Tìm các điểm dừng trong miền D, tính giá trị của hàm số tại các điểm đó Bước 2.. Tìm các điểm tới hạn trên biên L của miền D, tính giá trị tại các điểm đó.. Nếu biên không trơn tính giá
Trang 1Cực trị của hàm nhiều biến
Để tìm cực trị của hàm 2 biến z = f (x, y) trong miền D ta thực hiện các bước như sau
Bước 1 Giải hệ sau để tìm các điểm tới hạn:
(
fx0 = 0
fy0 = 0 → M0(x0, y0)
Bước 2 Tính các đạo hàm riêng cấp 2 và ∆
A = fx002, B = fxy00 , C = fy002, ∆ = B2− AC
Bước 3 Xét tại điểm M0
• Nếu ∆ < 0 và A > 0 thì (x0, y0) là cực tiểu
• Nếu ∆ < 0 và A < 0 thì (x0, y0) là cực đại
• Nếu ∆ = 0 thì chưa thể kết luận được và phải xét bằng phương pháp khác
• Nếu ∆ > 0 thì (x0, y0) không là cực trị
Ví dụ 1 Tìm cực trị của hàm
f (x, y) = xy +50
x +
20 y
Tìm điểm dừng
fx0 = y −50
x2 = 0
fy0 = x − 20
y2 = 0 Giải hệ ta được điểm dừng là
M (5, 2) Tính các đạo hàm riêng cấp 2
A = fx002 = 100
x3 , B = fxy00 = 1, C = fy002 = 40
y3
∆ = B2− AC = 1 − 4000
x3y3
Tại M (5, 2) thì ∆ = −3, A = 4
5 suy ra M (5, 2) là điểm cực tiểu và giá trị cực tiểu
f (5, 2) = 30
Trang 2Ví dụ 2 Tìm cực trị của hàm số
f (x, y) = x3+ 3xy2− 30x − 18y
Tìm các điểm dừng của hàm số này
(
fx0 = 3x2+ 3y2− 30 = 0
fy0 = 6xy − 18 = 0 ⇒
(
x2+ y2= 10
xy = 3
Giải hệ ta được 4 điểm dừng:
M1(3, 1), M2(1, 3), M3(−3, −1), M4(−1, −3),
Ta có:
A = fx002 = 6x, B = fxy00 = 6y, C = fy002 = 6x
∆ = B2− AC = 36(y2− x2)
• Tại M1, ∆ = −288 < 0, A = 18 > 0 nên M1 là điểm cực tiểu f (M1) = −72
• Tại M2, ∆ = 288 > 0 nên M2 không là cực trị
• Tại M3, ∆ = −288 < 0, A = −18 < 0 nên M3 là điểm cực đại f (M3) = 72
• Tại M4, ∆ = 288 > 0 nên M4 không là cực trị
Bài toán tìm cực trị của hàm z = f (x, y) thỏa mãn ràng buộc ϕ(x, y) = 0 Ta giải theo trình tự sau:
Bước 1 Lập hàm Largrăng (λ là hằng số thỏa mãn hệ ở bước 2)
F (x, y, λ) = f (x, y) + λϕ(x, y)
Bước 2 Giải hệ phương trình:
Fx0(x, y, λ) = 0
Fy0(x, y, λ) = 0
ϕ(x, y) = 0
⇔
fx0(x, y) + λϕ0x(x, y) = 0
fy0(x, y) + λϕ0y(x, y) = 0 ϕ(x, y) = 0
→ M0= (x0, y0, λ0)
Bước 3 Tính d2F
d2F = ∂
2F
∂x2dx2+ 2∂
2F
∂x∂ydxdy +
∂2F
∂y2dy2
Bước 4 Xét dấu của d2F
• Nếu d2F (M0) > 0 thì (x0, y0) là điểm cực tiểu có điều kiện
• Nếu d2F (M0) < 0 thì (x0, y0) là điểm cực đại có điều kiện
• Nếu d2F (M0) = 0 thì còn phải xét thêm
Điều lưu ý ở đây các vi phân dx, dy không đồng thời bằng 0 và thỏa mãn hệ thức
dϕ(x0, y0) = ϕ0x(x0, y0)dx + ϕ0y(x0, y0)dy = 0
Trang 3Ví dụ 3 Tìm cực trị của hàm
f (x, y) = x2+ y2− 2x − 2y
với điều kiện
x2+ y2− 2 = 0 Lập hàm Lagrănge
F (x, y, λ) = x2+ y2− 2x − 2y + λ(x2+ y2− 2)
Giải hệ
Fx0(x, y, λ) = 0
Fy0(x, y, λ) = 0
x2+ y2− 2 = 0
⇔
x − 1 + λx = 0
y − 1 + λy = 0
x2+ y2− 2 = 0
Ta được nghiệm
M1(1, 1, 0), M2(−1, −1, −2)
∂2F
∂x2 = 2 + 2λ, ∂
2F
∂x∂y = 0,
∂2F
∂y2 = 2 + 2λ Tính vi phân cấp hai của hàm F
d2F = ∂
2F
∂x2dx2+ 2∂
2F
∂x∂ydxdy +
∂2F
∂y2dy2 = (2 + 2λ)(dx2+ dy2)
• Tại M1(1, 1, 0) ta có d2F (M1) = 2(dx2+ dy2) > 0 Suy ra (1, 1) là điểm cực tiểu có điều kiện
• Tại M2(−1, −1, −2) ta có d2F (M2) = −2(dx2 + dy2) < 0 Suy ra (−1, −1) là điểm cực đại có điều kiện
Ví dụ 4 Tìm cực trị của hàm
f (x, y) = x2+ 4xy + y2
Với điều kiện
x + y = 2 Lập hàm Lagrănge
F (x, y, λ) = x2+ 4xy + y2+ λ(x + y − 2) Giải hệ
Fx0(x, y, λ) = 0
Fy0(x, y, λ) = 0
x + y − 2 = 0
⇔
2x + 4y + λ = 0 2y + 4x + λ = 0
x + y − 2 = 0
Ta được nghiệm
M (1, 1, −6)
∂2F
∂x2 = 2, ∂
2F
∂x∂y = 4,
∂2F
∂y2 = 2 Tính vi phân cấp hai của hàm F
d2F = ∂
2F
∂x2dx2+ 2 ∂
2F
∂x∂ydxdy +
∂2F
∂y2dy2 = 2dx2+ 8dxdy + 2dy2
Trang 4Tại điểm M (1, 1, −6) vi phân cấp 2 của hàm F
d2F (M ) = 2dx2+ 8dxdy + 2dy2 Đến đây ta chưa thể xác định được dấu của d2F (M ) Tuy nhiên ta chú ý rằng từ điều kiện
x + y − 2 = 0 ⇒ d(x + y − 2) = 0 ⇐⇒ dx + dy = 0 ⇐⇒ dx = −dy
Khi đó
d2F (M ) = 2dx2− 8dx2+ 2dx2= −4dx2 < 0 Vậy điểm (1, 1) là điểm cực đại có điều kiện f (1, 1) = 6
đóng bị chặn
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm liên tục z = f (x, y) trên miền đóng
và bị chặn D với biên L
Bước 1 Tìm các điểm dừng trong miền D, tính giá trị của hàm số tại các điểm đó Bước 2 Tìm các điểm tới hạn trên biên L của miền D, tính giá trị tại các điểm đó Bước 3 Nếu biên không trơn tính giá trị cuả hàm số tại điểm giao cuả các phần biên Bước 4 So sánh các giá trị ở trên ta suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
Ví dụ 5 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
f (x, y) = x2− y2 trong miền
D = {x2+ y2 ≤ 4}
• Tìm điểm dừng trong miền D Giải hệ:
(
fx0 = 0
fy0 = 0 ⇐⇒
( 2x = 0 2y = 0
Điểm dừng M1(0, 0) và f (M1) = 0
• Tìm các điểm dừng có điều kiện x2+ y2 = 4
F (x, y, λ) = x2− y2+ λ(x2+ y2− 4) Giải hệ
Fx0(x, y, λ) = 0
Fy0(x, y, λ) = 0
x2+ y2− 4 = 0
⇔
2x + 2λx = 0
−2y + 2λy = 0
x2+ y2− 4 = 0 được các nghiệm
N1(0, 2, 1), N2(0, −2, 1), N3(2, 0, −1), N4(−2, 0, −1)
Do đó ta được 4 điểm dừng có điều kiện
M2(0, 2), M3(0, −2), M4(2, 0), M5(−2, 0) Và
f (M2) = f (M2) = −4, f (M4) = f (M5) = 4
Trang 5• Giá trị lớn nhất trên D là 4 đạt tại M4, M5
Giá trị nhỏ nhất trên D là -4 đạt tại M2, M3
Ví dụ 6 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
f (x, y) = x2+ y2− 2x − y
trong miền
D = {x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 2}
• Giải hệ:
(
fx0 = 0
fy0 = 0 ⇐⇒
( 2x − 2 = 0 2y − 1 = 0
Điểm dừng là (1,1
2) ⇒ f (1,
1
2) = −
5 4
• Tìm điểm tới hạn trên biên
+ Khi y = 0, 0 < x < 2, ta có f (x, 0) = x2− 2x, điểm dừng (1, 0), f (1, 0) = −1
+ Khi x = 0, 0 < y < 2, ta có f (0, y) = y2− y, điểm dừng (0,1
2), f (0,
1
2) =
−1 4 + Khi x + y = 2 ⇔ y = 2 − x, 0 < x < 2, ta có f (x, 2 − x) = 2x2− 5x + 2, điểm dừng là (5
4,
3
4), f (
5
4,
3
4) =
−9 8
• Giao của các phần biên (0, 0); (0, 2); (2, 0) Khi đó
f (0, 0) = 0; f (0, 2) = 2; f (2, 0) = 0
• Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2 đạt tại (0, 2)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng −5
4 đạt tại (1,
1
2)
1 z = 4x − x3− xy2
2 z = x2+ y2− 6x + 8y
3 z = x4− 4x2− 4y2+ y4+ 8xy
4 z = x3+ y3− 3xy
5 z = 2x4+ y4− 4x2− 4y
6 z = xy + 50
x +
20
y , (x > 0, y > 0)
7 z = x2+ xy + y2− 4 ln x − 10 ln y
8 z = x + y − xey
9 z = e2x(x + y2+ 2y)
10 z = xy −1
3(x
3+ y3)
Trang 64.2 Tìm cực trị có điều kiện
1 z = x2+ 12xy + 2y2 nếu 4x2+ y2 = 25
2 z = x
a+
y
b nếu x
2+ y2 = 1
3 z = x2+ y2 nếu x
a +
y
b = 1
4 z = xy nếu x
2
8 +
y2
2 = 1
1 z = x2− xy + y2 trên miền D = {|x| + |y| ≤ 1}
2 z = 2(x2+ y2) + (x − 1)2+ (y − 1)2 trên miền OAB, O(0; 0), A(1; 0), B(0; 1)
3 z = x2+ y2− 6x + 8y trên miền D = {x2+ y2 ≤ 1}
4 z = x2− y2 trên miền D = {x2+ y2 ≤ 2}
5 z = x2+ y2− 2x − y trên miền D = {x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 2}