Dạng toán sự ĐB và NB hàm số

CÁC DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ DẠNG TOÁN 1: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1... DẠNG TOÁN 2: TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN KHOẢNG 1.

CÁC DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

DẠNG TOÁN 1: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1 Phương pháp:

Sử dụng quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

B1: Tìm tập xác định B2: Tính y’

B3: Giải phương trình y , 0 để tìm nghiệm Tìm các điểm mà tại đó không tồn tại đạo hàm

B4: Lập bảng xét dấu của y hoặc lập bảng biến thiên ,

B5: Kết luận: y , 0 ĐB

, 0

y   NB

2 Ví dụ:

* Ví dụ 1: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:

a 1 3 2 2 4 5

3

y x  x  x b y x42x2 3

1

x y

x





2

5

y x





* Ví dụ 2: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:



2

1

y

x

1

x



Chú ý: Nhấn mạnh một số điểm sau đây

- Tính ,

y phải chính xác

- Yêu cầu học sinh hiểu rõ quy tắc xét dấu đối với một số hàm số:

+ Hàm số bậc nhất + Hàm số bậc hai

+ Hàm số có dạng: TS

MS

y  , với MS0 thì dấu của hàm số cùng dấu với dấu của TS + Một số thủ thuật nhỏ khi giải toán

DẠNG TOÁN 2: TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN KHOẢNG

1 Phương pháp:

Vận dụng các kiến thức:

 Hàm số đồng biến trên K  ,

0,

y   x K

 Hàm số nghịch biến trên K  y, 0, x K

 Kiến thức về dấu của tam thức bậc hai

Cho hàm số f x( )ax2bx c a ,  Khi đó: 0

( ) 0, 0

0

a

f x   x   

 



 ( ) 0, 0

0

a

f x   x   

 





 Một số kiến thức khác:

x D



x D



Chú ý:

- Khi giải toán có thể bỏ qua điều kiện “và chỉ bằng không tại một số hữu hạn điểm” trong phần mở rộng

của ĐL1

- Đối với hàm phân thức B1

B1

y  thì hàm số ĐB (hoặc NB)  y, (hoặc 0 y  ) , 0

- Để hàm số yax3bx2cxd có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) ( ;x x bằng h thì ta thực 1 2) hiện các bước như sau:

 Tính y '

 Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến (nghịch biến): 0 (1)

0

a 





 



 Biến đổi x1x2 h thành 2 2

1 2 1 2

(x x ) 4x x h (2)

 Sử dụng định lý Viet, đưa phương trình (2) thành PT theo m

 Giải phương trình tìm được m và so sánh với điều kiện (1) để kết luận

2 Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y x3mx2 3x đồng biến trên 1 

Giải

Ta có: y' 3x22mx 3

Hàm số đồng biến trên  y' 0, x 3x22mx 3 0, x 

  m  9 0m  3;3

Kết luận: m   3;3

Ví dụ 2: Tìm các giá trị của m để hàm số 1 3 2 (2 3) 1

3

y  x mx  m x nghịch biến trên tập xác định

Giải

TXĐ: 

Ta có: y'  x22mx2m 3

Hàm số nghịch biến trên TXĐ  y'0, x  x22mx2m 3 0, x 

' 2  

Kết luận: m   3;1

Ví dụ 3: Tìm điều kiện của m để hàm số y x m

x m





 nghịch biến trên trên tập xác định

Giải

TXĐ: D \ m

Ta có: ' 2 2

m y

x m





 Hàm số nghịch biến trên tập xác định '

Kết luận: m 0

Ví dụ 4: Tìm điều kiện của m để hàm số

2

2

y

x



 đồng biến trên từng miền xác định của chúng

Giải

TXĐ: D  \ 2 

Ta có:

2 '

2

( 2)

y

x



 Hàm số đồng biến trên từng miền xác định

2

2 2

( 2)

x

   ' 16 2(  m 6) 4 2m0m  2 Kết luận: m  2

Ví dụ 5: Tìm điều kiện của m để hàm số 1 3 ( 1) 2 4 5

3

y x  m x  x nghịch biến trên 1; 0

Giải

Ta có: ' 2

y x  m x

2

1;0

2

2

( )

2

f x

x



2 '

2

4

2

x

x



      Hàm số f(x) nghịch biến trên

 1;0 

7

2

f x f



Kết luận: 7

2

m  

Ví dụ 6: Tìm điều kiện của m để hàm số: 1 3  1 2  3 4

3

y  x  m x  m x đồng biến trên 0;3

Giải

Ta có: ' 2

y  x  m xm

(0;3) x 2(m1)xm 3 0, x [0;3]m(2x1)x 2x3, x [0;3]

2

[0;3]

x

2

( )

f x

x





Ta có:

2 '

2

(2 1)

x

 

12

7

f x f

Kết luận: 12

7

m 

Ví dụ 7: Tìm m để hàm số 1 3 ( 1) 2 3( 2) 1

3

y mx  m x  m x đồng biến trên [2; )

Giải

Ta có: y' mx22(m1)x3(m2)

Hàm số đồng biến trên [2; ) m x( 22x3) 2x6, x 2

2

[ 2; )

x

( )

x

f x



Ta có:

2 '

( )

f x



 

x

x

  

 



(loại)

Bảng biến thiên:

x 2 3 6 

' ( )

f x - 0 + ( )

f x

2

3 0

CT

Từ bảng biến thiên, ta có:

[2; )

2 max ( )

3

f x

Kết luận: 2

3

m 

Ví dụ 8: Tìm m để hàm số 2  

2x 1 m x 1 m y

x m



 đồng biến trên 1; 

Giải

TXĐ: \ m 

Ta có:

2

2x 4mx m 2m 1

y

x m

 



Hàm số đồng biến trên 1,  

2

2x 4mx m 2m 1 0, x (1; )

x m





(1) 1

0

m

x m







Ta có: g(x)  4(x  m)  4(x  1) > 0 x > 1  g(x) đồng biến trên [1, )

Do đó

2 1

Min ( ) 0

1

x

g x

m m

m













Kết luận: m  3 2 2

Ví dụ 9:

3 Bài tập về nhà

Bài 1: Tìm m để hàm số yx33x2(m1)x4m nghịch biến trên (-1; 1)

Bài 2: Tìm m để hàm số 1 3 2( 1) 2 ( 1)

3

y mx  m x  m xm đồng biến trong (; 0)[2; )

Bài 3: Tìm m để hàm số

2

1

y

x



 đồng biến trên (3; )

Bài 4: Tìm m để hàm số

2

y

x



 nghịch biến trên

1

; 2

 

Bài 5: Tìm m để hàm số 6 5 2 1 3 

1

y

x



 nghịch biến trên 1; 

Bài 6: Tìm m để hàm số 3  1 2 3 2 1

m

y x  m x  m x đồng biến trên 2; 

y m x m xm  m nghịch biến trên 

Bài 8: Tìm m để hàm số sin 1sin 2 1sin 3

ymx x x x đồng biến trên 