Biểu diễn dao động tử của đại số SU(2) biến dạng tổng quát

BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TỬ CỦA ĐẠI SỐ SU2 BIẾN DẠNG TỔNG QUÁT .... BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TỬ CỦA ĐẠI SỐ SU2 BIẾN DẠNG TỔNG QUÁT .... Vì vậy đề tài có ý nghĩa khoa học; đó là lý do tôi chọn đề tà

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Người hướng dẫn khoa học: PGS- TS Lưu Thị Kim Thanh

HÀ NỘI, 2012

2

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được thực hiện tại Trường ĐHSP Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn của Phó giáo sư, Tiến sĩ Lưu Thị Kim Thanh Người đã đặt nền móng cho bản luận văn và tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này Cho phép tôi được gửi tới cô lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường ĐHSP Hà Nội 2, phòng sau Đại học và khoa Vật lý đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi hoàn thành chương trình Cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp này

Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này

Tác giả

Nguyễn Thị Khánh Ly

3

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đề tài này là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới

sự hướng dẫn của Phó giáo sư, Tiến sĩ Lưu Thị Kim Thanh Luận văn này không trùng lặp với bất cứ đề tài nghiên cứu nào khác

Tác giả

Nguyễn Thị Khánh Ly

4

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu 1

3 Phương pháp nghiên cứu 2

4 Tên đề tài, kết cấu của luận văn 2

NỘI DUNG Chương 1 ĐỐI XỨNG CỦA CÁC HẠT TƯƠNG TÁC MẠNH 3

1.1 ĐỐI XỨNG ĐỒNG VỊ SU(2) 3

1.2 ĐỐI XỨNG SU(3) 12

1.3 CÁC ĐA TUYẾN HADRON 16

1.3.1 Đa tuyến tám baryon 1 2 + 16

1.3.2 Đa tuyến tám meson 0- 19

1.3.3 Đa tuyến tám meson 1- 20

1.3.4 Đa tuyến mười baryon 3 2 + 21

1.4 CÔNG THỨC KHỐI LƯỢNG GELL-MANN-OKUBO 22

1.5 ĐA TUYẾN QUARK 25

1.6 CÁC ĐỐI XỨNG CAO HƠN 29

Kết luận chương 1 33

Chương 2 BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TỬ CỦA ĐẠI SỐ SU(2) 34

2.1 HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA 34

2.2 BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TỬ CỦA ĐẠI SỐ SU(2) 36

2.2.1.Hệ dao động tử boson đa mode 36

2.2.2.Biểu diễn dao động tử của đại số SU(2) 37

Kết luận chương 2 42

5

CHƯƠNG 3 BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TỬ CỦA ĐẠI SỐ SU(2)

BIẾN DẠNG TỔNG QUÁT 43

3.1 CƠ SỞ TOÁN HỌC 43

3.2 DAO ĐỘNG TỬ BOSON BIẾN DẠNG q 44

3.2.1 Dao động tử Boson biến dạng q 44

3.2.2 Phân bố thống kê Bose-Einstein biến dạng q 47

3.3 BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TỬ CỦA ĐẠI SỐ SU q (2) 49

3.4 BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TỬ CỦA ĐẠI SỐ SU(2) BIẾN DẠNG TỔNG QUÁT 52

3.4.1 Dao động tử điều hòa biến dạng tổng quát 52

3.4.2 Biểu diễn dao động của đại số SU(2) biến dạng tổng quát 56

Kết luận chương 3 58

KẾT LUẬN 59

TÀI LIỆU THAM KHẢO 61

và ứng dụng trong lý thuyết trường conformal Từ đó chúng ta nhận thấy rằng, đại số lượng tử có lớp đối xứng rộng hơn lớp đối xứng Lie và bao gồm đối xứng Lie như trường hợp đặc biệt

Nghiên cứu đại số lượng tử SU(2) nằm trong hướng nghiên cứu trên, và

đã đạt được nhiều kết quả có ý nghĩa trong vật lý hạt nhân nguyên tử, trong vật lý hạt cơ bản…đã thu hút được vậy đề tài sự quan tâm của nhiều nhà

khoa học Vì vậy đề tài có ý nghĩa khoa học; đó là lý do tôi chọn đề tài Biểu diễn dao động tử của đại số SU(2) biến dạng tổng quát làm luận văn thạc

sĩ của mình dưới sự hướng dẫn của cô giáo, PGS TS Lưu Thị Kim Thanh

2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu:

- Nghiên cứu hình thức luận dao động tử điều hòa biến dạng

7

- Xây dựng các phân bố thống kê biến dạng

- Nghiên cứu đại số SU(2)

- Nghiên cứu đại số SU(2) biến dạng tổng quát

3 Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp Lý thuyết trường lượng tử

- Phương pháp vật lý thống kê

- Phương pháp lý thuyết nhóm

4 Tên đề tài, kết cấu của luận văn

- Tên đề tài: Biểu diễn dao động tử của đại số SU(2) biến dạng tổng quát

- Kết cấu của luận văn: Gồm phần mở đầu và kết luận; Nội dung chính của luận văn được trình bày trong ba chương :

Chương 1: Đối xứng của các hạt tương tác mạnh

Chương 2: Biểu diễn dao động tử của đại số SU(2)

Chương 3: Biểu diễn dao động tử của đại số SU(2) biến dạng tổng quát

8

NỘI DUNG Chương 1 ĐỐI XỨNG CỦA CÁC HẠT TƯƠNG TÁC MẠNH

1.1 ĐỐI XỨNG ĐỒNG VỊ SU(2)

Vào năm 1930, kết quả nghiên cứu thực nghiệm về lực hạt nhân của proton và neutron đã dẫn đến suy nghĩ rằng: nếu như tách được điện tích của proton ra thì không có cách nào phân biệt được proton với neutron vì chúng

có khối lượng và cường độ tương tác với các hạt khác xấp xỉ nhau Trên quan điểm đó có thể xem proton với neutron như hai trạng thái khác nhau của cùng một hạt – nucleon N Để mô tả điều này, Heisenberg đưa vào khái niệm spin đồng vị Cũng tương tự như với spin thông thường, hạt có spin đồng vị I có thể ở (2I+1) trạng thái khác nhau với các giá trị [1]: I3 = I I, -1, ,- Như I

vậy nucleon có spin đồng vị 1

2

I = , proton ứng với giá trị 3

12

I p0 có I3=0,p-có I3 = -1,tương tự với meson k, các baryon S X , ,

Đối xứng đồng vị được mô tả bằng ngôn ngữ toán học bởi nhóm các phép biến đổi SU(2), đó là nhóm các phép biến đổi thực hiện bởi các toán tử

U có dạng:

( )

3 1

a a a

9

[I a,I b]=ieabc c I (1.2) Dưới tác dụng của phép biến đổi đồng vị các toán tử trường biến đổi

theo qui tắc tổng quát:

Nếu có r hạt với các trường tương ứng ji( )x i, =1, 2, ,r, biến đổi

theo qui luật:

ta nói rằng r hạt này thực hiện biển diễn r chiều của nhóm SU(2), hoặc nói

rằng chúng tạo thành một đa tuyến đồng vị r Rõ ràng rằng r = 2I +1, trong

đó I là spin đồng vị của các hạt trong đa tuyến

t =æç ö÷ t =æç - ö÷ t =æç ö÷

Lúc này,

è ø ứng với giá trị:

1 2

j i

i

e

t w

So sánh (1.9) với (1.10) ta suy ra (1.8) Công thức (1.8) rất thuận tiện

để sắp sếp các hạt theo thành phần của đa tuyến đồng vị

Ví dụ:

1 Với vô hướng đồng vị T a = nên 0 [ Ta, j ] = 0 Đó là các trường hợp

đơn tuyến đồng vị (I=0) như baryon Ù, meson h,v v…

2 Với spinor đồng vị 1

2

y y

æ ö

ç ÷

è ø với

p N n

æ ö

= ç ÷

K K K

è øđược mô tả bởi spinor đồng vị hạng

3 hoàn toàn đối xứng yijkvới 4 thành phần độc lập y y y y111, 112, 122, 222

Quy luật biến đổi của spinor đồng vị hạng ba giống như quy luật biến đổi của tích ba spinor đồng vị hạng một, cụ thể là:

23,

122

1

32

y æç- ö÷= y

12

3 ,

2

3,

32

16

110

B

ìï

= -íïî

Baryon Phản baryon Meson Theo đó nucleon và K-meson có Y=1, S - , p m on es , , Ù - h m on es có

có chứa SU(2) như một nhóm con Lúc đó ta có thể kết hợp nhiều đa tuyến đồng vị lại với nhau thành một đa tuyến lớn hơn thực hiện biểu diễn của nhóm

đối xứng mở rộng này Sự tồn tại 8 hạt baryon spin 1

2

+ quen thuộc lúc đó:

-Cũng như 8 hạt meson spin 0-:

với khối lượng khác nhau không nhiều lắm gợi mở ý tưởng rằng tám baryon này, cũng như 8 meson này tạo thành các tuyến tám của nhóm đối xứng mới

-

-+

-+

K K K

K , , p , p , p0, & , &0 &

a a a

trong đó wa là các thông số thực, Ma là các vi tử hermitic M a+ =M a, tuân

theo các hệ thức giao hoán:

[ Ma, Mb] = i fabcMc (1.26)

abc

f là các hằng số cấu trúc của nhóm SU(3) hoàn toàn phản xứng theo các

chỉ số:

fabc = - fbca = - fcba = - facb

và nhận các giá trị như sau:

a a a

j

i T

j i

=

a

l là các ma trận Gell-Mann:

i

i i

trong đó Tr Trace( ) là ký hiệu lấy vết mà trận, dabc là các hằng số hoàn toàn

đối xứng theo các chỉ số và nhận các giá trị khác 0 như sau:

21

1414

Từ (1.26) và bảng giá trị fabc (1.27) ta thấy rằng ba vị tử M M M1, 2, 3 tạo

nên đại số con SU(2) và do đó được đồng nhất với các toán tử spin đồng vị trước đây:

8

3 2

Q = M + M (1.38)

1.3 CÁC ĐA TUYẾN HADRON

Trong bài này chúng ta sẽ nói về cách sắp xếp các hadron, cụ thể là các

baryon spin 1

2

+, các meson spin 0 ,1- - và các baryon cộng hưởng spin 3

2

+ trong các đa tuyến SU(3)

1.3.1 Đa tuyến tám baryon 1

Để thống nhất các thành phần ya với các trường hợp trong đa tuyến, ta sử

dụng các công thức (1.27) và (1.28), chú ý rằng với trường yB mang điện

1 2 8

6 7

4 5

1

,2

1

,2

1

,2

,1

,2

,1

,2

1

,2

p n

0

0 0

24

8 1

-

-+ - +

K K K

K , ,p ,p ,p0, & ,&0 &

1 2 8

6 7

4 5

1

,2

1

,2

1

,2

,1

,2

,1

,2

1

,2

p

n

+ -

27

3

ij ij , , 1

1.4 CÔNG THỨC KHỐI LƯỢNG GELL-MANN-OKUBO

Nếu đối xứng SU(3) là một đối xứng chính xác thì khối lượng của tất

cả các hạt trong cùng một đa tuyến phải bằng nhau, và điều đó tương ứng với điều kiện toán tử khối lượng M giao hoán với tất cả các vị tử Ma Trên thực

tế khối lượng của chúng có khác nhau tuy không nhiều lắm Từ đó có thể kết luận rằng đối xứng SU(3) chỉ là gần đúng, hoặc nói cách khác đối xứng SU(3)

bị vi phạm Gell-Mann giả thuyết rằng sự vi phạm này là tối thiểu với nghĩa rằng sự vi phạm đó không ảnh hưởng đến đối xứng đồng vị SU(2)I và đối xứng siêu tích U(1)Y Ta nói rằng đối xứng SU(3) rút xuống SU(2)I ´U(1)Y

Lúc này toán tử khối lượng không giao hoán với tất cả các vi tử M a, nhưng vẫn giao hoán với các vi tử Ia của SU(2)I và vi tử M 8 ( tỷ lệ với Y) Điều này cho phép ta đặt:

28

Đồng thời, người ta xem rằng trong trường hợp đa tuyến meson thì M phải

hiểu là bình phương khối lượng ( do Lagrangian mô tả trường meson chứa số hạng tỷ lệ với bình phương khối lượng chứ không phải khối lượng như trong trường hợp trường baryon)

Từ các vi tử Ma ta hãy lập các toán tử thoả mãn (1.57) Trước hết ta lấy ngay

Ma Tiếp theo, xét các toán tử:

Như vậy D biến đổi theo qui luật như đa tuyến 8 Khả năng đơn giản nhất để b

lập toán tử M ' theo đòi hỏi ở trên là:

'

M =c1M8 +c D2 8 (1.63)

và do đó:

M =c +c0 1M8+c D (1.64) 2 8trong đó: c c1, 2, c3 là những thừa số bất biến SU(3)

Sử dụng bảng giá trị (1.63) của d a b c ta tính được:

Đó chính là công thức khối lượng Gell-Mann- Okubo

Áp dụng cho tuyến tám baryon

N

m m m m (1.67)

Hệ thức (1.67) phù hợp với các giá trị thực nghiệm với độ chính xác 1%

+ Áp dụng cho tuyến 10 baryon

*

3

2 ta được quy tắc cách đều như sau:

mW - mX* = mX* - mS* = mS* - mD (1.68)

Hệ thức này cũng phù hợp tốt với các số liệu thực nghiệm Sở dĩ có qui tắc

cách đều này vì với các hạt trong đa tuyến mười thì 1

30

+ Áp dụng cho các đa tuyến meson, như đã nói ở trên, M ở (1.67) phải hiểu

là bình phương khối lượng Ngoài ra với meson thì hạt và phản hạt cùng vào chung một đa tuyến nên không thể có số hạng tỷ lệ với Y(a1 =0 trong (1.67))

Hệ thức này phù hợp thực nghiệm với độ chính xác khoảng 3%

+ Áp dụng cho tám tuyến meson 1- ta có:

1.5 ĐA TUYẾN QUARK

Biểu diễn cơ sở của nhóm đối xứng SU(3) là biểu diễn ba chiều , còn gọi là SU(3) spinor Các hạt thực hiện biểu diễn này có tên là quark Tất cả các biểu diễn khác có thể tạo nên từ biểu diễn này Hãy ký hiệu các toán tử tương ứng với các hạt quark là q x i i( ), =1,2,3

Dưới tác dụng của phép biến đổi SU(3) các toán tử q x biến đổi theo qui luật: i( )

21,

2

ll

Quark q là đơn tuyến đồng vị (I=0) 3

Để biết siêu tích của quark cần tính giao hoán tử [Y q Ta có: , 1]

2

31

31

- Các baryon được tạo nên từ ba quark, các meson từ một quark và một

anti-quark Do vậy các quark phải mang các số baryon 1

3

=

B Từ hệ thức Y=B+S ta suy ra q và 1 q có số lạ S=0, 2 q có S=-1 Cũng vì vậy người ta 3

thường dùng ký hiệu: q1 =u up q( ), 2 =d d( ow ),n q3 =s strange Dĩ nhiên rằng ( )

vì thực hiện nhiều biểu diễn cơ sở nên các quark đều có spin Lorentz bằng 1

2 Căn cứ vào các đặc trưng của các hạt trong đa tuyến baryon

*

1

2 , meson 0

-và meson 1- ta có thể suy ra cấu trúc quark của chúng như sau

n Đa tuyến tám baryon 1*

2

,d d, ,

s bằng 0

1.6 CÁC ĐỐI XỨNG CAO HƠN

Năm 1974 và những năm tiếp theo một số meson mới được phát hiện Các thí nghiệm của Richer và Ting vào năm 1974 phát hiện meson y / J với

khối lượng cỡ 9 Gev Sự tồn tại các meson này với các tính chất rất đặc biệt không thể giải thích nổi trong khuôn khổ đối xứng SU(3) với ba quark u,s,d

và buộc phải đưa thêm vào những quark mới nữa, cũng có nghĩa là phải mở rộng đối xứng cao hơn SU(3) Cho đến nay có nhiều cơ sở lý thuyết và thực nghiệm để khẳng định rằng trong tương tác mạnh có các đối xứng SU(4), SU(5) và SU(6) Các đối xứng cao này đòi hỏi phải đưa thêm vào quark

c(charm) với điện tích 2

3, quark b(beauty, bottom) với điện tích

13

- và quark

t(truth,top) với điện tích 2

3 Như vậy, đến nay đã khẳng định được sự tồn tại

của sáu quark, ba quark với điện tích 2

3 gồm u,c,t và ba quark điện tích

13

- gồm d,s,b Sáu quark này cũng với sáu Lepton được phân thành ba thế hệ như sau: Thế hệ 1: (u,d) và (n , -)

e e

Với fabcv - hằng số cấu trúc của nhóm SU(N)

Từ các ma trận la của nhóm SU(N-1) ta suy được dạng của chúng cho nhóm SU(N) theo qui tắc sau:

Chằng hạn từ các ma trận la của nhóm SU(3) ta suy ra dạng la của nhóm SU(4):

(1.83)

Tiếp tục như vậy, ta viết cho SU(5), SU(6) Đặc biệt, các ma trận

3, ,8 15, 24

l l l l của SU(5) có dạng:

24

1, 1,0,0,0 , 1

1,1, 2,0,0 , 3

1

1,1,1, 3,0 , 6

1

1,1,1, 4 10

l l l l

15

24

35

1, 1,0,0,0,0 ,1

1,1, 2,0,0,0 ,3

1

1,1,1, 3,0,0 ,6

1

1,1,1,1, 4,0 ,10

1

1,1,1,1,1, 5 ,15

l l l l l

.4

39

Chương 2 BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TỬ CỦA ĐẠI SỐ SU(2)

2.1 HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA

Xuất phát từ biểu thức Hamiltonian của dao động tử điều hòa tuyến tính[2][3], [4]:

2

2 x

2 m (2.6)

40

Dễ dàng chứng minh được các toán tử ˆavà ˆa+

thỏa mãn hệ thức giao hoán: [ ]a,aˆ ˆ+ = (2.7) 1

và Hamiltonian của dao động tử điều hòa có dạng:

Chúng ta thiết lập được các công thức sau:

ˆN n =n n

ˆa n = n n 1- (2.13)

ˆa n+ = n 1 n 1+ +

Các toán tử ˆavà ˆa+

gọi là toán tử hủy hạt và sinh hạt, tương ứng, toán tử

+

=

ˆ ˆ ˆ

N a a là toán tử số hạt, n là véc tơ trạng thái có n hạt

2.2 BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TỬ CỦA ĐẠI SỐ SU(2)

2.2.1.Hệ dao động tử boson đa mode

Xét hệ dao động tử boson đa mode, hệ thức (2.7) đối với các dao động

tử boson đơn mode được tổng quát hóa cho các dao động tử boson đa mode như sau:

(2.16)

Trạng thái chân không thỏa mãn điều kiện

a ˆ 0i =0 (2.17) với mọi mode i

42

Trạng thái có n1dao động tử mode 1, n2 dao động tử mode 2, v.v…

được mô tả bởi vectơ trạng thái riêng của toán tử số dao động tử

2.2.2.Biểu diễn dao động tử của đại số SU(2)

Biểu diễn dao động tử của đại số SU(2) được thực hiện bởi hệ dao động tử hai mode Các vi tử

1 , 2 , 3

ˆ ˆ ˆ

J J J của đại số SU(2) được biểu diễn theo

các toán tử boson như sau:

ˆ a

ö ç

ç è

æ

÷

÷ ø

ö ç

ç è

æ

÷

÷ ø

ö ç

ç è

1 0

0 0

1 1

0

3 2

2

ˆ 01 1

ˆ ˆ

ˆ

1 0 2

ˆ ˆ

ˆ2

= a a a a

43

1

1 2

2

ˆ 0 1

ˆ ˆ

ˆ 0 2

a a

a i

J

( 1 2 2 1)2

1 2

ˆ = ˆ ˆ+ - ˆ ˆ+

i a a a a J

1 2 3

2

ˆ

1 0 1

ˆ ˆ

ˆ

0 1 2

1 2 2 1 2

1 1 2 2 3

1

, 2

1

, 2

1

2

a a a a J

a a a a J

trong đó

i j k

e hoàn toàn phản đối xứng với các chỉ số và e123= 1

Để thuận tiện đôi khi người ta còn dùng các vi tử của đại số SU(2) là tổ

hợp của các vi tử trên như sau:

+ -

C = + + (2.28) Đặt:

( 1 2)

1

J = 2 N + N (2.29) Chúng ta có thể biểu diễn toán tử Casimir theo toán tử ˆJ như sau:

45

C =ˆ J Jˆ ˆ( + 1) (2.30)

Đối với biểu diễn bất khả quy, toán tử Casimir có giá trị riêng xác định, cho nên từ dạng (2.30) chúng ta thấy rằng có thể đặc trưng cho biểu diễn bất khả quy của đại số SU(2) bởi các giá trị riêng của toán tử ˆJ

Theo định nghĩa của toán tử số dao động tử Nˆ ivà từ công thức (9.16) chúng ta có:

1

.2

không âm

Để xác định các véc tơ riêng của không gian con của không gian Hilbert, tức là tìm biểu diễn bất khả quy của đại số SU(2) ta nhận xét rằng biểu diễn này phải được xác định bởi hai giá trị riêng (do không gian chung

được xác định bởi hai số n 1 và n 2) Ta nhận xét rằng toán tử ˆJ3 giao hoán với

ˆJ nên ˆJ3 có giá trị riêng xác định, ký hiệu trị riêng này là m và từ định nghĩa