SKKN dùng PP hàm số để giải PT chứa căn

Trong đề thi chọn học sinh giỏi cấp THPT hàng năm, bài toán giải phương trình vô tỷ thường nằm ở câu 1 hoặc câu 2, có những phương trình khá dễ xác định nghiệm nếu dùng phương pháp hàm s

BẢN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

1 Tên Sáng kiến: "Dùng phương pháp Hàm số để giải phương trình chứa ẩn trong dấu căn"

2 Mô tả ý tưởng:

a) Hiện trạng và nguyên nhân của hiện trạng:

Tiến hành khảo sát thực tế ở đối với học sinh lớp 12 các năm học:

2012-2013, 2013-2014 của trường THPT Bình Minh

Kết quả: 70 % học sinh lớp 12 chưa biết các phương pháp giải phương trình vô tỷ; 74 % học sinh lớp 12 giải chưa đúng phương trình vô tỷ và 90% học sinh không biết giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp Hàm số

Trong đề thi chọn học sinh giỏi cấp THPT hàng năm, bài toán giải phương trình vô tỷ thường nằm ở câu 1 hoặc câu 2, có những phương trình khá

dễ xác định nghiệm nếu dùng phương pháp hàm số để giải tuy nhiên số học sinh lựa chọn phương pháp này rất ít

Trong các kỳ thi tuyển sinh đại học và Cao đẳng hàng năm, hầu hết cấu trúc đề có bài giải phương trình vô tỷ, bất phương trình vô tỷ nhưng học sinh lại

bỏ qua hoặc lời giải không đầy đủ, chính xác

Nguyên Nhân: Giáo viên chưa có sự hế thống hoá nhận dạng các phương trình vô tỷ, kỹ năng giải phương trình có chứa ẩn trong dấu căn còn yếu

Bài toán giải phương trình vô tỷ, bất phương trình vô tỷ thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, thi tuyển học sinh chuyên Toán, thi học sinh giỏi và rất nhiều năm được ra trong đề bài của kỳ thi tuyển sinh đại học

và cao đẳng Tuy nhiên, trên thực tế đa số học sinh chưa nắm được đặc trưng và phương pháp tối ưu để giải, do đó học sinh thường mắc phải sai lầm trong quá trình biến đổi hoặc chưa biết sử dụng phương pháp giải ngắn gọn, phù hợp

Đã có rất nhiều tài liệu đưa ra một số phương pháp giải phương trình vô

tỷ như: Chuyển một phương trình vô tỷ về hệ phương trình hữu tỷ (hệ tạm), chuyển một phương trình vô tỷ về phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương pháp đặt ẩn phụ, Nhằm nâng cao hiệu quả giáo dục bộ môn Toán ở trường trung học, đặc biệt là đào tạo học sinh mũi nhọn cấp THPT, học sinh tham gia thi tuyển sinh các khối A, B, D các trường Đại học, Cao đẳng, để giúp học sinh có cách nhận dạng dễ dàng hơn về cách giải phương trình vô tỷ, bất

phương trình vô tỷ trong bài viết này tôi đưa ra phương pháp "Dùng phương

pháp Hàm số để giải phương trình vô tỷ có chứa ẩn trong dấu căn".Qua đó

học sinh có thể rèn luyện được rất nhiều kiến thức toán học có liên quan

b) Ý tưởng:

Phấn đấu để dạy tốt các môn học nói chung và môn Toán nói riêng là nguyện vọng tha thiết của đội ngũ giáo viên Toán bậc THCS, THPT Như chúng

ta đã biết, Toán là khoa hoc suy diễn trừu tượng nhưng Toán học THPT lại mang tính trực quan, cụ thể bởi vì mục tiêu của môn toán ở trung học là hình

thành những biểu tượng toán học ban đầu và rèn luyện kĩ năng toán cho học sinh, tạo cơ sở phát triển tư duy và phương pháp cho học sinh sau này Một mặt khác toán học còn có tính thực tiễn Các kiến thức toán học đều bắt đầu từ cuộc sống Mỗi mô hình toán học là khái quát từ nhiều tình huống trong cuộc sống Dạy học toán học ở trung học là hoàn thiện những gì vốn có trong học sinh, cho học sinh làm và ghi lại một cách chính thức các kiến thức toán học bằng ngôn ngữ và các kí hiệu toán học Mỗi tiết học là dịp để học sinh hình thành những kiến thức và kĩ năng mới, vận dụng một cách sáng tạo nhất, thông minh nhất trong việc học toán trong cuộc sống sau này Chính vì vậy, người giáo viên cần biết phát huy tính tích cực, trí thông minh của học sinh thông qua giờ học toán

Xuất phát từ thực tế trên, để góp phần vào việc “ Phát triển tư duy khoa học” và “tăng cường ở các em ý thức, năng lực vận dụng một cách thông minh những điều đã học” cho học sinh trong giai đoạn hiện nay, và qua thực tiễn kiểm tra và giảng dạy học sinh ở trường THPT, công tác chỉ đạo chuyên môn ở cơ quan quản lý giáo dục, tôi nhận thấy việc hình thành những kiến thức và kĩ năng

mới trong "Dùng phương pháp Hàm số để giải phương trình vô có chứa ẩn

trong dấu căn", vận dụng một cách sáng tạo nhất, thông minh nhất trong việc

học toán trong cuộc sống cho học sinh là một nhiệm vụ hết sức quan trọng của

người giáo viên Trong phạm vi đề tài này, tôi xin được đưa ra kỹ thuật "Dùng

phương pháp Hàm số để giải phương trình vô có chứa ẩn trong dấu căn", để

giáo viên và học sinh tham khảo

3 Nội dung công việc.

Bước 1: Khảo sát thực tế:

Tôi đã tiến hành khảo sát thực tế ở đối với học sinh lớp 12 các năm học: 2012-2013, 2013-2014 của trường THPT Kim Bình

Kết quả: 70 % học sinh lớp 12 chưa biết các phương pháp giải phương trình vô tỷ; 74 % học sinh lớp 12 giải chưa đúng phương trình vô tỷ và 90% học sinh không biết giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp Hàm số

Trong đề thi chọn học sinh giỏi cấp THPT hàng năm, bài toán giải phương trình vô tỷ thường nằm ở câu 1 hoặc câu 2, có những phương trình khá

rễ xác định nghiệm nếu dùng phương pháp hàm số để giải tuy nhiên số học sinh lựa chọn phương pháp này rất ít

Trong các kỳ thi tuyển sinh đại học và Cao đẳng hàng năm, hầu hết cấu trúc đề có bài giải phương trình vô tỷ, bất phương trình vô tỷ nhưng học sinh lại

bỏ qua hoặc lời giải không đầy đủ, chính xác

Trao đổi với Lãnh đạo trường THPT

Bước 2: Cung cấp tài liệu cho nhóm chuyên môn tài liệu tham khảo về

giải phương trình vô tỷ

Hệ thống hóa các phương pháp giải phương trình vô tỷ trong đó có

phương pháp "Dùng phương pháp Hàm số để giải phương trình vô tỷ, bất

phương trình vô tỷ".

Đưa sáng kiến kinh nghiệm để triển khai thực hiện.

Bước 3: Trao đổi với Lãnh đạo nhà trường, nhóm chuyên môn về kết quả

triển khai sáng kiến

4 Triển khai thực hiện.

4.1 Nội dung sáng kiến:

Ta nhận thấy việc giải phương trình vô tỷ khá phức tạp, nhất là đối với các bài toán có chứa tham số Đứng trước bài toán này thì phương pháp đạo hàm

tỏ ra khá hiệu quả hơn các phương pháp khác Thực chất của phương pháp đạo hàm là sử dụng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (tính bằng đạo hàm) để giải và biện luận phương trình

Quy trình giải theo phương pháp đạo hàm:

- Chuyển phương trình về dạng f x( ) =g m( )

- Xét hàm số f(x) trên D (D là tập xác định của bài toán)

- Tính f’(x) và lập bảng biến thiên

- Dựa vào bảng biến thiên để xác định yêu cầu của bài toán

4.2 Cơ sở lý thuyết để giải và biện luận phương trình

a) Tính đơn điệu, cực trị hàm số, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm

số

a.1 y = f (x) đồng biến / (a, b) ⇔ ∀ <x1 x2 ∈(a b, ) ta có f x( )1 < f x( )2

a.2 y = f (x) nghịch biến / (a, b) ⇔ ∀ <x1 x2∈(a b, ) ta có f x( )1 > f x( )2

a.3 y = f (x) đồng biến / (a, b) ⇔ƒ′(x) ≥ 0 ∀x∈(a, b) đồng thời ƒ′(x) = 0 tại một

số hữu hạn điểm ∈ (a, b).

a.4 y = f (x) nghịch biến / (a, b) ⇔ ƒ′(x) ≤ 0 ∀x∈(a, b) đồng thời ƒ′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm ∈ (a, b).

a.5 Cực trị hàm số: Hàm số đạt cực trị tại điểm x x= k ⇔ f x′( ) đổi dấu tại điểm x k

a.6 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

b

x − ε x x + ε

x − ε x x + ε

•Giả sử y =ƒ(x) liên tục trên [a, b] đồng thời đạt cực trị tại x1, ,x n ∈(a b, ) Khi đó: [ ] ( ) { ( )1 ( ) ( ) ( )}

,

M in[ ], ( ) M in{ ( )1 , , ( )n , ( ) , ( )}

x a b f x f x f x f a f b

•Nếu y = f (x) đồng biến / [a, b] thì [ ] ( ) ( )

[ ] ( ) ( )

•Nếu y = f (x) nghịch biến / [a, b] thì [ ] ( ) ( )

x a b f x f b x a b f x f a

• Hàm bậc nhất f x( ) = α + βx trên đoạn [ ]a b; đạt giá trị lớn nhất, giá trị

nhỏ nhất tại các đầu mút a; b

b) Phương pháp hàm số biện luận phương trình, bất phương trình

b.1 Nghiệm của phương trình u(x) = v(x) là hoành độ giao điểm của đồ thị

( )

y u x= với đồ thị y v x= ( )

b.2 Nghiệm của bất phương trình u(x) ≥ v(x) là phần hoành độ tương ứng với

phần đồ thị y u x= ( ) nằm ở phía trên so với phần đồ thị y v x= ( )

b.3 Nghiệm của bất phương trình u(x) ≤ v(x) là phần hoành độ tương ứng với

phần đồ thị y u x= ( ) nằm ở phía dưới so với phần đồ thị y v x= ( )

b.4 Nghiệm của phương trình u(x) = m là hoành độ giao điểm của đường thẳng

y = m với đồ thị y u x= ( )

b.5 BPT u(x) ≥ m đúng ∀x∈I ⇔ Min I ( )

x u x m

b.6 BPT u(x) ≤ m đúng ∀x∈I ⇔ ( )

I

Max

b.7 BPT u(x) ≥ m có nghiệm x∈I ⇔ ( )

I

Max

b.8 BPT u(x) ≤ m có nghiệm x∈I ⇔ Minx∈I u x( ) ≤m

4.3 Ví dụ minh họa

* Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

2x2 − 2(m+ 4)x+ 5m+ 10 3 + − =x 0 (1)

a

v(x) u(x)

y = m

Hướng dẫn giải:

3

x

≥





2

3

2 1

2 5

x

m x

≥





⇔  − + =



Bây giở ta đi xét hàm số ( ) 2 2 1

2 5

f x

x

− +

− trên tập xác định D=[3;+∞)

Ta có:

2 '

2

( )

(2 5)

f x

x

=

−

' ( ) 0 2 2 10 8 0

4

x x

=



⇔  =



Ta có bảng biến thiên sau:

x - ∞ 3 4 + ∞

f’ - 0 +

f

4 + ∞

3

Từ bảng biến thiên ta thấy:

min ( ) (4) 3 lim ( )

x

f x f

f x

→+∞

= +∞

Vậy phương trình có nghiệm khi m≥ 3

* Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

2x2 − 4x− 2 3 2 + x x− 2 + − = 1 m 0 (2) Hướng dẫn giải:

Đặt t = 3 2 + x x− 2 = 4 ( − −x 1) 2 ⇒Điều kiện của t: 0 ≤ ≤t 2

(2) ⇔ − 6 2t2 − + − = 2t 1 m 0 (*)

⇔ 2t2 + = − 2t 7 m

Xét hàm số f t( ) 2 = t2 + 2t trên [0; 2] Ta có f t' ( ) 4 = + =t 2 2(2t+ 1)

Bài toán trở thành: tìm m để pương trình (*) có nghiệm ∈ [0; 2]

Ta thấy '

( ) 0 [0; 2]

f t > ∀ ∈t

Ta có bảng biến thiên sau:

t 0 2

f’(t) +

f(t) 12

0

Từ bảng biến thiên suy ra: [ ]

0;2 [0;2] min ( ) (0) 0 ax ( ) (2) 12 t t f t f m f t f ∈ ∈ = = = = Vậy phương trình có nghiệm khi 0 7 ≤ − ≤m 12 ⇔ − ≤ ≤ 5 m 7 Nhận xét cách giải: bài toán trên chưa thể áp dụng ngay phương pháp hàm số mà phải sử dụng phương pháp đổi biến số Khi đổi biến số cần lưu ý việc tìm điều kiện của ẩn phụ * Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x− x− = 5 m (3)

Hướng dẫn giải: Điều kiện: x≥ 5 Xét hàm số: f x( ) = x− x− 5 ( ) 5 0 5 f x x x ⇒ = > + + với ∀ ≥x 5 Ta có: ' 1 1 5 ( ) 2 2 5 2 5 x x f x x x x x − − = − = − − < 0 với ∀ >x 5 Lập bảng biến thiên: x 5 +∞

f’(x)

-f(x) 5

0

Từ bảng biến thiên suy ra: 5

ax ( ) (5) 5 lim ( ) 0

x

x

f x

≥

→∞





Vậy phương trình có nghiệm khi: 0 < ≤m 5

• Chú ý: Khi giải theo phương pháp đạo hàm cân lưu ý tính chất các điểm

tới hạn của hàm số chia miền xác định thành những khoảng ma trên đó hàm số đồng biến hoặc nghịch biến và quan trọng hơn hết là học sinh phải xét được dấu của f’(x) trên D Có nhiều bài toán việc tính nghiệm f’(x) =

0 khá khó khăn, vì vậy để xét dấu của f’(x) ta có thẻ dùng phương pháp đánh giá

• Một điều chú ý nữa là học sinh hay mắc phải sai lầm trong bài toán (như VD3) là từ bảng biến thiên học sinh lấy cả giá trị m = 0 mà ở đây 0 không phải là giá trị nhỏ nhất của hàm số mà là giá trị chặn dưới của tập giá trị

* Ví dụ 4: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau

x+ = 3 m x2 + 1 (4)

Hướng dẫn giải: (4) 2 3 1 x m x + ⇔ = + Hàm số xác định với ∀ ∈x ¡ 2 2 ' 2 2 2 2 ( 3) 1 1 3 2 1 ( ) 1 ( 1) 1 x x x x x f x x x x + + − − + = = + + + Ta có bảng biến thiên: x −∞ 1

3 +∞

f’(x) + 0

-f(x) 10

-1 1

Ta có: 2

2 3 3 lim f ( ) lim lim 1 1 1 1 x x x x x x x x x →−∞ →−∞ →−∞ + + = = = − + + 2

2

1

x

x

Đồ thị của hàm số có 2 tiệm cận ngang y = 1 và y = - 1

Ta có kết luận sau:

+ m≤ − 1 hoặc m> 10: Phương trình (4) vô nghiệm

+ − ≤ ≤ 1 m 1 hoặc m= 10 Phương trình (4) có 1 nghiệm

+ 1 ≤ ≤m 10 Phương trình (4) có 2 nghiệm

Chú ý: Trong quá trình biện luận bằng bảng biến thiên, cần kết hợp các tiệm cận của hàm số Trong ví dục 4, học sinh dễ mắc sai lầm m = - 1 phương trình có nghiệm

Tuy nhiên trong thực tế không phải lúc nào ta cũng chuyển được ngay phương trình về dạng f(x) = g(m), có những bài toán sẽ gặp phải khó khăn trong việc tính f’(x), tìm nghiệm f’(x) = 0, Chẳng hạn ta xét bài tập sau;

* Ví dụ 5 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm

x x+ x+ 12 =m( 5 − +x 4 −x) (5) Hướng dẫn giải: Điều kiện 0 ≤ ≤x 4

Nhận xét: Nếu ta biến đổi: (5) 12

x x x m

⇔ =

x x x

f x

=

− + − trên [0; 4] thì việc tính đạo hàm và xét dấu

của đạo hàm khá phức tạp, vì vậy ta biến đổi như sau:

Vì ( 5 − +x 4 −x)( 5 − −x 4 −x) 5 = − + + =x 4 x 1

Nên (5) ⇔ (x x+ x+ 12)( 5 − −x 4 −x) =m

Ta xét hàm số: f x( ) ( = x x+ x+ 12)( 5 − −x 4 −x) trên [0; 4]

Đặt h x( ) ( = x x+ x+ 12)

và g x( ) ( 5 = − −x 4 −x)

x

h x x

+ với ∀ ∈x (0; 4]

⇒ h(x) đồng biến và h(x) > 0 với ∀ ∈x [0;4]

2

g x

−

1( 5 4 ) 0

− − −

− − với ∀ ∈x (0; 4]

⇒ g(x) đồng biến và g(x) > 0 với ∀ ∈x [0; 4]

Vậy f(x) = h(x).g(x) đồng biến trên [0; 4] và có tập giá trị

f (0) ≤ f x( ) ≤ f(4)

⇔ 12( 5 − 4) ≤ f x( ) 12 ≤

Do đó để phương trình f(x) = m có nghiệm thì: 12( 5 − 4) ≤ ≤m 12

Vậy với 12( 5 − 4) ≤ ≤m 12 thì phương trình (5) có nghiệm

* Ví dụ 6: Tìm m để phương trình 3 x− + 1 m x+ = 1 2 4 x2 − 1 có nghiệm thực

Hướng dẫn giải: ĐK: x≥1, biến đổi phương trình

4

Đặt 4 1 41 2 [0,1)

x

u

= + = − + ∈

Khi đó g t( ) = − 3t2 + = 2t m

3

g t′ = − + = ⇔ =t t Do đó yêu cầu 1 1

3

m

⇔ − < ≤

* Ví dụ 7: (Đề TSĐH khối A, 2008) Tìm m để phương trình sau có

đúng hai nghiệm thực phân biệt: 4 2x + 2x +2 64 − +x 2 6− =x m

Hướng dẫn giải: Đặt f x( ) = 4 2x + 2x + 2 6 4 − +x 2 6 −x x ; ∈[ ]0; 6

Ta có: ( )

−

−

Đặt ( )

−

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

 > ∀ ∈



 < ∀ ∈



( ) 0, 0, 2 ( ) 0, 2, 6 (2) 0

f

′

 > ∀ ∈

 ′

⇒  < ∀ ∈

 ′ =



Nhìn BBT ta có PT có 2 nghiệm phân biệt ⇔ 2 6 2 6 + 4 ≤ <m 3 2 6 +

* Ví dụ 8: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau

x + x − ≤m x − x− (8)

t01+0–0– 1

x026+0–f(x)

4

2 6 2 6 +

Hướng dẫn giải: Điều kiện x≥ 1 Nhân cả hai vế BPT với ( )3

x + x− >

ta nhận được bất phương trình ( ) ( 3 2 )( )3

f x = x + x − x+ x− ≤m

g x =x + x − h x = x + x−

−

Do g x( ) > 0 và tăng ∀ ≥x 1; h x( ) > 0 và tăng nên f x( ) = g x h x( ) ( ) tăng ∀ ≥x 1 Khi đó bất phương trình f x( ) ≤m có nghiệm ( ) ( )

1

≥

* Ví dụ 9: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng ∀ ∈ −x [ 4, 6]

( 4 +x) ( 6 −x) ≤ x2 − 2x m+ (9) Hướng dẫn giải:

Cách 1 BPT (9)⇔ f x( ) = −x2 + 2x+ (4 +x) (6 − x) ≤m đúng ∀ ∈ −x [ 4, 6]

( )

x

Lập bảng biến thiên suy ra Max [ ] ( ) ( )

Cách 2 Đặt ( 4 ) ( 6 ) (4 ) (6 ) 5

2

Ta có t2 = −x2 + 2x+ 24 Khi đó bất phương trình trở thành

(10) ⇔ t ≤ − + +t2 m 24, ∀ ∈t [ ]0;5 ⇔ f t( ) =t2 + −t 24 ≤m t; ∀ ∈[ ]0;5 Ta có:

f t′ = + >t ⇒ f t( ) tăng nên f t( ) ≤ ∀ ∈m t; [ ]0;5 ⇔ [ ] ( ) ( )

0;5 max f t = f 5 = ≤ 6 m

* Ví dụ 10: Tìm m để để bất phương trình sau nghiệm đúng ∀ ∈ −x [ 3, 6]

3 + +x 6 − −x 18 3 + −x x2 ≤ m2 − +m 1 (10) Hướng dẫn giải: Đặt t = 3 + +x 6 − >x 0 ⇒

t = + +x −x = + + x −x

(10)⇒ 9 ≤ = +t2 9 2 3 ( +x) ( 6 −x) ≤ + + 9 ( 3 x) ( + 6 −x) = 18

2

3;3 2

9

′

3;3 2

4.4 Kết luận:

Khi giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp hàm số sẽ cho ta lời giải

dễ hiểu, ngắn gọn, từ đó giúp học sinh củng cố sâu về kiến thức sự biến thiên của hàm số

Khi sử dụng phương pháp hàm số học sinh cần phân biệt giữa giá trị lơn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số với các giá trị bị chặn trên, chặn dưới của tập giá trị

Chẳng hạn từ bảng biến thiên (Ví dụ 3):

x 5 +∞

f’(x)

-f(x) 5

0

Thì max ( )[5;+∞f x) = 5 Còn 0 không phải là giá trị nhỏ nhất của hàm số giá trị chặn

của tập giá trị Tuy nhiên phương pháp này chi áp dụng cho học sinh lớp 12

4.5 Bài tập luyện tập Giải các phương trình sau:

Bài 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

a) 1 2cos+ x+ 1 2s inx+ =m

b) x2 + + −x 1 x2 − + =x 1 m

Gợi ý cách giải:

a) Xét hàm số f x( ) = 1 2 cos + x+ 1 2s inx + trên TXĐ: 2 2 2

Tính đạo hàm và xét dấu đạo hàm ta được kết quả: 1 + 3 ≤ ≤m 2 1 + 2

b) Xét f x( ) = x2 + + −x 1 x2 − +x 1 có TXĐ ¡

Đáp sô: -1 < m < 1

Bài 2: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

x4 + 4x m+ + 4 x4 + 4x m+ = 6

Gợi ý cách giải:

Đặt t = 4 x4 +4x m+ ; Điều kiện: t ≥0 Thay vào phương trình đã cho ⇒ =t 2

4 x4 + 4x m+ = ⇔ 2 x4 + 4x= − 16 m

Xét hàm số: f x( ) =x4 + 4x

Lập bảng biến thiên ta có kết quả:

m > 19 Phương trình vô nghiệm

m = 19 Phương trình có 1 nghiệm