Phổ của một phần tử trong đại số Banach

LỜI CAM ĐOANKhóa luận này là những nghiên cứu của em dưới sự hướng dẫn tận tình nghiêm khắc của thầy TẠ NGỌC TRÍ bên cạnh đó em được sự quan tâm, tạo điều kiện của các thầy cô trong khoa

MỤC LỤC

Phần mở đầu 1

Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Nguồn gốc của lý thuyết phổ 3

1.2 Phổ của một toán tử 5

1.3 Đại số Banach 8

1.4 Nhóm tuyến tính tổng quát A 10

1.5 Định lí Hahn-Banach 12

1.6 Định lí Liouvelle 15

1.7 Định lí Banach-Steinhauss 16

Chương 2: Phổ của một phần tử trong đại số Banach 18

Chương 3: Bán kính phổ 22

Phần kết luận 26

Tài liệu tham khảo 27

1

LỜI CẢM ƠN

Em xin bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn khoa học Tiến

sĩ TẠ NGỌC TRÍ thầy đã tận tình giúp đỡ và nghiêm khắc hướng dẫn em

để em có thể hoàn thành được khóa luận này

Trong quá trình học tập, trưởng thành và đặc biệt là giai đoạn thựchiện khóa luận,em nhận được sự dậy dỗ ân cần, những lời động viên và chỉbảo của các thầy cô Qua đây cho phép em được bầy tỏ sự biết ơn chânthành đến các thầy, cô giáo trong tổ giải tích, khoa toán trường ĐHSP HàNội 2

Xin cảm ơn các bạn trong nhóm chuyên đề “Giải tích lồi” nhữngngười đã cùng tôi san sẻ những kiến thức, hun đúc quyết tâm và công táchiệu quả trong quá trình thực hiện khóa luận này

Em xin chân thành cám ơn!

Hà Nội Ngày 01 tháng 05 năm 2012

SV thực hiện LƯƠNG THẾ TOÀN

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là những nghiên cứu của em dưới sự hướng dẫn tận

tình nghiêm khắc của thầy TẠ NGỌC TRÍ bên cạnh đó em được sự quan

tâm, tạo điều kiện của các thầy cô trong khoa toán trường ĐHSP Hà Nội 2

Vì vậy em xin cam đoan nội dung của đề tài “ Phổ của một phần tửtrong đại số Banach”không có sự trùng lặp với các đề tài khác nếu sai emxin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Hà Nội Ngày 01 tháng 05 năm 2012

SV thực hiệnLƯƠNG THẾ TOÀN

1 Lý do chọn đề tài

PHẦN MỞ ĐẦU

Sau 4 năm học đại học, bộ môn giải tích đã thực sự cuốn hút đối với

em mặc dù nó là bộ môn không phải là dễ dàng tiếp cận, các đối tượngtrong giải tích là các đối tượng có tính chặt chẽ và mang tính trừu tượnghóa cao

Lý thuyết hàm và giải tích hàm có tầm quan trọng đặc biệt đối vớitoán học cơ bản và toán học ứng dụng, nội dung của nó rất phong phù và đadạng Do kiến thức trên lớp với lượng thời gian ít nên khó có thể đi sâunghiên cứu một vấn đề nào đó của giải tích hàm, với mong muốn được tìmhiểu sâu hơn về bộ môn này dưới góc độ một sinh viên sư phạm toán vàtrong pham vi của một khóa luận tốt nghiệp, cùng với sự giúp đỡ của thầy

giáo tiến sĩ Tạ Ngọc Trí em xin mạnh dạn nêu lên những hiểu biết của

mình về đề tài “Phổ của một phần tử trong đại số Banach”

2 Mục đích nghiên cứu

Quá trình thực hiện đề tài, đã giúp em bước đầu làm quen với việcnghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu sắc hơn về bộ môn giải tích hàm, đặcbiệt là tìm hiểu sâu hơn về “Phổ của một phần tử trong đại số Banach”

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về phổ của một phần tử trong đại số Banach bán kínhphổ của phần tử đó

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đề tài này được nghiên cứu nhằm đi sâu khai thác và làm nổi bật phổcủa một phần tử trong đại số Banach

5 Các phương pháp nghiên cứu

Phương pháp suy luận logic

Phương pháp phân tích, tổng hợp và đánh giá.

6 Cấu trúc của khóa luận

Khóa luận bao gồm 3 chương

Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Phổ của một phần tử trong đại số BanachChương 3: Bán kính phổ

Chương 1 NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Nguồn gốc của lý thuyết phổ

Mục đích phổ của toán tử phát triển nhằn để hiểu cụ thể vấn đề của đại

số tuyến tính có liên quan tới các cách giải của phương trình tuyến tính vàkhái niệm vô hạn chiều

Vấn đề cơ bản của đại số tuyến tính trên trường số phức là cách giảicủa hệ phương trình tuyến tính Một là cho

sự tồn tại các cách giải của (1.1) với g là bất kỳ

Sự tồn tại của (1.1) là duy nhất, lời giải của (1.1) cho tất cả sự lựa chọn của

g nếu và chỉ nếu toán tử tuyến tính A là khả nghịch điều này liên quan tới

n

việc tìm cách giải hệ (1.1) và trong trường hợp này là hữu hạn chiều toán tử

A là khả nghịch hay chính xác hơn khi phần tử quyết định ma trận (aij) làkhác không Còn trong trường hợp vô hạn chiều thì găp nhiều khó khănhơn bởi vì các toán tử trên không gian Banach vô hạn chiều không có kháiniệm phần tử quyết định

Việc giải (1.1) liên quan đến khái niệm giá trị riêng và trong trường hợphữu hạn chiều Lý thuyết phổ làm giảm các lý thuyết về giá trị riêng, chínhxác hơn giá trị riêng và giá trị vectơ của toán tử A xuất hiện trong cặp

và với cách chọn l bất kỳ nó là không gian con tầm thường {0},

Vl là không tầm thường nếu và chỉ nếu toán tử A- l 1 có phần tử khôngtầm thường hay nếu và chỉ nếu toán tử A- l 1 là không khả nghịch Phổ

s

(A) của A được định nghĩa là tập hợp tất cả số λ ∈ □ như vậy và

nó là

một tập số thực của số phức không chứa hơn n phần tử

Chý ý 1.1.1 Chúng ta đã chỉ ra rằng phổ của bất kỳ toán tử nào trên £ n

là

số thực chứng minh quen thuộc nhất là việc liên quan đếnhàm f (l )=

det(A- l 1) trong đó f là một đa thức với hệ số phức có số

không là điểm của s (A) và sau đó thu hút các định lý cơ bản của đại số

n

Ví dụ1.1.2 Ví dụ này cho bởi Niels Henrik Abel (1823)

Chọn một số a trong khoảng mở đơn vị và g là một hàm nhẵn trên khoảng

(0,1) thỏa mãn g(a)= 0 Abel tìm kiếm hàm f mà

Ký hiệu E là không gian Banach phức, với một toán tử trên E

chúng ta làm một biến đổi giới hạn tuyến tính

T : E®

của tất cả các không gian toán tử trên E , chúng ta lấy 2 toán tử

A,B

Î B(E ) để có được kết quả toán tử AB Î B(E) ta định nghĩa phép

nhân thỏa mãn 2 luật kết hợp và phân phối

Định lý1.2.1 Với mỗi AÎ B(E) các điều kiện sau là tương đương

(1) Với mỗi yÎ E có duy nhất xÎ

α

y

α

B(E) thỏa mãn AB = BA= 1

Giả sử A là khả nghịch như một biến đổi tuyến tính trên không gianvectơ E và ta xét nghịch đảo của nó là B : E

Không gian bên phải là đóng trong E Å

E

vì A là liên tục Do đó đồ thịcủa B là đóng

và theo nguyên

lý đồ thị đóng thì B Î

B(E)

Định nghĩa 1.2.2

1

B Î B

(

E

)

thỏa

h

ổ khả nghịch

s (A)

của

A làtập hợp tất

cả các

số phứ

c l

mà

r(A)= £ \s (A)

Ví dụ 1.1.2 ở phần trước, chúng ta đã

trình bầy với một toán tử và khẳng định

về sự khác nhau của các phổ Đối với ví

dụ để xác định xem một toán

tử nào là khả nghịch, người ta đi xác

định vấn đề có hay không 0 Î s (A)

.Các phổ là quan trọng nhất khi chúng bất

biến gắn liền với một toán tử

Chú ý 1.2.3 Nhận xét về phổ toán tử

Chúng ta đã xác định được phổ của một toán tử

chỉ là bắt đầu, để có thông tin chính xác

hơn về các điểm khác nhau của

s (T )

Xét ví dụ 1.2.4 Giả sử rằng có

một vectơ khác không x Î E = l xmà Tx

với mỗi số phức l trong trường hợp này

l được gọi là một giá trị riêng

(liên hệ với vetơ

riêng x ) rõ ràng T

-l 1 là không khả nghịch Do

đ

l Î s (T) tập hợp tất cả các giá trị riêng của T

Một loại điểm phổ xẩy ra khi T -

l

là 1-1 nhưng không trên nó điều này

có thể xẩy ra theo 2 cách Hoặc là phạm vi của T - l

trên E hoặc là đóng nhưng không tất cả trong E

là khôngđóng

Ví dụ 1.2.5 Xét sự thay đổi của toán tử V xác định trên C [ 0,1 ]

kiểm tra V là 1-1 nghĩa là phạm

vi của nó không phải là đóng vàphạm vi đóng của nó là mộtkhông gian con của hàm giá trịthực trong C [ 0,1 ]

1.3 Đại số Banach Định nghĩa1.3.1 (Bao đại số)

Bởi một đại số trên □ chúng ta nói đến một bao đóng không gian

vectơ A liên tục với một toán tử nhị phân

khẳng

đ

13

14

bởi x

y

=

0

với mọi x, y Khi một đại số

được nhận diện thì nó là yếu tố

quyết định duy nhất

Định nghĩa1.3.2 (đại số

Banach,chuẩn đại số )

15

Chuẩn đại số là một cặp A ,||.|| gồm một đại số A cùng với một

Nhận xét 1.3.3 Chúng ta biết rằng một chuẩn có lợi đầy đủ.

Một không gian tuyến tính định chuẩn E là một không gian Banach nếu và chỉ nếu tất cả các dãy cơ bản trong chúng hội tụ Một cách chính xáchơn E là đầy đủ nếu và chỉ nếu tất cả các dãy con xn Î

các hàm có giới hạn trên E , x.y là phép hợp thành của hàm đó đây là một

đại số Banach với đơn vị là||1||= 1, nó là đầy đủ vì E là đầy đủ

Ví dụ 1.3.5 C(X) , X là một không gian Hausdorff thu gọn và xem đơn vị

của đại số C(X) của tất cả các hàm phức tạp có giá trị liên tục xác định trên

X phép nhân và phép cộng được xác định bởi:

f g(x) = f (x).g(x) ( f + g)(x)

So với định chuẩn sup,

vị

C(X) trở thành một đại số Banach giao hoán có đơn

t đoạnlàb

ị chặnnên

≤

y x

Vậy

C

là mộ

t đại

số Banac

h

có đơ

n vị

Đ ị n h l ý 1 3 6

Đốivớib

ất kỳ nhóm G Compact có một Radonđộ

đo m trên G đó là bất biến

theo phiên dịch trái Nghĩa là m(x.E)

= m(E)

cho mỗi E ta thiết lập Borel và với mỗi x Î G. Nếu một độ đo n là

đủ,sau đó có một số c

không đổi như vậy Borel

+

b

nhóm và các nhóm SL(n,¡ ) Một chứng

minh về sự tồn tại của

cách giải Haar được tìm thấy trong Loomishoặc Hewitt và Ross

Chúng ta viết dx thaybởi

dm(x) , ở đây m là một độ

đo Haar trái trên một

địa phương thu nhỏ nhóm G Đại số nhóm G là không gian L1

(

G

)

tất cả

các hàm khả tích

n tron

g trườn

g hợp

ới

1.4 Nhóm tuyến tính tổng quát A

Định nghĩa 1.4.1 Phần tử khả nghịch

Cho A là đại số Bannach với đơn vị

1, như kết quả trước ta giả sử

Chúng ta viết A- 1 (hay viết GL(A)) cho tập hợp tất cả phần tử nghịchcủa A Rõ ràng là A- 1 là một nhóm, nhóm này được gọi là nhóm tuyếntính tổng quát của đại số bannach A có đơn vị

Định lí 1.4.4 Nếu x là một phần tử của A thỏa mãn || x ||< 1 Ta

có1- nghịch và nghịch đảo của nó được cho bởi chuỗi hội tụ tuyệt đối

x là

Hơn nữa ta có kết quả sau

x)z

=

lim (1-

1-|| x 1-||

1

-là

chính

nó

C

hứngminh

A

x- 1

h

kh

i || h

|| đủ

nhỏGiả

sử ta chọn được

h nhưvậy ta

có thểviết

(h

)- 2-

0(

x

0( 1 +

- 1

h

))- 1-

- é ê 1 +

- 1

h

)1-

1 ù ú

x

0

Dovậycho

-chúng ta có

|

| (

0 0

o

1 -

Î

A

- 1

A

- 1

1.5 Định lí Hahn–Banach

Định lí 1.5.1 (định lí Hahn-Bannach thực)

Giả sử F là không gian vectơ con của không gian vecto thực E và

p là sơ chuẩn trên E Khi đó đối với mọi phiến hàm tuyến tính

Giả sử F là không gian con vectơ của không gian vectơ phức E và

p là một nửa chuẩn trên E Khi đó với mọi phiến hàm tuyến tính phức

Bổ đề 1.5.3 Giả sử E là không gian vectơ phức và

đó f là tuyến tính (phức) nếu và chỉ nếu f viết dưới dạng

f : E ® ¡ Khi

f ( x) = f1 ( x)

-if1 (ix), x Î F

Với f1 : E ® ¡ là tuyến tính thực

x Î

F theo

định lí 1.5.1 tồn tại phiến hàm tuyến tính thực

f (x

kh

i đó

o

x E với

f ( x)

¹

0

viết

f (x)

=|

f (x) | eiq

f

(e

-iqx

không gian con của không

gian định chuẩn (thực hoặc

phức) và f là phiếm hàm

tuyến tính liên tục trên F

Khi đó tồn tại

phiến hàm tuyến tính liên tục

f trên E sao cho

^

f trên E

sao choÙ

i đó

Dohệquả1

5

6talạicó

nhưng

sup{|f(

x

)

|:

£

sup{

là hàm trên D với giá trị

(i) f giải tích tại λ0

(ii) f là giải tích trên D nếu nó giải tích taị mọi λ ∈ D

Khi K = □ từ giải tích được thay bởi chỉnh hình

Vậy f là hằng.

1.7 Định lí Banach-Steinhauss

Định nghĩa 1.7.1 Cho E và F là hai không gian định chuẩn Họ

{fa }a Î J

Ì L(E, F) được gọi là

(i) Bị chặn điểm nếu C(x)= sup{|| fa (x)||:a

là dãy các ánh xạ tuyến tính từ không gian

Bannach E vào không gian Bannach F hội tụ điểm tới ánh xạ tuyến tính

Do E là Banach theo định lí trên ta có

Chương 2 PHỔ CỦA MỘT PHẦN TỬ TRONG ĐẠI SỐ BANACH

Trong phần này A là ký hiệu đại số Banach với đơn vị là ||1||=1 Tập hợp lý thuyết toán tử trong đó A là một đại số B(E) của giới hạn toán tử

trên không gian Banach phức E , với mỗi phần tử x

Chúng ta sẽ phát triển các thuộc tính cơ bản của phổ đầu tiên nó luôn là tậpCompact

x ||}

Bổ sung của phổ được cho bởi; □ \ σ (x) = { λ ∈ □ : x

− λ ∈ A−1}

minh khẳng định này chúng

ta thấy rằng không

có số phức l

nàovới

s (A).

Thật vậy với mỗi l

như vậycông thức

x- l =

(

- l )

lý Liouville mon

g muố

n có đượckết luận chi tiết như sau:

Vớimỗiλ

-là

định

ng

hĩa

của

tất

c

ả

l

đủgần

l

0

bởivì

slà

đón

g

và chú

ng

ta thấ

y rằng(2.1)1 [ (

- 1

[ ]

- 1(

-l

(

-l

-l

0)

= (

x

-l

) (

Chia cả hai vế cho l - l 0 và sử dung kết quả (x- l )-

ợc kếtqu

ả trên.NgượcGiảsửrằng

s

(

A)

là rỗ

ng

và ch

ọn tù

y ým

ột gớ

i hạ

n hà

m tuyế

n tín

h

r

trên

A

cá0

định

lý

1.4

Ta

có

vế phảicủa

nó tiếntới khôngkhi

|

|

®

¥ Do đó hàm

l

( l )-

1

||

khôn

g

tồn

tạiở

vôcực

Tacó

f

làtoànbộhàmcógiớihạnmàtheo

định

lý

Liouville

thì

nó

phải

liêntục.Giátrịcủahằngsốlà0v

ì

f

khôn

g tồ

n tạ

i

ở v

ô cực

Chúngkếtluậnrằng

-= 0

vớimỗi

λ

∈

□

vàv

với mỗi λ ∈ □ Nhưng điều này là vô

số bộ phận A

(trên £ ) làmột đại sốphức tạp vềmặt kết hợpvới đơn vị là

1 mà mỗiphần tử kháckhông trong

A đều cókhả nghịch

Định nghĩa 2.5 Một đẳng

cấu của đại sốBanach A và

B là một đẳngcấu

q A

®

B của các cấu trúc đại số cơ bản, cũng là một đẳng cấu Tôpô do

phần

|| q ( x ) ||£ b || x ||

Hệ quả 2.6 Bất kỳ bộ phận đại số Banach là

đẳng cấu một chiều với đại số □

q(l

) =

l 1 , θ rõ ràng là

đẳng cấu

của □ vào □1 bao gồm tất cả các tích vô

hướng của nó cho thấy rằng θ là

vào A , Tuy nhiên với

−

∞

a z

Trongđó

a

là

một

chuỗi

vô

hạ

n

với

a

n

=

0 khi

n đủ

lớn

∑

n

Chương 3 BÁN KÍNH PHỔ

Trong phần này A có nghĩa là một đại số Banach với đơn vị 1 và

||1|| =1 Chúng tôi giới thiệu các khái niệm về bán kính phổ và chứng minh một tiệm cận hữu ích công thức do Gelfand, Mazur và Beurling

Định nghĩa 3.1 Đối với mỗi x Î

f (s

Để xem tại sao điều này là như vậy thay l Î s (x) , từ z

a

f (z)- f (l ) là

một

đa

thức

có

một

giá

trị

thức

bằng

không

tại

z = l

f (l

)-f (l

)1

vì vậy nếu cho

tăng lên bên phải (tương ứng trái) nghịch

n

Với

l

Dođó

s (x)

(3.1) trong

đó bao gồm

Công thức sau đây

do Gelfan

d và Mazur thiết lập còntrường hợp đặc biệt

được

phát

hiện

độc

lập

bởi

Be

Đị nh lý 3.3

VớimỗiÎ

A

chún

g ta có

à tồntại gi

ới hạ

n

và Chứn

g minh

1

1

1

(3.3) limsup || xn ||1n ≤ r ( x )

Chúng ta chỉ cần xéttrường hợp x ¹

{(l x)n : n = 1, 2, } được bao bọc.

Do đó Banach – steinhaus định nghĩa để chỉ ra rằng với mỗi hàm đường bao tuyến tính r trên A , chúng tacó

| r (x

Ở đây M r có thể phụ thuộc vào r Cuối cùng sự phụ

thuộc vào hàm giá

trị phức f được định nghĩa dựa trên (có

zx)- 1)

Chú ý đầu tiên rằng f là tập giải tích,do dó

thể khai triển

Và từ hàm (2.1) rõ ràng f là một tập giải tích trên R, thêm với (3.4) có

nghĩa là f xác định trên miền {z :| z |< 1

r(x)}

hơn

và trên một miền nhỏ

{z :| z |< 1 ||x||}, (3.4) khai triển một chuỗi hội tụ cho f , nhưng từ f là

một tập giải tích trên miền lớn hơn {z :| z |<

Định nghĩa 3.4 Một phần tử x của đại số Banach A (có hay không có đơn vị) gọi là một Quasinilpotent nếu.

x là Quasinilpotent khi và chỉ khi r(x) = 0

Û

s (x) = {0}

PHẦN KẾT LUẬN

Trênđây là toàn bộnội dung của

“phổ của mộtphần tử trongđại số Banach”

nội dung chínhcủa khóa luậnđược đề cậpđến là

1 Cho biết thếnào là phổ của