Biểu diễn dao động của đại số Su(2)

dụng của chúng trong các mẫu vật lý và trong mối liên quan với lời giải cácphương trình vi phân phi tuyến.Đề tài: “Biểu diễn dao động của đại số SU2” cũng nằm trong hướng nghiên cứu này,

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Vật lý học là một trong những môn khoa học nghiên cứu các quy luật

từ đơn giản đến tổng quát của tự nhiên Trong những thập kỷ gần đây khoahọc nói chung và vật lý học nói riêng đã thực hiện được những bước pháttriển ngoạn mục, đánh dấu bởi vô số những phát minh kỳ diệu, từ những lĩnhvực lý thuyết trừu tượng nhất đến những lĩnh vực ứng dụng rộng rãi nhấttrong thực tế sản xuất và đời sống Đặc biệt, vật lý các hạt cơ bản đã đạt đượcnhững thành tựu mang tính chất cách mạng, cả về mặt lý thuyết lẫn thựcnghiệm, trong việc nghiên cứu cấu trúc cùng với các cơ chế tương tác giữacác hạt Đến nay số hạt cơ bản phát hiện được đã lên tới hàng trăm, tương tácvới nhau theo các quy luật rất phong phú và đa dạng Tìm hiểu được cấu trúccủa thế giới các hạt vi mô cùng với những quy luật tác động trong đó để tạo rathế giới xung quanh ta ra sao là những vấn đề cốt lõi của vật lý học hiện đại

Sau sự phát triển của mẫu quark và lý thuyết Gauge không abelian củatương tác mạnh và tương tác yếu, sự hiểu biết những nhóm Lie đã trở thànhcần thiết cho việc nghiên cứu lý thuyết hạt cơ bản Nhóm Lie ngày càng trởthành công cụ chủ yếu của vật lý lý thuyết hiện đại như giải tích phức,phương trình vi phân riêng, lý thuyết nhóm vô hạn… Việc nghiên cứu cácdao động tử mà trong đó các toán tử sinh, hủy dao động tử tuân theo các hệthức giao hoán nhằm giải quyết các bài toán phi tuyến tính trong quang họclượng tử, các bài toán phi tuyến của dao động mạng trong vật lý chất rắn, làmchính xác và phong phú thêm những hiểu biết về thế giới hạt vi mô Gần đâyviệc mở rộng nghiên cứu về biểu diễn dao động đã thu hút được sự quan tâmcủa rất nhiều nhà vật lý lý thuyết và vật lý toán bởi vì những quan điểm ứng

dụng của chúng trong các mẫu vật lý và trong mối liên quan với lời giải cácphương trình vi phân phi tuyến.

Đề tài: “Biểu diễn dao động của đại số SU(2)” cũng nằm trong hướng

nghiên cứu này, với hy vọng góp phần hiểu biết đầy đủ hơn về thế giới quanh

ta, đặc biệt là thế giới các hạt vi mô và từ đây “bức tranh” tổng quan về vật lýhọc sẽ phần nào được hiện rõ

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu hình thức luận của dao động tử điều hòa, đại số SU(2) vàbiểu diễn dao động của đại số SU(2)

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đạt được mục đích nghiên cứu đề ra cần thực hiện các nhiệm vụsau:

- Nghiên cứu và viết tổng quan về dao động tử

- Xây dựng đại số SU(2)

- Biểu diễn dao động của đại số SU(2)

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu các dao động tử lượng tử

- Nghiên cứu đại số SU(2) và biểu diễn dao động của chúng

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp lý thuyết nhóm đối xứng

- Phương pháp lý thuyết trường lượng tử

- Các phương pháp giải tích

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

1.1 Dao động điều hòa

Xét chuyển động một chiều theo trục Ox của một hạt có khối lượng m

chịu tác dụng của lực đàn hồi F  kx ( k là hệ số đàn hồi ).

Trong Cơ học cổ điển:

Chuyển động của hạt được diễn tả bằng phương trình định luật IINewton

Với A là biên độ dao động

 là pha ban đầu của dao động

 1 m2

A2.2

Vậy ứng với mỗi giá trị của  , năng lượng có thể có những giá trị liên tục, tỉ lệ thuận với biên độ A

Ta có vận tốc của hạt như một hàm của tọa độ

1.2 Biểu diễn tọa độ của dao động điều hòa

Hệ đang xét được gọi là dao động tử điều hòa Thế năng của hạt là:

V (x)  1 kx2  1 m2

x2 .2

 Hˆ   ћ d

2m dx2  1 kx2

2Trạng thái lượng tử của hạt với năng lượng E được diễn tả bằng hàmsóng  (x) thỏa mãn phương trình Schrodinger (phương trình chuyển động

của hạt vi mô)

Hˆ (x)  E (x)

2 2

 [  ћ d 2m dx2  1 kx2 (x)]  E (x)

(*)

  2 E ћ  2 E ћ  Dùng biến không thứ nguyên:    x

Thay vào phương trình (1.1) ta được:

 [ d   2 + ]□ ( )  0 (1.2)

d 2Với □ ( )  (  )

 hữu hạn tại   0 và giới nội khi    Dáng điệu của □ ( ) ở lân cận  là:

□ ( ) □ exp( 

)2Nghiệm (1.2) có dạng:

Thay (1.5), (1.5'), (1.5'') vào (1.4) ta được:

E0 

2 ћ được gọi là năng lượng không.

Sự tồn tại của năng lượng thấp nhất E0

cơ sở lý thuyết lượng tử

chỉ có thể giải thích được trên

Thật vậy, nếu gọi độ bất định của năng lượng, xung lượng và tọa độ là

E, p, x Sự tồn tại năng lượng

tọa độ và xung lượng của hạt

E0  0 gắn liền với hệ thức bất định giữa

Đó chính là giả thuyết Planck: năng lượng của một dao động tử điều

hòa bằng một bội nguyên của lượng tử năng lượng ћ

Để xác định dạng tường minh của hàm sóng  (x)

Thay I vào (**) ta có: N n    

    2n n!.

Như vậy năng lượng E của dao động tử điều hòa với (n  0,1, 2 ) bị

lượng tử hóa, năng lượng nhỏ nhất lt 

Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa cũng có thể tìm được bằngphương pháp đại số, sử dụng các hệ thức giao hoán chính tắc và biểu thức củaHamiltonian ta có:

Để thuận tiện hơn, thay các toán tử tọa độ x và xung lượng

bằng các toán tử tọa độ và xung lượng chính tắc mới:

d

i dx

x  qˆ  mx d

  12 ( pˆ  i qˆ)

Vì:

 [aˆ, aˆ ] 



12

12

( pˆ  i qˆ)( pˆ  i qˆ)



[2i ( pˆqˆ  qˆpˆ )]

12 ( pˆ  i qˆ)( pˆ  i qˆ)

Để làm điều đó ta định nghĩa một toán tử mới Nˆ  aˆ

n  Nˆ  n

n  n n  aˆn  naˆ  n

Sử dụng hệ thức giao hoán (1.10) kết hợp với định nghĩa (1.13) ta có

[Nˆ , aˆ ]=Nˆaˆ  aˆ Nˆ  aˆ aˆaˆ  aˆ aˆ aˆ  aˆ (aˆaˆ  aˆ aˆ)

 aˆ[aˆ, aˆ ]=aˆ

[Nˆ , aˆ] =Nˆaˆ  aˆNˆ  aˆ

+ Nếu ta kí hiệu n là véctơ riêng của toán tử

Tác dụng lên véctơ trạng thái này

 aˆ (n  1) n

riêng n thì với p  1, 2,3, ta có

aˆ p n cũng là một véctơ riêng của toán tử

Nˆ

ứng với trị riêng (n  p) và aˆ  p

n cũng là một véctơ riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n  p) nếu chúng khác 0.

Kết hợp hai điều trên ta thấy rằng nếu n là một trị riêng của toán tử

Nˆ thì chuỗi các số không âm (n  1), (n  2), … cũng là trị riêng của toán tử

Thật vậy vì khi đó véctơ trạng thái ứng với trị riêng nmin 1  0 , trái với

giả thiết nmin

là trị riêng nhỏ nhất Từ (1.18) ta suy ra:

Trị riêng nhỏ nhất của toán tử

Nˆ

là nmin  0 Véctơ trạng thái ứng với

trị riêng của toán tử

Nˆ được kí hiệu là 0 Véctơ trạng thái này thỏa mãn điềukiện aˆ

n là véctơ riêng của Hˆ ứng với trị

riêng

E  (n  1 ) 

n

2Vậy các trạng thái dừng của dao động tử điều hòa có năng lượng giánđoạn với các giá trị cách đều nhau: hiệu số năng lượng giữa hai trạng thái kềnhau luôn luôn bằng cùng một lượng tử năng

năng lượng thấp nhất

là E0 Trạng thái tiếp theo 1 với năng lượng E0  

có thể xem là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng 

vào trạngthái 0 Trạng thái tiếp theo 2 với năng

không chứa một lượng tử nào; 1 là trạng thái chứa một lượng tử; 2 là trạng



thái chứa hai lượng tử; … ; n là trạng thái chứa n lượng tử Toán tử Nˆ cógiá trị riêng không âm cách nhau một đơn vị được đoán nhận là toán tử sốlượng tử năng lượng Toán tử

với n 1 và do đó được đoán nhận là toán tử hủy lượng tử năng lượng Toán

tử aˆ khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ

1 và do đó đượcđoán nhận là toán tử sinh lượng tử năng lượng

Nếu tưởng tượng rằng lượng tử năng lượng là một hạt thì

lượng E n  n sẽ là trạng thái chứa n hạt Đó là biểu diễn số

hạt của dao động tử điều hòa

Trong Cơ học lượng tử, trạng thái dừng của một dao động tử điều hòa

có thể coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng  Khái niệm

“hạt” đưa vào đây chỉ để cho tiện Thực chất, đó là các “giả hạt”, một kháiniệm quan trọng và hữu hiệu khi nghiên cứu các trạng thái kích thích trongVật lý các môi trường đông đặc

(1.19)

Sao cho các véctơ trạng thái là trực giao chuẩn hóa

m  n   mn

n

Như vậy, ta đã thiết lập được các công thức quan trọng sau:

n1

n  1 n!

aˆ  n 0

CHƯƠNG 2: ĐẠI SỐ SU(2)

2.1 Đại số SU(2)

2.1.1 Định nghĩa

Tập hợp tất cả các ma trận 2  2 , Unita, có định thức bằng 1, thỏa mãncác tính chất của nhóm tạo thành nhóm đối xứng SU(2)

Mọi phần tử g của nhóm đối xứng SU(2) đều biểu diễn dưới dạng:

Sp(I a ) : là tổng các phần tử trên đường chéo chính của ma trận

Khi đó gđược gọi là nhóm biến đổi SU(2).

của nhóm biến đổi SU(2).

I a được chọn như trên thỏa mãn các tính chất

 132  1.

) I1, I1   I2 , I2 I3 , I3   0

 112  113  221  331  0

Như vậy ta cũng tìm được các hằng số cấu trúc của nhóm SU(2) nhưsau: 123  132  213  321  312  231  1 Các hằng số cấu trúc còn lạibằng 0.

2.1.3 Đa tuyến SU(2)

(a,b, c  1,3)

abc

là hằng số cấu trúc của nhóm SU(2)

Thì r hạt lập thành một đa tuyến r chiều củaSU(2).

Khi a vô cùng bé, khai triển Furiê và lấy đến số hạng gần đúng bậcmột ta được:

một hạt Hạt được gọi là hạt trơ hay hạt vô hướng.

 Nếu số chiều của ma trận T a bằng chỉ số của nhóm ( r  2 ) thì 2 hạt lập

thành một biểu diễn cơ sở của nhóm SU(2).

Hai hạt proton và notron (p, n) lập thành một biểu diễn cơ sở của

SU(2)

Hàm trường của proton là: 1 .Hàm trường của notron là:  2

 Nếu số chiều của ma trận

T2   i 221  i222  i223     0 0 0 ;

 i231  i232  i233   i 0 0 

 i311  i312  i313   0  i 0 



1 (  i ) 2

2.2 Biểu diễn dao động của đại số SU(2)

Trạng thái chân không thỏa mãn điều kiện

với mọi mode i

Trạng thái có n1 dao động tử mode 1, n2

dao động tử mode 2,… được

mô tả bởi véctơ trạng thái riêng của toán tử số dao động tử

Biểu diễn dao động tử của đại số SU(2) được thực hiện bởi hệ dao động

tử hai mode a i i  1, 2 như sau Các vi tử của đại số SU(2) J1, J2 , J3 đượcxây dựng theo công thức:

J  1 a a   a1  2.13

i

2 1 2 i  

 a2 Trong đó 

a2   J  1

aa  aa

1  1 2 2 1 

2Tương tự: J  1 a a   0

 i  a1 2

Có thể thấy rằng dựa vào các hệ thức giao hoán 2.7 ta tìm được hệ

thức giao hoán của các J i Ji , J j  

Đây chính là đại số Lie SU(2) Vậy có thể biểu diễn đại số SU(2) quacác toán tử boson Biểu thức (2.11) chính là các véctơ trong không gianHilbert của biểu diễn Ta hãy thử không gian biểu diễn (2.11) tìm ra cáckhông gian con bất khả quy.

Để thuận tiện đôi khi người ta còn dùng các vi tử là tổ hợp của các vi tửtrên như sau:

Không gian của biểu diễn SU(2) là không gian Fock với các cơ sở là

các véctơ trạng thái riêng của toán tử số dao động tử N:

n  n1, n2(a )n1 (a )n2

diễn SU(2) bởi các giá trị riêng của toán tử J

Theo định nghĩa của toán tử số dao động tử

là các số nguyên, suy ra j là một số nguyên hoặc bán

nguyên, không âm

Để xác định các véctơ riêng của không gian con của không gian Hilbert

2.14 , tức biểu diễn bất khả quy của đại số SU(2) ta nhận xét rằng biểu diễn này phải được xác định bởi hai giá trị riêng (do không gian chung được xác

định bởi hai số n1

và

n2 ) Ta nhận xét rằng toán tử J3 giao hoán với J tức là

nó có giá trị riêng xác định Ta kí hiệu trị riêng này là m và từ định nghĩa của

Vậy biểu diễn bất khả quy của SU(2) trong không gian các véctơ cơ sở

2.14 có thể đặc trưng bởi j và m liên hệ với n

Từ đó không gian con của các véctơ cơ sở của biểu diễn bất khả quy là:

Từ 2.24 và 2.25 ta thấy rằng với một giá trị j xác định thì m có

j, m như sau:

a1 a1

j, m

Tương tự, tác dụng của toán tử a a

lên véctơ trạng thái j, m như sau:

a2 a2

j, m





2 2

 1 2

Chúng ta suy ra các vi tử J3 , J , J của đại số SU(2) tác dụng lên

véctơ trạng thái j, m trong không gian con của biểu diễn bất khả quy theo

CHƯƠNG 3: ÁP DỤNG LÝ THUYẾT NHÓM ĐỐI XỨNG SU(2)

ĐỂ TÍNH SỐ LƯỢNG TỬ CỦA CÁC HẠT

3.1 Các số lượng tử của proton và notron

Như ta đã biết 2 hạt proton và notron lập thành một biểu diễn cơ sở của

SU(2).

I , 

(x)   j

(x)(T ) i .Nếu hàm trường  p 1 ;  n  2

nhóm biến đổi SU(2):

biến đổi như sau dưới tác dụng của

Với

T a

  a2

 Spin của hạt proton là: 1

2

 Hạt proton là hạt baryon nên số baryon của hạt proton là 1: B p  1

 Hạt proton không là hạt lepton nên số lepton của hạt proton là 0:

L p  0

 Hạt proton không là hạt lạ nên số lạ của hạt proton là 0:

3 1

3 2

S p  0

 Siêu tích của hạt proton (Y p ) được tính theo công thức:

Y p  B p  S p  L p

 1  0  0  1

Vậy siêu tích của hạt proton là 1: Y p =1

 Điện tích của hạt proton ( Q p )

[I ,  ] 1 0. 

 (1).

Vậy siêu tích của hạt notron là 1: Y n =1

 Điện tích của hạt notron ( Q n )

Vậy hạt notron không mang điện

3.2 Các số lượng tử của  -meson

Như ta đã biết 3 hạt  -meson lập thành một biểu diễn chính quy

 0.3 

 i2 (1)

 I3  2Vậy điện tích của hạt  

là +e

 1  0  1

0 0

3





 0  0  0.2

0

  12

  i  )



=  1.  .Vậy hình chiếu spin đồng vị của hạt 

 0.

là -e.

  

2

Y   1  0  1 2









KẾT LUẬN

Khóa luận “Biểu diễn dao động của đại số SU(2)” đã được thực hiện

và đạt được các kết quả sau:

- Đã trình bày một cách lôgic, đầy đủ về hình thức luận dao động tửđiều hòa

- Đã đưa ra một cách khái quát về đại số SU(2) cũng như đưa ra biểudiễn dao động của đại số lượng tử SU(2) Dựa vào các hệ thức giaohoán đã chứng minh được đại số SU(2) là một hệ đóng kín, cụ thể:

Qua đề tài này em đã bước đầu tìm hiểu thêm về biểu diễn đại số lượng

tử trong nghiên cứu hạt cơ bản Đó là cơ sở và nền tảng cho em tìm hiểu sâu

về hạt cơ bản nói riêng và vật lý lý thuyết nói chung

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Tạ Quang Bửu (1987) , Hạt cơ bản - Nxb Giáo dục.

2 Đào Vọng Đức (2011) , Bài giảng lý thuyết hạt cơ bản - Nxb Khoa

học kĩ thuật

3 Đặng Xuân Hải (1987) , Bài giảng vật lý hạt nhân và hạt cơ bản.

4 Lê Chấn Hùng – Vũ Thanh Khiết (1989) , Vật lý nguyên tử và hạt nhân - Nxb Giáo dục.

5 Hoàng Ngọc Long, Nhập môn lý thuyết trường và mô hình thống nhất tương tác điện yếu.

6 PGS TS Nguyễn Thị Hà Loan, Bài giảng chuyên đề “Hạt cơ bản”.

7 Phạm Thúc Tuyền, Hạt cơ bản - Nxb ĐHQG Hà Nội.