Biểu diễn dao động tử của đại số Su(2)q (LV00416)

Một trong những phương pháp đó là phương pháp biến dạng của lý thuyết nhóm lượng tử và đại số lượng tử.. Việc nghiên cứu các dao động tử biến dạng mà trong đó các toán tử sinh, huỷ dao đ

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 2

CHƯƠNG I: HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA 5

1.1 Biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa tuyến tính 5

1.2 Biểu diễn ma trận của các toán tử sinh, hủy Boson 13

Kết luận chương I: 17

CHƯƠNG II: CÁC THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ 18

2.1 Xây dựng thống kê lượng tử bằng phương pháp GIBBS 18

2.1.1 Phương pháp GIBBS 18

2.1.2 Phân bố Bose - Einstein 19

2.1.3 Phân bố Fermi - Dirac 20

2.2 Xây dựng các phân bố thống kê bằng phương pháp lý thuyết trường lượng tử 21

2.2.1 Xây dựng thống kê Bose - Einstein 21

2.2.2 Xây dựng thống kê Fermi - Dirac 23

Kết luận chương II 29

CHƯƠNG III: CÁC THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ BIẾN DẠNG 30

3.1 Lý thuyết q - số 30

3.2 Dao động tử điều hòa biến dạng q 32

3.1.1 Dao động tử Boson biến dạng q 32

3.1.2 Dao động tử Fermion biến dạng q 34

3.3 Phân bố thống kê 35

3.2.1 Phân bố thống kê Bose-Einstein biến dạng q 35

3.2.2 Phân bố thống kê Fermi - Dirac biến dạng q 36

3.3 Dao động tử biến dạng R 37

3.3.1 Dao động tử Boson biến dạng R 37

3.3.2 Phân bố thống kê của dao động tử Boson biến dạng R 39

Kết luận chương III 41

CHƯƠNG IV: ĐẠI SỐ LƯỢNG TỬ SU (2) 42

4.1 Biểu diễn dao động tử của đại số SU(2) 42

4.2 Đại số lượng tử một thông số SU(2)q 49

Kết luận chương IV 53

KẾT LUẬN CHUNG 54

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ ĐƯỢC CÔNG BỐ 55

TÀI LIỆU THAM KHẢO 56

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu Vật lý vi mô nói chung và

lý thuyết trường lượng tử nói riêng đã tạo nên cơ sở của thế giới quan vật lý

để lý giải bản chất của các hạt vi mô về mặt cấu trúc và các tính chất của nó Cùng với sự phát triển của lịch sử loài người, vật lý học cũng đã trải qua nhiều giai đoạn phát triển và đạt được nhiều thành tựu quan trọng Từ cơ học

cổ điển của Niutơn đến thuyết điện từ trường của Maxwell và Faraday, ngày nay vật lý học hiện đại với khuynh hướng thâm nhập sâu vào cấu trúc vi mô của vật chất người ta thấy rằng ngoài các quy luật tìm thấy trong vật lý cổ điển ở đây xuất hiện các quy luật mới là quy luật thống kê Vật lý thống kê là một bộ phận của vật lý hiện đại nó nghiên cứu các hệ nhiều hạt bằng phương pháp thống kê Để tìm các định luật phân bố thống kê lượng tử có rất nhiều phương pháp trong đó có phương pháp lý thuyết trường lượng tử Lý thuyết trường lượng tử đã tạo nên cơ sở của thế giới quan vật lý để lý giải bản chất của các hạt vi mô về mặt cấu trúc và các tính chất của nó Từ đó lý thuyết trường lượng tử đã mở ra con đường để nhận biết các quá trình vật lý xảy ra trong thế giới vi mô, thế giới của các phân tử, nguyên tử, hạt nhân và các hạt

cơ bản

Một trong những phương pháp đó là phương pháp biến dạng của lý thuyết nhóm lượng tử và đại số lượng tử Việc nghiên cứu các dao động tử biến dạng mà trong đó các toán tử sinh, huỷ dao động tử tuân theo các hệ thức giao hoán biến dạng nhằm giải quyết các bài toán phi tuyến tính trong quang học lượng tử, nhóm lượng tử trong đó có đại số lượng tử SU(2)q, các bài toán phi tuyến của dao động mạng trong vật lý chất rắn, làm chính xác và phong phú thêm những hiểu biết về thế giới hạt vi mô Việc mở rộng nhóm lượng tử

và đại số lượng tử đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà vật lý trong nước và trên thế giới cùng với sự quan tâm ngày càng nhiều đến các hạt tuân theo các thống kê khác với Bose - Einstein, Fermi - Dirac quen thuộc như thống kê vô hạn, thống kê biến dạng, thống kê Para boson

Đề tài: “Biểu diễn dao động của đại số SU(2)q” cũng nằm trong hướng nghiên cứu này, với hy vọng góp phần hiểu biết đầy đủ hơn về thế giới quanh ta, đặc biệt là thế giới các hạt vi mô Vì vậy, chúng tôi đã lựa chọn hướng nghiên cứu về đề tài này

2 Mục đích nghiên cứu

Từ hình thức luận dao động tử điều hoà chúng tôi tìm được biểu diễn

ma trận của các toán tử sinh hủy số hạt của dao động tử Bozon, Fermion biến dạng q Từ đó chúng tôi đi xây dựng đại số lượng tử SU(2)q

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu và viết tổng quan về các dao động tử lượng tử, các toán tử sinh huỷ số hạt của dao động tử Bozon, Fermion

- Xây dựng các hình thức luận dao động tử điều hoà thu được biểu diễn

ma trận của các toán tử sinh huỷ số hạt, dao động tử điều hoà biến dạng q

- Xây dựng phân bố thống kê của các dao động tử điều hoà biến dạng q đại số lượng tử đơn giản nhất SU(2)q

- Trên các cơ sở đó nghiên cứu các dao động tử có thống kê lượng tử

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các dao động tử lượng tử trong lý thuyết trường lượng tử

và các nhóm lượng tử trong đó có đại số lượng tử SU(2) cho hệ hạt vi mô

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp lý thuyết trường lượng tử, phương pháp nhóm lượng tử

- Phương pháp vật lý thống kê và các phương pháp giải tích khác

- Đề tài đã sử dụng kết hợp hình thức luận dao động tử điều hòa và hình thức luận các trạng thái kết hợp cho các hệ hạt vi mô để nghiên cứu các dao động tử lượng tử

6 Tên đề tài, kết cấu của luận văn

- Tên đề tài: “Biểu diễn dao động của đại số SU(2)q”

- Kết cấu của luận văn: Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được kết cấu làm 4 chương:

Chương I: Hình thức luận dao động tử điều hòa

Chương II: Các thống kê lượng tử

Chương III: Các thống kê lượng tử biến dạng

Chương IV: Đại số lượng tử SU(2)q

CHƯƠNG I: HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA

1.1 Biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa tuyến tính

Dao động tử điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lượng m, chuyển động dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi f = -kx dọc theo một đường thẳng nào đó

Ta có biểu thức toán tử Hamiltonian của dao động tử điều hòa một chiều [1], [6]:





2

2 x

    là toán tử xung lượng

Hệ thức giao hoán giữa pˆ và qˆ

Ta biểu diễn các toán tử ˆa và ˆa

a ngược lại qua ˆp và ˆq :

a,aˆ ˆ 1

Ta ký hiệu n là véc tơ riêng của toán tử ˆN ứng với trị riêng n

Khi đó ta có phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử ˆNnhư sau:

Kết luận 1:

Các trị riêng của toán tử ˆN là các số không âm

Xét véc tơ trạng thái thu được ˆa n bằng cách tác dụng toán tử ˆa lên véc tơ trạng thái n Tác dụng lên véc tơ trạng thái này toán tử ˆN và sử dụng công thức (1.10) ta có:

Tương tự như vậy 2 3

Kết hợp kết luận 1 và kết luận 2 ta thấy n là một trị riêng của toán tử ˆN thì chuỗi các số không âm n – 1, n – 2, n – 3… cũng là trị riêng của toán tử ˆN

Vì chuỗi này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ thì:

Mặt khác theo định nghĩa N nˆ min nmin nmin (1.18)

So sánh hai phương trình (1.17) và (1.18) ta đi đến kết luận như sau: Kết luận 3:

Trị riêng nhỏ nhất của toán tử ˆN là nmin có giá trị bằng 0 Véc tơ trạng thái ứng với trị riêng nhỏ nhất của ˆN được ký hiệu 0 Véc tơ trạng thái này thỏa mãn điều kiện ˆa 0  0

lượng tử năng lượng  vào trạng thái 1 , cũng có nghĩa là thêm hai lượng

tử năng lượng  vào trạng thái 0 Nếu ta lấy gốc tính năng lượng là E0, thì

có thể coi trạng thái 0 là trạng thái không chứa lượng tử nào Vì vậy 0 được gọi là trạng thái chân không, 1 là trạng thái chứa một lượng tử, 2 là trạng thái chứa hai lượng tử … n là trạng thái chứa n lượng tử Toán tử ˆN

có các giá trị nguyên không âm, cách nhau một đơn vị được đoán nhận là toán

tử số năng lượng Toán tử ˆa khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với

n 1 do đó được đoán nhận là toán tử hủy lượng tử năng lượng Toán tử ˆa

khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với n 1 do đó được đoán nhận

là toán tử sinh lượng tử năng lượng Nếu ta tưởng tượng rằng lượng tử năng lượng là một hạt thì toán tử ˆN sẽ là toán tử số hạt, ˆa sẽ là toán tử hủy hạt, ˆa

sẽ là toán tử sinh hạt, khi đó trạng thái n với năng lượng E  n  sẽ là trạng thái chứa n hạt, đó là biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa

Trong cơ học lượng tử trạng thái dừng của một dao động tử điều hóa có thể coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng bằng  [1], [3], [5] 

Như ta đã lập luận ở trên khi toán tử ˆa tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với n 1 và toán tử ˆa

khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với n 1 Do đó chúng ta sẽ tính các hệ số tỉ lệ    trong các hệ thức: n, n, n

n

n n n

Vậy ta thiết lập được các công thức sau:

1.2 Biểu diễn ma trận của các toán tử sinh, hủy Boson

Ta đã tìm được các hệ thức giao hoán của toán tử sinh hạt và toán tử hủy hạt [1], [2], [5]:

Hệ thức giao hoán trên được thực hiện trong không gian Fock với véc

tơ cơ sở riêng đã chuẩn hóa của toán tử số dao động tử ˆN

lên các véc tơ trạng thái n ta được:

Ta sẽ xem xét là đối với các hạt Boson là các hạt có Spin nguyên thì nó

có tuân theo các hệ thức giao hoán hay không?

Để trả lời câu hỏi này ta xây dựng véc tơ trạng thái của hệ hai hạt ở hai trạng thái khác nhau  và :

Và ta biết rằng những hạt được mô tả bởi hàm sóng đối xứng là những hạt có Spin nguyên, tức là các hạt Boson

và ˆa

ˆa lần lượt bằng n + 1 và n Do đó ma trận của những toán tử này trong biểu diễn riêng của chúng là những ma trận chéo

aaˆ ˆnm n 1 nm

   và a aˆ ˆ nm n nm

 Giả sử biểu diễn ma trận của các toán tử sinh Boson ˆa

, hủy Boson ˆa là:

Vậy biểu diễn ma trận của các toán tử sinh Boson ˆa

, hủy Boson ˆa và toán tử số hạt ˆN có dạng:

Kết luận chương I:

Trong chương I tôi đã trình bày một cách lôgic, đầy dủ về hình thức luận dao động tử điều hòa: Tính toán được các toán tử sinh hạt và hủy hạt của dao động tử điều hòa tuyến tính, biểu diễn các toán tử sinh Boson, hủy Boson, toán tử số hạt dưới dạng ma trận tạo cơ sở tính toán cho các chương sau

CHƯƠNG II: CÁC THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ

2.1 Xây dựng thống kê lượng tử bằng phương pháp GIBBS

2.1.1 Phương pháp GIBBS

Cơ sở của phương pháp Gibbs là thay việc khảo sát sự biến đổi vi mô của hệ đã cho với thời gian bằng việc khảo sát một tập hợp nhiều hệ tương tự với hệ đã cho, gọi là tập hợp thống kê, tập hợp thống kê là một hợp các hệ tương tự với nhau có số lượng và loại hạt như nhau, ở trong các điều kiện vĩ

mô giống nhau và ở trạng thái vi mô khả hữu khác nhau Đồng thời phải bảo đảm rằng mỗi một hệ trong tập hợp thống kê sớm hay muộn sẽ đi qua mọi giai đoạn biến đổi dành cho các hệ tương tự khác Như vậy, tập hợp thống kê cũng có thể coi như là tập hợp các trạng thái vi mô khả dĩ tương ứng với cùng một trạng thái vĩ mô đang xét của hệ

Phương pháp Gibbs, thừa nhận giả thuyết chuẩn Ecgodic như sau: Trị trung bình theo thời gian của một đại lượng bằng trị trung bình theo tập hợp thống kê

Như vậy, theo phương pháp này, một vấn đề đặt ra là làm sao tìm được trị trung bình theo tập hợp thống kê, muốn vậy ta phải tìm được mật độ xác suất pha hay hàm phân bố thống kê của hệ

Áp dụng phương pháp Gibbs đối với các hệ lượng tử, chú ý đến các đặc tính của hạt vi mô và của hệ lượng tử, phân bố chính tắc lượng tử đối với hệ đẳng nhiệt cho chúng ta xác xuất để hệ nằm ở trạng thái có năng lượng Ek là:

k k

trong đó g E k là bậc suy biến

2.1.2 Phân bố Bose - Einstein

Nói chung số hạt trong hệ là thay đổi nên chúng ta phải xuất phát từ phân bố chính tắc lớn lượng tử:

2.1.3 Phân bố Fermi - Dirac

Trong (2.3) đại lượng    k

đó đối với hệ các hạt đồng nhất Boson và Fermion ta có g E k N!

2.2.1 Xây dựng thống kê Bose - Einstein

Để xây dựng thống kê Bose - Einstein ta xuất phát từ biểu thức tính giá trị trung bình của đại lượng vật lý F [1], [2], [5]:

Với  là năng lượng của một dao động tử

Mặt khác ta lại có ˆN n n n và điều kiện trực chuẩn:

m , n

m n  

Sử dụng các biểu thức trên ta được:

2.2.2 Thống kê Fermi - Dirac

Các hạt Fermion được đặc trưng bởi các toán tử sinh hạt, huỷ hạt Fermion b bˆ, ˆ và toán tử số hạt Nˆ b bˆ ˆ [1], [6], [7], [12]

Tác dụng liên tiếp các toán tử sinh hạt Fermion lên trạng thái (0) ta được :

Fermion trong biểu diễn số lấp đầy có dạng:

k k

n n

k l

Tương tự, cho toán tử bˆk tác dụng lên hàm sóng ( ,n n1 2, )n s và dựa

vào định nghĩa sau:

Với   n k thoả mãn điều kiện  n k 00

Sử dụng điều kiện chuẩn hoá hàm sóng trong biểu diễn số lấp đầy, ta có:

1 2

ˆ( 1) ( , , (1 ), )( 1) ( 1) 1 (1 ) ( , , 1 (1 ) , )( , , , )

Sử dụng các công thức (2.30), (2.31) ta dễ dàng thấy rằng các toán tử

e N

Đây chính là hàm phân bố Fermi - Dirac Ý nghĩa của phân bố này là

nó biểu diễn xác suất có điện tử nằm trên mức năng lượng  tại nhiệt độ T Bây giờ ta sẽ xem xét một số tính chất của hàm phân bố này: [1], [2], [7], [8]

Kết luận chương II Trong chương II chúng ta đã sử dụng phương pháp GIBBS và phương pháp lý thuyết trường lượng tử để xây dựng thống kê Bose - Einstein và xây dựng thống kê Fermi - Dirac

Phương pháp GIBBS là phương pháp truyền thống có nhiều ưu nhược điểm được coi là phương pháp cơ bản của vật lý thống kê, xong phương pháp này chỉ áp dụng được cho hệ các dao động tử điều hòa

Phương pháp lý thuyết trường lượng tử có phạm vi áp dụng rộng hơn, khi áp dụng phương pháp biến dạng sẽ giải quyết được bài toán của dao động

tử phi điều hòa Đó là điều mà chúng ta đang quan tâm đến

CHƯƠNG III: CÁC THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ BIẾN DẠNG

 , có thể xảy ra hai trường hợp:

+ Nếu q là thực, q – số có thể biểu diễn như sau: q e

2 2

1 1

n 1

2 n n q

n 0

2 n n q

3.2 Dao động tử điều hòa biến dạng q

3.1.1 Dao động tử Boson biến dạng q

Dao động tử Boson đơn mode biến dạng q được mô tả bởi các toán tử huỷ và sinh dao động tử a, a+ theo hệ thức sau

a a+ - qa+ = q-N (3.4) với q là thông số biến dạng

Trong phương trình (3.4) nếu q = 1 thì trở về hệ thức dạng dao động tử điều hoà

Toán tử số dao động tử điều hoà thoả phương trình hàm riêng, trị riêng:

q

n q





với  q n ln

qq

qq

1aanaan

q q

q

!n

10

)a(aa

!n

q

n q

!n

n0

)a(na

!n

q

n q

1pm

Khi q=1 thì phổ năng lượng của dao động tử điều hoà biến dạng q sẽ trở

về phổ năng lượng của dao động tử điều hoà một chiều (3.13)

3.1.2 Dao động tử Fermion biến dạng q

Dao động tử Fermion biến dạng q được biểu diễn qua các toán tử sinh dao động tử b+ và huỷ dao động tử b như sau:

bb,N

q

n q



n n n

q

qq

q)1(q

3.3 Phân bố thống kê

3.2.1 Phân bố thống kê Bose-Einstein biến dạng q

Giá trị trung bình của đại lượng vật lý F tương ứng với toán tử Fˆ được định nghĩa:

)

Fˆe(TrZ

N N

nen)

e(

1e

N N

naaenZ

1)aae(TrZ

1a

q n 0

n

q N

nenZ

1nNe

nZ

qq

qqeZ

n l 0

n

n n

qq

1Z

1qe

1

1q

ee

)qq(1

e)qq(q

q

1Z

1

1e)qq(e

1ea

Khi giới hạn q = 1 thì phân bố trở về phân bố Bose - Einstein thông thường như trong vật lý thống kê mà ta đã biết

1e

1a

3.2.2 Phân bố thống kê Fermi - Dirac biến dạng q

Phân bố thống kê của dao động tử Fermion biến dạng q là phân bố thống

N N

n b b e n Z

1 ) b b e ( Tr Z

1 b

q n 0

n

q N

nenZ

1nNe

nZ

n

q q

q ) 1 ( q e Z

n 0

n

n l n

q q

1 Z

1e

q1

1q

q

1Z

1

l l

ee)qq(1

e)qq(q

1eb

1b

3.3 Dao động tử biến dạng R

3.3.1 Dao động tử Boson biến dạng R

Dao động tử Boson biến dạng R được đề xuất dưới dạng hệ thức sau:

Trong đó: v: thông số biến dạng

R: toá tử Hermit thoả điều kiện

R = R+

Bên cạnh đó R cũng thoả mãn:

{R,a} = 0 tức là R phản giao hoán với toán tử huỷ dao động tử a

Xét không gian Fock với cơ sở là vectơ trạng thái riêng đã chuẩn hoá của toán tử số dao động tử N:

0

!n

)a(n

) R (

n

khi

khi

) Z k ( 1 k 2 n

) Z k ( k 2 n

a ( n )

)1(1nn