Trạng thái kết hợp của các dao động tử Para-Boson biến dạng

Việc nghiên cứutrạng thái kết hợp của các dao động tử đã góp phần giảiquyết các bài toán phi tuyến của quang học lợng tử, lý thuyếtchuyển pha lợng tử… làm chính xác và phong phú thêmnhữn

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Lưu Thị KimThanh, PGS.TS đã hướng dẫn, cung cấp tài liệu và truyền đạt cho tôi nhữngkiến thức, kinh nghiệm và phương pháp nghiên cứu khoa học để tôi hoànthành tốt luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Vật lí lí thuyết - KhoaVật lí Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã nhiệt tình giảng dạy tạo điều kiệngiúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Cuối cùng tôi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường Đại học sư phạm HàNội 2, Phòng Sau Đại Học Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, Trường Caođẳng Công nghiệp Hưng Yên đã điều kiện giúp tôi hoàn thành khoá học này

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sựhướng dẫn của PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh Luận văn không hề trùng lặp vớinhững đề tài khác.

2011 Tác giả

Mẫn Văn Ngữ

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG I: BIỂU DIỄN MA TRẬN CỦA CÁC TOÁN TỬ SINH - 3 HỦY BOSON 1.1 Biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa tuyết tính 3 1.2.Biểu diễn ma trận của các toán tử sinh - hủy Boson 11

CHƯƠNG II: TRẠNG THÁI KẾT HỢP CỦA CÁC DAO ĐỘNG TỬ 16 PARA – BOSON 2.1.Trạng thái kết hợp 16

2.1.1 Hiện tượng ngư tụ Bose-Einstein 16 2.1.2.Trạng thái kết hợp 22

2.2.Trạng thái kết hợp của các dao động tử Para Boson 24

2.2.1.Dao động tử Boson 24

2.2.2.Dao động tử Para Boson 25

2.2.3 Thống kê Para Boson 27 2.2.4 Trạng thái kết hợp của các dao động tử Para Boson 28 CHƯƠNG 3: TRẠNG THÁI KẾT HỢP CỦA CÁC DAO ĐỘNG TỬ 32 PARA BOSON BIẾN DẠNG 3.1.Trạng thái kết hợp của các dao động tử Boson biến dạng q 32

3.1.1.Lý thuyết q số 32

3.1.2.Dao động tử điều hòa biến dạng q 34

3.1.3.Trạng thái kết hợp của các dao động tử Boson biến dạng q 36

3.1.4.Dao động tử Boson biến dạng q tổng quát 39

3.2.Dao động tử có thống kê vô hạn 40

3.2.1 Phân bố thống kê của dao động tử có thống kê vô hạn 41 3.2.2.Trạng thái kết hợp của dao động tử có thống kê vô hạn 42

3.3 Trạng thái kết hợp của các dao động tử Para Boson biến dạng q 44 tổng quát 3.3.1.Dao động tử Para – Boson biến dạng q tổng quát 44

3.3.2.Phân bố thống kê Para – Boson biến dạng q tổng quát 45

3.3.3 Trạng thái kết hợp của các dao động tử Para – Boson 46biến dạng q tổng quát

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Ngày nay lý thuyết trờng lợng tử đã tạo nên cơ sở của thếgiới quan vật lý để lý giải bản chất của các hạt vi mô vềmặt cấu trúc và các tính chất của nó Từ đó lý thuyết tr-ờng lợng tử đã mở ra con đờng để nhận biết các quá trìnhvật lý xảy ra trong thế giới vi mô, thế giới của các phân tử,nguyên tử hạt nhân và các hạt cơ bản

Trạng thái kết hợp diễn tả trạng thái ngng tụ Bose Einstein là một trạng thái đặc biệt của vật chất và của cáchạt vi mô Trong trạng thái kết hợp hệ thức bất địnhHeisenbeg đạt giá trị cực tiểu (dấu bằng) Việc nghiên cứutrạng thái kết hợp của các dao động tử đã góp phần giảiquyết các bài toán phi tuyến của quang học lợng tử, lý thuyếtchuyển pha lợng tử… làm chính xác và phong phú thêmnhững hiểu biết về thế giới hạt vi mô

-Với mong muốn tìm hiểu rõ hơn về trạng thái kết hợpcủa các dao động tử, tôi đã chọn đề tài '' Trạng thái kết hợpcủa các dao động tử Para-Boson biến dạng''

2 Mục đớch nghiờn cứu

- Nghiên cứu các dao động tử Para-Boson trong lý thuyếttrờng lợng tử và các trạng thái kết hợp của các dao động tửPara-Boson biến dạng q -tổng quát

3.Những vấn đề chính đợc nghiên cứu

- Tính phân bố thống kê của các hệ dao động tử biến dạng

- Xây dựng trạng thái kết hợp của các dao động tử Boson biến dạng q tổng quát

Para Các hệ thức về phơng sai của toạ độ và xung lợng

- Số hạt trung bình trong trạng thái kết hợp và xác suất

để trạng thái kết hợp có n hạt

4 Đối tượng nghiờn cứu và phạm vi nghiờn cứu

6 Những đúng gúp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài

- Đề tài có ý nghĩa góp phần vào việc nâng cao chất ợng dạy và học trong nhà trờng s phạm, nâng cao năng lựcnghiên cứu khoa học của giảng viên, học viên cao học

l Xây dựng các trạng thái kết hợp của các dao động tửPara-Boson biến dạng q tổng quát, thu đợc các hệ thức vềphơng sai của tọa độ và xung lợng, tính đợc số hạt trungbình của hệ trong trạng thái kết hợp và xác suất

để trạng thái kết hợp có n hạt

7 Kết cấu của luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia làm ba chương:

Chương 1: Biểu diễn ma trận của cỏc toỏn tử sinh - hủy Boson

Chương 2: Trạng thỏi kết hợp của cỏc dao động tử Para - Boson

dạn

g

Chương 3: Trạng thỏi kết hợp của cỏc dao động tử Para Boson biến

NỘI DUNG

CHƯƠNG I: BIỂU DIỄN MA TRẬN CỦA CÁC TOÁN TỬ

SINH - HỦY BOSON

1.1 Biểu diễn số hạt của dao động từ điều hòa tuyến tính

Dao động từ điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lượng m,chuyển động dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi f = -kx dọc theo một đườngthẳng nào đó

Ta có biểu thức toán tử Hamiltonian của dao động từ điều hòa mộtchiều:

H□ 

P

x  m

dx là toán tử xung lượng.

Hệ thức giao hoán giữa

pˆ m

2i

qˆ  2m

Khi đó ta biểu diễn

1 aˆ aˆ 2 aˆ aˆ 2 

1 aˆ aˆ aˆ aˆ

aˆ aˆ aˆ aˆ 

Ta biểu diễn các toán tử

aˆ và aˆ ngược lại qua pˆ và qˆ :

pˆ i maˆ aˆ aˆ aˆ 

aˆ 1

□



11

aˆ aˆaˆ aˆaˆ aˆ aˆ aˆ

aˆaˆ aˆ 1.aˆ  aˆ

aˆ aˆaˆ aˆ aˆ aˆ aˆ

aˆaˆ aˆ aˆ aˆ  .1 aˆ 

2dr 0

aˆ với trị riêng (n - 1).

n cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán tử Nˆ

ứngTương tự như vậy

aˆ 2 n ;aˆ 3 n cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán

tử

Nˆ ứng với trị riêng (n - 2), (n - 3)…

Ta tiếp tục xét véc tơ trạng thái aˆ n  , tác dụng lên véc tơ trạng thái

này toán tử Nˆ , sử dụng công thức (1.11) ta có:

Nˆ ứng với trị riêng (n + 1).

Tương tự như vậy

aˆ 2 n ;aˆ 3 n cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán

Từ (1.16) ta có: aˆ

0

(1.17)

min minMặt khác theo định nghĩa

Nˆ

So sánh hai phương trình (1.17) và (1.18) ta đi đến kết luận như sau:

Kết

luận 3 :

Trị riêng nhỏ nhất của toán tử

Nˆ

là nmin có giá trị bằng 0 Véc tơ trạng

thái ứng với trị riêng nhỏ nhất của

thỏa mãn điều kiện aˆ

aˆ 0 là véc tơ riêng của toán tử

Vì Nˆ 0

Trạng thái 0 có năng lượng thấp nhất là E0, trạng thái tiếp theo 1 vớinăng lượng E0 



có thể được xem như là kết quả việc thêm một lượng tử

năng lượng vào trạng thái 0 Trạng thái

tiếp theo 2 ứng với nănglượng E1 

có các giá trị nguyên không âm, cách nhau một đơn vị được đoán nhận là toán

tử số năng lượng Toán tử

aˆ khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với

n

1 do đó được đoán nhận là toán tử hủy lượng tử năng lượng Toán tử aˆ 

khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với n

là toán tử sinh lượng tử năng lượng Nếu ta tưởng tượng rằng lượng tử nănglượng là một hạt thì toán tử

Nˆ sẽ là toán tử số hạt, aˆ sẽ là toán tử hủy hạt, aˆ 

sẽ là toán tử sinh hạt, khi đó trạng thái n với năng lượng En sẽ là trạng thái chứa n hạt, đó là biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa

Trong cơ học lượng tử trạng thái dừng của một dao động tử điều hóa cóthể coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng bằng 

Như ta đã lập luận ở trên khi toán tử

thái tỉ lệ với n 1 và toán

tử aˆ khi tác dụng lên ncho một trạng thái tỉ lệvới n

1 Do đó chúng ta sẽ tính các hệ số tỉ lệ ,,  trong các hệthức:

n n n

1.2 Biểu diễn ma trận của các toán tử sinh, hủy Boson

Ta đã tìm được các hệ thức giao hoán của toán tử sinh hạt và toán tử hủy hạt [2]:

  v 

Hệ thức giao hoán trên được thực hiện trong không gian Fock với véc

tơ cơ sở riêng đã chuẩn hóa của toán tử số dao động tử Nˆ

aˆ n 

aˆ n 

n n 1

n 1 n 1Với toán tử số hạt

Nˆ được biểu diễn theo các toán tử sinh hạt và hủy hạt:

Nˆ aˆ aˆ

Ta sẽ xem xét là đối với các hạt Boson là các hạt có Spin nguyên thì nó

có tuân theo các hệ thức giao hoán hay không?

Để trả lời câu hỏi này ta xây dựng véc tơ trạng thái của hệ hai hạt ở hai trạng thái khác nhau và :

Và ta biết rằng những hạt được mô tả bởi hàm sóng đối xứng là những hạt có Spin nguyên, tức là các hạt Boson

Giả sử biểu

diễn ma trận củacáctoán tử sinh Boson aˆ ,

hủy

aˆ , hủy Boson

aˆ vàtoán tử số hạt

0

3

 



KẾT LUẬN CHƯƠNG I

Trong chương I tôi đã trình bày một cách lôgic, đầy dủ về hình thứcluận dao động tử điều hòa: Khảo sát dao động tử điều hòa tuyến tính trongbiểu diễn số hạt, nêu ra các hệ thức giao hoán của các toán tử sinh hạt, hủy hạt

và toán tử số hạt của dao động tử điều hòa tuyến tính Tìm được biểu diễn matrận của các toán tử đó Đây là cơ sở để chúng tôi tiếp tục nghiên cứu các vấn

đề ở chương tiếp theo

CHƯƠNG II: TRẠNG THÁI KẾT HỢP CỦA CÁC

DAO ĐỘNG TỬ PARA BOSON

2.1 Trạng thái kết hợp

2.1.1 Hiện tượng ngưng tụ Bose – Einstein

Xét hệ khí Boson, là hệ các hạt lượng tử đồng nhất có spin nguyên haybằng không Những hạt như vậy có thể là các photon, các meson hay cácnguyên tử trong đó có số electron và số nucleon là chẵn

Khi xây dựng xong thống kê Bose - Einstein cho hệ các hạt đồng nhấtBoson, dựa vào tính chất lượng tử của hệ các hạt đồng nhất Boson là không bịchi phối bởi nguyên lý cấm Pauli, tức là số các hạt ở trong cùng một mứcnăng lượng có thể là tùy ý, Einstein đã tiên đoán về một trạng thái đặc biệtcủa vật chất đó là trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein

Sau đây bằng các tính toán cụ thể chúng ta sẽ chứng tỏ được điều tiênđoán của Einstein là hoàn toàn đúng đắn

Năm 2001 giải Nobel Vật lý được trao cho ba nhà khoa học Esic A.Cornell, Wolfgang Ketterle và Carl E.Wieman

Khí Boson tuân theo quy luật phân bố thống kê Bose – Einstein, vìvậy số hạt trong khoảng năng lượng từ đến + dlà:

Trong đó: f() là số các mức năng lượng trong khoảng đến +d

N là số hạt trung bình ở trên cùng một mức năng lượng tức hàm

phân bố Bose – Einstein: N g

Với k là hằng số Boltzmann, là thế hóa học, g () là bội suy biến của các trạng thái lượng tử

Theo quan điểm lượng tử các hạt Boson chứa trong thể tích V có thểxem như các sóng đứng De Broglie.

Ta có số sóng đứng có chiều dài (modun) của véc tơ sóng 

2 

 p2dp

d

2m3

V22

Thay (2.2) và (2.3) vào (2.1) ta thu được số hạt trung bình có nănglượng trong khoảng đến + dbằng:

Lấy tích phân trong khoảng năng lượng từ 0 đến , ta được tổng

Số hạt dn () trong khoảng năng lượng từ đến + dphải là

số dương, vì thế hóa học phải thỏa mãn điều kiện 0

Nếu số hạt N là số cho trước thì biểu thức (2.7) sẽ xác định được

1 

 20

0 vào (2.7) và lấy tích phân ta được:

và biến đổi tích phân (2.9) về dạng:

Nói chung đối với mọi chất khí Boson nhiệt độ Tc rất nhỏ, tuynhiên sự tồn tại Tc 0 có ý nghĩa rất quan trọng Để hiểu được ýnghĩa của nó ta xét khoảng nhiệt độ 0 T Tc, thế hóa học = 0với nhiệt độ T  Tc, số hạt có năng lượng > 0 được tính như sau:

dx (2.12)



kT

2  14 e 1

c hạt có năng lượng > 0 là N (> 0) nhỏ hơn tổng số hạt của chất khí.Vậy thì số hạt còn lại có năng lượng bằng bao nhiêu? Vì năng lượng củamỗi hạt không thể âm nên hiển nhiên là số hạt còn lại có năng lượng = 0

Số hạt đó được tính như sau:

Khi T = 0K thì tất cả các hạt đều có năng lượng = 0 Việc tínhtoán được nhiệt độ ngưng tụ Tc chứng tỏ rằng ở nhiệt độ đó tất cả các chấtđều ở trạng thái rắn hoặc trạng thái lỏng, nghĩa là chúng không ở trạng tháikhí

đổi trạng thái độc đáo, mà ta có thể xem như là sự ngưng tụ Bose Ở nhiệt độthấp hơn nhiệt độ 2,8K Hêli lỏng gồm hai thành phần:

Thành phần bình thường mà ta có thể xem như một chất khí Boson cònchưa ngưng tụ, và thành phần siêu lỏng mà ta có thể xem như một chất khí

Boson ngưng tụ ở mức “không”.

Các hạt nằm ở mức “không” của thành phần siêu lỏng của Hêli không

thể có đóng góp gì vào trong nhiệt dung và không thể truyền năng lượng trongchuyển động tương đối Nói khác đi, trong thành phần siêu lỏng

có xuất hiện lực nội ma sát (độ nhớt)

He

4 khôngNhư vậy việc chuyển Hêli từ trạng thái lỏng về trạng thái siêu lỏng(chuyển pha loại hai) có thể xem như là sự xác nhận lý thuyết về sự ngưng tụcủa khí Boson Tuy nhiên với đồng vị

He3 lỏng thì không có thành phần siêulỏng ở nhiệt độ thấp, bởi vì số nucleon trong hạt nhân là lẻ, nó có Spin bán nguyên và do đó nó tuân theo thống kê Fecmi – Dirac

Dựa vào biểu thức (2.11) ta thấy rằng nhiệt độ chuyển pha Tc phụ thuộc vào nồng độ hạt (N/V)

Không giống như trạng thái Fock trong biểu diễn số hạt, trong đó hạtthì xác định còn pha thì tùy ý Trạng thái kết hợp có pha dao động nhỏ nhưng

số hạt thì lại hoàn toàn tùy ý Vì lý do này nên về mặt toán học trạng thái kếthợp mà ta ký hiệu  có thể được coi như là trạng thái riêng của toán tửhủy

dao động thỏa mãn phương trình hàm riêng trị riêng

Chúng ta có một số kết quả như sau:

- Trong hình thức luận dao động tử điều hòa các toán tử tọa độ và toán

tử xung lượng được biểu diễn qua các toán tử

Để thuận tiện thay cho các đại lượng tọa độ và xung lượng ta dùng cácđại lượng không thứ nguyên như sau:

và4

Toán tử số dao động tử N được biểu diễn theo các toán tử sinh, hủy như sau:

Nˆ aˆ aˆ 1 aˆ

(2.23)





31Tác dụng của các toán tử a,a+ lên các véctơ trạng thái n là:

Khi bậc của thống kê Para p

1 thì thống kê Para trở về thống kê Einstein và thống kê Fermi-Dirac tương ứng

Bose-Trong không gian Fock tồn tại một trạng thái chân không thỏa mãn các

hệ thức sau:

aˆaˆ 0 p 0

Vậy trong không gian Fock với cơ sở là các véctơ trạng thái riêng củatoán tử số dao động tử N có các hệ thức sau:

aˆaˆ aˆ aˆ 1

2.2.3 Thống kê Para Bose

Trị trung bình của một đại lượng vật lí F tương ứng với toán tử F đượctính theo công thức:

, k là hằng số Boltzmann, T là nhiệt độ của hệ H là Hamiltoman

của hệ, trong đó vết lấy theo đầy đủ các trạng thái của hệ, trường hợp đơngiản nhất ta có:

vào hệ thức (2.40) trên cơ sở hệ thức (2.39) chúng ta

tính được phân bố thống kê Para Bose như sau:

2.2.4 Trạng thái kết hợp của các dao động tử Para-Bose

Về mặt toán học các trạng thái kết hợp mà ta ký hiệu là z có thể coi