Phương pháp sử dụng biểu diễn tích phân để giải một số bài toán biên và ứng dụng trong một số bài toán kỹ thuật

Phương pháp sử dụng biểu diễn tích phân để giải một số bài toán biên và ứng dụng trong một số bài toán kỹ thuật Phương pháp sử dụng biểu diễn tích phân để giải một số bài toán biên và ứng dụng trong một số bài toán kỹ thuật luận văn tốt nghiệp thạc sĩ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

o0o

-VŨ THỊ CHI

PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BIỂU DIỄN TÍCH PHÂN

ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN VÀ

ỨNG DỤNG TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN KĨ THUẬT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌCCHUYÊN NGÀNH: TOÁN TIN

Hà Nội - 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

o0o

-VŨ THỊ CHI

PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BIỂU DIỄN TÍCH PHÂN

ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN VÀ ỨNG DỤNG

TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN KĨ THUẬT

Chuyên ngành: Toán Tin

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGÀNH: TOÁN TIN

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS VŨ THỊ NGỌC HÀ

Hà Nội - 2013

Mục lục

1 Phương pháp phức giải bài toán Dirichlet cho phương

1.1 Công thức tích phân Cauchy – Pompieu bậc một giải bài

toán biên Dirichlet cấp một 51.1.1 Công thức tích phân Cauchy - Pompieu bậc một 61.1.2 Bài toán biên Dirichlet cho phương trình vi phân

cấp một 111.2 Công thức tích phân Cauchy – Pompieu bậc cao để giải

bài toán biên Dirichlet cấp cao 171.2.1 Công thức tích phân Cauchy - Pompieu bậc hai 171.2.2 Bài toán biên Dirichlet cho phương trình vi phân

cấp hai 221.2.3 Công thức tích phân Cauchy - Pompieu bậc n 251.2.4 Bài toán biên Dirichlet cho phương trình vi phân

cấp n 25

2 Mở rộng sang giải tích quaternion 27

2.1 Mô hình bài toán dòng chảy chất lỏng 27

2.2 Đại số Quaternion thực 31

2.2.1 Công thức tích phân Cauchy - Pompieu 39

2.2.2 Công thức Plemelj - Sokhotzki 49

2.2.3 Phép phân tích trực giao 52

2.2.4 Ứng dụng giải bài toán Dirichlet 54

2.3 Bài toán Stokes 55

2.4 Phương trình Galpern - Sobolev 60

Danh mục ký hiệu

H Quaternion trên trường số thực

Ck(Ω, H) không gian các hàm khả vi đến cấp k trong Ω

C(k,ε)(Ω, H) không gian các hàm liên tục H¨older số mũ ε

cùng với các đạo hàm riêng đến cấp k của nó

Lp(Ω, H) không gian các hàm khả tích bậc p trên Ω

Wpk(Ω, H) không gian các hàm khả vi theo nghĩa suy rộng và

thuộc vào Lp(Ω, H)

0

Wpk(Ω, H) không gian các hàm thuộc không gian Wpk(Ω, H)

và bị triệt tiêu trên biên Γ

Wpk,loc(Ω, H) f, f ∈ Wpk(Ω, H) , compact K ⊂ Ω

Lời nói đầu

Như ta đã biết toán tử Cauchy - Pompieu ∂z và ∂¯ là xuất hiện trongcác phương trình vật lý toán Với W (z) = u (x, y) − iv (x, y) là nghiệmcủa hệ Cauchy - Riemann

Đối với phương trình (1), hai nghiệm cơ bản độc lập tuyến tính củaphương trình này là

∂W

∂ ¯z = f,chúng dẫn đến các công thức biểu diễn tích phân Cauchy - Pompieu.Với ứng dụng của tích phân Cauchy và Cauchy - Pompieu phương phápphức phát triển mạnh mẽ Bạn đọc có thể xem xét trong Begehr [2],Dzhuraev [4] và Vekua [15] cho rất nhiều ứng dụng trong việc giải quyếtcác phương trình vi phân bằng phương pháp phức

Từ biểu diễn tích phân Cauchy - Pompieu với ý tưởng sử dụng phươngpháp lặp dẫn đến công thức Cauchy - Pompieu bậc hai, và biểu diễnCauchy - Pompieu bậc n - tổng quát Kết quả của phương pháp lặp nàynhư một nghiệm cơ bản cho toán tử bậc cao hơn với cách sử dụng địnhnghĩa toán tử tích phân Pompieu bậc cao

Tuy nhiên Dzhuraev và Vekua dùng phương pháp phức giải quyếtvấn đề chứa phương trình Laplace mà ở đó không có điều kiện ban đầu,nhưng trong thực tế chúng ta sẽ gặp phải các bài toán giải phương trìnhLaplace ∇u (x, y) = 0 trên một miền D nằm trong mặt phẳng phức vớiđiều kiện u (x, y) = f (x, y) với (x, y) thuộc biên của miền D Bài toánxác định một hàm điều hòa với điều kiện biên đã cho như ta đã biết

được gọi là bài toán Dirichlet Tuy nhiên, một vấn đề gặp phải là bàitoán Dirichlet sẽ khó khăn tăng theo mức độ phức tạp của biên miền D.Chính vì vậy, trong chương 1 chúng tôi sẽ sử dụng phương pháp phức

để giải quyết bài toán Dirichlet cho phương trình vi phân cấp một vàphương trình vi phân cấp hai, sau đó là phương trình vi phân tổng quátcấp n bằng cách dùng biểu diễn tích phân Cauchy - Pompieu bậc một,bậc hai và bậc n Tuy nhiên, chúng tôi đều lựa chọn giải quyết bài toánDirichlet cho miền D là đĩa đơn vị Lý do đơn giản là sau đó chúng ta cóthể xây dựng ánh xạ bảo giác giữa đĩa đơn vị và miền D bất kì để giảiquyết bài toán Dirichlet với miền có biên phức tạp hơn

Chương 2 chúng tôi xây dựng công thức tích phân Cauchy - Pompieutrong giải tích Quaternion dẫn đến định nghĩa toán tử tích phân Teodor-escu và phép phân tích trực giao trong không gian L2(Ω, H) Sử dụngphương pháp phức chúng tôi giải quyết bài toán Dirichlet cho phươngtrình vi phân cấp hai đối với toán tử Dirac D Ý tưởng sử dụng xuyênsuốt quá trình giải tìm công thức biểu diễn nghiệm là chúng tôi sử dụngcông thức biểu diễn tích phân Cauchy-Pompeiu và tính chất của toán tửtích phân Teodorescu cùng với phép phân tích trực giao của không gian

L2(Ω, H) Tuy nhiên khi giải quyết bài toán dòng chảy chất lỏng Stokesphụ thuộc vào thời gian cho trường hợp hệ số Reynolds thấp chúng tôiphải rời rạc hóa các khoảng thời gian hữu hạn để đưa bài toán Stokes

về trạng thái dừng Khi đó những bài toán biên sẽ được giải quyết bằngphương pháp phức ở trên hay còn gọi là áp dụng lý thuyết hypercomplexvào bài toán Stokes thành công vì sau đó chúng tôi đánh giá được tính

ổn định nghiệm của phương trình sai phân đó.

Những kết quả trên mà tôi đạt được là nhờ có sự hướng dẫn tận tìnhcủa TS Vũ Thị Ngọc Hà trong suốt thời gian qua Tôi xin trân trọngcảm ơn cô đã tận tâm hướng dẫn tôi trong quá trình tìm hiểu, lựa chọn,thực hiện đề tài này; cũng như đã định hướng và rèn luyện tác phongnghiên cứu khoa học của mình Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn sự độngviên, giúp đỡ của các thầy cô giáo trong viện Toán ứng dụng và Tin học

đã có những ý kiến đóng góp quý báu cho tôi khi hoàn thiện luận văn

Vì thời gian có hạn và trình độ còn hạn chế, luận văn không tránhkhỏi thiếu sót, tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp và sự cảm thông

từ phía độc giả

Hà Nội, ngày 29 tháng 05 năm 2013

Học viên

Vũ Thị Chi

Chương 1

Phương pháp phức giải bài toán

Dirichlet cho phương trình vi phân

Trong chương này, chúng tôi trình bày phương pháp phức với ý tưởng

sử dụng biểu diễn tích phân Cauchy – Pompieu để giải quyết bài toánDirichlet cho các phương trình vi phân cấp một và tổng quát lên cấpcao

một giải bài toán biên Dirichlet cấp một

Định lý công thức tích phân Cauchy – Pompieu là chìa khóa để giảicác bài toán biên Dirichlet trên đĩa đơn vị Vậy nội dung chính của phầnnày là định lý tích phân Cauchy - Pompieu được chứng minh một cách chitiết Vì ý tưởng chứng minh định lý tích phân Cauchy - Pompieu xuyênsuốt luận văn khi chúng tôi chứng minh định lý Cauchy - Pompieu chophương trình vi phân tổng quát cấn n trong mặt phẳng phức hay định

lý Cauchy - Pompieu trong giải tích quaternion

1.1.1 Công thức tích phân Cauchy - Pompieu bậc một

Với định nghĩa toán tử

2∂z = ∂x− i∂y, 2∂¯ = ∂x+ i∂y,

ở đó z = x + iy, ¯z = x − iy, x, y ∈ R

Kí hiệu w : D −→ C, D là miền mở liên thông trong C,

z 7−→ w(z)trong đó w (z) = u (x, y) + iv (x, y), x, y ∈ R, z = x + iy

Nếu w là một hàm giải tích, thỏa mãn hệ Cauchy – Riemann củaphương trình vi phân cấp một

ux = vy, uy = −vx,hay w¯ = 0

Ta có thể viết lại như sau:

2∂¯w = (∂x + i∂y) (u + iv) = ∂xu − ∂yv + i (∂xv + ∂yu) , (1.1)tương tự

2∂zw = (∂x− i∂y) (u + iv) = ∂xu + ∂yv + i (∂xv − ∂yu)

Định lý 1.1 (Định lý Gauss dạng thực) Cho (f, g) ∈ C1(D; R2) ∩C(D; R2) là một vectơ vi phân thực trong miền liên thông D ⊂ R2 thìZ

Định lý 1.2 (Định lý Gauss dạng phức) Cho w ∈ C1(D; C) ∩ C(D; C)trong miền liên thông D của mặt phẳng phức C thì

Z

D

w¯(z)dxdy = 1

2iZ

∂D

Chứng minh a) Chứng minh (1.4) Sử dụng (1.1) và áp dụng (1.3) tacó:

Ta có điều phải chứng minh

b) Chứng minh (1.5) có thể được suy ra tương tự hoặc lấy liên hợp(1.4)

Bằng cách lấy liên hợp (1.4) ta có

−2iZ

Hệ quả 1.1 (Định lý Cauchy) Với w (z) là hàm giải tích thì

Định lý 1.3 (Định lý công thức tích phân Cauchy - Pompieu) Cho

D ⊂ C là tập liên thông và w ∈ C1(D; C) ∩ C(D; C) Khi đó với ζ =

ξ + iη, z ∈ D ta có:

w (z) = 1

2πiZ

∂D

w (ζ) dζ

ζ − z − 1

πZ

∂D

w (ζ) d¯ζ

ζ − z − 1

πZ

ta có

12iZ

b) Chứng minh công thức (1.7) có thể được suy ra tương tự hoặc lấyliên hợp như trong chứng minh trước.

Bằng cách lấy liên hợp (1.6) ta có:

w (z) = − 1

2πiZ

∂D

w (ζ) d¯ζ

ζ − z − 1

πZ

D

w¯(ζ)dξdη

ζ − z

= − 12πiZ

∂D

w (ζ) d¯ζ

ζ − z − 1

πZ

∂D

w (ζ) d¯ζ

ζ − z − 1

πZ

D

wζ(ζ)dξdη

ζ − z.

Điều phải chứng minh.

Từ công thức tích phân Cauchy – Pompieu cho ta định nghĩa toán tử

tích phân Pompieu

Định nghĩa 1.1 Cho f ∈ L1(D; C), toán tử tích phân

T f (z) = −1

πZ

D

f (ζ)dξdη

ζ − z, z ∈ C,được gọi là toán tử tích phân Pompieu

∂D

ϕ (ζ) dζ

ζ − z − 1

πZ

D

ϕ¯(ζ) dξdη

ζ − z = T ϕ¯
(z) ,mà

D

f (ζ)Z

Công thức (1.11) có thể viết dưới dạng

∂¯T f = f,khi đó toán tử tích phân Pompieu là khả nghịch và có nghịch đảo là toán

w¯ = 0 trong D, w = γ trên ∂D,với γ ∈ C (∂D; C) là giải được nếu và chỉ nếu với |z| < 1

12πiZ

lim

γ (ζ) zdζ¯

1 − ¯zζ = −

12πiZ

ζ − z

dζζ

2πiZ

Nhận xét 1.1 Kết quả này là kết quả của công thức Plemelj-Sokhotzki.Tích phân Cauchy (1.14) rõ ràng cung cấp một hàm giải tích trong D.Công thức Plemelj-Sokhotzki cho rằng với |ζ| = 1 ta có

lim

z→ζ,|z|<1w (z) − lim

z→ζ,1<|z|w (z) = γ (ζ) Vậy với |ζ| = 1

Định lý 1.6 Bài toán Dirichlet cho phương trình Cauchy – Riemannkhông thuần nhất trong đĩa đơn vị

w¯ = f trong D, w = γ trên ∂D,với f ∈ L1(D; C) , γ ∈ C (∂D; C) là giải được nếu và chỉ nếu với |z| < 1

12πiZ

|ζ|=1

γ (ζ) zdζ¯

1 − ¯zζ =

1πZ

|ζ|<1

f (ζ)zdξdη¯

1 − ¯zζ. (1.17)Nghiệm là duy nhất được đưa ra bởi tích phân

w (z) = 1

2πiZ

|ζ|=1

γ (ζ) dζ

ζ − z − 1

πZ

ϕ = w − T f thỏa mãn ϕ¯ = 0 trong D, w = γ trên ∂D với γ ∈ C (∂D; C)

Theo định lý (1.5) ta có

ϕ (z) = 1

2πiZ

|ζ|=1

T f (ζ) zdζ¯

1 − ¯zζ

= − 12πiZ

|ζ|=1

1πZ

1 − ¯zζ

= 1πZ

|˜|<1

f (˜ζ) 12πiZ

|ζ|=1

¯z

1 − ¯zζ

dζ

ζ − ˜ζd ˜ξd˜η

= 1πZ

|˜|<1

f (˜ζ) z¯

1 − ¯zζd ˜ξd˜η.

Điều phải chứng minh

Ví dụ: Về dùng ánh xạ bảo giác chúng tôi có thể chuyển bất kì bàitoán Dirichlet trong đĩa đơn vị sang giải bài toán Dirichlet cho phươngtrình Cauchy - Riemann trên nửa mặt phẳng,

w¯ = 0 với x > 0, −∞ < x < +∞

u (0, y) = γ (y) với − ∞ < y < +∞

Bằng phương pháp sử dụng ánh xạ bảo giác từ nửa mặt phẳng lên đĩađơn vị và kết quả trong định lý (1.5)

Ta có công thức tích phân để giải bài toán biên Dirichlet trên đĩa đơn

vị :

f (z) = 1

2πiZ

u (x, y) = Re [f (z)] = Re

h 12πiZ

Công thức tích phân để giải bài toán Dirichlet trên nửa mặt phẳng bênphải là

u (x, y) = Re [f (z)] = Re

h 12πiZ

T0(z) = −2i

(z + i)2.Khi đó

f (z) = 1

2πiZ

= 1

πiZ

C

u (ξ) ξz − 1

ξ − z

1

ξ2 − 1dξ.

Do biên C của nửa mặt phẳng bên phải là trục ảo và không phải là mộtđường cong khép kín, nên với ξ = (0, t) = it, t phải biến đổi từ ∞ tới −

∞ để biên C định hướng dương Khi đó

= 1π

1.2 Công thức tích phân Cauchy – Pompieu bậc cao

để giải bài toán biên Dirichlet cấp cao

Để làm được điều đó trước tiên chúng tôi sẽ dùng phương pháp lặp

để đưa ra công thức tích phân Cauchy – Pompieu bậc hai và bậc n Sửdụng định lý công thức tích phân Cauchy - Pompieu và phương phápphức để giải bài toán Dirichlet cho phương trình vi phân cấp hai và cấpn

1.2.1 Công thức tích phân Cauchy - Pompieu bậc hai

Định lý 1.7 (Định lý công thức tích phân Cauchy - Pompieu bậc hai).Cho D ⊂ C là tập liên thông và w ∈ C2(D; C) ∩ C1(D; C) Khi đó ta có

D

wζ ¯¯ζ(ζ)ζ − z

ζ − zdξdη(1.20)và

w (z) = 1

2πiZ

∂D

w (ζ) dζ

ζ − z +

12πiZ

∂D

w¯(ζ) log |ζ − z|2d¯ζ

+ 1πZ

Thay (1.22) vào (1.6) ta được

w(z) = 1

2πiZ

∂D

w(ζ) dζ

ζ − z

−1πZ

D

 12πiZ

∂D

w˜(˜ζ)ψ(z, ˜ζ)d˜ζ−1

πZ

D

w˜

ζ ˜ ζ(˜ζ)ψ(z, ˜ζ)d ˜ξd˜η

(1.23)với

ψ(z, ˜ζ) = 1

πZ

D

dξdη(ζ − ˜ζ)(ζ − z) =

1

˜

ζ − z

1πZ

D

1

ζ − ˜ζ − 1

ζ − z

dξdη

πZ

D

dξdη(ζ − ˜ζ)(ζ − z) = ˜ψ(z, eζ) − ψ(z, eζ),

(1.24)với hàm ˜ψ giải tích trong cả hai biến của nó, do đó từ (1.4) ta có

D

w˜

ζ ˜ ζ(˜ζ) ˜ψ(z, ˜ζ)d ˜ξd˜η = 0 (1.25)

Lấy (1.23) trừ đi biểu thức (1.25) ta được

∂D

w˜(˜ζ)ψ(z, ˜ζ)d˜ζ − 1

πZ

b) Chứng minh công thức (1.21) Từ công thức (1.7) ta có

w¯(ζ) = − 1

2πiZ

∂D

w(ζ) dζ

ζ − z

−1πZ

D



− 12πiZ

∂D

w˜(˜ζ)Ψ(z, ˜ζ)d˜ζ−1

πZ

D

w˜

ζ ˜ ζ(˜ζ)Ψ(z, ˜ζ)d ˜ξd˜η,

(1.27)

Ψ(z, ˜ζ) = 1

πZ

D

dξdη(ζ − ˜ζ)(ζ − z)

∂D ε

log |˜ζ − ζ|2 dζ

ζ − z − 1

πZ

1πZ

∂D

log |˜ζ − ζ|2 dζ

ζ − z−1

πZ

D

w˜

ζ ˜ ζ(˜ζ) ˜Ψ(z, ˜ζ)d ˜ξd˜η = 0 (1.29)

Thêm biểu thức (1.29) vào biểu thức (1.27) ta được

∂D

w˜(˜ζ)Ψ(z, ˜ζ)d˜ζ − 1

πZ

D

w˜

ζ ˜ ζ(˜ζ) ˜Ψ(z, ˜ζ)d ˜ξd˜η,hay

w(z) = 1

2πiZ

∂D

w(ζ) dζ

ζ − z +

12πiZ

∂D

w˜(˜ζ) ˜Ψ(z, ˜ζ) − Ψ(z, ˜ζ)

d˜ζ

+ 1πZ

∂D

w (ζ) dζ

ζ − z +

12πiZ

∂D

w¯(ζ) log |ζ − z|2d¯ζ

+ 1πZ

D

wζ ¯ζ(ζ) log |ζ − z|2dξdη

Điều phải chứng minh

Với ý tưởng dùng phương pháp lặp để xây dựng công thức tích phânCauchy, Cauchy - Pompieu, bạn đọc có thể tìm hiểu thêm trong [2]

1.2.2 Bài toán biên Dirichlet cho phương trình vi phân cấp

hai

Định lý 1.8 Bài toán Dirichlet cho phương trình Poisson trong đĩa đơnvị

wz ¯z = f trong D, w = γ trên ∂D,với f ∈ L1(D; C), γ ∈ C (∂D; C)

ζ − z − 1dζ

ζ −1πZ

|ζ|<1

f (ζ) G1(z, ζ)dξdη,

(1.30)với G1(z, ζ) = log

1−z ¯ ζ ζ−z

= −1πZ

|ζ|<1

∂ζhw(ζ) z¯

1 − ¯zζ

idξdη

Thay (1.31) vào biểu thức trên ta có

ζ − z − 1dζ

ζ −1πZ

|ζ|<1

wζ ¯ζ(ζ) log |1 − z ¯ζ

ζ − z |2dξdη.(1.33)

Điều phải chứng minh

Với sử dụng công thức Cauchy - Pompieu bậc hai ta có kết quả sau:

Định lý 1.9 Bài toán Dirichlet cho phương trình Bitsadze không thuần

nhất trong đĩa đơn vị

wz ¯¯z = f trong D, w = γ0, w¯ = γ1 trên ∂D,với f ∈ L1(D; C), γ0, γ1 ∈ C (∂D; C) là giải được nếu và chỉ nếu với

|ζ|=1

γ1(ζ) zdζ¯

1 − ¯zζ − 1

πZ

|ζ|=1

γ1(ζ) ζ − z

ζ − zdζ+

1πZ

|ζ|<1

f (ζ) ζ − z

ζ − zdξdη.(1.36)

Tương tự ta xét bài toán biên Dirichlet cho phương trình Poisson.

Định lý 1.10 Bài toán giá trị biên cho phương trình Poisson trong đĩađơn vị

wz ¯z = f trong D, w = γ0, wz = γ1 trên ∂D,với f ∈ L1(D; C), γ0, γ1 ∈ C (∂D; C), là giải được duy nhất nếu và chỉnếu

|ζ|=1

γ1(ζ) log(1 − z ¯ζ)dζ

= 1πZ

|ζ|<1

f (ζ) log(1 − z ¯ζ)dξdη, (1.37)

và

¯z2πiZ

|ζ|=1

γ1(ζ) dζ

1 − ¯zζ =

¯zπZ

|ζ|<1

f (ζ) dξdη

1 − ¯zζ. (1.38)Khi đó nghiệm là

w (z) = − 1

2πiZ

|ζ|=1

γ0(ζ) d¯ζ

ζ − z − 1

2πiZ

|ζ|=1

γ1(ζ) log 1 − z ¯ζ
dζ

+ 1πZ

|ζ|<1

f (ζ)

log |ζ − z|2 − log (1 − ¯zζ)

dξdη (1.39)

Nhận xét 1.2 Tương tự như chứng minh trên ta cũng có thể giải đượcbài toán:

wz ¯z = f trong D, w = γ0, w¯ = γ1 trên ∂D,với f ∈ L1(D; C), γ0, γ1 ∈ C (∂D; C)

Để tổng quát hóa lên giải phương trình vi phân cấp n.

1.2.3 Công thức tích phân Cauchy - Pompieu bậc n

Định lý 1.11 (Định lý công thức tích phân Cauchy - Pompieu bậc n)

Cho w ∈ C2n(D; C) ∩ C2n−1 D; C¯
, với n ≥ 1 Khi đó ta có

n−1

X

ν=1

12πi

Z

∂D

(ζ − z)ν−1 ζ − z
ν(ν − 1)!ν!

hlog |ζ − z|2 −

Z

∂D

|ζ − z|2(ν−1)(ν − 1) !2

hlog |ζ − z|2 − 2

ν−1

X

ρ=1

1ρ

hlog |ζ − z|2 − 2

n−1

X

ρ=1

1ρ

i

∂ζ∂¯
nw (ζ) dξdη

1.2.4 Bài toán biên Dirichlet cho phương trình vi phân cấp n

Định lý 1.12 Bài toán Dirichlet cho phương trình đa giải tích không

đồng nhất trong đĩa đơn vị

|ζ|=1

(−1)λ−ν γλ(ζ)

1 − ¯zζ

ζ − z
λ−ν(λ − ν)! dζ

+(−1)

n−ν

¯zπ

|ζ|=1

γν (ζ)ν!

ζ − z
ν

ζ − z dζ+

(−1)nπZ

|ζ|<1

f (ζ)(n − 1)!

ζ − z
n−1

ζ − z dξdη.(1.42)

Vậy với ý tưởng sử dụng phương pháp lặp, chúng tôi đã đưa ra đượccông thức tích phân Cauchy - Pompieu cho toán tử vi phân cấp n Sửdụng phương pháp phức ứng dụng để dùng công thức tích phân Cauchy

- Pompieu chúng tôi đã xem xét được giải bài toán Dirichlet tương ứngcho các phương trình vi phân bậc cao hơn, và tổng quát đến bậc n

Chương 2

Mở rộng sang giải tích quaternion

Trong mục này tôi nhắc lại lý thuyết cơ sở của giải tích quaternion vàxây dựng công thức tích phân Cauchy - Pompieu trong giải tích quater-nion, dẫn đến định nghĩa toán tử tích phân Teodorescu và phép phântích trực giao của không gian L2(Ω, H) Sử dụng những ý tưởng giốngnhư trong phương pháp phức, chúng tôi giải quyết các bài toán kĩ thuậttrong dòng chảy chất lỏng

Cho Ω ⊂ R3 là một miền bị chặn với biên trơn từng khúc Γ Chúng

ta sẽ xét với một dòng chất lỏng với hệ số Reynolds thấp, tức là hệ sốhay thừa số quán tính của lực nhỏ hơn thừa số nhớt của tính nhớt trongchất lỏng

Bài toán dòng chảy chất lỏng được mô tả như sau:

là tích của khối lượng và vận tốc, ta còn gọi ν là độ nhớt động học, ρ làmật độ của chất lỏng, η = ρν được gọi là độ nhớt động lực học Thực ra,giữa hai chất lỏng chảy song song cùng hoặc ngược chiều thì có độ nhớt.Dưới một vật thể nguồn lực f nén lực p = p (t, x) thì vận tốc u = u (t, x)của dòng chảy chất lỏng được nghiên cứu Trên biên dữ liệu vận tốc gđược đưa ra, áp dụng định lý Gauss, chúng ta có

Trường hợp chất lỏng không nén được ổn định, tức là ∂tu = 0 được

xử lý bởi phương pháp phức trong tham khảo [6,7] Với g = 0, côngthức biểu diễn cho lời giải của phương trình thuần nhất (2.1) - (2.3) nhưsau

ut − η∆ut − ν∆u = f (x, u, ∇u)Bạn đọc tìm hiểu thêm về phương trình Galpern - Sobolev có thể thamkhảo trong [12]

Chúng tôi xem xét bài toán Stokes phụ thuộc thời gian cho trườnghợp của số Reynolds thấp trong miền bị chặn có biên trơn Bằng cách

rời rạc hóa các khoảng thời gian hữu hạn, đưa về dãy các bài toán Stokes

ở trạng thái dừng Những bài toán giá trị biên được giải quyết bằng lýthuyết giải tích hypercomplex dưới ngôn ngữ của phương pháp phức.Trong phần này chúng tôi giải quyết bài toán giá trị biên ban đầu đượcgọi là bài toán Galpern - Sobolev Sử dụng biến đổi Teodorescu và phépchiếu quaternion trong không gian Hielbert, chúng tôi có được nghiệmcủa bài toán biên Galpern - Sobolev.

Đại số Quaternion được nhà toán học Ireland W Hamilton đưa ra ýtưởng vào năm 1843 Xuất phát từ không gian vectơ R4, được đưa ramột luật nhân trong được định nghĩa có tính chất kết hợp nhưng không

có tính chất giao hoán

Xét không gian vectơ R4 trên trường số thực R Chúng ta chọn ramột cơ sở trực chuẩn {e0, e1, e2, e3} thỏa mãn

(i) e21 = e22 = e23 = −1,

(ii) e1e2 = −e2e1 = e3; e2e3 = −e3e2 = e1; e3e1 = −e1e3 = e2

Phần tử e0 được coi như là đơn vị thông thường, tức là e0 = 1 Khi đómỗi vectơ x ∈ R4 bất kỳ có thể được biểu diễn dưới dạng

xkek =: Vec (x) là đại lượng vectơ của x

Với x, y ∈ R4, ta nói rằng x = y nếu và chỉ nếu xk = yk, k = 0, 1, 2, 3

- Pompieu xem xét giải. .. sang giải tích quaternion

Trong mục nhắc lại lý thuyết sở giải tích quaternion vàxây dựng cơng thức tích phân Cauchy - Pompieu giải tích quater-nion, dẫn đến định nghĩa tốn tử tích phân. .. ngữ phương pháp phức .Trong phần giải toán giá trị biên ban đầu đượcgọi toán Galpern - Sobolev Sử dụng biến đổi Teodorescu phépchiếu quaternion khơng gian Hielbert, chúng tơi có nghiệmcủa toán biên