MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ NHIỀU ỨNG DỤNG

Đề tài: “Một số bài toán có nhiều ứng dụng” gắn liền với nhiệm vụ được giao của bản thân là GV trực tiếp giảng dạy bộ môn Toán 9 và thường xuyên tham gia công tác dạy bồi dưỡng HS giỏi bộ môn Toán cho trường và huyện. Với hy vọng sẽ giải quyết được sự trăn trở trong công tác dạy bồi dưỡng HS giỏi nói chung và chất lượng bộ môn Toán 9 nói riêng. Điểm mới của đề tài là tự khám phá tìm tòi những kiến thức mới từ những bài toán có nhiều ứng dụng, nhằm khắc sâu kiến thức của bài toán cơ bản.

Trang 1

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

I TÊN ĐỀ TÀI: “MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ NHIỀU ỨNG DỤNG”

II ĐẶT VẤN ĐỀ:

Điều 27 Luật Giáo dục 2005 ghi: “Mục tiêu của giáo dục phổ thông là

giúp học sinh (HS) phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ

và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam XHCN, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân, chuẩn bị cho HS tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ tổ quốc”

Hướng đổi mới của Giáo dục là đào tạo con người năng động, sáng tạo, chủ động trong học tập Bên cạnh việc dạy cho HS nắm vững các nội dung cơ bản về kiến thức, giáo viên (GV) còn phải dạy cho HS biết suy nghĩ, tư duy sáng tạo, biết tạo cho HS có nhu cầu nhận thức trong quá trình học tập Từ nhu cầu nhận thức sẽ hình thành động cơ thúc đẩy quá trình học tập tự giác, tích cực và tự lực trong học tập để chiếm lĩnh tri thức Những thành quả đạt được sẽ tạo niềm hứng thú, say mê học tập, nhờ đó mà những kiến thức sẽ trở

thành “tài sản riêng” của HS

Tri thức nhân loại nói chung và kiến thức Toán học nói riêng là vô tận

Để chiếm lĩnh, nắm bắt kiến thức Toán học một cách hiệu quả, tích cực thì chúng ta cần phải có phương pháp nghiên cứu, học tập đúng đắn và phù hợp

Một trong những phương pháp tích cực đó là phát hiện một số bài toán có

nhiều ứng dụng để khai thác kiến thức mới Vì vậy trong quá trình dạy học

Toán nói chung, người dạy và người học cần phải tạo ra cho mình một thói quen: Sau khi đã tìm được lời giải bài toán, dù là đơn giản hay phức tạp, cần tiếp tục suy nghĩ, dựa vào bài toán này ta sẽ tìm ra được những kết quả thú vị

và hấp dẫn nào nữa không

Ngoài việc phát hiện được nhiều bài toán mới, còn giúp học sinh ghi

nhớ, khắc sâu nội dung của bài toán cơ bản cũng như biết vận dụng linh hoạt

bài toán đó khi giải toán

Đề tài: “Một số bài toán có nhiều ứng dụng” gắn liền với nhiệm vụ

được giao của bản thân là GV trực tiếp giảng dạy bộ môn Toán 9 và thường xuyên tham gia công tác dạy bồi dưỡng HS giỏi bộ môn Toán cho trường và huyện Với hy vọng sẽ giải quyết được sự trăn trở trong công tác dạy bồi dưỡng HS giỏi nói chung và chất lượng bộ môn Toán 9 nói riêng Điểm mới

của đề tài là tự khám phá tìm tòi những kiến thức mới từ những bài toán có

nhiều ứng dụng, nhằm khắc sâu kiến thức của bài toán cơ bản

III CƠ SỞ LÝ LUẬN:

Ứng dụng là đưa lý thuyết áp dụng vào thực tiễn

Bài toán ứng dụng là vận dụng những lý thuyết đã được chứng minh

để giải quyết bài toán khác Bài toán ứng dụng đã được chứng minh là một

khẳng định hay mệnh đề đúng được xem như một “định lý”

GV: Phan Thy Hiến Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm - Phú Ninh

Trang 2

y D

C

M

Bài toán có nhiều ứng dụng phát hiện ra nhiều bài toán mới, từ những

bài toán mới đó giải quyết được nhiều kết quả thú vị và hấp dẫn

Không phải bất kì bài toán nào cũng có nhiều ứng dụng Việc phát hiện

ra bài toán có nhiều ứng dụng là con đường khá lý thú khi làm toán Tôi nghĩ rằng cần chủ động đi tìm những bài toán có nhiều ứng dụng và tập hợp các

ứng dụng đó chắc chắn sẽ là một phương pháp học mang lại hiệu quả rất cao

IV CƠ SỞ THỰC TIỄN:

Qua quá trình nghiên cứu và giảng dạy, tôi nhận thấy:

- HS học yếu môn toán nói chung và yếu chứng minh hình học nói riêng chủ yếu là do ít thuộc khái niệm, định lý,

- Nhiều HS thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập chưa cao

- Học không đi đôi với hành, làm cho bản thân HS ít được củng cố, khắc sâu kiến thức, ít được rèn luyện kĩ năng để làm nền tảng tiếp thu kiến thức mới, do đó năng lực cá nhân không được phát huy hết

- Đa số HS, sau khi tìm được một lời giải đúng cho bài toán thì các em hài lòng và dừng lại, và không cần nhớ vấn đề đã được chứng minh là chìa khóa để giải quyết những bài toán khác

- Một số GV chưa thực sự quan tâm đến những ứng dụng của bài toán trong các tiết dạy nói riêng cũng như trong công tác dạy học nói chung

- Trong các đề thi học sinh giỏi hiện nay thường gặp những bài toán sử

dụng kiến thức của bài toán có nhiều ứng dụng, nếu học sinh chưa biết thì

rất lúng túng hoặc không biết cách giải

Nhằm góp phần khắc phục những hạn chế đã nêu, tôi quyết định biên

soạn đề tài: “Một số bài toán có nhiều ứng dụng” để áp dụng vào thực tế

giảng dạy bộ môn và bồi dưỡng HS giỏi

V NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

Để công tác bồi dưỡng học sinh giỏi của bản thân đạt hiệu quả cao tôi

cung cấp cho HS một số bài toán có nhiều ứng dụng để HS làm quen Trên

cơ sở đó, HS tự tìm ra những kiến thức mới

Chúng ta bắt đầu từ các bài toán sau:

Bài toán cơ bản 1: (Bài 30 trang 116 sgk toán 9 tập I)

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R Vẽ các tiếp tuyến

Ax, By với nửa đường tròn (các tia Ax, By cùng phía với nửa đường tròn đối với AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D Chứng minh

a)

b) CD = AC + BD

c) Tích AC.BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn

0

90

COD

�

Trang 3

A B C

D M

H O

Hướng giải:

a) b) Vận dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta chứng minh được

và CD = AC + BD

c) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OCD ta được:

Từ kết quả của bài toán 1 ta chứng minh được các bài toán sau:

Bài 1.1: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R Vẽ các tiếp

tuyến Ax, By với nửa đường tròn (các tia Ax, By cùng phía với nửa đường tròn đối với AB) Gọi M là điểm di động trên nửa đường tròn Qua M vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D Tìm vị trí của điểm

M trên nửa đường tròn để diện tích tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó

Hướng giải: Vận dụng kết quả của bài tập trên

Bài 1.2 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và M là một điểm

thuộc nửa đường tròn (khác A và B) Tiếp tuyến của (O) tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B của (O) lần lượt tại C và D Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích của hai tam giác ACM và BDM

Vận dụng kết quả CD = AC + BD

2

2 ACDB

0

90

COD

�

Trang 4

y x

E

D

C

O

M

Kẻ MHAB (H�AB) ta có MH � MO = R

Tứ giác ABDC là hình thang vuông nên CD � AB = 2R

2

AC BD AB CD AB AB AB

R



MH AB MO AB

R



� Nên SACM + SBDM = SABDC - SMAB � 2R2 –R2 ( Vì a > b, c < d => a – c > b – d)

�SACM + SBDM �R2

Dấu “=” xảy ra �H ≡ O

tròn (O)

Vậy khi M là giao điểm của đường thẳng vuông góc với AB vẽ từ O và nửa đường tròn (O) Thì SACM + SBDM nhỏ nhất và bằng R2

Nếu học sinh nhớ được kết quả AC + BD = CD hoặc AC.BD = R 2 thì học sinh sẽ chứng minh được bài toán nâng cao hơn sau đây:

Bài 1.3: Trên đường thẳng d lấy hai điểm A, B trong cùng nửa mặt phẳng bờ

là đường thẳng d ta dựng hai tia Ax, By cùng vuông góc với d và trên Ax lấy điểm C, trên By lấy điểm D sao cho AC + BD = CD Chứng minh CD là tiếp tuyến của (O) đường kính AB

Gọi O là trung điểm của AB; E là giao điểm của DO và CA

+ Chứng minh ∆OBD = ∆OAE (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Kẻ OM vuông góc CD

+ Chứng minh OM = OA suy ra điều cần chứng minh

Trang 5

A

C B

Bài 1.4: Trên đường thẳng d lấy hai điểm A, B trong cùng nửa mặt phẳng bờ

là đường thẳng d ta dựng hai tia Ax, By cùng vuông góc với d và trên Ax lấy

tuyến của (O) đường kính AB

Hướng giải: Gọi O là trung điểm của AB Dựa vào AB2 = 4AC.BD Chứng minh tam giác AOC đồng dạng tam giác BDO (c.g.c)



Kẻ OM vuông góc với CD và dựa vào bài 1.3 chứng minh OM = OA, suy ra

điều cần chứng minh

Bài toán cơ bản 2: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài tại

A Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC của (O) và (O’) (B thuộc (O); C thuộc (O’))

a) Chứng minh

b) Chứng minh

a) Vẽ tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn tại A cắt BC tại M

+ Vận dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: MA = MB = MC

Suy ra tam giác ABC vuông tại A

b) Vận dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta chứng minh được tam giác OMO’ vuông tại M

+ Vận dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OMO’ chứng minh được



Bài 2.1: Cho hai đường tròn (O1) và (O2) có bán kính lần lượt là 1 và 4 tiếp

điểm lần lượt là A, B Tính bán kính đường tròn (O) tiếp xúc với (O1); (O2) và AB

0

90

BAC

�

2 '

MA R R

2 R.R'

BC 

2 R.R'

BC 

AOC  ODB

0

90

COD

�

Trang 6

O 2

O 1

C

M

D

B A

Gọi x là bán kính của (O); C là tiếp điểm của AB với (O)

Áp dụng kết quả của bài toán 2 ta có:

Từ AC + CB = AB suy ra x = 4/9

Bài 2.2: Cho ba đường tròn có bán kính R1, R2, R tiếp xúc ngoài lẫn nhau đôi một và tiếp xúc với một đường thẳng, trong đó R là bán kính có độ dài nhỏ

HCM 1993 – 1994).

Giả sử R1 ≥ R2 ≥ R

Vẽ BD // O1O2

Vận dụng kết quả của bài toán 2 ta có:

AB = AC + CB =>



Dấu = xảy ra  R1 = R2 = 4R

O

B

AC  x CB x AB

1 2

AB 2 R R  AC 2 R R  1 CB 2 R R 2

R R  R R  R R

2

R R  ( R R  R R )  R R R R  4 R RR R

1 2 1 2

R R �4R R R

2

1 2

R R �16R

Trang 7

N

M

E

D

A

B

C K

H O A

D K

Bài toán 2.3: Hai đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc ngoài tại A Gọi BC,

DE là các tiếp tuyến chung của hai đường tròn (B và D thuộc đường tròn tâm O)

a) Chứng minh BDEC là hình thang cân

b) Tính diện tích hình thang cân đó

b) Kẻ tiếp tuyến chung tại A cắt BC, DE tại M, N

Ta có MN = 2AM = BC =

Kẻ đường cao CH cắt OB tại K

Ta có BC2 = KC.HC => 4Rr = (R + r).HC =>

Chú ý: MN là đường trung bình của hình thang BDEC

Bài toán cơ bản 3: Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp trong đường tròn (O;

R) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Vẽ OK vuông góc với BC (K thuộc BC) Chứng minh AH = 2OK

Bài toán này chúng ta có lời giải sau:

2 Rr

4Rr HC

R r





Trang 8

G H O A

D K

Kẻ đường kính AD,

Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành

suy ra K là trung điểm của HD và OK là đường TB của tam giác ADH

=> AH = 2OK

Bài 3.1: Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp trong đường tròn (O; R) H là trực

tâm, G là trọng tâm của tam giác ABC Chứng minh H, G, O thẳng hàng

Vận dụng bài 3, chứng minh tam giác AHG đồng dạng tam giác KOG (c.g.c) suy ra

Bài 3.2: Cho tam giác ABC nhọn có hai đường cao AD và BK cắt nhau tại H,

M là trung điểm của BC; O là giao điểm các đường trung trực của tam giác ABC Biết OH//BC, OH = 11cm, OM = 5 cm Tính độ dài các đoạn thẳng AD, BC

+ Vẽ (O) ngoại tiếp tam giác ABC, kẻ đường kính AE

+ Vận dụng kết quả bài toán 3

+ Chứng minh tứ giác OHDM là hình chữ nhật

AGH  KGO

M D H

K

O A

E N

Trang 9

O A

M

=> HD = OM = 5 cm

=> AD = 15 cm

*Tính BC

+ Kéo dài AD cắt (O) tại N

=> HN = HA = 10 cm

=> AN = 20 cm và NE = 2OH = 22 cm

Từ đó ta tính được đường kính AE, suy ra bán kính OB, tính được BM, BC

Bài toán cơ bản 4 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O và một

điểm M chuyển động trên cung nhỏ BC Chứng minh rằng MA = MB + MC

Trên MA lấy điểm D sao cho MD = MB

+ Chứng minh ∆MBD đều

+ Chứng minh ∆MBC = ∆DBA (c.g.c)

Suy ra AD = MC Vậy MA = MB + MC

Bài toán 4.1: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a (a > 0) và một điểm M

chuyển động trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức T = MA + MB + MC

Do tính bình đẳng của các cung AB, BC, CA nên ta có thể giả thiết M thuộc cung nhỏ BC

Theo kết quả của bài toán trên ta có: T = MA + MB + MC = 2MA

- Do MA ≤ 2R nên T ≤ 4R

Mà đường cao (Vì tam giác ABC đều)

Và (Vì O là trọng tâm của tan giác đều ABC)

Suy ra

3 2

a

h

3 3

a

R

2

3

h

R

Trang 10

=> MaxT = khi M là điểm chính giữa của cung nhỏ BC

=> MBA ≥ BMA nên MA ≥ AB = a

Vậy MinT = 2a khi M ≡ C hoặc M ≡ B

Kết luận: Max(MA + MB + MC) = khi M là điểm chính giữa của các

cung AB, BC, CA

Min(MA + MB + MC) = 2a khi M trùng với một trong các đỉnh A, B, C

Bài 4.2: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O), M là điểm chuyển

động trên cung BC không chứa điểm A; AM và BC cắt nhau tại N Chứng minh

(Đề thi HSG toán 9 tỉnh Quảng Nam năm 2000 – 2001)

Vận dụng kết quả bài 4: MA = MB + MC

+ Chứng minh được ∆MBA ∽ ∆MNC (g.g)

nên MB.MC = MA.MN = (MB + MC).MN

Suy ra điều cần chứng minh

Bài 4.3: Cho tam giác đều ABC nội tiếp (O;R) Gọi M là điểm bất kỳ thuộc

cung nhỏ BC Gọi D là giao điểm của MA và BC Chứng minh

Chứng minh ∆MCD ∽ ∆MAB (g.g)

=>

Cộng hai tỉ lệ thức trên vế theo vế và sử dụng kết quả MA = MB + MC

Nếu học sinh nhớ được bài toán cơ bản 4 thì học sinh sẽ chứng minh được bài toán nâng cao hơn sau đây:

3

a

3

a

MN  MB MC

1

MD MD

MB MC 

;

MB  MA MC  MA

D y

O

A

M

I H

�

Trang 11

O M

T

B

Bài 4.4: Cho đường tròn (O; R) và hai điểm B, C cố định trên (O; R) thỏa

trên cung nhỏ BC của đường tròn (O; R) với M ≠ B và M ≠ C

(Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Lê Quý Đôn TP Đà Nẵng năm 2008)

Gọi A là điểm chính giữa của cung lớn BC Trên đoạn MA lấy điểm I sao cho

MI = MB Tam giác MBI cân tại M và có nên là tam giác đều

 CBM = ABI (c.g.c)

 MC = IA  MB + MC = MA

; R

2 R 2

4 MA 4 2

MC MB

MC

1

MB

1













Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M là điểm chính giữa cung nhỏ BC

Kết luận: min

R

2 MC

1 MB

1





khi M là điểm chính giữa cung nhỏ BC

Bài toán cơ bản 5: Cho đường tròn tâm (O) và điểm M nằm ngoài đường

+ Chứng minh ∆MAT ∽∆MTB (g.g)

�

A

B

C M

O

.

I

2 3

1

0

60

BMI 

�

Trang 12

P

N M

D

O

A

K D

H

O

B

A

E

Bài 5.1: Cho tam giác ABC nội tiếp trong (O) Đường phân giác góc BAC cắt

(O) tại điểm D Tiếp tuyến với (O) tại D cắt hai tia AB, AC lần lượt tại M, N Gọi P là giao điểm của (O) và MC Chứng minh đường thẳng AP đi qua trung điểm của đoạn MD

(Đề thi HSG toán 9 tỉnh Quảng Nam năm 2007 – 2008)

Gọi Q là giao điểm của AP và MN

Từ (1) và (2) => đpcm

Bài 5.2: Cho tam giác ABC cân tại A ngoại tiếp (O), tiếp điểm trên 3 cạnh

AB, AC, BC lần lượt là D, E, F BE cắt (O) tại M; DM cắt BF tại K Chứng minh BK = KF

Hướng giải: tương tự bài 5.1.

Bài 5.3: Từ điểm A ở ngoài (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với (O) (B, C là hai

tiếp điểm) Đường thẳng qua A cắt (O) tại D và E (D nằm giữa A và E, dây

DE không qua tâm O) Gọi H là trung điểm của DE, AE cắt BC tại K Chứng minh

AK  AD AE

Trang 13

y x

E

A

+ Chứng minh 5 điểm A, B, H, O, C cùng nằm trên đường tròn

Từ (1) và (2) => AD.AE = AH.AK

=> 2AD.AE = 2AH.AK

= (AH + AH).AK

= (AD + DH + AE - HE).AK

= (AD + AE)AK

=>

Bài toán cơ bản 6: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), kẻ các

đường cao BE, CF của tam giác ABC Chứng minh OA vuông góc EF

Kẻ tiếp tuyến xAy của đường tròn (O)

+ Chứng minh

=>

=> xy // FE

=> OA vuông góc FE

Bài 6.1: Cho đường tròn (O; R), BC là dây cung cố định khác đường kính.

Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn, kẻ các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC Xác định vị trí của điểm A trên cung lớn

BC để chu vi tam giác DEF đạt giá trị lớn nhất

.

AD AE

AK AD AE AD AE



xAB ACB

AFE ACB

AF

xAB E

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	303,5 KB