sin 2x b y = –2 + 3cos x c y = cos x – sin x
d y = tan x sin x e y = cos x – sin |x| f y = cot x |sin x|
Bài 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1 Phương trình sin x = a (1)
Nếu |a| > 1 thì phương trình (1) vô nghiệm
Nếu |a| ≤ 1, gọi α là cung thỏa mãn sin α = a, thì
sin x = a <=> sin x = sin α <=> x = α + k2π hoặc x = π – α + k2π (k thuộc Z)
Nếu α thỏa mãn điều kiện –π/2 ≤ α ≤ π/2 và sin α = a thì ta viết α = arcsin a
Trong một công thức nghiệm, không được dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian
2 Phương trình cos x = a (2)
Nếu |a| > 1 thì phương trình (2) vô nghiệm
Nếu |a| ≤ 1, gọi α là góc thỏa cos α = a, thì
cos x = a <=> cos x = cos α <=> x = ±α + k2π, k là số nguyên
Nếu α thỏa mãn điều kiện 0 ≤ α ≤ π và cos α = a thì ta viết α = arccos a
3 Phương trình tan x = a (3)
Điều kiện x ≠ π/2 + mπ, m là số nguyên
Gọi α là cung thỏa mãn tan α = a
Khi đó tan x = a <=> tan x = tan α <=> x = α + kπ, với k là số nguyên
Nếu α thỏa mãn điều kiện –π/2 < α < π/2 và tan α = a thì ta viết α = arctan a
4 Phương trình cot x = a (4)
Điều kiện x ≠ ℓπ (ℓ là số nguyên)
Gọi α là cung thỏa mãn cot α = a
cot x = a <=> cot x = cot α <=> x = α + kπ, với k là số nguyên
Nếu α thỏa mãn điều kiện 0 < α < π và cot α = a thì ta viết α = arccot a
Bài 1 Giải các phương trình sau:
a 2cos (3x – π/6) = – 2 b cos(x – 2) = 2/5 c cos (2x + 50°) = cos 20°
Trang 3d (1 + sin x)(3 – cos x) = 0 e tan 2x = tan 1 f 3tan (3x – 30°) = –1
g cot (4x – π/6) = 1 h sin (3x – 45°) = cos 30° i sin (2x + π/6) = sin x
k cos 2x cot x = 0 ℓ cot 2x = tan x m sin 4x – π = 0
q tan (x/2 – π/4) = tan (π/4) r cos 3x = sin 2x s sin 4x sin 2x = 0
Bài 2 Giải các phương trình sau:
a sin (2x – 1) = sin(x + 3) b sin (3x + 30°) = cos 2x c sin (4x) + cos (5x – π/2) = 0
d 2sin x + 2sin 2x = 0 e sin² 2x + cos² 3x = 1 f tan 3x = tan (5x + π/4)
g sin (2x + 50°) = –cos (x + 120°) h tan (x – π/5) + cot x = 0
Bài 3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
1 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
Phương trình dạng at + b = 0 (a ≠ 0), với t là một trong các hàm số lượng giác, là phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
2 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Phương trình dạng at² + bt + c = 0 (a ≠ 0), với t là một trong các hàm số lượng giác, là phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
3 Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x
Phương trình có dạng asin x + bcos x = c (1)
Cách giải
Chia hai vế phương trình (1) cho 2 2
a b và đặt
cos α ;sin α
Phương trình (1) trở thành sin(x + α) =
2 2
c
a b (2) Giải nghiệm từ phương trình (2)
Chú ý: phương trình có nghiệm <=> a² + b² ≥ c²
4 Phương trình a sin² x + b sin x cos x + c cos² x = d
Cách 1: a sin² x + b sin x cos x + c cos² x = d <=> a(1 cos 2x) bsin 2x c(1 cos 2x)
<=> b sin 2x + (c – a)cos 2x = 2d – a – c (*)
Giải phương trình (*) theo dạng phương trình bậc nhất đối với sin 2x và cos 2x
Cách 2: Nếu cos x = 0 không là nghiệm thì chia hai vế của phương trình cho cos² x ta được
a tan² x + b tan x + c = d(1 + tan² x) <=> (a – d) tan² x + b tan x + c – d = 0 (*)
Giải phương trình (*) theo dạng bậc hai đối với một hàm lượng giác
Nếu cos x = 0 là nghiệm của phương trình thì ta có a = d và phương trình tương đương với
b sin x cos x + c cos² x = a(1 – sin² x)
<=> b sin x cos x + c cos² x = a cos² x
<=> cos x [b sin x + (c – a)] = 0 (*)
Giải nghiệm từ phương trình (*)
BÀI TẬP
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a 4sin x – 3 = 0 b 3tan x + 3 = 0 c 2cos 3x + 1 = 0
d sin (3x + 1) = sin (π/4) e cos (x + 2π/5) = sin 1 f tan² x – 3 = 0
g sin 2x cos 3x (tan 4x + 1) = 0 h 8sin x cos x cos 2x = 3 i sin 2x = 2cos x
j 3tan² x + 3tan x = 0 k 4sin 2x – sin² 2x = 0 ℓ 3 – 2sin 3x = 0
m cot x + tan x = 2 n cos² 2x = 3/4 o 8cos³ x – 1 = 0
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a tan 3x tan x = 1 b cot 2x cot (x + π/4) + 1 = 0 c sin 2x 0
1 cos 2x
Bài 3: Giải các phương trình sau
a 3cos² x – 5cos x + 2 = 0 b 4sin² x – 4sinx – 3 = 0 c cot² x – 4cot x + 3 = 0
d tan² x + (1 3) tan x 3 = 0 e 5cos² x + 7sinx – 7 = 0
f tan4 x – 4tan² x + 3 = 0 g sin³ x + 3sin² x + 2sin x = 0
Trang 4h cos 2x + 9cos x + 5 = 0 i sin² 2x – 2cos² x = –3/4 j 4cos4 2x + 3 = 7cos² 2x
Bài 4: Giải các phương trình sau:
a sin x + 3 cos x 2 b sin x – cos x = 1 c 2cos x – sin x = 2
d sin 5x + cos 5x = –1 e 3sin x – 4cos x – 5 = 0 f 2sin² x + 3sin 2x = 3
g sin 5x + cos 5x = 2cos 13x h sin x – 2sin 3x – cos x = 0
Bài 5: Giải các phương trình sau:
a 2sin² x – sin x cos x – cos² x = 2 b 4sin² x – 4sin x cos x + 3cos² x – 1 = 0
c 2cos² x – 3sin 2x + sin² x = 1 d 2sin² x + sin x cos x – cos² x – 3 = 0
e 4sin² x + 3 3sin 2x – 2cos² x – 4 = 0 f sin³ x + 2sin² x cos x = 3cos³ x
g 3sin x cos x – sin² x = –1 i 3cos² x + 2sin² x = 5sin x cos x
Bài 6: Giải các phương trình sau:
a cos 3x – cos 4x + cos 5x = 0 b sin 7x – sin 3x = cos 5x c cos 5x cos x = cos 4x
d sin x + 2sin 3x = –sin 5x e 2tan x – 3cot x – 2 = 0 f sin² x – cos² x = cos 4x
g 2tan x + 3cot x = 4 h cos x tan 3x = sin 5x i 2sin² x + sin 2x – 1 = 0
Bài 7 Giải các phương trình sau
1 cos³ x + cos² x + 2sin x – 2 = 0 2 tan x sin² x – 2sin² x = 3(cos 2x + sin x cos x)
3 2sin 3x – (1/sin x) = 2cos 3x + (1/cos x) 4 sin 2x cos 2x 2 cos x 1
1 2sin x
5 4(sin 3x – cos 2x) = 5(sin x – 1) 6 sin x + cos x = 4sin³ x
7 sin (3x – π/4) = sin 2x sin (x + π/4) 8 sin³ x.cos 3x + cos³ x.sin 3x = sin³ 4x
Gợi ý: sin³ x = (3sin x – sin 3x)/4, cos³ x = (3cos x + cos 3x)/4
9 1 1 4 sin(7π x)
sin xsin(x 3π / 2) 4
sin x 3 cos xsin x cos x 3 sin x cos x
11 2sin x (1 + cos 2x) + sin 2x – 2cos x – 1 = 0 12 sin 2x + cos 2x = 1 + sin x – 3cos x
13 2sin x + cot x = 2sin 2x + 1 14 1 + sin x + cos x + sin 2x + 2cos 2x = 0
15 1 2(cos x sin x)
tan x cot 2x cot x 1
sin x cos x 1
(tan x cot x) sin 2x 2
17 2sin² (x – π/4) = 2sin² x – tan x
18 sin 2x(cos x 3) 2 3 cos x 3 3 cos 2x 8( 3 cos x sin x) 3 3 3 0
19 cos x = 8sin³ (x + π/6) 20 cos 2x + 5 = 2(2 – cos x)(sin x – cos x)
21 2cos 3x + 3sin x + cos x = 0 22 8(cos 3x cos³ x – sin 3x sin³ x) = 2 + 3 2
23 sin 2πx + sin πx = 0 24 sin (2x + 5π/2) – 3cos (x – 7π/2) = 1 + 2sin x
25 sin³ x + cos³ x = 2(sin5 x + cos5 x) 26 sin x sin 2x sin 3x 3
cos x cos 2x cos 3x
27 (1 – sin x)tan² x = 1 + cos x 28 tan 2x – tan 3x – tan 5x = tan 2x tan 3x tan 5x
29 cos 4x
2 2 sin(x )
4 sin x cos x
31 2tan x + cot 2x = 3 2
sin 2x
33 sin² x + sin² 2x + sin² 3x = 2