cực trị hàm nhiều biến cuc_tri_ham_nhieu_bien

tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn toán cao cấp 1, toán cao cấp hai, tích phân vi phân ôn thi học sinh giỏi, luyện thi đại học, ôn thi vào lớp 10, ôn thi trường chuyên môn toán, sắc xuất thống kê, các môn học tài chính, kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ

CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

Email: ytkadai@hcmut.edu.vn

TP HCM — 2016

N ỘI DUNG

1 CỰC TRỊ TỰ DO

2 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN

3 G IÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT

N ỘI DUNG

1 CỰC TRỊ TỰ DO

2 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN

N ỘI DUNG

1 CỰC TRỊ TỰ DO

2 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN

3 G IÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT

Cực trị tự do Định nghĩa cực trị tự do

ĐỊNH NGHĨA 1.1

1 Hàm hai biến f (x, y) đạt cực đại tại điểm

(x0, y0) nếu như f (x, y) É f (x0, y0),với mọi

(x, y) nằm trong lân cận của (x0, y0). Giá trị

f (x0, y0) được gọi là giá trị cực đại

Hàm hai biến f (x, y) đạt cực tiểu tại điểm (x0, y0) nếu như f (x, y) Ê f (x0, y0),với mọi (x, y) nằm trong lân cận của (x0, y0). Giá trị

f (x0, y0) được gọi là giá trị cực tiểu

ĐỊNH NGHĨA 1.1

1 Hàm hai biến f (x, y) đạt cực đại tại điểm (x0, y0) nếu như f (x, y) É f (x0, y0),với mọi (x, y) nằm trong lân cận của (x0, y0). Giá trị

f (x0, y0) được gọi là giá trị cực đại

2 Hàm hai biến f (x, y) đạt cực tiểu tại điểm (x0, y0) nếu như f (x, y) Ê f (x0, y0),với mọi (x, y) nằm trong lân cận của (x0, y0). Giá trị

f (x0, y0) được gọi là giá trị cực tiểu

Đ IỀU KIỆN CẦN ĐỂ HÀM SỐz = f (x,y)CÓ CỰC TRỊ TỰ DO

ĐỊNH LÝ 1.1

Nếu hàm số z = f (x,y) có cực trị tại điểm

(x0, y0) và đạo hàm riêng cấp một của f tồn tại tại điểm (x0, y0) thì

(

f x0(x0, y0) = 0

Cực trị tự do Điều kiện cần để hàm số z = f (x,y) có cực trị tự do

C HỨNG MINH

Cực trị tự do Điều kiện cần để hàm số z = f (x,y) có cực trị tự do

C HỨNG MINH

g(x) = f (x,y0) É f (x0, y0),

g0(x0) = 0 ⇒ g0(x0) = f x0(x0, y0) = 0.

f y0(x0, y0) = 0■

C HỨNG MINH

g(x) = f (x,y0) É f (x0, y0),

g0(x0) = 0 ⇒ g0(x0) = f x0(x0, y0) = 0.

f y0(x0, y0) = 0■

Cực trị tự do Điều kiện cần để hàm số z = f (x,y) có cực trị tự do

Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA CỰC TRỊ

Chú ý. Nếu f x0(x0, y0) = 0 vàf y0(x0, y0) = 0 thì

phương trình mặt phẳng tiếp diện với mặt

cong z = f (x,y) tại điểm (x0, y0) là

z = f (x0, y0) = z0

cực trị: Mặt phẳng tiếp diện với mặt cong

z = f (x,y) tại điểm cực trị là mặt phẳng nằm

cực trị: Mặt phẳng tiếp diện với mặt cong

z = f (x,y) tại điểm cực trị là mặt phẳng nằm

A < 0 thì điểm P(x0, y0)là điểm cực đại

3 Nếu∆ < 0thì điểm P(x0, y0)KHÔNG là điểm cực trị

Cực trị tự do Điều kiện đủ để hàm số z = f (x,y) có cực trị

1 Nếu

½

∆ > 0

A > 0 thì điểmP(x0, y0)là điểm cực tiểu vì

d2f (x0, y0) = Adx2+ 2Bdxdy + Cdy2 là dạng toàn

phương xác định dương.

2 Nếu

½

∆ > 0

A < 0 thì điểmP(x0, y0)là điểm cực đại vì

d2f (x0, y0) = Adx2+ 2Bdxdy + Cdy2 là dạng toàn

Cực trị tự do Điều kiện đủ để hàm số z = f (x,y) có cực trị

1 Nếu

½

∆ > 0

A > 0 thì điểmP(x0, y0)là điểm cực tiểu vì

d2f (x0, y0) = Adx2+ 2Bdxdy + Cdy2 là dạng toàn

phương xác định dương.

2 Nếu

½

∆ > 0

A < 0 thì điểmP(x0, y0)là điểm cực đại vì

d2f (x0, y0) = Adx2+ 2Bdxdy + Cdy2 là dạng toàn

1 Nếu

½

∆ > 0

A > 0 thì điểmP(x0, y0)là điểm cực tiểu vì

d2f (x0, y0) = Adx2+ 2Bdxdy + Cdy2 là dạng toàn

phương xác định dương.

2 Nếu

½

∆ > 0

A < 0 thì điểmP(x0, y0)là điểm cực đại vì

d2f (x0, y0) = Adx2+ 2Bdxdy + Cdy2 là dạng toàn

Nếu∆ > 0,A < 0thì hàm đạt cực đại tại(x i , y i).

Nếu ∆ < 0thì hàm không đạt cực trị tại(x i , y i).

Nếu ∆ = 0thì ta phải xét bằng định nghĩa

∆f = f (x,y) − f (x i , y i)

B ƯỚC 3 KHẢO SÁT TẠI TỪNG ĐIỂM DỪNG

HÌNH: Cực trị tự do của hàm sốf (x, y) = x3+ 2y3− 3x2− 6y

VÍ DỤ 1.2

Cho hình hộp chữ nhật có diện tích toàn

phần bằng 12m2. Hãy tìm thể tích lớn nhất của hình hộp này.

Cực trị tự do Phương pháp tìm cực trị tự do

Gọi x, y, z(x, y, z > 0) lần lượt là chiều dài,

chiều rộng và chiều cao của hình hộp chữ

Gọi x, y, z(x, y, z > 0) lần lượt là chiều dài,

chiều rộng và chiều cao của hình hộp chữnhật Khi đó thể tích của hình hộp là

V = xyz, và diện tích toàn phần của hình hộpchữ nhật là

2, p 2).

Bước 2 Tìm các đạo hàm riêng cấp 2

Cực trị tự do Phương pháp tìm cực trị tự do

2, p 2),

A = V xx00( p

2, p 2) = −p2, B = V xy00( p

2, p 2) = −

p 2

2 ,

C = V yy00( p

2, p 2) = −p2,

Vậy V max= 2p2 khix =p2, y =p2, z =p2.

Bước 3 Khảo sát tại điểm dừng P1( p

2, p 2),

A = V xx00( p

2, p 2) = −p2, B = V xy00( p

2, p 2) = −

p 2

2 ,

C = V yy00( p

2, p 2) = −p2,

Vậy V max= 2p2 khix =p2, y =p2, z =p2.

Cực trị có điều kiện Đặt vấn đề

Trong những bài toán ứng dụng, chúng ta

thường gặp bài toán tìm cực trị của hàm

nhiều biến khi có thêm điều kiện ràng

buộc nào đó đối với biến số.

VÍ DỤ 2.1

Xác định hình chữ nhật có diện tích lớn nhất, biết hình chữ nhật đó có chu vi 2p.

Trong những bài toán ứng dụng, chúng tathường gặp bài toán tìm cực trị của hàm

nhiều biến khi có thêm điều kiện ràng

buộc nào đó đối với biến số.

VÍ DỤ 2.1

Xác định hình chữ nhật có diện tích lớn

nhất, biết hình chữ nhật đó có chu vi 2p.

Cực trị có điều kiện Đặt vấn đề

của hình chữ nhật Bài toán:

S(x, y) = xy → max

Thay

y = p − x vào S ta được hàm một biến

S(x) = x(p − x) với điều kiện 0 < x < p. Hàm số

2.

Như vậy, hình chữ nhật có diện tích lớn

nhất với chu vi cho trước là hình vuông.

Cực trị có điều kiện Đặt vấn đề

của hình chữ nhật Bài toán:

S(x, y) = xy → max

y = p − x vào S ta được hàm một biến

S(x) = x(p − x) với điều kiện 0 < x < p.

Hàm số

2.

Như vậy, hình chữ nhật có diện tích lớn

nhất với chu vi cho trước là hình vuông.

Cực trị có điều kiện Đặt vấn đề

của hình chữ nhật Bài toán:

S(x, y) = xy → max

y = p − x vào S ta được hàm một biến

S(x) = x(p − x) với điều kiện 0 < x < p. Hàm số

2.

Như vậy, hình chữ nhật có diện tích lớn

nhất với chu vi cho trước là hình vuông.

Gọi x, y lần lượt là chiều dài và chiều rộngcủa hình chữ nhật Bài toán:

S(x, y) = xy → max

y = p − x vào S ta được hàm một biến

S(x) = x(p − x) với điều kiện 0 < x < p. Hàm số

2.

Như vậy, hình chữ nhật có diện tích lớn

nhất với chu vi cho trước là hình vuông.

Cực trị có điều kiện Định nghĩa cực trị có điều kiện

1 Hàm f (x, y) đạt cực đại có điều kiệntại

như f (x, y) É f (x0, y0),với mọi (x, y) thỏa

ϕ(x,y) = 0, nằm trong lân cận của(x0, y0).

f (x0, y0) làgiá trị cực đại có điều kiện

2 Hàm f (x, y) đạt cực tiểu có điều kiệntại

như f (x, y) Ê f (x0, y0),với mọi (x, y) thỏa

ϕ(x,y) = 0, nằm trong lân cận của(x0, y0).

f (x0, y0) làgiá trị cực tiểu có điều kiện

1 Hàm f (x, y) đạt cực đại có điều kiệntại

như f (x, y) É f (x0, y0),với mọi (x, y) thỏa

ϕ(x,y) = 0, nằm trong lân cận của(x0, y0).

f (x0, y0) làgiá trị cực đại có điều kiện

2 Hàm f (x, y) đạt cực tiểu có điều kiệntại

như f (x, y) Ê f (x0, y0),với mọi (x, y) thỏa

ϕ(x,y) = 0, nằm trong lân cận của(x0, y0).

f (x0, y0) làgiá trị cực tiểu có điều kiện

Cực trị có điều kiện Định nghĩa cực trị có điều kiện

Hàm f (x, y) lúc này được gọi là hàm mục

tiêu

ràng buộc

Hàm f (x, y) lúc này được gọi là hàm mục tiêu.

ràng buộc

HÌNH: Cực trị củaz = f (x,y)thỏa điều kiệnϕ(x,y) = 0

Cực trị có điều kiện Điều kiện cần để hàm số z = f (x,y) có cực trị có điều kiện

Để tìm cực đại (hoặc cực tiểu) của hàm

f (x, y) thỏa điều kiệnϕ(x,y) = 0 chúng ta

cong ϕ(x,y) = 0.

Điều này xảy ra khi đường đẳng trị

f (x, y) = k và đường cong ϕ(x,y) = 0cócùng tiếp tuyến, vì nếu ngược lại giá trị k

có thể tăng lên (hoặc giảm xuống) nữa

Cực trị có điều kiện Điều kiện cần để hàm số z = f (x,y) có cực trị có điều kiện

Để tìm cực đại (hoặc cực tiểu) của hàm

f (x, y) thỏa điều kiệnϕ(x,y) = 0 chúng ta

cong ϕ(x,y) = 0.

Điều này xảy ra khi đường đẳng trị

f (x, y) = k và đường cong ϕ(x,y) = 0có

cùng tiếp tuyến,

có thể tăng lên (hoặc giảm xuống) nữa

Để tìm cực đại (hoặc cực tiểu) của hàm

f (x, y) thỏa điều kiệnϕ(x,y) = 0 chúng ta

cong ϕ(x,y) = 0.

Điều này xảy ra khi đường đẳng trị

f (x, y) = k và đường cong ϕ(x,y) = 0có

cùng tiếp tuyến, vì nếu ngược lại giá trị k

có thể tăng lên (hoặc giảm xuống) nữa

Cực trị có điều kiện Điều kiện cần để hàm số z = f (x,y) có cực trị có điều kiện

Điều này có nghĩa là đường vuông góc với

ϕ(x,y) = 0 tại điểm cực trị (x0, y0) phải cùng

phương với nhau

Cực trị có điều kiện Điều kiện cần để hàm số z = f (x,y) có cực trị có điều kiện

Điều này có nghĩa là đường vuông góc với

ϕ(x,y) = 0 tại điểm cực trị (x0, y0) phải cùng

phương với nhau Do đó,

Điều này có nghĩa là đường vuông góc với

ϕ(x,y) = 0 tại điểm cực trị (x0, y0) phải cùngphương với nhau Do đó,

Đ IỀU KIỆN CẦN ĐỂ HÀM SỐz = f (x,y) CÓ CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN

Cực trị có điều kiện Điều kiện đủ để hàm số z = f (x,y) có cực trị có điều kiện

ĐỊNH LÝ 2.2

Cho z = f (x,y) có cực trị có điều kiện với điều

kiện ϕ(x,y) = 0 tại P(x0, y0).Lập hàm

Lagrange L(x, y, λ) = f (x,y) + λ.ϕ(x,y).

1 Nếu d2L(x0, y0,λ0 ) > 0 thì P(x0, y0) là điểm cực tiểu có điều kiện.

2 Nếu d2L(x0, y0,λ0 ) < 0 thì P(x0, y0) là điểm cực đại có điều kiện.

3 Nếu d2L(x0, y0,λ0 ) không xác định dấu thì

P(x0, y0) không là điểm cực trị.

Cực trị có điều kiện Điều kiện đủ để hàm số z = f (x,y) có cực trị có điều kiện

ĐỊNH LÝ 2.2

Cho z = f (x,y) có cực trị có điều kiện với điều

kiện ϕ(x,y) = 0 tại P(x0, y0).Lập hàm

Lagrange L(x, y, λ) = f (x,y) + λ.ϕ(x,y).

1 Nếu d2L(x0, y0,λ0 ) > 0 thì P(x0, y0) là điểm

cực tiểu có điều kiện.

Nếu d L(x0, y0,λ0 ) < 0 thì P(x0, y0) là điểm cực đại có điều kiện.

3 Nếu d2L(x0, y0,λ0 ) không xác định dấu thì

P(x0, y0) không là điểm cực trị.

Cực trị có điều kiện Điều kiện đủ để hàm số z = f (x,y) có cực trị có điều kiện

ĐỊNH LÝ 2.2

Cho z = f (x,y) có cực trị có điều kiện với điều

kiện ϕ(x,y) = 0 tại P(x0, y0).Lập hàm

Lagrange L(x, y, λ) = f (x,y) + λ.ϕ(x,y).

1 Nếu d2L(x0, y0,λ0 ) > 0 thì P(x0, y0) là điểm

cực tiểu có điều kiện.

2 Nếu d2L(x0, y0,λ0 ) < 0 thì P(x0, y0) là điểm

cực đại có điều kiện.

3 Nếu d2L(x0, y0,λ0 ) không xác định dấu thì

P(x0, y0) không là điểm cực trị.

ĐỊNH LÝ 2.2

Cho z = f (x,y) có cực trị có điều kiện với điều

kiện ϕ(x,y) = 0 tại P(x0, y0).Lập hàm

Lagrange L(x, y, λ) = f (x,y) + λ.ϕ(x,y).

1 Nếu d2L(x0, y0,λ0 ) > 0 thì P(x0, y0) là điểm cực tiểu có điều kiện.

2 Nếu d2L(x0, y0,λ0 ) < 0 thì P(x0, y0) là điểm cực đại có điều kiện.

3 Nếu d2L(x0, y0,λ0 ) không xác định dấu thì

P(x , y ) không là điểm cực trị.

Cực trị có điều kiện Phương pháp Lagrange tìm cực trị có điều kiện

P HƯƠNG PHÁP L AGRANGE TÌM CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN

P HƯƠNG PHÁP L AGRANGE TÌM CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN

Cực trị có điều kiện Phương pháp Lagrange tìm cực trị có điều kiện

Cực trị có điều kiện Phương pháp Lagrange tìm cực trị có điều kiện

Cực trị có điều kiện Phương pháp Lagrange tìm cực trị có điều kiện

Cực trị có điều kiện Phương pháp Lagrange tìm cực trị có điều kiện

dụng điều kiện

ϕ(x,y) = 0 ⇒ dϕ(x,y) = 0 ⇒ dϕ(x i , y i) = 0

⇔ ϕ0x (x i , y i )dx + ϕ0y (x i , y i )dy = 0

dy2.

Trong bài toán cực trị có điều kiện

dx2+ dy2> 0

Để khảo sát d2L(x i , y i,λ i) đôi khi ta cần sửdụng điều kiện

ϕ(x,y) = 0 ⇒ dϕ(x,y) = 0 ⇒ dϕ(x i , y i) = 0

⇔ ϕ0x (x i , y i )dx + ϕ0y (x i , y i )dy = 0

dy2.

Trong bài toán cực trị có điều kiện

dx2+ dy2> 0

Cực trị có điều kiện Phương pháp Lagrange tìm cực trị có điều kiện

+ y2− 1 = 0 (3)

và P3(1, 0), P4(−1,0) ứng với λ = −1.

Cực trị có điều kiện Phương pháp Lagrange tìm cực trị có điều kiện

Cực trị có điều kiện Phương pháp Lagrange tìm cực trị có điều kiện

Cực trị có điều kiện Phương pháp Lagrange tìm cực trị có điều kiện

Cực trị có điều kiện Phương pháp Lagrange tìm cực trị có điều kiện

Cực trị có điều kiện Phương pháp Lagrange tìm cực trị có điều kiện

Cực trị có điều kiện Phương pháp Lagrange tìm cực trị có điều kiện

Cực trị có điều kiện Phương pháp Lagrange tìm cực trị có điều kiện

HÌNH: Đường đẳng trị của hàmf (x, y) = x2+ 2y2với điều kiệnx2+ y2= 1.

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Định nghĩa tập đóng, tập mở

ĐỊNH NGHĨA 3.1

cho mọi hình tròn với tâm (a, b) đều chứa

ĐỊNH NGHĨA 3.1

cho mọi hình tròn với tâm (a, b) đều chứa

những điểm biên của nó, ở đây những điểm

biên là những điểm nằm trên đường tròn

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

P HƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT

Để tìm GTLN, GTNN của hàmf (x, y)trên miềnDta

thực hiện các bước sau:

1 Tìm cực trị tự do trongD(loại những điểm không

thuộc miền trong củaD) Tính giá trị của hàm

f (x, y)tại những điểm này.

Tìm cực trị có điều kiện của hàmf (x, y)trên biên của miềnD.Tính giá trị của hàmf (x, y)tại những điểm cực trị này.

3 So sánh giá trị của hàmf tại những điểm cực trị

tự do và cực trị có điều kiện để xác định GTLN, GTNN.

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

P HƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT

Để tìm GTLN, GTNN của hàmf (x, y)trên miềnDta

thực hiện các bước sau:

1 Tìm cực trị tự do trongD(loại những điểm không

thuộc miền trong củaD) Tính giá trị của hàm

f (x, y)tại những điểm này.

2 Tìm cực trị có điều kiện của hàmf (x, y)trên biên

của miềnD.Tính giá trị của hàmf (x, y)tại những

điểm cực trị này.

3 So sánh giá trị của hàmf tại những điểm cực trị

tự do và cực trị có điều kiện để xác định GTLN, GTNN.

f (x, y)tại những điểm này.

2 Tìm cực trị có điều kiện của hàmf (x, y)trên biên của miềnD.Tính giá trị của hàmf (x, y)tại những điểm cực trị này.

3 So sánh giá trị của hàmf tại những điểm cực trị

tự do và cực trị có điều kiện để xác định GTLN, GTNN.

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

HÌNH: MiềnD = {(x,y) ∈ R2: 0 É x É 3,0 É y É 2}.

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

nên h(y) = f (3,y) = 9 − 4y,0 É y É 2.GTLN và

h(0) = f (3,0) = 9, h(2) = f (3,2) = 1.

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

nên h(y) = f (3,y) = 9 − 4y,0 É y É 2.GTLN và

h(0) = f (3,0) = 9, h(2) = f (3,2) = 1.

Tìm điểm dừng trên biên của D, gồm bốn

nên h(y) = f (3,y) = 9 − 4y,0 É y É 2.GTLN và

h(0) = f (3,0) = 9, h(2) = f (3,2) = 1.

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

nên `(y) = f (0,y) = 2y,0 É y É 2. GTLN và

`(2) = f (0,2) = 4, `(0) = f (0,0) = 0.

So sánh tất cả những giá trị, ta được GTLN

là f (3, 0) = 9, GTNN là f (0, 0) = f (2,2) = 0.

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

nên `(y) = f (0,y) = 2y,0 É y É 2. GTLN và

`(2) = f (0,2) = 4, `(0) = f (0,0) = 0.

So sánh tất cả những giá trị, ta được GTLN

là f (3, 0) = 9, GTNN là f (0, 0) = f (2,2) = 0.

nên `(y) = f (0,y) = 2y,0 É y É 2. GTLN và

`(2) = f (0,2) = 4, `(0) = f (0,0) = 0.

So sánh tất cả những giá trị, ta được GTLN

là f (3, 0) = 9, GTNN là f (0, 0) = f (2,2) = 0.

HÌNH: GTLN, GTNN của hàmz = f (x,y) = x2− 2xy + 2ytrên miềnD.

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Tìm điểm dừng trên biên của D, có nghĩa là

CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý THEO DÕI