Biểu diễn dao động tử của đại số SU(3)

Nhóm Lie càng trở thànhcông cụ chủ yếu của Vật lí lí thuyết hiện đại như giải tích phức, phương trình vi phân riêng, lí thuyết nhóm vô hạn,… Đại số Lie xuất hiện đã lâu song gần đây do đ

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, bằng tấm lòng biết ơn sâu sắc, em xin chân thành cảm ơn

thầy giáo GS TSKH Đào Vọng Đức – người đã hướng dẫn và chỉ bảo tận

tình cho em trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận

Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô trong khoa Vật Lí –Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện tốt nhất để giúp em hoàn thành khóa luận

Cuối cùng, em xin được gửi lời cảm ơn tới tất cả bạn bè, những người

đã giúp đỡ, động viên em trong suốt quá trình nghiên cứu để hoàn thiện khóaluận này

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Hường

1

LỜI CAM ĐOAN

Trong quá trình nghiên cứu khóa luận: “Biểu diễn dao động tử của đại

số SU(3)” em đã thực sự cố gắng tìm hiểu, học tập và nghiên cứu đề tài để

hoàn thành khóa luận Em xin cam đoan khóa luận này không trùng lặp vớicác đề tài khác, được hoàn thành là do nỗ lực của bản thân em cùng với sự

hướng dẫn chỉ bảo tận tình của GS TSKH Đào Vọng Đức.

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Hường

2

LỜI CẢM ƠN

LỜI CAM ĐOAN

MỞ ĐẦU

MỤC LỤC

1 Lý do chọn đề tài

2 Mục đích nghiên cứu

3 Đối tượng nghiên cứu

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

5 Phương pháp nghiên cứu

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG TỬ 1.1 Dao động tử điều hòa

1.1 Biểu diễn dao động tử của các vi tử SU(2)

1.2 Thống kê của dao động tử điều hòa

CHƯƠNG 2: BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TỬ CỦA ĐAI SỐ SU(3) 2.1 Đại số SU(3)

2.2 Biểu diễn dao động tử của đại số

SU(3)

CHƯƠNG 3: SỰ GẦN ĐÚNG CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG SU(3) 3.1 Đa tuyến của nhóm SU(3)

3.2 Hệ thức khối lượng của các hạt

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu Vật lí vi mô nói chung và líthuyết hạt cơ bản nói riêng đã tạo nên cơ sở của thế giới quan Vật lí để lý giảibản chất của các hạt vi mô về mặt cấu trúc và các tính chất của chúng Cùngvới sự phát triển của lịch sử loài người, Vật lí học cũng đã trải qua nhiều giaiđoạn phát triển và đạt được nhiều thành tựu quan trọng Ngày nay, Vật lí họchiện đại với khuynh hướng thâm nhập sâu vào cấu trúc vi mô của vật chất,người ta thấy rằng ngoài các quy luật tìm được trong Vật lí cổ điển ở đây cònxuất hiện các quy luật mới

Nghiên cứu Vật lí hạt cơ bản cho phép hiểu được những nguyên lí cơbản của tự nhiên cũng như sự hình thành và phát triển của vũ trụ Hạt cơ bản

là thực thể Vật lí nhỏ nhất tạo nên các dạng thực thể Vật lí khác nhau theo líthuyết hiện hành Các hạt cơ bản đầu tiên được tìm thấy là e, p, n, photon.Ngày nay, người ta biết được hơn 200 loại hạt cơ bản và con số đó đang tiếptục tăng lên Khi đi sâu vào nghiên cứu hạt cơ bản, người ta thấy rằng các hạt

cơ bản chưa phải “thực sự là cơ bản” mà nó còn được cấu tạo từ các hạtquark Cho đến nay quark được coi là viên gạch đầu tiên xây dựng nên thếgiới vật chất

Sau sự hình thành của mẫu quark, sự hiểu biết về nhóm Lie đã trở thànhcần thiết cho việc nghiên cứu Lí thuyết hạt cơ bản Nhóm Lie càng trở thànhcông cụ chủ yếu của Vật lí lí thuyết hiện đại như giải tích phức, phương trình

vi phân riêng, lí thuyết nhóm vô hạn,…

Đại số Lie xuất hiện đã lâu song gần đây do đòi hỏi ứng dụng của nótrong nghiên cứu Vật lí mà V.I.Drinfeld đã lượng tử hóa đại số của nhóm Lie,làm nảy sinh cấu trúc đại số biến dạng hay còn gọi là đại số lượng tử

4

Đề tài “Biểu diễn dao động tử của đại số SU(3)” cũng nằm trong hướngnghiên cứu này, với hy vọng góp phần hiểu biết đầy đủ hơn về thế giới xungquanh, đặc biệt là thế giới của hạt vi mô.

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu dao động tử, đại số SU(3) và biểu diễn dao động tử của đại

số SU(3)

3 Đối tượng nghiên cứu

Lí thuyết đối xứng, biểu diễn dao động tử của đại số SU(3)

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu dao động tử, biểu diễn, tính thống kê của dao động tử Nghiên cứu nhóm đối xứng SU(3), sự gần đúng của lí thuyết đối xứngSU(3), đại số SU(3) và biểu diễn dao động tử của đại số SU(3)

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp Vật lí lí thuyết

- Phương pháp lí thuyết nhóm đối xứng

CHƯƠNG 1 DAO ĐỘNG TỬ

1.1 Dao động tử điều hòa

tử N tương ứng với các giá trị riêng: n  2, n  1, n, n  1, n  2,

7

Vì N là toán tử xác định dương (các trị riêng của nó đều phải không âm) nên đây là dãy sẽ có kết thúc ở cận dưới Giá trị riêng của cận dưới này là n  0

0 là trạng thái chân không

Ta có: N 0  0 nên 0 là véctơ riêng của N với trị riêng bằng không.

0 , a 0 , a2

0 , a

Dãy (1.3) là dãy các véctơ riêng của N ứng với các trị riêng: 0, 1, 2, n,…

không gian Hilbert vì số chiều gồm các véctơ trực chuẩn (1.4) Các véctơ này

là các véctơ riêng của toán tử số hạt N.

Tương tự, ta có thể định nghĩa một hệ các toán tử boson:

Véctơ riêng trực chuẩn:

N 

a a

;

 N i , N j

  0

Cácvéctơ

i j ij

i

hệ thức giao hoán (1.7)

ta được

hệ thức giao hoán của

J i:

 J i , J j  

i ijk J k

11

Đây chính là đại số Lie, vậy có thể biểu diễn đại số Lie qua các toán tửBoson, tức (1.6) là véctơ trong không gian Hilbert của biểu diễn.

Vấn đề đặt ra bây giờ là từ không gian biểu diễn (1.6) ta tìm được cáckhông gian con bất khả quy Muốn vậy ta đi xét toán tử Causimir:

riêng của toán tử J mà ta kí hiệu là j.

Ta thấy j là một số nguyên tố hoặc bán nguyên, không âm.

Để xác định các véctơ riêng của không gian con Hilbert (1.6) biểu diễn bất khả quy của đại số Lie, ta nhận xét rằng biểu diễn này phải được xác định

nhận xét rằng toán tử

định) Ta kí hiệu trị giá riêng này là m và từ định nghĩa của

m  n1  n2 

Vậy biểu diễn bất khả quy của đại số Lie trong không gian các véctơ cơ

 j, m  a1  a2  0

 j  m! j  m!

i ddxm

Từ (1.11) và (1.12) ta thấy rằng với một j xác định thì m lấy 2 j  1 giá

Vậy không gian biểu diễn bất khả quy là 2 j  1 chiều.

Tiếp theo chúng ta đi biểu điễn số hạt của dao động từ điều hòa.Hamiltonaian của dao động tử điều hòa có dạng:

Hamiltonian (1.13) trở thành:





Vậy:

aˆ , aˆ có thể biểu diễn ngược lại quacác toán tử

p

ˆ,

q

ˆ

như

a a



222

an (1.13)trở

 N□ , aˆ   N□ aˆ



aˆ N□

 aˆ aˆaˆ  aˆ aˆ aˆ  aˆ aˆaˆ  aˆ aˆ 

 aˆ aˆ, aˆ

hay18

véctơ trạng thái này toán

Hệ thức vừathu được có nghĩa là

aˆ n cũng là một

véctơ riêng của

toá

n t

ử

N

□

Tương tự như vậy

ta dễ dàng chứng minh được

theo xét véctơ trạng thái thu được bằng cách cho toán tử aˆ tác động lên n

Đó

là

véctơ

trạng

thái

N□ và

sử dụng công thức (1.14) ta được:



a a

;… cũng là các véctơ riêng của

ứng với trị

Kết hợp hai điều trên ta thấy rằng nếu n là

một trị riêng của toán tử thì chuỗi các số không âm

(n  1), (n  2),…cũng là trị riêng của toán tử Vì

chuỗi này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm

Ta có:

aˆ nmin  0 (1.18)

Th

ật vậ

y

vì khi

đó véc

tơ trạ

ng thá

i ứn

g vớitrị riêng

nmin

1

 0 ,trái với

gi

ả thiết

n

min

là trị riêng nhỏ nhất Từ (1.18) ta

suy ra: aˆ

a

ˆ

n

m i n



0

Mặtkháctheođị

nhcủanm

i n

ta

có

N

□

n

m i n



n

m in

n

mi n



Véctơ trạng thái ứng với trị riêng của toán tử N□ được kí hiệu là 0

Véctơtrạng tháinày thỏa mãn điều

ứng vớitrị riêng

n  1,

ứng vớitrị riêng

n  2 ,

… ứng với trị

24

E  (n  1 )  .

n

2

Vậy các trạng thái dừng của dao động

tử điều hòa có năng lượng gián đoạn với các

giá trị cách đều nhau: hiệu số năng lượng

giữa hai trạng thái kề nhau luôn luôn bằng

● Trạng thái 0 có

năng lượng thấp nhất là

● Trạng thái tiếp

theo 1với năng lượng

● Trạng thái tiếp

theo 2với năng lượng

E1    E0  2 có

thể được xem là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng

nghĩa là thêm hai lượng tử năng

lượngvào trạng thái 0 …

25



Nếu ta lấy gốc tính năng lượng là E0 thì có thể coi 0 là trạng thái

không chứa lượng tử nào;

1 là trạng thái chứa một lượng tử; 2 là trạng thái

chứa hai lượng tử…; n

lượng tử

Tn

N

có giá trị riêng không

âm cách nhau một đơn

vị được đoán

nhận là toán tử

số lượng tử năng lượng

Toán tử aˆ

khi tác dụng lên

n

chomột

trạn

g thái

tỉ lệ với

n

1

và do đó được đoán nhận là toán

tử hủy lượng

tử nănglượn

g

Toántử

lượng là

Sao cho các véctơ trạng

thái là trực giao chuẩn

hóa: Ta thiết lập được các

công thức quan trọng sau:

1.3 Thống kê của dao động tử điều hòa

Dao động tử Boson đơn mode được đặc trưng bởi hệ thức giao hoán

(1.1) và toán tử N được biểu diễn theo các toán tử hủy dao động tử a và toán

Không gian Fock là không gian mà các véctơ cơ sở của nó là nhữngtrạng thái với số hạt xác định Trong không gian Fock trạng thái chân không

0 được định nghĩa là trạng thái có số hạt bằng 0

Đại số (1.1) có thể thực hiện trong không gian Fock với cơ sở là các

véctơ riêng đã chuẩn hóa (1.4) của toán tử số dao động tử N :

Toán tử Hamiltonian mô tả dao động tử điều hòa được biểu diễn theo các toán tử sinh hủy dao động như sau:

28

Bây giờ chúng ta đi tính phân bố thông kê của nó nhưng trước tiên ta

tìm hiểu về phân bố thống kê của toán tử F:

Hàm Green của đại lượng vật lí F tương ứng với toán tử

F□ nghĩa qua công thức:

y su

y ra:

a



a

1

(1.27)

30

CHƯƠNG 2 BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TỬ CỦA ĐẠI SỐ SU(3)

2.1 Đại số SU(3)

2.1.1 Định nghĩa của nhóm đối xứng SU(3)

Tập hợp tất cả các ma trận 3x3, Unita, có định thức bằng 1 và thỏa mãntính chất nhóm tạo thành nhóm đối xứng SU(3)

Bất kì một phần tử nào của SU(3) đều có thể viết dưới dạng:

g SU(3)

.g  I Det g 

Thật vậy điều kiện (2.3)

Vì  là các vô cùng bé nên ta bỏ qua số hạng chứa 2

Điềukiện(2.4):

Ta

Sp

đượ

c suy

ra

từ tínhchất

De

t g

 1



e

S p l n g



e

p e

ia 2

Sp



e

a

33

a

2

điều kiện:

a a  1,8

là các ma trận vuông cấp 3 bất kì thỏa mãn

34

theo 3 chỉ số a, b, c; đổi dấu khi hoán vị hai trong ba chỉ số a, b, c.

● Cách xác định f

abc , dabc .

Cụ thể: Để

có (2.7) tanhân 2 vếcủa (2.5) với

c2

rồi

Sp

lên,

ta có:

a ; b 

c

i f

 c

 c 37

2 abc

i f



   f

4

a b c abc

Tínhtoáncuố

i cùngtađượcgiátr

ị cụthểcủa

các hằng

số cấu trúc:

f123  1f

f

1

f516 

f376  2

f458  f678 

Các hằng

số còn lại đều bằng 0



c

Tương

tự

ta

tính

dabc Nhân 2

vế của (2.6) với 2

38



rồi Sp lên, ta có:

39

a ; b   c



a b c





222

ab

2

 



a b c

Spb  dSpa c c c;

Sp c 

222

a

c  2



,  

Ví

dụ 1:

Tính

Áp dụng công thức (2.7), ta có:

f123Với 1,2   12  21Mà:

 i

Sp4

 1,2 3 

0 

 00

0  00

0   00

0  00

0 

7 

 00

0



 00

0





 00

44

0

1 0 

 0 0 0   0 0 0 

 0 0 0 

 01

S p

2



 2

13

V

í d ụ 5

: Tín

13

0

00

10

00



000010

0000

00

0000

00

2 1  01

0 

01

0 



2  0

2

3

 00

Ví d

4 

 ,

4 

00

00

2.2 Biểu diễn dao động tử của đại số SU(3)

Giả sử ta có các toán tử boson hoán sau:

Các dao động tử boson đa mode:

dao động tử mode 2,…, được

mô tả bởi véctơ trạng thái riêng của toán tử số dao dộng tử

tử hai mode a i i  1, 2,3 .

54

Các vi tử của đại số SU(3) được xây dựng theo công thức:

2  1 2 2 1 

2

Có thể thấy rằng dựa vào hệ thức giao hoán (2.9) ta tìm được các hệthức giao hoán của các

I a :

c

Đây chính là đại số Lie SU(3) Vậy có thể biểu diễn đại số SU(3) quacác toán tử boson

Để thuận tiện, người ta dùng các vi tử là tổ hợp của các vi tử trên nhưsau:



1

2 3







1 1



a a



2

3

1 2

2

2

23 3

1 3

E I H



a F





(2.18)

Ta

sẽtìm

đượccáchệ

thức

giao

hoáncủacácvitử

E F H E F H G G

có dạngnhư sau:

CHƯƠNG 3

SỰ GẦN ĐÚNG CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG SU(3)

3.1 Đa tuyến của nhóm SU(3)

Xét trường hợp có n hạt mà hàm trường tương ứng mô tả trạng thái cáchạt là

hạt lập thành 1 đa tuyến n chiều của SU(3)

một ta được:

U ω  expiω a M a   I  iω a M a

Ψ M   Ψ  iω τ Ψ

i a i a a a i a a i a i a a i

65

Vì ω là các tham số thực, vô cùng bé nên ta bỏ qua ω2 so với ω Ta có:

thế được đồng nhất với toán tử Spin đồng vị

với siêu tích Y (vì trong một đa tuyến SU(3), giá trị siêu tích không đổi nên

toán tử siêu tích giao hoán với toán tử Spin đồng vị)

Như ta đã biết có bao nhiêu khả năng τa sễ có bấy nhiêu biểu diễn:

 Tuyến 8 Meson với J p  0

Đối với các Meson do B=0 nên Y=S

Các đa tuyến trên chính là các biểu diễn khác nhau của nhóm đối xứng SU(3) (biểu diễn chính quy)

3.1.1 Biểu diễn 8 hạt Baryon

J p  12

Nếu 8 hạt Baryon lập thành 1 biểu diễn chính quy của SU(3) thì hàm trường tương ứng của chúng phải biến đổi như sau:

J p 

1 :2

p, n,  ,0 , , 0 , , 

Các hàm sóng tương ứng với các hạt:

11

tìm được từ điều kiện

1

Muốn chứng minh việc gán trên là hoàn toàn hợp lí, ta sẽ dùng các hàmtrường vừa gán để tìm spin đồng vị và siêu tích rồi so sánh với thực nghiệm

● Đối với proton:

Để tìm toán tử siêu tích Y ta phải tìm c.

Để tìm c ta công nhận hàm trường mô tả trạng thái sinh của proton là:

Ta có:

M8 ,  p   c Y ,  p   c p

71

1

32



8 5



p

2

22





i f

 

c

854 845

2 4 2

 

4  i5   c p

32

y hì

nhchiếuSpinđồngvịnotron



2 





7 

n

 Siêu tích của hạt notron bằng

1

Vậy giá trị của hình chiếu

Spin đồng vị và siêu tích của

h chiế

u Spi

n đồn

g vịcủ

a

Σlà1

Tính toán hoàn toàn tương tự ta thấy giá trị của hình chiếu Spin đồng vị và siêu tích của các hạt còn lại phù hợp với thực nghiệm Vì vậy hàm sóng

p thành

hệ sốđứngtrướctìmđượctừđiếukiệnchuẩnhóa

K 0 là:



 1   i 

*Tacó:

tađ

a hạt

K 0

bằn

g 1

 6 7 0

Vậy giá trị của hình chiếu Spin đồng

vị và siêu tích của hạt với thực nghiệm

K 0

phù hợp

Hàm trường

mô tả trạng thái sinh của 1 hạt π là: 

2

1221

2

2

1

2Vậy hình chiếu



Y ,





S

Vậy giá trị của I 3 , Y của π phù hợp với thực nghiệm.

với thực nghiệm Vì vậy hàm sóng gán cho các hạt như trên là phù hợp

3.2 Hệ thức khối lượng của các hạt

3.2.1 Sự phá vỡ đối xứng SU(3)

Nếu đối xứng SU(3) là chính xác thì các hạt trong cùng 1 đa tuyến sẽ

M a ,    0 a  1,8

Nhưng thực tế các hạt trong cùng 1 đa tuyến có khối lượng khác nhau,điều này có nghĩa là đối xứng SU(3) không hoàn toàn chính xác Lúc đó đốixứng SU(3) bị phá vỡ

3.2.2 Hệ thức khối lượng trong lý thuyết đối xứng SU(3)

Giả sử đối xứng SU(3) bị phá vỡ là tối thiểu và đối xứng SU(2) vẫn cònđúng, siêu tích được bảo toàn Nghĩa là:

tuyến này được biểu diễn chính quy bởi SU(3):

a Bát

82

với thành phần thứ 8 của bát tuyến, tỉ lệ với các Sp.

 Dạng bất biến duy nhất của toán tử khối lượng thỏa mãn SU(3):

3

l



ta được:

m m

i lượngcủaprotonlà

i lư

ợng notron:

Hàm trường của notron là

g tín

h chấttrự

c 86

0

1

2

o củacáchàm)Khối lượng của

 m m m

Meson ta thấy có

sự tượng ứng vềhình chiếu Spinđồng vị và siêutích giữa các cặp

Hàm trường của các hạt Meson  được viết dưới dạng ma trận:

Làm tương tự như đối với các Baryon ta thu được hệ thức khối lượng

KẾT LUẬN

Sau một thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận dưới sự hướng

dẫn tận tình của thầy giáo GS TSKH Đào Vọng Đức, em đã thu được một

số kết quả nghiên cứu chính sau đây:

● Viết tổng quan về dao động tử

● Nghiên cứu biểu diễn dao động tử của đại số SU(3)

● Nghiên cứu sự phá vỡ đối xứng trong lý thuyết nhóm SU(3) để đưa ra hệ thức khối lượng của các hạt Baryon và các hạt Meson.Qua nghiên cứu em hiểu rõ hơn về các công cụ nghiên cứu tương tácmạnh của các hạt cơ bản

89