SKKN Giải bài toán đường đi trong dao động bằng tích phân

TÓM TẮT SÁNG KIẾN- Đề tài là phương pháp ứng dụng tích phân để tính đường đi của chất điểm dao động điều hòa.. Bạn đã khai thác kiến thức toán học để ứng dụng vào giải các bài toán vật l

PHẦN 1 MỞ ĐẦU

1 THÔNG TIN CHUNG

1.1 Tên sáng kiến: Tích phân – đường di

1.2 Lĩnh vực áp dụng: Giải bài tập vật lí lớp 12

1.3 Tác giả:

- Họ và tên: Nguyễn Quang Trường

- Ngày sinh: 13/10/1981

- Trình độ chuyên môn: Cử nhân vật lí

- Chức vụ, đơn vị công tác: Giáo viên Trường THPT Chí Linh

- Điện thoại: 0125.733.8668

1.4 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Đối tượng học sinh lớp 12 1.5 Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: năm học 2012 – 2013

2 TÓM TẮT SÁNG KIẾN

- Đề tài là phương pháp ứng dụng tích phân để tính đường đi của chất điểm dao động điều hòa

- Trong chuyển động biến đổi, quãng đường chất điểm đi được trong

khoảng thời gian t1t2 được xác định bởi tích phân:

t

t

s v(t).dt

2

1

=ò Được áp dụng cho chất điểm dao động điều hòa dưới dạng :

2

1

α

α

s=Aòsinα dα (với α=ωt+ và φ α1=ωt1+φ,α2 =ωt2+ ).φ

- Đề tài tập trung giải quyết bài toán tính tích phân

2

1

α

α

s=Aòsinα dα bằng cách đưa ra các bài tâp ví dụ từ đó khái quát thành phương pháp giải Cuối cùng là đáp án tổng quát của bài toán, học sinh có thể vận dụng trực tiếp (giải bằng máy tính casio) mà không phải thực hiện tính tích phân:

s=A( 1) (cπ c α ) A( 1) (cos m.π c α ) 2A(m n)- osn. - os + - - os + -

π

ë û;

2

α m

π

é ù

ê ú

=

ê ú

PHẦN 2 MÔ TẢ SÁNG KIẾN

1 MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI.

1.1 Lí do chọn đề tài.

Bạn là giáo viên vật lí? Bạn cũng là người yêu thich toán học? Bạn đã khai thác kiến thức toán học để ứng dụng vào giải các bài toán vật lí ở những bài toán cụ thể nào? Bạn đã thử chưa?

Tôi là một người yêu toán học Trong khi giải bài toán về tìm đường đi trong dao động điều hòa, tôi đã liên hệ và ứng dụng tích phân để giải quyết bài toán này với mong muốn mang lại một cách giải khác hiệu quả hơn

Bài toán tính đường đi trong dao động điều hòa có khá nhiều cách giải Năm học 2011 – 2012 tôi cũng tham gia viết sáng kiến kinh nghiệm (SKKN)

về vấn đề này, với đề tài “điểm ¼ trong chuyển động tròn đều” Thực tế các cách giải đó học sinh phải nhớ nhiều công thức, với nhiều trường hợp có thể xẩy ra

Việc ứng dụng tích phân để tính đường đi trong chuyển động biến đổi,

có vận tốc biến thiên theo thời gian, là một vấn đề không phải là mới với giáo viên vật lí Nhưng cụ thể, để tính đường đi trong một dao động điều hòa bằng tích phân là một vấn đề mà tôi và các bạn cần xem xét trong đề tài này và chắc chắn kết quả sẽ đem lại nhiều bất ngờ thú vị

1.2 Mục đích của đề tài.

Đề tài đươc xây dựng với mục đích đưa ra lời giải bài toán tính đường

đi trong dao động điều hòa dưới dạng một tích phân và hướng dẫn cách để tính tích phân đó Cuối cùng là đưa ra một công thức mà người không biết tính tích phân cũng có thể giải được bài toán này

1.3 Giới hạn, phạm vi nghiên cứu

Đề tài tập trung vào ý nghĩa của đạo hàm, tích phân trong toán học để thành lập công thức tính đường đi trong dao động điều hòa

Với yêu cầu là phải tính được tích phân, đề tài chủ yếu xoay quanh

phương pháp tính tích phân dạng

2

α

α

s=òsinα dα

2 NỘI DUNG

2.1 Kiến thức liên quan

2.1.1 Đường đi trong chuyển động thẳng biến đổi

Một chất điểm chuyển động thẳng, không đổi chiểu với vân tốc tức thời

là một hàm của thời gian v=v(t)

Quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian t1t2 được xác

định bởi tích phân:

t

t

s v(t).dt

2

1

=ò

2.1.2 Đường đi trong dao động điều hòa

- Phương trình chuyển động: x(t)=Ac (ωtos +φ) (với A,ω,φ là các hằng số)

- Trong dao động điều hòa chất điểm đổi chiều chuyển động tuần hoàn

 vận tốc v(t) đổi dấu tuần hoàn

- Mặt khác: v(t)=x '(t)ωAsin(ωt=- φ)+ (với A,ω,φ là các hằng số)

- Khi đó đường đi trong dao động điều hòa xác định bởi tích phân

2

1 2

1

t

t t

t

A A

ò ò

Đặt α=ωt+ đổi cực ta có φ α1=ωt1+φ,α2=ωt2+φ

Ta có

2

α

α

s=Aòsinα dα

Vậy, để xác định đường đi của chất điểm dao động điều hòa từ thời điểm

2

1

α

α

s=Aòsinα dα (1) (với α1=ωt1+φ,α2 =ωt2+ )φ

2.1.3 Một số trường hợp đặc biệt dễ dàng xác định được kết quả của tích phân (1) với α ,α cho trước:1 2

a

π 0

s=Aòsinα dα =A sin.dαò =-Ac α |os =-A(c π c 0)os - os =2A

b

2π π

s=Aòsinα dα =Aò- sin.dα =Ac α |os =A(cos2π c π)- os =2A

c

s=Aòsinα dα =Aòsin α dα +Aòsin α dα =2A +2A =4A

d

s=Aòsinα dα =Aòsin α dα +Aòsin α dα +Aòsin α dα

s =2A+2A+2A=6A

e Tổng quát: Tích phân (1) có dạng

mπ

nπ

s=Aòsinα dα (m,n là số nguyên).

Khi đó kết quả của tích phân là:

mπ

nπ

s=Aòsinα dα =2A(m n)- (2)

2.2 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

2

1

α

α

s=Aòsinα dα (1)

2.2.1 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình

π

6

60

Giải:

6 π 6

Ví dụ 2: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình

π

6

6

Giải:

π

5π π

6

+

Ví dụ 3: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình

π

6

60

Giải:

2π 2π

6

+

12 2 2 3 14 2 3 cm

Ví dụ 4: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình

π

6

64

60

Giải:

5π 2π

5π 10π

6

+

m

Ví dụ 5: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình

π

6

10

2

64

60

Giải:

2π 3π

π

6

2π 3π

π

6

+

+

+

+

Ví dụ 6: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình

π

6

= - Tính quãng đường vật đi được từ t1= đến0

2

5

60

Giải:

0

4π

6

2.2.2 Phương pháp tính tích phân

2

1

α

α

s=Aòsinα dα (1)

Bạn là người không biết tính tích phân, việc giải như các ví dụ trên là quá phức tạp với bạn Hãy yên tâm! Sau đây, tôi sẽ đưa ra công thức để tính tích phân này

Qua các ví dụ trên ta thấy:

- Khi tính tích phân

2

1

α

α

s=Aòsinα dα (1) vấn đề quan trọng là phải chia cực từ

1 2

- Khi α thuộc nửa trên đường tròn thì

Tích phân (1) được viết thành:

s=Aòsinα dα =Aòsin α dα +Aòsin α dα +Aòsin α dα

(với

m.π

n.π

Aòsinα dα =2A(m n)- theo (2) )

Mặt khác ta lại thấy:

 Với miền giá trị αÎ [α ;nπ1 ]: nếu n lẻ thì α thuộc nửa trên đường tròn

 sinα>0, nếu n chẵn sinα<0 Nên:

1

1

1

n.π

n.π

α n.π α

α

A sinα.dα

A sinα.dα

ìïï ïï ïï

=í ïï

ï -ïï ïî

ò ò

ò

sin α <0 sin α >0

nếu n lẻ nếu n chẵn

=(m-n) π

< π

< π

 ta có thể viết thành:

n 1

Aòsinα dα =A.( 1)- - òsin α.dα

 Với miền giá trị αÎ [mπ;α2]: nếu m chẵn thì α thuộc nửa trên đường tròn  sinα>0, nếu m lẻ sinα<0 Nên:

2

2

2

α α

mπ α mπ

mπ

A sinα.dα

A sinα.dα

ìïï ïï ïï

=í ïï

ï -ïï ïî

ò ò

ò



m

Aòsinα dα =A.( 1)- òsin α.dα

Ta có:

s=Aòsinα dα =A( 1)- - òsin α.dα +2A(m n) A( 1)- + - òsin α.dα

2 1

α

A( 1) (cπ c α ) 2A(m n) A( 1) ( 1)(c αosn os os cos m.π)

A( 1) (cπ c α ) 2A(m n) A( 1) (cos m.π c α )osn os os

-Tóm lại: Dao động điều hòa có phương trình x=Ac (ωtos +φ) Quãng

các bước sau:

π

ë û;

2

α m

π

é ù

ê ú

=

ê ú (m, n là số nguyên)

Bước 2: Tính quãng đường theo công thức

s=A( 1) (cπ c α ) A( 1) (cos m.π c α ) 2A(m n)- osn. - os + - - os + -

nếu m chẵn nếu m lẻ

2.3 BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1 Một con lắc lò xo dao động điều hòa với phương trình

12cos(50 )

2

x= t−π

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian ( )

12

t = π s

, kể từ thời điểm gốc (t=0) là:

Bài 2 Một con lắc lò xo dao động với phương trình 6cos(20 )

3

x= t +π cm.

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 13 ( )

60

t = π s

, kể từ lúc bắt đầu dao động là:

Bài 3 Một vật dao động điều hòa với phương trình 4cos( )

2

x= πt−π cm

Tính quãng đường vật đi được trong 2,25 giây đầu tiên

Đ/A: 16 2 2+

Bài 4 Một vật dao động với phương trình 4 2 cos(5 3 )

4

đường vật đi từ thời điểm 1

1 ( ) 10

t = s đến t2 = 6( )s là:

Bài 5 (CĐ 2007): Một vật nhỏ dao động điều hòa có biên độ A, chu kì dao

động T , ở thời điểm ban đầu to = 0 vật đang ở vị trí biên Quãng đường mà vật đi được từ thời điểm ban đầu đến thời điểm t = T/4 là:

Bài 6 Một vật dao động điều hòa với phương trình 2cos(10 )

3

x= πt−π cm

Tính quãng đường vật đi được trong 1,1 giây đầu tiên

Đ/A: 44cm

PHẦN 3 KẾT LUẬN

Với mỗi bài toán, có thể có nhiều cách giải khác nhau, có thể ẩn chứa những kiến thức liên quan không chỉ giới hạn trong phạm vi của môn học đó,

mà còn trong các kiến thức của môn học khác Đề tài này là một minh chứng cho điều đó

Với việc khai thác kiến thức toán học áp dụng vào vật lí, cụ thể là liên

hệ “tích phân – đường đi”, đã giúp ta đưa ra được một cách giải cho bài toán tìm đường đi trong dao động điều hòa với các bước giải khá gọn và dễ vận dụng so với các cách giải trước đó

Dù biết rằng toán học là công cụ để giải các bài toán vật lí phổ thông, nhưng thông thường công cụ này chỉ dừng lại ở mức sử dụng các kỹ năng tính toán Vì vậy, để thấy được vai trò to lớn của toán học trong vật lí, rất mong rằng sau này sẽ xuất hiện nhiều bài toán vật lí phổ thông có phương pháp giải dựa trên cơ sở toán học hơn nữa

Do kiến thức cá nhân còn nhiều hạn chế rất mong sự nhận xét, đóng góp ý kiến của các thầy (cô) cho đề tài này