Bài toán xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số là một bài toán rất quen thuộc đối với học sinh lớp 12, nó có mặt trong hầu hết các kì thi: Tốt nghiệp, cao đẳng, đại học, trung
Trang 1Phần I Mở đầu
I Lí do chọn đề tài
Bài toán xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số là một bài toán rất quen thuộc đối với học sinh lớp 12, nó có mặt trong hầu hết các kì thi: Tốt nghiệp, cao đẳng, đại học, trung học chuyên nghiệp Vì vậy nó có một vị trí rất quan trọng trong chơng trình toán phổ thông Mặt khác do đối tợng học sinh đại trà nên việc dạy và học phần này cũng gặp nhiều khó khăn Bài tập trong sách giáo khoa còn ít và cha đa dạng Để việc dạy và học phần này chủ động hơn và
có hiệu quả hơn tôI viết đề tài này áp dụng cho học sinh đại trà
Việc giảI quyết bài toán xác định hàm số có tác dụng to lớn đối với học sinh:
- Thứ nhất: Thông qua bài toán xác định tính đồng biến và nghịch biến của hàm số giúp học sinh chủ động hơn trong cách phân tích, tìm lời giảI cho bài, học sinh thấy đợc mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn, qua đó giúp học sinh
có hứng thú học tập hơn, hiệu quả giờ dạy cao hơn
- Thứ hai: Việc giảI bài oán xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm
số giúp học sinh củng cố, đào sâu kiến thức rèn luyện tính linh hoạt, khả năng sáng tạo Khi giảI bài toán này học sinh phảI thờng xuyên phảI sử dụng kiến thức liên quan nh: GiảI phơng trình, biến đổi tơng đơng, các kiến thức về đạo hàm, tam thức bậc hai, xét chiều biến thiên, kĩ năng biến đổi…
- Thứ ba: Thông qua việc giảI bài toán xác địng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số giúp học sinh rèn luyện các thao tác t duy nh: Phân tích, tổng hợp, có khả năng đặc biệt hoá, kháI quát hoá bài toán Mặt khác còn rèn luyện cho học sih các phẩm chất trí tuệ nh: Tính cẩn thận, chặt chẽ, linh hoạt, nâng cao khả năng sáng tạomoix khi gặp một bài toán có thể suy nghĩ tìm tòi những lời giảI khác nhau, chọn ra cách giảI hay nhất
Tuy nhiên vấn đề xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số xen kẽ các vấn đề khác nên học sinh gặp khó khăn nh lúng túng khi tìm đờng lối giảI có khi vận dụng một cách máy móc dập khuân
Vì những lí do trên, tài liệu này hệ thống một số phơng pháp giảI bài toán xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số những sai lầm mà học sinh hay mắc phảI trong quá trình giảI bài toán
II Nhiệm vụ và mục đích nghiên cứu
Nhằm đè xuất phơng pháp giúp việc dạy và học nội dung bài toán xác địng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số đạt kết quả cao hơn
III Phơng pháp nghiên cứu
Nghiên cứu bằng lí luận dạy và học, nghiên cứu các sách giáo khoa, tài liệu tham khảo và các tài liệu có liên quan gắn liền với điều kiện thực tiễn, phơng pháp giảng dạy ở trờng THPT Sơn Thịnh
IV Cấu trúc kinh nghiệm
Chơng I Các kiến thức cơ bản
Chơng II Các dạng bài toán về tính đơn điệu
Phần II Nội dung kinh nghiệm.
Chơng I Các kiến thức cơ bản.
Trang 2I Định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến.
1 Định nghĩa
Giả sử hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) Ta nói:
- Hàm số y=f(x) đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) nếu x1; x2(a;b)
mà x1x2 f(x1) f(x2)
- Hàm số y=f(x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) nếu x1; x2
(a;b) mà x1x2 f(x1) f(x2)
Hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng gọi chung là hàm số đơn điệu trên khoảng đó
2 Điều kiện tơng đơng với định nghĩa
Giả sử x1; x2(a;b), x 1 x2
1 2
1 2
1 2
1
2 ( ) ( )
x x
x f x f x x
y y
- Hàm số y=f(x) đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) 0
x
y
trên khoảng (a;b)
- Hàm số y=f(x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) 0
x
y
trên khoảng (a;b)
Từ đó suy ra:
- Hàm số y=f(x) đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) f’(x)= lim 0
y
x
trên khoảng (a;b)
- Hàm số y=f(x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) f’(x)= lim 0
y
x
trên khoảng (a;b)
II Liên hệ giữa tính đơn điệu và đạo hàm của hàm số
1 Định lí 1:
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b)
a, Nếu f’(x)>0 x (a;b) thì y = f(x) đồng biến trên khoảng đó
b, Nếu f’(x)<0 x (a;b) thì y = f(x) nghịch biến trên khoảng đó
2 Định lí 2:
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b)
Nếu f’(x)0 ( hoặc f’(x)0 ) và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số điểm hữu hạn trên (a;b) thì y = f(x) đồng biến ( hoặc nghịch biến ) trên khoảng đó
3 Điểm tới hạn:
Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0 (a;b) Điểm x0
đ-ợc gọi là một điểm tới hạn của hàm số nếu tại đó f’(x) không sác định hoặc bằng 0
4 Quy tắc tìm tính đơn điệu của hàm số:
- Tìm khoảng đơn điệu của hàm số đợc thông qua bảng biến thiên
a, Tìm các khoảng giới hạn
b, Xác định dấu của đạo hàm trong các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn
Trang 3c, Suy ra chiều biến thiên của hàm số trong mỗi khoảng.
III Sự đồng biến, nghịch biến của một số hàm thông dụng
1 Hàm số bậc nhất:
y= ax+b (a 0)
- Tập xác định: R
y’ = a
a>0 y’ > 0 Hàm số luôn đồng biến
a<0 y’ < 0 Hàm số luôn nghịch biến
2 Hàm số bậc hai: y = ax2 bxc (a 0)
- Tập xác định: R
y’ = 2ax + b
y’ = 0
a
b x
2
+ Nếu a>0
x
a
b
2
y’ - 0 +
y
a
4
Hàm số đồng biến trên (
a
b
2
; ) và nghịch biến trên ( ;
a
b
2
+ Nếu a<0
x
a
b
2
y’ + 0
-y
a
4
Hàm số nghịch biến trên (
a
b
2
; ) và đồng biến trên ( ;
a
b
2
- Vẽ đồ thị:
a>0
Trang 46
4
2
-2
-4
-6
-8
-4a
- b 2a
a<0
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-4a
- b 2a
3 Hµm sè bËc ba: y = ax3bx2cxd (a 0)
Trang 5- Tập xác định: R
y’ = 3ax2 2bxc (a 0)
=
a ac b a b x a 3 3 3 3 2 2 =
a a b x a 3 3 3 2 + a, b2 3ac < 0 y’ cùng dấu với a Nếu a> 0 hàm số bậc ba luôn đồng biến Nếu a< 0 hàm số bậc ba luôn nghịch biến * Bảng biến thiên: a>0 x
y’ + +
y
a<0 x
y’
-y
* Đồ thị:
a>0
Trang 66
4
2
-2
-4
-6
a< 0
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
+ b, b2 3ac
= 0 y’ cùng dấu với a với
a
b x
3
Nếu a> 0 hàm số bậc ba luôn đồng biến trên khoảng
a
b
3
; và tiếp
tục đồng biến trên khoảng
3a
b
Trang 7
NÕu a< 0 hµm sè bËc ba lu«n nghÞch biÕn
a
b
3
; vµ tiÕp tôc nghÞch
3a
b
* §å thÞ:
a>0
8
6
4
2
-2
-4
-6
a< 0
Trang 8
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
+ c, b2 3ac > 0 y’ = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1; x2 (x 1 x2 )
a>0
x x1 x2
y’ + 0 - 0 +
y
f(x1)
f(x2)
a<0
x x1 x2
y’ 0 + 0
f(x2)
f(x1)
Trang 9* Đồ thị:
a>0
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
a<0
10
8
6
4
2
-2
-4
-6
4 Hàm số trùng phơng: y = ax4 bx2c (a 0)
- Tập xác định: R
y’ = 4ax3 2bx
= 2x2ax2 b
- Nếu b > 0 y’ = 0 có một nghiệm x = 0
a< 0 : Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;0) và nghịch biến trên khoảng ( 0 ; )
Trang 10a> 0 : Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;0) và đồng biến trên khoảng ( 0 ; )
* Bảng biến thiên:
a>0
x 0
y’ - 0 +
y
f(0)
a<0 x 0
y’ - 0 +
y
f(0)
* Đồ thị :
a>0
10
8
6
4
2
-2
-4
-6
a<0
Trang 114
2
-2
-4
-6
-8
+ b 0 y’ = 0 cã ba nghiÖm ph©n biÖt x = 0 ; x =
a
b
2
* B¶ng biÕn thiªn:
a>0 x
a b 2 0
a b 2
y’ - 0 + 0 - 0 +
y f(0)
f( a b 2 ) f( a b 2 )
a<0 x
a b 2 0
a b 2
y’ - 0 + 0 - 0 +
y f( a b 2 ) f( a b 2 )
f(0)
* §å thÞ:
a>0
Trang 12
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
a<0
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
Chơng ii Các dạng bài toán về tính đơn điệu của
hàm số
Bài toán 1
Cho hàm số y = f(x) Hãy tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
* Phơng pháp giải:
- TXĐ
- Tìm điểm tới hạn
- Lập bảng biến thiên
- Suy ra chiều biến thiên của hàm số
* Ví dụ 1: Xác định các khoảng đơn điệu của hàm số:
a, y = 2 – x - x2
b, y = x3 3x 4
c, y = 4 2 2 3
x
d, y =
x
x
e, y =
1
3
2
x
x
Giải:
b, y = x3 3x 4
Trang 13- TXĐ: R
- y’ = 3x2 3 > 0 , x R
Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; )
c, y = 4 2 2 3
x
- TXĐ: R
- y’ = 4x3 4x 4xx2 1
Y’ = 0
1 1 0
x x x
Bảng biến thiên:
x -1 0 1
y’ - 0 + 0 - 0 +
y
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; 1) và (0;1)
Hàm số đồng biến trên khoảng (-1;0) và (1; )
* Ví dụ2: Xác định các khoảng đơn điệu của hàm số:
a, y = e x- x
b, y = x lnx
Giải:
a TXĐ: R
y’ = e x- 1
y’ > 0 e x- 1 > 0 e x> 1 = e0 x > 0
y’ < 0 x < 0
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; 0)
Hàm số đồng biến trên khoảng (0; )
b, y = x lnx
TXĐ: *
R
y’ = lnx + x
x
1
= lnx + 1 y’ > 0 lnx > 1 = lne 1 x > e 1=
e
1
y’ < 0 lnx < 1 = lne 1 x < e 1=
e
1
Hàm số nghịch biến trên khoảng (
e
1
;
0 ) Hàm số đồng biến trên khoảng ( 1;
Bài toán 2:
Cho hàm số y = f(x) Có tập xác định R Tìm điều kiện để hàm số luôn luôn đồng biến
* Phơng pháp giải:
Trang 14- Tính y’.
- Hàm số luôn đồng biến y’ 0, x R
Bài toán trở thành “ Tìm điều kiện để y’ 0, x R”
+) Giả sử y’ = f’(x) = ax2 bxc (a 0)
Để hàm số đồng biến
0 0
a
+) Giả sử y’ = f’(x) = ax b (a 0)
Ta thấy: Hàm số có đạo hàm là một nhị thức bậc nhất hoặc có đạo hàm
đồng dấu với nhị thức bậc nhất thì hàm số không bao giờ đồng biến đợc +) Giả sử y’ = f’(x) = ax3bx2 cxd (a 0)
y’ = 0 Luôn có ít nhất một nghiệm thực, do đó hàm số tơng ứng không thể
đồng biến
* Chú ý: Dạng bài toán tìm điều kiện để hàm số y = f(x) luôn nghịch biến làm
tơng tự nh trên
* Ví dụ 1:
Chứng minh rằng hàm số sau đồng biến trên R
y = x + cosx
Giải:
TXĐ: R
y’ = 1 – sinx 0, x R Vì sinx 1 Hàm số luôn đồng biến trên R
* Ví dụ 2:
Cho hàm số y = 3 32 1 2 12 5 2
biến
Giải:
y’ = 3 2 62 1 12 5
’ = 92 12 312 5
m
= 36m2 36m9 36m 15
= 36 2 6 66 2 1
m
Để hàm số luôn đồng biến thì ta phải có:
y’ 0, x R ' 0
6
1 6
1 0
1
6 2
Vậy các giá trị của m cần tìm là
6
1 6
1
* Ví dụ 3:
Cho hàm số y =(m – 3)x – (2m + 1 )cosx Tìm m để hàm số luôn nghịch biến
Giải:
y’ = (m – 3) + (2m + 1)sinx
Để hàm số luôn đồng biến thì ta phải có:
y’ 0, x R m 3 2m 1sinx 0, x R
Đặt t = sinx với 1 t 1
Bài toán trở thành: Xác định m để:
g(t) = (m – 3) + (2m + 1).t 0, t 1 ; 1
0 1
0 1
g
0 1 2 3
0 1 2 3
m m
m m
0 2 3
0 4
m m
3
4
m
m
Trang 152
4
Vậy giá trị của m cần tìm là:
3
2
4
* Ví dụ 4:
Cho hàm số y = x3 2m 1x2 2m2 3m 2x 2m2m 1 Chứng minh rằng hàm số không thể luôn luôn đồng biến
Giải:
y’ = 3x2 22m 1x 2m2 3m 2
’ = 12 32 2 3 2
m
= 2 2 1 6 2 9 6
m
=7m2 m 1
Vì m2 m 1 0 , m 0 , m Do đó, y’ = 0 luôn coc hai nghiệm phân biệt,
m Suy ra đạo hàm không luôn luôn dơng Vậy hàm số không luôn luôn
đồng biến
* Bài toán 3:
Cho hàm số y = f(x;m), m là tham số
Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng ( ; )
* Phơng pháp giải:
y’ = f’(x;m)
Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; ) y' 0, x
+) Giả sử y’ = g(x) = ax2 bxc (a 0) Hoặc y’ luôn cùng dấu với g(x)
Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; )
0 0
a
2 0 0
S g
a
+) Giả sử y’ = g(x) = ax b (a 0) Hoặc y’ luôn cùng dấu với g(x)
Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; )
0 0
g
a
* Chú ý: Tơng tự cho hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; )
* Ví dụ 1: Xác định m để hàm số:
3
Giải:
y’ = 2 2 4 2 2 1
’ = 4 2 2 2 2 1
m
= 2 2 2 1
m m
= 2m 12 0
-) Nếu m = -1 ' 2 12 0
y x Hàm số luôn luôn đồng biến Hàm số đồng biến trong khoảng 1 ; Do đó, giá trị m = -1 là thích hợp
-) Nếu m -1 ' 0, y’ có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Giả sử x 1 x2
Ta có, y’ 0 , x x1;x2
Điều kiện để hàm số đồng biến trong khoảng 1 ; là:
1 2
0 1
' 0 '
S
1
0 1 6
2
m
m m
2 2
3
Vậy: m 3 2 2
Trang 16* Ví dụ 2: Xác định m để hàm số:
y = 2 3 3 ( 2 ) 2 6 1 3 6
Giải:
y’ = 6 2 6 ( 2 ) 6 1
m x m
y’ = 0 có hai nghiệm x = 1, x = m + 1
-) Nếu m = 0 y' 0 Hàm số luôn luôn đồng biến Hàm số đồng biến
5 ; Do đó, giá trị m = 0 thích hợp
-) Nếu m 0: y’ có hai nghiệm phan biệt x1; x2 Giả sử x 1 x2
Ta có, y’ 0 , x x1;x2
Điều kiện để hàm số đồng biến trong khoảng 5 ; là:
y’ 0 , x 5 x1x2 5 m 1 5 m 4
Vậy m 4 thoả mãn yêu cầu bài toán
* Ví dụ 3: Xác định m để hàm số:
y =
2
2 6
2
x
x mx
nghịch biến trong khoảng 1 ;
Giải:
TXĐ: R\ 2
2
) 2 (
14 4
x
mx mx
1 ,
0
' x
1 2 2
0 )
1 4 5
( 0
S m
1 2
5 14 0
m
m
m
5
14
* Bài toán 4:
Cho hàm số y = f(x;m), m là tham số
Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng ( ; )
* Phơng pháp giải:
y’ = f’(x;m)
Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; ) y' 0, x
+) Giả sử y’ = g(x) = ax2 bxc (a 0) Hoặc y’ luôn cùng dấu với g(x)
Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; )
0 0
a
2 0 0
S g
a
+) Giả sử y’ = g(x) = ax b (a 0) Hoặc y’ luôn cùng dấu với g(x)
Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; )
0 0
g
a
* Chú ý: Tơng tự cho hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; )
* Ví dụ 1: Xác định m để hàm số:
y = 3 32 1 2 12 5 2
Giải:
y’ = 3 2 6 ( 2 1 ) 12 5
’ = 9 ( 2 1 ) 2 312 5
m
= 36m2 36m 6 36m
= 66 2 1
m
Để hàm số đồng biến trên khoảng ; 1, thì y’ 0 , x 1
Trang 17
1 2
0 1
' 0 0 '
S y
1 1
2 2
0 14
24
0 6
0 1
6
2 2
m m m m
4 12 7 6 1
6 1
6 1 6
1
m m m m
m
6 1
6
1 12
7
6
1 6
1
m
m
m
12
7
m
Vậy
12
7
m
* Ví dụ 2: Xác định m để hàm số:
y =
m x
mx
4 nghịch biến trong khoảng ; 1
Giải:
TXĐ: R\ m
2
) (
4
m x
m
Để hàm số nghịch biến trên khoảng ; 1, thì y’ giảm trên khoảng ; 1
1
; 0 4
2
m m
1 2 2
m m
2 m 1
* Bài toán 5:
Cho hàm số y = f(x;m), m là tham số
Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng ( ; )
* Phơng pháp giải:
y’ = f’(x;m)
Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; ) y' 0, x
+) Giả sử y’ = g(x) = ax2 bxc (a 0) Hoặc y’ luôn cùng dấu với g(x)
Nếu a>0 thì
Hoặc 0 hoặc
2 0 0
S g
2
0 0
S
Nếu a>0 thì
0 0
g
+) Giả sử y’ = g(x) = ax b (a 0) Hoặc y’ luôn cùng dấu với g(x)
Ta cần có y’ 0 , x ;
0 0
g a
0 0
g a
0 0
g g
* Chú ý: Tơng tự cho hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; )
