Nghiên cứu các tính chất phi cổ điển, dò tìm đan rối và viễn tải lượng tử của một số trạng thái phi cổ điển mới

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ XUÂN HOÀI NGHIÊN CỨU CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN, DÒ TÌM ĐAN RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ CỦA MỘT SỐ TRẠNG THÁI PHI CỔ ĐIỂN MỚI Chuyên ngành: V

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ XUÂN HOÀI

NGHIÊN CỨU CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN,

DÒ TÌM ĐAN RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ CỦA MỘT SỐ TRẠNG THÁI PHI CỔ ĐIỂN MỚI

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

HUẾ, 2016

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ XUÂN HOÀI

NGHIÊN CỨU CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN,

DÒ TÌM ĐAN RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ CỦA MỘT SỐ TRẠNG THÁI PHI CỔ ĐIỂN MỚI

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

LỜI CẢM ƠN

Trên con đường học tập, nghiên cứu của mình, tôi đã may mắn gặpđược những người thầy, người cô đáng kính Tôi không tìm được từ ngữ

nào ngoài lời cảm ơn chân thành để bày tỏ lòng biết ơn cũng như sự kính

trọng của mình đối với những gì các thầy, cô đã dành cho tôi Xin chân

thành cảm ơn thầy Trương Minh Đức, thầy không những là người định

hướng cho nghiên cứu của tôi, dạy cho tôi cách viết một bài luận nghiên

cứu chi tiết đến từng dấu chấm, dấu phẩy từ khi còn là sinh viên sư

phạm mà còn là người luôn giúp đỡ, động viên và cỗ vũ cho tôi vững tin

vượt qua những khó khăn Đặc biệt, thầy đã giới thiệu và mang đến cho

tôi cơ hội nhận được sự quan tâm và giúp đỡ của thầy Nguyễn Bá Ân,

một người thầy hết lòng vì học trò Những ngày tháng ngắn ngủi được

làm việc trực tiếp với thầy tận thủ đô Seoul đã cho tôi không những kiến

thức, sự tự tin mà còn là những kỷ niệm không bao giờ quên về tấm

lòng của một người thầy đã dành cho một đứa học trò không có gì nổi

bật như tôi Ở một ga tàu điện nhỏ, thầy luôn đến trước và đợi tôi ở đó

mỗi cuối tuần để tôi được nhận những bài giảng từ thầy và thấp thỏm

đợi email tôi báo tin đã về đến nhà an toàn sau mỗi buổi học Là cuốn

luận văn với chi chít những góp ý từ nội dung đến chi tiết từng câu chữ

Là nỗi lo lắng khi giới thiệu tôi cho giáo sư Kisik Kim - Đại học Inha

khi mà chưa biết tôi có làm thầy thất vọng hay không Xin gửi đến thầy

tấm lòng tri ân của người học trò với lời hứa sẽ tiếp tục con đường này

một cách nghiêm túc và có kết quả Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến thầy

Đinh Như Thảo, mặc dầu không trực tiếp hướng dẫn tôi trong nghiên

cứu này nhưng thầy vẫn luôn quan tâm, giúp đỡ và chia sẻ niềm vui với

tôi mỗi khi tôi có cơ hội được học tập, nghiên cứu ở nước ngoài, hay khi

tôi đạt được một kết quả nào đó Kính gửi đến tất cả các thầy, cô đã

từng giảng dạy cho tôi lòng biết ơn sâu sắc

Trân trọng cảm ơn Khoa Vật lý - Trường Đại học Sư phạm - Đạihọc Huế cùng tất các thầy, cô trong khoa đã giúp đỡ, tạo mọi điều kiện

thuận lợi cho tôi trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành luận án

Xin chân thành cảm ơn Phòng đào tạo sau Đại học - Trường Đạihọc Sư phạm - Đại học Huế với sự giúp đỡ nhiệt tình của chị Trần Thị

Đông Hà trong việc hoàn thành các thủ tục hành chính trong suốt quá

trình học tập cũng như chuẩn bị cho việc bảo vệ luận án

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy, cô, anh, chị, em đồngnghiệp trong Khoa Vật lý - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng

đã luôn giúp đỡ, tạo diều kiện tốt nhất cho tôi trong nghiên cứu, học

đứng sau động viên và hết lòng ủng hộ tôi trong suốt quá trình học tập

Cảm ơn bố mẹ đã luôn bên cạnh và tự hào về con Cảm ơn cô em gái đã

luôn vui với những niềm vui của chị, đã tận tình giúp ông bà chăm sóc

nhóc Cafe những ngày chị vắng nhà Cảm ơn chồng đã luôn bên cạnh

giúp đỡ, động viên, ủng hộ vợ hết mình Mẹ cũng cảm ơn nhóc Cafe

đáng yêu, ngoan ngoãn và vẫn yêu quý mẹ sau những ngày tháng không

ở bên mẹ Cảm ơn hai bố con nhiều lắm

Xin chân thành cảm ơn tất cả!

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Cáckết quả, số liệu, đồ thị được nêu trong luận án là trung thực và chưa

từng được ai công bố trong bất kỳ một công trình nào khác

Tác giả luận án

KÝ HIỆU VIẾT TẮT

Từ viết tắt Tên đầy đủ tiếng Anh Tên đầy đủ tiếng Việt

BS Beam splitter Thiết bị tách chùm

DC Downconverter Bộ chuyển đổi

PD Photo-detector Máy đếm photon

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Lời cam đoan

Ký hiệu viết tắt

Mục lục

Danh sách hình vẽ

Chương 1 Tổng quan về trạng thái phi cổ điển, tiêu chuẩn

dò tìm đan rối và viễn tải lượng tử 10

1.1 Trạng thái phi cổ điển 10

1.1.1 Trạng thái kết hợp - Định nghĩa trạng thái phi cổ điển 12

1.1.2 Trạng thái nén 17

1.1.3 Trạng thái kết hợp thêm photon 19

1.2 Tiêu chuẩn dò tìm đan rối 21

1.2.1 Phương pháp định lượng độ rối 23

1.2.2 Tiêu chuẩn đan rối Shchukin-Vogel 25

1.3 Viễn tải lượng tử 28

1.3.1 Viễn tải lượng tử với biến gián đoạn 31

1.3.2 Viễn tải lượng tử với biến liên tục 35

Chương 2 Trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode 38 2.1 Định nghĩa trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode 39

2.2 Hàm Wigner của trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode 43

2.3 Tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode 48 2.3.1 Sơ đồ sử dụng thiết bị tách chùm 49

2.3.2 Sơ đồ sử dụng bộ chuyển đổi tham số không suy biến 55

Chương 3 Các tính chất phi cổ điển của trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode 61 3.1 Tính chất nén tổng 62

3.2 Tính chất nén hiệu 68

3.3 Tính chất phản kết chùm 71

3.4 Tính chất đan rối 77

3.4.1 Điều kiện đan rối 77

3.4.2 Hàm phân bố số photon 80

3.4.3 Định lượng độ rối 84

Chương 4 Viễn tải lượng tử sử dụng nguồn rối nén dịch

4.1 Biểu thức giải tích của độ tin cậy trung bình 894.2 Tính số và biện luận 94

Danh mục công trình khoa học của tác giả đã sử dụng trong luận án103

Tài liệu tham khảo 104

Phụ lục 116

DANH SÁCH HÌNH VẼ

1.1 Sự phụ thuộc của hệ số nén Sx của trạng thái kết hợpthêm photon vào tham số dịch chuyển |α| với các giá trịcủa m = 0, 5, 10, 20 201.2 Sự phụ thuộc của hệ số Q của trạng thái kết hợp thêm

photon vào tham số dịch chuyển |α| với các giá trị của

m = 0, 5, 10, 20 202.1 Sự phụ thuộc của hàm G(|ξ|) vào |ξ| cho m, n thỏa mãn

điều kiện (a) m + n = 3 và (b) m + n = 6 482.2 Sơ đồ tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai

mode sử dụng thiết bị tách chùm 502.3 Sự phụ thuộc của độ tin cậy F ≡ FBS và xác suất thành

công tương ứng P ≡ PBS vào hệ số truyền qua t của cácthiết bị tách chùm BS1 và BS2 khi α = β = s = 0.1 với{m, n} = {1, 1}, {1, 2} và {2, 2} 532.4 Sự phụ thuộc của độ tin cậy F ≡ FBS và xác suất thành

công tương ứng P ≡ PBS vào hệ số truyền qua t củacác thiết bị tách chùm BS1 và BS2 khi m = n = 1 với

α = β = s = 0.1, 0.3 và 0.5 54

2.5 Sơ đồ tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon haimode sử dụng bộ chuyển đổi tham số không suy biến 562.6 Sự phụ thuộc của độ tin cậy F ≡ FDC và xác suất thành

công tương ứng P ≡ PDC vào tham số nén z của DC2 vàDC3 khi α = β = s = 0.1 với {m, n} = {1, 1}, {1, 2} và{2, 2} 582.7 Sự phụ thuộc của độ tin cậy F ≡ FDC và xác suất thành

công tương ứng P ≡ PDC vào tham số nén z của DC2 vàDC3 khi m = n = 1 với α = β = s = 0.1, 0.3 và 0.5 583.1 Sự phụ thuộc của hệ số nén tổng S vào các góc ϕ1 và ϕ2

khi |α| = 2, |β| = 5 và r = 0.5 cho trường hợp thêm mộtphoton vào mode a (m = 1, n = 0) 653.2 Sự phụ thuộc của hệ số nén tổng S vào góc ϕ2 khi cố định

ϕ1 = 0 với |α| = 2, |β| = 5 và r = 0.5 cho {m, n} = {1, 0},{5, 0} và {10, 0} 653.3 Sự phụ thuộc của hệ số nén tổng S vào các tham số

dịch chuyển ở cả hai mode |α| và |β| khi ϕ1 = ϕ2 = 0,

r = 0.35 cho trường hợp chỉ thêm một photon vào mode

a (m = 1, n = 0) 663.4 Sự phụ thuộc của hệ số nén tổng S vào tham số dịch

chuyển (a) |α| (khi cố định |β| = 20); (b) |β| (khi cố định

|α| = 5) với ϕ1 = ϕ2 = 0, r = 0.5 cho {m, n} = {1, 0},{5, 0} và {10, 0} 673.5 Sự phụ thuộc của hệ số nén tổng S vào tham số nén r

khi ϕ1 = ϕ2 = 0, |α| = 2.5, |β| = 5 cho {m, n} = {1, 0},{5, 0} và {10, 0} 67

3.6 Sự phụ thuộc của hệ số nén hiệu D vào các góc γ1 và γ2khi |α| = 2, |β| = 5 và r = 0.5 cho trường hợp chỉ thêmmột photon vào mode a (m = 1, n = 0) 703.7 Sự phụ thuộc của hệ số nén hiệu D vào tham số dịch

chuyển (a) |α| (khi cố định |β| = 10); (b) |β| (khi cố định

|α| = 2) với γ1 = γ2 = 0, r = 0.5 cho {m, n} = {1, 0},{5, 0} và {10, 0} 703.8 Sự phụ thuộc của hệ số nén hiệu D vào tham số nén r

khi γ1 = γ2 = 0, |α| = 2 và |β| = 10 cho {m, n} = {1, 0},{5, 0} và {10, 0} 703.9 Sự phụ thuộc của các hệ số phản kết chùm R11, R31 và

R52 vào góc ϕ khi |α| = 0.1, |β| = 0.7, r = 0.8 cho trườnghợp m = 3, n = 0 743.10 Sự phụ thuộc của hệ số phản kết chùm (a) R11 và (b) R42

vào tham số nén r khi |α| = 0.1, |β| = 0.7 và ϕ = π cho{m, n} = {2, 0}, {4, 0} và {6, 0} 743.11 Sự phụ thuộc của hệ số phản kết chùm Rlk vào tham số

nén r với |α| = 0.1, |β| = 0.7 và ϕ = π cho m = 1, n = 0khi (a) k = 3, l thay đổi từ 3 đến 6, (b) l = 4, k thay đổi

từ 1 đến 4 753.12 Sự phụ thuộc của các hệ số phản kết chùm Rlk (gồm R66,

R54, R42 và R52) vào tham số nén r với |α| = 0.1, |β| = 0.7

và ϕ = π cho m = 3, n = 0 753.13 Sự phụ thuộc của hệ số phản kết chùm (a) R11 và (b)

R22 vào tham số nén r với |α| = |β| = 0.2 và ϕ = π cho{m, n} = {3, 3}, {3, 4}, {3, 1} và {3, 0} 75

3.14 Sự phụ thuộc của hệ số đan rối E vào góc θ với {ϕa, ϕb} ={0, 0}, {0, π/2} và {0, π} khi cố định các tham số còn lạitại |α| = |β| = 0.1, r = 1 và m = n = 1 783.15 Sự phụ thuộc của hệ số đan rối E vào tham số nén r với

|α| = |β| = 0.1, ϕa = ϕb = 0 và θ = π cho {m, n} = {0, 0},{1, 0}, {1, 1}, {2, 1} và {2, 2} 783.16 Hàm phân bố số photon Pq(a) cho mode a khi cố định

tham số nén s = 1 của (a) trạng thái nén hai mode, (b)trạng thái nén thêm photon hai mode với {m, n} = {1, 1}

và (c) trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai modevới {m, n} = {1, 1}, α = β = 0.5 833.17 Entropy tuyến tính L của trạng thái nén hai mode, trạng

thái nén thêm photon hai mode với một photon được thêmvào mỗi mode {m, n} = {1, 1} và trạng thái nén dịchchuyển thêm photon hai mode với α = β = 0.5 và lượngphoton thêm vào cũng là {m, n} = {1, 1} theo tham sốnén r khi cố định θ = π 863.18 Sự phụ thuộc của entropy tuyến tính L của trạng thái

nén dịch chuyển thêm photon hai mode vào tham số nén

r với θ = π và α = β = 0.1 cho {m, n} = {0, 0}, {1, 0},{1, 1}, {2, 1} và {2, 2} 874.1 Sự phụ thuộc của độ tin cậy trung bình Fav của quá

trình viễn tải trạng thái kết hợp |γi sử dụng nguồn rốinén dịch chuyển thêm photon hai mode vào tham số nén

r với θ = π và α = β = 0 cho {m, n} = {3, 3}, {3, 2},{3, 1} và {3, 0} 95

4.2 Sự phụ thuộc của độ tin cậy trung bình Fav của quátrình viễn tải trạng thái Fock |1i sử dụng nguồn rối néndịch chuyển thêm photon hai mode vào tham số nén r với

θ = π và α = β = 0 cho {m, n} = {3, 3}, {3, 2}, {3, 1} và{3, 0} 964.3 Sự phụ thuộc của độ tin cậy trung bình Fav của quá

trình viễn tải trạng thái kết hợp và trạng thái Fock |1i sửdụng nguồn rối nén dịch chuyển thêm photon hai modevào tham số nén r với θ = π, α = β = 0 cho {m, n} = {1, 1} 974.4 Sự phụ thuộc của độ tin cậy trung bình Fav của quá

trình viễn tải trạng thái Fock |2i sử dụng nguồn rối nénhai mode và nguồn rối nén dịch chuyển thêm photon haimode cho {m, n} = {1, 1}, {2, 2} và {3, 3} vào tham sốnén r với θ = π và α = β = 0 97

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Thông tin liên lạc luôn là nhu cầu tất yếu của con người trong mọithời đại Cùng với sự phát triển của khoa học kỹ thuật, lĩnh vực thông

tin liên lạc không ngừng phát triển cả về phương tiện và cách thức truyền

tin để đảm bảo thông tin được truyền đi xa, nhanh, chính xác và bảo

mật Trong công nghệ truyền tin quang học, các nhà khoa học luôn có

sự quan tâm đặc biệt đến việc tìm cách giảm thiểu tối đa các tạp âm hay

các thăng giáng lượng tử trong quá trình truyền tin bởi chính các thăng

giáng này làm cho tín hiệu bị nhiễu, giảm độ chính xác đồng thời kéo

theo giảm cả tốc độ truyền tin Trên thực tế, các nhà vật lý lý thuyết lẫn

thực nghiệm đã tiếp cận tới giới hạn lượng tử chuẩn và ngày càng tiến

xa hơn để tìm ra các trạng thái vật lý mà ở đó các thăng giáng lượng

tử được hạn chế đến mức tối đa, mang lại sự cải thiện đáng kể về tính

lọc lựa, độ chính xác và đặc biệt là tính bảo mật của thông tin truyền

đi [35] Tuy nhiên, với cách thức truyền thông tin mà chúng ta vẫn đang

sử dụng hiện nay thì tính bảo mật của thông tin không được đảm bảo

Đâu đó thông tin vẫn có thể lọt ra ngoài dù đã được mã hóa rất nhiều

lần Vậy liệu có cách nào để thông tin truyền đi xa mà vẫn đảm bảo

chất lượng và bảo mật một cách tuyệt đối? Câu trả lời nằm trong một

lý thuyết mới được đề xuất gần đây – lý thuyết thông tin lượng tử mà

ở đó thông tin không những được mã hóa trong các trạng thái lượng tử

mà còn được xử lý theo các quy luật của cơ học lượng tử [31]

Lý thuyết thông tin lượng tử là sự kết hợp giữa cơ học lượng tử

và lý thuyết thông tin Với những tính chất đặc biệt của hệ lượng tử,

khi được áp dụng vào các quá trình xử lý thông tin sẽ cho ta những

điều kỳ diệu vượt lên hẳn những quá trình xử lý thông tin cổ điển tối

ưu nhất Ví dụ, nếu thông tin được mã hóa trong trạng thái lượng tử

thì tính không thể copy của trạng thái lượng tử sẽ đảm bảo cho thông

tin được bảo mật Từ khi ra đời, lý thuyết thông tin lượng tử không

ngừng phát triển và hiện vẫn đang thu hút sự chú ý của nhiều nhà khoa

học kể cả lý thuyết và thực nghiệm trên toàn thế giới, trong đó viễn tải

lượng tử được xem như là một trong những quá trình nổi bật nhất [31],

[47] Một cách ngắn gọn, viễn tải lượng tử là quá trình mà thông tin có

thể được chuyển đi với độ chính xác và tính bảo mật tuyệt đối nhờ sử

dụng một hệ lượng tử đặc biệt (được gọi là hệ đan rối hoàn hảo) kết

hợp với một kênh thông tin cổ điển Trong quá trình này, thông tin được

chuyển đến người nhận bằng cách hủy trạng thái mang thông tin ở nơi

gửi để rồi khôi phục nó ở nơi nhận thông qua trạng thái đan rối đã được

chia sẻ trước đó mà không cần truyền trực tiếp trạng thái mang thông

tin Nhờ đó thông tin hoàn toàn được bảo mật Viễn tải lượng tử được

đưa ra lần đầu tiên bởi Bennett và các cộng sự trong phạm vi biến rời

rạc [24] và sau đó cũng đã được đề xuất với biến liên tục bởi Vaidman

[93] Ý tưởng của Vaidman tiếp tục được mô tả một cách gần với thực

nghiệm hơn bởi Braunstein và Kimble [30] Lợi thế của viễn tải lượng

tử sử dụng hệ biến liên tục là có thể truyền tin bằng sóng điện từ Tuy

nhiên, vấn đề gặp phải đối với biến liên tục là để đảm bảo độ tin cậy

của quá trình viễn tải bằng một (nghĩa là thông tin được chuyển đi với

độ chính xác tuyệt đối) cần phải có một nguồn rối hoàn hảo Trong mô

hình của Braunstein và Kimble, nguồn rối được đề xuất là trạng thái

nén hai mode Trạng thái này là trạng thái lý tưởng với điều kiện tham

số nén của nó là vô cùng Thật không may, điều lý tưởng bao giờ cũng

chỉ nằm trong các bản thảo lý thuyết Trên thực tế, trạng thái nén hai

mode tạo được bằng thực nghiệm có mức độ nén (trong trường hợp này

cũng chính là độ rối) tương đối nhỏ, kéo theo độ tin cậy của quá trình

viễn tải không cao Thực tế này, kết hợp với nhiều vấn đề thực nghiệm

khác làm cho quá trình viễn tải mặc dù đã được tiến hành thành công

trong phòng thí nghiệm nhưng độ tin cậy đạt được cũng chỉ mới 0.58

[28], [45], [89] Do vậy, tìm ra giải pháp cho các khó khăn liên quan đến

hiện thực hóa viễn tải lượng tử, mà trước hơn hết là việc tìm nguồn rối

và cải thiện độ rối của nó trong điều kiện thực tế, là những vấn đề hết

sức quan trọng, đang rất được quan tâm hiện nay bởi nguồn rối hoàn

hảo là điều kiện tiên quyết cho sự thành công của viễn tải nói riêng cũng

như bất kỳ một quá trình xử lý thông tin lượng tử nói chung

Gần đây, trong các nghiên cứu về trạng thái phi cổ điển nổi lên mộttrạng thái đáng được quan tâm, đó là trạng thái kết hợp thêm photon

[17] Như chúng ta đã biết, trạng thái kết hợp là trạng thái cổ điển Tuy

nhiên, sau khi chịu tác dụng của toán tử sinh photon, nó trở thành một

trạng thái hoàn toàn mới về cả hình thức và tính chất Các hiệu ứng phi

cổ điển như hiệu ứng nén và sub-Poisson bắt đầu xuất hiện bằng việc

thêm vào trạng thái kết hợp chỉ một photon, cách diễn đạt cho việc tác

dụng toán tử sinh photon lên trạng thái một lần duy nhất Nếu tiếp tục

lặp lại thao tác này thì các hiệu ứng phi cổ điển trên sẽ thể hiện càng

rõ [17] Hơn nữa, theo phép đo độ phi cổ điển được đề xuất bởi Lee [64],

tác dụng của toán tử sinh photon không chỉ lên trạng thái kết hợp mà

lên bất kỳ một trạng thái nào đó sẽ biến trạng thái đó thành phi cổ điển

với độ phi cổ điển tối đa [65] Điều này gợi ra một hy vọng rằng việc

tác dụng toán tử sinh photon lên một trạng thái phi cổ điển có thể làm

tăng mức độ của các hiệu ứng phi cổ điển trong đó có hiệu ứng đan rối

Đặc biệt, mô phỏng thực nghiệm cho tác dụng của toán tử sinh photon

lên trạng thái kết hợp đã được tiến hành thành công chỉ với các thiết bị

quang học thường dùng như thiết bị tách chùm hay bộ chuyển đổi tham

số không suy biến, kết hợp với máy đếm photon [95] Như vậy, nếu thực

sự các hiệu ứng phi cổ điển, đặc biệt hiệu ứng đan rối, của trạng thái

nén hai mode được tăng cường nhờ tác dụng của toán tử sinh photon thì

trạng thái mới này hứa hẹn những ứng dụng đầy khả quan không những

trong lĩnh vực thông tin lượng tử mà còn trong nhiều lĩnh vực khác, là

những lĩnh vực đòi hỏi một nguồn phi cổ điển mạnh Đó là lý do chúng

tôi chọn đề tài "Nghiên cứu các tính chất phi cổ điển, dò tìm

đan rối và viễn tải lượng tử của một số trạng thái phi cổ điển

mới" Các trạng thái phi cổ điển mới mà chúng tôi muốn khảo sát ở đây

chính là lớp trạng thái có tên trạng thái nén dịch chuyển thêm photon

hai mode, được tạo thành bằng cách tác dụng toán tử sinh photon với

số lần lặp lại khác nhau và toán tử dịch chuyển lên trạng thái nén hai

mode Như những gì mong đợi, đề tài đã chỉ ra được rằng trạng thái nén

dịch chuyển thêm photon hai mode có độ phi cổ điển mạnh hơn và độ

rối được tăng cường so với trạng thái nén thông thường Từ đó đề xuất

một phương pháp có ý nghĩa thực tiễn để cải thiện độ rối, đó là tác dụng

một hoặc nhiều lần toán tử sinh photon vào cả hai mode của trạng thái

có độ rối hữu hạn cho trước

2 Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu chính của đề tài là khảo sát vai trò của toán tử sinh photonđối với các tính chất phi cổ điển của trạng thái nén dịch chuyển thêm

photon hai mode và đánh giá hiệu suất của nó khi áp dụng vào quá trình

viễn tải lượng tử Mục tiêu này được triển khai thành các mục tiêu cụ

thể như sau:

• Tìm hàm Wigner, một hàm phân bố giả xác suất, của trạng tháinén dịch chuyển thêm photon hai mode cũng như điều kiện của một số

hiệu ứng phi cổ điển thể hiện trong trạng thái này bao gồm nén đa mode

và phản kết chùm bậc cao nhằm chứng tỏ ảnh hưởng tốt của toán tử

sinh photon lên tính chất phi cổ điển của trạng thái

• Tìm điều kiện đan rối của trạng thái nén dịch chuyển thêm photonhai mode, trên cơ sở đó chứng minh vai trò của toán tử sinh photon trong

việc tăng cường độ rối của trạng thái

• Xác định độ tin cậy trung bình của quá trình viễn tải lượng tửkhi sử dụng nguồn rối là trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai

mode và chứng tỏ tác dụng tích cực của trạng thái này trong việc cải

thiện độ tin cậy viễn tải

• Đưa ra các sơ đồ thực nghiệm để thêm photon vào trạng thái néndịch chuyển hai mode và khảo sát chi tiết mối liên hệ giữa độ tin cậy

của trạng thái tạo được và xác suất thành công

3 Nội dung nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

Với mục tiêu đã đề ra như trên, đề tài tập trung vào ba nội dungchính:

• Nghiên cứu chung về trạng thái nén dịch chuyển thêm photon haimode bao gồm xác định hệ số chuẩn hóa trong trường hợp tổng quát khi

thêm photon vào cả hai mode và tính hàm Wigner của trạng thái

• Khảo sát các sơ đồ tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photonhai mode dựa trên các thiết bị quang học thường dùng như thiết bị tách

chùm, bộ chuyển đổi tham số và máy đếm photon

• Nghiên cứu một số tính chất phi cổ điển của trạng thái nén dịchchuyển thêm photon hai mode như tính chất nén tổng, nén hiệu, phản

kết chùm bậc cao và đặc biệt là tính chất đan rối

• Khảo sát độ tin cậy trung bình của quá trình viễn tải lượng tử sửdụng nguồn rối là trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode

Tất cả các nghiên cứu đều bao gồm tìm biểu thức giải tích của các

hệ số đặc trưng cho vấn đề đang xem xét rồi tính số các kết quả giải

tích này, trên cơ sở đó đưa ra các nhận xét và biện luận cần thiết Do

tính phức tạp trong quá trình đưa ra các biểu thức giải tích cũng như

khi tính số mà một số nghiên cứu chỉ khảo sát với các tham số thực,

nghĩa là cho pha phức của nó bằng không Điều này sẽ được nhắc đến

cũng như giải thích cụ thể trong phần nội dung của luận án ở mỗi lần

sử dụng giới hạn này

4 Phương pháp nghiên cứu

Để đưa ra biểu thức giải tích của các hệ số đặc trưng cho các hiệuứng phi cổ điển, hiệu ứng đan rối, độ tin cậy viễn tải cũng như hàm

Wigner, chúng tôi sử dụng hai phương pháp nghiên cứu lý thuyết đặc

thù trong quang lượng tử và thông tin lượng tử là phương pháp lý thuyết

lượng tử hóa trường lần thứ hai và phương pháp thống kê lượng tử Bên

cạnh đó, để biện luận các kết quả giải tích thu được, trên cơ sở đó đánh

giá vai trò của toán tử sinh photon, chúng tôi sử dụng phương pháp tính

số bằng phần mềm chuyên dụng Mathematica

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Những kết quả thu được của đề tài đóng góp một phần quan trọngvào nỗ lực tìm kiếm nguồn rối mới và cải thiện độ rối của nó để có thể

sử dụng cho các quá trình viễn tải lượng tử với biến liên tục trong thực

tế Đề xuất được phương pháp để cải thiện độ rối, từ đó góp phần phát

triển lý thuyết thông tin lượng tử Ngoài ra, kết quả của đề tài còn có

vai trò định hướng, cung cấp thông tin cho vật lý thực nghiệm trong việc

dò tìm các hiệu ứng phi cổ điển, tạo ra các trạng thái phi cổ điển và sử

dụng chúng vào quá trình viễn tải lượng tử

6 Cấu trúc của luận án

Ngoài các phần mở đầu, kết luận, danh mục các hình vẽ, danh mụccác công trình của tác giả được sử dụng trong luận án, tài liệu tham

khảo và phụ lục, nội dung của luận án được trình bày trong 4 chương

Nội dung cụ thể của các chương như sau:

• Chương 1 trình bày tổng quan về các nghiên cứu liên quan đếntrạng thái phi cổ điển, dò tìm đan rối và quá trình viễn tải lượng tử

đồng thời tóm tắt một số cơ sở lý thuyết liên quan trực tiếp đến những

nội dung nghiên cứu của đề tài như trạng thái kết hợp, trạng thái nén,

trạng thái kết hợp thêm photon, phương pháp định lượng độ rối, tiêu

chuẩn đan rối Shchukin-Vogel và mô hình viễn tải lượng tử

• Chương 2 trình bày những nghiên cứu chung về trạng thái néndịch chuyển thêm photon hai mode bao gồm xác định hệ số chuẩn hóa,

tính hàm phân bố giả xác suất Wigner, giải thích và nhận xét hai sơ đồ

khác nhau để tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode

• Chương 3 trình bày những nghiên cứu về các tính chất phi cổ điểncủa trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode bao gồm đưa ra

các biểu thức giải tích về hệ số nén tổng, hệ số nén hiệu, hệ số phản

kết chùm, hệ số đan rối, hàm phân bố số photon và entropy tuyến tính;

xem xét sự phụ thuộc của các hệ số này vào các tham số của trạng thái

cũng như số photon được thêm vào rồi rút ra những nhận xét, biện luận

tương ứng

• Chương 4 trình bày nghiên cứu về quá trình viễn tải lượng tử sửdụng nguồn rối nén dịch chuyển thêm photon hai mode bao gồm tính

toán độ tin cậy trung bình khi viễn tải trạng thái kết hợp hoặc trạng

thái Fock và khảo sát ảnh hưởng của tham số nén của trạng thái cũng

như số photon thêm vào lên độ tin cậy viễn tải

Các kết quả nghiên cứu của luận án được công bố trong 04 côngtrình dưới dạng các bài báo khoa học, trong đó có 01 bài đăng trong

tạp chí chuyên ngành quốc gia (Communications in Physics), 02 bài

đăng trên tạp chí chuyên ngành quốc tế nằm trong hệ thống SCI (01

bài trong International Journal of Theoretical Physics, 01 bài trong

In-ternational Journal of Modern Physics B ) và 01 bài đăng trên tạp chí

chuyên ngành quốc tế nằm trong hệ thống SCIE (Advances in Natural

Sciences: Nanoscience and Nanotechnology)

Chương 1

TỔNG QUAN VỀ TRẠNG THÁI PHI

CỔ ĐIỂN, TIÊU CHUẨN DÒ TÌM ĐAN

RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ

1.1 Trạng thái phi cổ điển

Các trạng thái phi cổ điển là các trạng thái có rất nhiều ứng dụngquan trọng trong vật lý chất rắn, quang học phi tuyến, quang học lượng

tử và đặc biệt trong thông tin lượng tử [1] Từ điểm xuất phát ban đầu

[48] cho đến nay, rất nhiều trạng thái phi cổ điển khác nhau đã được đề

xuất về mặt lý thuyết cũng như đã được kiểm chứng bằng thực nghiệm

Trong số đó có thể kể đến ba lớp trạng thái mà ứng dụng của chúng đã

được ghi nhận cũng như chứng minh có nhiều tiềm năng trong tương lai

Lớp trạng thái đầu tiên phải kể đến đó là trạng thái nén Ý tưởng

về trạng thái nén được Stoler đưa ra vào năm 1970, đó là những trạng

thái mà độ thăng giáng của một đại lượng nào đó có thể nhỏ hơn giá trị

tương ứng của trạng thái bất định cực tiểu đối xứng [86], [87] Mười lăm

năm sau, trạng thái nén photon được quan sát lần đầu tiên trong phòng

thí nghiệm bởi Slusher [83] và sau đó được khẳng định bởi Kimble [63],

Levenson và các cộng sự [68] Các hiệu ứng nén được mở rộng theo nhiều

kiểu khác nhau chẳng hạn như nén biên độ trực giao, nén số hạt pha

Trong nén biên độ trực giao lại có thể chia thành nén bậc thấp thông

thường hoặc nén bậc cao theo kiểu Hillery [50] hay kiểu Hong-Mandel

[56], nén đơn mode hay nén đa mode dưới dạng nén tổng [12], [51] và

nén hiệu [13], [14], [51] Hơn nữa, trạng thái nén không chỉ tồn tại với

photon mà còn được phát triển với các chuẩn hạt khác như polariton

[19], phonon [85], exciton [2], [5], [10], [11], biexiton [6], [91], [92], và

thậm chí trong nguyên tử như nén spin [15] Đặc biệt, khi phát triển lên

cho trường hợp hai mode, trạng thái nén được chứng minh là trạng thái

đan rối và đã được sử dụng trong các mô hình viễn tải lượng tử cho độ

tin cậy tuyệt đối trong điều kiện lý tưởng [31]

Lớp trạng thái phi cổ điển tiếp theo là trạng thái kết hợp cặp [16],trạng thái kết hợp chẵn và lẻ [34] Về sau chúng được phát triển thành

các trạng thái kết hợp phi tuyến với rất nhiều hiệu ứng phi cổ điển hứa

hẹn mang đến nhiều ứng dụng khác nhau Có thể kể tên một số trạng

thái quan trọng thuộc lớp này là trạng thái kết hợp phi tuyến chẵn và lẻ

[71], [78], trạng thái kết hợp phi tuyến K hạt [1], [7], trạng thái cái quạt

[1], [8] và trạng thái kết hợp bộ ba [9] Nếu như trạng thái cái quạt có

vai trò như một trạng thái nén đa hướng thì trạng thái kết hợp bộ ba lại

là một trạng thái rối 3 mode và cũng là một nguồn rối quan trọng cho

các ứng dụng trong lĩnh vực thông tin lượng tử và tính toán lượng tử

Lớp trạng thái phi cổ điển thứ ba cũng có tầm quan trọng khôngkém là các trạng thái được tạo thành bằng cách tác dụng toán tử sinh

photon lên một trạng thái quan tâm nào đó, được gọi là các trạng thái

thêm photon Trạng thái thêm photon được Agarwal và Tara đưa ra

vào năm 1991 [17] và gần đây được Zavatta xác minh bằng thực nghiệm

[95] Kỹ thuật thêm photon là một trong những kỹ thuật tạo trạng thái

rất quan trọng để có thể tạo ra một trạng thái mong muốn bất kỳ [61]

Hơn nữa, các trạng thái thêm photon là những trạng thái thể hiện nhiều

hiệu ứng phi cổ điển khác nhau cho dù trạng thái gốc ban đầu trước khi

được thêm photon có thể là trạng thái cổ điển như trạng thái kết hợp

[17] Điều đó gợi cho ta nghĩ đến việc thêm photon vào trạng thái phi cổ

điển, chẳng hạn như nén hai mode, có thể gia tăng các hiệu ứng phi cổ

điển của chúng trong đó có cả hiệu ứng đan rối Nếu đúng như những gì

mong đợi thì lớp trạng thái này sẽ có tầm quan trọng trong việc cải tiến

chất lượng của các quá trình viễn tải lượng tử bởi nó có thể làm tăng

độ rối của nguồn rối được thêm photon Đây là mối quan tâm chính của

chúng tôi trong nghiên cứu này và sẽ được trình bày cụ thể trong các

chương sau của luận án Ở đây, trong khuôn khổ của phần tổng quan,

chúng tôi trình bày sơ lược một số trạng thái phi cổ điển liên quan trực

tiếp đến trạng thái của chúng tôi như trạng thái nén và trạng thái kết

hợp thêm photon Nhưng trước hết, để có cái nhìn tổng quan về khái

niệm trạng thái phi cổ điển, chúng tôi giới thiệu ngắn gọn về trạng thái

kết hợp như là ranh giới giữa cổ điển và phi cổ điển

1.1.1 Trạng thái kết hợp - Định nghĩa trạng thái phi cổ điển

Trạng thái kết hợp, ký hiệu |αi, được Glauber [48] và Sudarshan[88] đưa ra vào năm 1963 để mô tả các tính chất của chùm sáng laser

Đó là trạng thái riêng của toán tử hủy photon

ˆ

trong đó α là một số phức, α = |α|eiϕa, được gọi là tham số dịch chuyển

với biên độ |α| biến thiên từ 0 đến ∞ và pha ϕa nằm trong khoảng từ 0

đến 2π [rad] Trong hệ cơ sở Fock, trạng thái kết hợp có dạng [46]

n=0

αn

√n!|ni, (1.2)trong đó n là số nguyên không âm Về phương diện toán học, trạng thái

kết hợp được tạo thành bằng cách tác dụng toán tử dịch chuyển [46]

ˆD(α) = exp(αˆa†− α∗ˆa) (1.3)

lên trạng thái chân không như sau:

|αi = ˆD(α)|0i (1.4)

Trạng thái kết hợp mặc dầu là trạng thái cổ điển nhưng các tínhchất của nó đều nằm ở giới hạn cuối cùng còn có thể được chấp nhận

theo quan điểm cổ điển Do đó ánh sáng kết hợp được xem là ranh giới

giữa ánh sáng cổ điển và phi cổ điển Điều kiện cần và đủ ứng với ranh

giới này dựa trên đặc điểm của hàm Glauber-Sudarshan P (α) [49], [88]

Hàm P (α) của trạng thái ˆρ là hệ số khai triển của trạng thái trong biểu

thỏa mãn điều kiện R P (α)d2α = 1 Như vậy hàm P (α) có tính chất

tương tự như hàm phân bố xác suất Tuy nhiên, P (α) lại có thể nhận

giá trị âm hoặc có tính kỳ dị mạnh hơn tính kỳ dị của hàm Delta nên

nhìn chung không thể được hiểu như một hàm phân bố cổ điển và vì

vậy P (α) được gọi là hàm phân bố giả xác suất Trạng thái mà hàm

P (α) của nó có tính chất như một hàm phân bố thống kê thông thường

được gọi là trạng thái cổ điển Trái lại, trạng thái có hàm P (α) âm

hoặc kỳ dị cao được định nghĩa là trạng thái phi cổ điển Có thể minh

họa cho định nghĩa này bằng cách xem xét hàm P (α) của trạng thái

nhiệt (tiêu biểu cho trạng thái cổ điển), trạng thái kết hợp (ranh giới

giữa trạng thái cổ điển và phi cổ điển) và trạng thái số hạt (đại diện

cho trạng thái phi cổ điển) Trạng thái nhiệt có hàm P (α) dạng Gauss

P (α) = (1/π¯n) exp(−|α|2n) [82], trong đó ¯¯ n là số hạt trung bình Đây

là một hàm phân bố cổ điển tiêu biểu, trong khi đó, với trạng thái kết

hợp |α0i, hàm P (α) là hàm Delta δ(2)(α − α0) Dễ dàng suy ra từ tính

chất của hàm Delta rằng đây là giới hạn cuối cùng của một hàm phân

bố cổ điển, và vì vậy, một hàm được xem là kỳ dị cao nếu tính kỳ dị của

nó mạnh hơn tính kỳ dị của hàm Delta, chẳng hạn hàm P (α) của trạng

Mặc dầu không có tính kỳ dị như hàm P (α) nhưng hàm Wigner vẫn có

thể nhận những giá trị âm nên hàm Wigner cũng là một hàm phân bố

giả xác suất Nói cách khác, tính âm của hàm Wigner cũng có thể được

dùng để xác nhận một trạng thái nào đó là phi cổ điển với lưu ý đây chỉ

là tiêu chuẩn đủ Cụ thể, một trạng thái có hàm phân bố Wigner âm thì

chắc chắn đó là trạng thái phi cổ điển Tuy nhiên, điều ngược lại không

phải bao giờ cũng đúng, nghĩa là một trạng thái phi cổ điển không nhất

thiết phải có hàm Wigner âm Đó là vì có những trạng thái mà hàm

P (α) có thể nhận giá trị âm - tức là trạng thái phi cổ điển - nhưng lại

sở hữu hàm Wigner luôn không âm, chẳng hạn trạng thái nén [46]

Ngoài tiêu chí dựa trên hàm P (α) như vừa đề cập ở trên, ta cũng

có thể nhận biết các trạng thái cổ điển qua việc xem xét các tính chất

cụ thể của nó Theo cách này thì một trạng thái được gọi là phi cổ điển

khi nó thể hiện một hoặc nhiều tính chất phi cổ điển chẳng hạn như

tính thống kê sub-Poisson, tính chất phản kết chùm, tính chất nén,

Các tính chất phi cổ điển là những tính chất không thể suy ra từ quan

điểm cổ điển và được đề xuất dựa trên giới hạn mà trạng thái kết hợp

đạt được

Khi xem xét tính thống kê photon, trạng thái kết hợp được chứngminh tuân theo phân bố Poisson, nghĩa là trung bình của toán tử số hạt

trong trạng thái kết hợp sẽ bằng phương sai của nó Nếu xem đây là

ranh giới thì nó sẽ chia các trạng thái thành hai nhóm, một nhóm tuân

theo thống kê super-Poisson với phương sai của toán tử số hạt lớn hơn

trung bình của nó và nhóm còn lại tuân theo thống kê sub-Poisson với

tính chất hoàn toàn ngược lại Như vậy nếu đặt tham số

Q = hˆn2i − hˆni2

trong đó ˆn là toán tử số hạt, thì trạng thái tuân theo thống kê

super-Poisson sẽ có Q > 1 và ngược lại cho trường hợp sub-super-Poisson Những

trạng thái mang tính thống kê sub-Poisson, nghĩa là có tham số Q < 1,

sở hữu hàm P (α) âm nên chúng là các trạng thái phi cổ điển Vì vậy,

hiệu ứng sub-Poisson là một trong những tính chất phi cổ điển được

dùng để nhận biết các trạng thái phi cổ điển

Ta cũng có thể phân biệt trạng thái phi cổ điển với cổ điển qua đặcđiểm của hàm tương quan bậc hai được định nghĩa [46]

g(2)(τ ) = h ˆE(−)(t) ˆE(−)(t + τ ) ˆE(+)(t + τ ) ˆE(+)(t)i

h ˆE(−)(t) ˆE(+)(t)ih ˆE(−)(t + τ ) ˆE(+)(t + τ )i, (1.9)

trong đó ˆE(−)(t) và ˆE(+)(t) tương ứng là thành phần tần số âm và thành

phần tần số dương của trường tại thời điểm t Hàm tương quan bậc hai

này cung cấp cho ta thông tin về xác suất quan sát một cặp photon sao

cho một photon được quan sát ở thời điểm t thì photon kia được quan sát

ở thời điểm sau đó một khoảng τ tại cùng một vị trí Với trạng thái kết

hợp g(2)(τ ) = g(2)(0) = 1 nghĩa là các photon xuất hiện độc lập với nhau

Nếu hai photon có xu hướng xuất hiện theo chùm, tức g(2)(0) > g(2)(τ ),

thì được gọi là photon kết chùm Ngược lại nếu hai photon có xu hướng

ngày càng xuất hiện riêng lẻ, tức g(2)(0) < g(2)(τ ), thì được gọi là photon

phản kết chùm Với trường cổ điển, g(2)(0) ≥ g(2)(τ ) [46] Do đó, trạng

thái thể hiện tính phản kết chùm là trạng thái phi cổ điển Để tiện cho

việc áp dụng vào các trạng thái quang lượng tử, điều kiện tồn tại hai

photon phản kết chùm g(2)(0) < g(2)(τ ) có thể được viết lại dưới dạng

các toán tử số hạt như sau [66]:

h ˆN(2)i − h ˆN i2 < 0, (1.10)

trong đó ˆN = ˆa†ˆa và h ˆN(i)i ≡ h ˆN ( ˆN − 1) ( ˆN − i + 1)i = ˆa†iˆi

Bên cạnh hai tính chất vừa kể trên, trạng thái phi cổ điển còn cóthể sở hữu một tính chất quan trọng - tính chất nén - dựa trên việc xem

xét độ thăng giáng lượng tử của một biến động lực nào đó Xét hai toán

tử ˆA và ˆB thỏa mãn hệ thức giao hoán [ ˆA, ˆB] = i ˆC Hai toán tử này

tuân theo hệ thức bất định Heisenberg

∆ ˆA2∆ ˆB2 ≥ 1

4|h ˆCi|2, (1.11)trong đó ∆ ˆX2 là ký hiệu cho phương sai của toán tử ˆX và được xác định

bởi ∆ ˆX2 = h ˆX2i − h ˆXi2 Một trạng thái nào đó nếu thỏa mãn

∆ ˆA2 < 1

2|h ˆCi| hoặc ∆ ˆB2 < 1

2|h ˆCi| (1.12)được gọi là trạng thái nén [44] Tương tự như tính sub-Poisson và tính

phản kết chùm, trạng thái thể hiện tính chất nén là trạng thái phi cổ

điển vì điều kiện (1.12) sẽ dẫn tới tính âm của hàm P (α)

Cần lưu ý rằng tính thống kê sub-Poisson, tính chất phản kết chùm

và tính chất nén chỉ là những ví dụ tiêu biểu cho các hiệu ứng có thể xuất

hiện trong trạng thái phi cổ điển, và nhìn chung độc lập với nhau nên

một trạng thái phi cổ điển không nhất thiết phải hội đủ tất cả chúng Vì

vậy, để đánh giá một trạng thái nào đó là phi cổ điển hay không, người

ta sẽ dùng tiêu chuẩn dựa trên hàm P (α) Các tiêu chuẩn tương ứng

với các tính chất phi cổ điển riêng lẻ chỉ được xem là điều kiện đủ để

nhận biết trạng thái phi cổ điển tương tự như phương pháp dùng hàm

Wigner, và được dùng chủ yếu để khảo sát các hiệu ứng phi cổ điển khả

dĩ của một trạng thái nào đó cũng như đánh giá mức độ thể hiện của

chúng

1.1.2 Trạng thái nén

Nếu ˆA và ˆB có mặt trong điều kiện (1.12) là cặp toán tử biên độtrực giao của trường thì trạng thái thỏa mãn điều kiện (1.12) được gọi

là nén biên độ trực giao - trạng thái nén mà chúng tôi muốn nhắc đến

ở đây Ví dụ, đặt ˆA và ˆB tương ứng là hai toán tử biên độ trực giao

Như đã đề cập, trạng thái nén là trạng thái phi cổ điển vì hàm P (α) của

nó có thể nhận giá trị âm Cụ thể, phương sai của các toán tử ˆX1 và ˆX2

trong biểu diễn P (α) có dạng [46]

Vì các số hạng [ ]2 luôn không âm nên điều kiện ∆ ˆX12 < 14 hoặc ∆ ˆX22 < 14

đòi hỏi hàm P (α) phải âm

Về mặt toán học, trạng thái nén của trường đơn mode được tạothành bởi tác dụng của toán tử nén đơn mode ˆS(s) được định nghĩa

ˆS(s) = exp 1

2(s

∗ˆ2 − sˆa†2)



trong đó s = reiθ với r được biết như là tham số nén biến thiên từ 0 đến

∞ và góc θ nằm trong khoảng 0 đến 2π rad Ví dụ đơn giản nhất của

trạng thái nén là chân không nén, được tạo thành bằng cách tác dụng

toán tử nén lên chân không của trường điện từ

|si = ˆS(s)|0i (1.17)Trong không gian Fock, trạng thái chân không nén có dạng [46]

|si = √ 1

cosh r

∞X

Dễ dàng nhận ra từ phương trình trên rằng các photon trong trạng thái

nén chỉ xuất hiện theo cặp, nói cách khác, xác suất tìm thấy số photon

lẻ trong trạng thái nén triệt tiêu

Toán tử nén được định nghĩa như trên cũng chính là toán tử mô tảtác dụng của bộ chuyển đổi tham số suy biến Do đó trạng thái nén là

trạng thái hoàn toàn có thể tạo được thông qua thiết bị nói trên Cụ

thể, trạng thái nén đơn mode sẽ được tạo thành nhờ một quá trình phi

tuyến ngược với quá trình tạo sóng hài bậc hai trong đó một tia laser

mạnh sau khi qua một môi trường phi tuyến tạo thành cặp tia cùng tần

số và bằng một nửa tần số tia laser vào Cặp tia này được gọi là cặp tia

song sinh và có tính chất của trạng thái nén

Mở rộng cho trường hợp hai mode, toán tử nén hai mode được định

nghĩa như sau [46]

ˆSab(s) = exp(s∗aˆˆb − sˆa†ˆb†), (1.19)

trong đó s là tham số phức tương tự như trường hợp đơn mode Toán

tử này cũng mô tả cho một quá trình phi tuyến tương tự quá trình tạo

trạng thái nén đơn mode, chỉ khác cặp photon ra khỏi môi trường lúc

này có tần số khác nhau Trạng thái chân không nén hai mode cũng sẽ

được tạo thành một cách toán học bằng việc tác dụng toán tử nén hai

mode lên trạng thái chân không

n=0(− tanh r exp(iθ))n|nia|nib (1.21)

Rõ ràng, số photon trong trạng thái này cũng sẽ xuất hiện thành cặp

tương tự như trạng thái nén đơn mode, chỉ khác là cặp photon này gồm

hai photon ở hai mode khác nhau Điều này có nghĩa là khi xét khía

cạnh tương quan số hạt giữa mode a và mode b ta thấy chúng bị ràng

buộc lẫn nhau, có nghĩa trạng thái nén hai mode là trạng thái đan rối

Đặc biệt trạng thái này có thể đạt đến khả năng rối lý tưởng khi tham

số nén r → ∞

1.1.3 Trạng thái kết hợp thêm photon

Trạng thái kết hợp thêm photon được định nghĩa bởi [17]

|α, mi = ˆ

†m|αiphα|ˆamˆ†m|αi, (1.22)trong đó m = 1, 2, là số photon được thêm vào và

hα|ˆamˆ†m|αi = m!Lm(−|α|2) (1.23)

Hình 1.1: Sự phụ thuộc của hệ số nén Sx của trạng thái kết hợp thêm photon vào tham

số dịch chuyển |α| với các giá trị của m = 0, 5, 10, 20 [17].

Hình 1.2: Sự phụ thuộc của hệ số Q của trạng thái kết hợp thêm photon vào tham số

dịch chuyển |α| với các giá trị của m = 0, 5, 10, 20 [17].

với Lm(x) là đa thức Laguerre bậc m Để tiện cho việc tìm hàm phân

bố số hạt làm cơ sở cho sự khảo sát tính thống kê photon, trạng thái kết

hợp thêm photon thường được biểu diễn trong không gian Fock [17]

|α, mi = exp(−|α|

2/2)pm!Lm(−|α|2)

∞X

n=0

αnp(n + m)!

n! |n + mi (1.24)Dưới dạng tường minh này, Agarwal và Tara đã chứng minh được trạng

thái |α, mi thể hiện cả hai hiệu ứng phi cổ điển bao gồm hiệu ứng nén

và thống kê photon sub-Poisson thông qua việc khảo sát sự phụ thuộc

của hệ số nén theo phương x (Sx = 4∆x2) và hệ số Q = ∆ˆn2/hˆni theo

tham số dịch chuyển α và số photon được thêm vào trạng thái kết hợp

Dễ dàng nhận thấy từ hình 1.1, vẽ Sx, rằng hiệu ứng nén hoàn toàn

có thể xảy ra (Sx < 1) với mọi giá trị của m ngoại trừ m = 0 Điều này

cũng lặp lại với hệ số Q được minh họa trên hình 1.2 Rõ ràng Q < 1

(thể hiện tính sub-Poisson) khi photon được thêm vào Hơn nữa, cả hai

hiệu ứng này sẽ tăng về cường độ nếu số photon được thêm vào nhiều

hơn Mặc dầu vẫn còn thiếu sự lý giải thấu đáo cho vai trò của thêm

photon nhưng rõ ràng ảnh hưởng tích cực của nó lên các hiệu ứng phi

cổ điển đã được chứng minh Không những thế, trạng thái này cũng đã

được tạo ra bằng thực nghiệm gần đây bởi Zavatta và các cộng sự [95]

Nhóm nghiên cứu này cũng đã đo hàm Wigner của trạng thái tạo được

bằng thực nghiệm và chứng tỏ nó có thể nhận những giá trị âm Giá trị

âm của hàm Wigner là một tiêu chuẩn khác để nhận biết các trạng thái

phi cổ điển

1.2 Tiêu chuẩn dò tìm đan rối

Các trạng thái phi cổ điển đa mode còn có thêm một tính chất phi

cổ điển đặc biệt được gọi là tính chất đan rối Những trạng thái thể hiện

tính chất này được gọi là trạng thái đan rối và là chìa khóa trong các

quá trình xử lý thông tin lượng tử và tính toán lượng tử Do đó, tìm

kiếm các trạng thái đan rối trở thành mối quan tâm hàng đầu trong các

nghiên cứu về thông tin lượng tử

Tên gọi rối lượng tử được Schr¨odinger đưa ra lần đầu tiên thôngqua thí nghiệm tưởng tượng về một trạng thái kỳ lạ, đó là chồng chập

của trạng thái sống và trạng thái chết của một con mèo (sau này được

gọi là trạng thái con mèo Schr¨odinger) [79] Thí nghiệm tưởng tượng của

Schr¨odinger được đề xuất không lâu ngay sau khi Einstein, Podolsky và

Rosen sử dụng một trạng thái khả dĩ của cơ học lượng tử (sau này gọi

là trạng thái EPR) để suy ra một nghịch lý (sau này gọi là nghịch lý

EPR), mà theo họ cơ học lượng tử không đầy đủ [42] Tuy nhiên, trạng

thái EPR chỉ đơn thuần là một trạng thái toán học, không thể dùng để

kiểm chứng các luận điểm của Einstein, Podolsky và Rosen trên thực tế

Do đó một công cuộc tìm kiếm các trạng thái đan rối cùng với các tiêu

chuẩn đan rối bắt đầu và cho đến nay vẫn đang tiếp tục trong nhiều

lĩnh vực khác nhau Thành công đầu tiên là các tiêu chuẩn đan rối (điều

kiện cần và đủ) áp dụng cho các trạng thái thuần hai thành phần, chẳng

hạn như tiêu chuẩn Schmidt, tiêu chuẩn entropy von Neumann, entropy

tuyến tính [31] Tuy nhiên trạng thái thuần là những trạng thái rất khó

tạo ra trên thực tế do luôn có tác dụng của môi trường xung quanh Nói

cách khác, các trạng thái trong thực tế đều là các trạng thái hỗn tạp do

ta không thể tách hệ vật lý ra khỏi tương tác của nó với môi trường Vấn

đề bây giờ trở nên phức tạp hơn Mãi đến khi Peres đưa ra phép chuyển

vị riêng (vào năm 1996) mới được xem là bước ngoặc cho sự phát triển

của các tiêu chuẩn đan rối [31], [76] Ngay sau đó, một tiêu chuẩn tổng

quát hơn do gia đình Horodecki đưa ra vào năm 1997 [57], tuy nhiên

nó cũng chỉ áp dụng cho hệ biến rời rạc và một lớp nhỏ các trạng thái

Nghĩa là các tiêu chuẩn đan rối cần được tiếp tục mở rộng cho phạm vi

biến liên tục Tiêu chuẩn đầu tiên phải kể đến là tiêu chuẩn Duan-Cirac

(2000) [36] rồi đến tiêu chuẩn do Simon đưa ra dựa trên phép chuyển

vị riêng âm, điều kiện đủ cho các trạng thái đan rối, tác dụng lên toán

tử mật độ của trạng thái hai thành phần [84] Dựa trên ý tưởng của

tiêu chuẩn này, một loạt các tiêu chuẩn khác dưới dạng các bất đẳng

thức được đề xuất dẫn đến việc mở rộng trạng thái đan rối cũng như

phạm vi áp dụng Trong số này có thể kể đến hai tiêu chuẩn nổi bật,

một tiêu chuẩn mang ý nghĩa thực tiễn cao, tiêu chuẩn Hillery-Zubairy

(2005) [52], và một tiêu chuẩn rất mạnh, tiêu chuẩn Shchukin-Vogel [80]

Không dừng lại ở đó, các nghiên cứu xoay quanh vấn đề dò tìm và đo

rối vẫn đang tiếp tục để hướng đến một tiêu chuẩn hoàn hảo (bao gồm

cả điều kiện cần và đủ) áp dụng không chỉ cho hệ hai thành phần mà là

hệ đa thành phần bất kỳ và trên cơ sở đó tìm cách mô phỏng nó để có

thể tiến hành đo rối bằng thực nghiệm [31]

Trong phạm vi nghiên cứu của đề tài, đó là dò tìm hiệu ứng đan rốicủa trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode, sau khi xem xét

các tiêu chuẩn đan rối khả dĩ chúng tôi sử dụng tiêu chuẩn

Shchukin-Vogel và tiêu chuẩn entropy tuyến tính Lý do cho lựa chọn này là vì các

tiêu chuẩn này hoàn toàn phù hợp với trạng thái chúng tôi đang khảo

sát và dẫn đến kết quả giải tích có thể tính số được bằng phần mềm

Mathematica Tiêu chuẩn Shchukin-Vogel dùng để kiểm tra sự tồn tại

của tính chất đan rối kết hợp với tiêu chuẩn entropy tuyến tính để đánh

giá độ rối Bên cạnh dò tìm đan rối, việc đánh giá mức độ rối của nguồn

rối cũng rất quan trọng, nó giúp ta có thể ước đoán hiệu suất của các

quá trình xử lý thông tin lượng tử trước khi đi vào nghiên cứu cụ thể

Như là cơ sở lý thuyết cho việc khảo sát tính chất đan rối ở chương 3,

chúng tôi tóm lược những ý chính liên quan đến hai tiêu chuẩn vừa đề

cập ở trên

1.2.1 Phương pháp định lượng độ rối

Trong trường hợp tổng quát, trạng thái của một hệ lượng tử được

trong đó pi là xác suất để hệ ở trạng thái |ψii Xét một hệ lượng tử hai

thành phần có trạng thái được mô tả bởi ma trận mật độ ˆρ Ma trận

mật độ của hai hệ con A và B chính là các ma trận mật độ rút gọn của

ˆ

ρ, tương ứng là ˆρA = TrBρ và ˆˆ ρB = TrAρ, trong đó Trˆ A(B) ký hiệu cho

phép lấy vết lên chỉ không gian của hệ A (B) Một hệ lượng tử được gọi

là có thể tách nếu ma trận mật độ của nó có thể được viết dưới dạng

ˆ

ρ = X

i

piˆi,A⊗ ˆρi,B (1.26)

Ngược lại nếu ˆρ không thể khai triển thành tổng của tích hai ma trận

mật độ thành phần như (1.26) thì trạng thái đó được gọi là trạng thái

không thể tách hay trạng thái đan rối

Định lượng độ rối có thể hiểu là phép đo mức độ vướng víu giữacác thành phần trong hệ Với các trạng thái đan rối hỗn tạp, phép đo

này vô cùng phức tạp Tuy nhiên, với các trạng thái thuần ta có thể dễ

dàng đo một cách chính xác hoặc ít ra có thể so sánh mức độ rối giữa

các trạng thái cùng một họ Trong một hệ hai thành phần thuần mà ma

trận mật độ rút gọn của các thành phần mô tả cho trạng thái của một

hệ cô lập, tức ˆρA và ˆρB có tính chất của một trạng thái thuần, thì rõ

ràng không có bất kỳ sự ràng buộc nào giữa A và B Trái lại nếu ˆρA và

ˆB là các ma trận mật độ của trạng thái hỗn tạp chứng tỏ giữa A và

B có một mối liên kết nào đó, thể hiện hệ AB là hệ rối Mức độ hỗn

tạp của các ma trận rút gọn càng lớn chứng tỏ sự tương quan giữa hai

thành phần của hệ càng mạnh Do đó, độ rối của trạng thái hai thành

phần thuần có thể được đo thông qua phép đo mức độ hỗn tạp của ˆρA

hoặc ˆρB, nói cách khác, thông qua entropy von Neumann của trạng thái

ˆA (hoặc ˆρB) có dạng [21]

S( ˆρA) = −TrA[ ˆρAlog2 ˆA] (1.27)

với quy ước 0 log20 = 0 Ưu điểm của phương pháp định lượng độ rối

này là độ chính xác tuyệt đối dựa trên quan điểm thống kê Tuy nhiên,

việc xác định entropy von Neumann đòi hỏi phải chéo hóa ma trận mật

độ ˆρA, là một việc không hề dễ dàng cho các trạng thái bất đối xứng

Khi chỉ cần so sánh mức độ rối giữa các trạng thái với nhau, entropy

von Neumann là phương pháp quá tinh tế Lúc đó ta có thể đánh giá độ

thuần (hay hỗn tạp) của ˆρA (hoặc ˆρB) dựa trên tính chất của ma trận

mật độ Cụ thể, ta có Tr ˆρ2 của một trạng thái bất kỳ luôn nhỏ hơn hoặc

bằng 1, dấu bằng ứng với trạng thái thuần Do đó, một đại lượng có tên

gọi entropy tuyến tính, được định nghĩa bởi [61]

L( ˆρA) = 1 − TrAˆ2A, (1.28)

sẽ nằm trong khoảng từ 0 đến 1 L = 0 ứng với TrAˆ2A = 1 thể hiện tính

chất có thể tách của hệ Nói cách khác, một trạng thái sẽ rối nếu L > 0

và giới hạn L = 1 ứng với trạng thái đan rối cực đại

1.2.2 Tiêu chuẩn đan rối Shchukin-Vogel

Trên cơ sở tiêu chuẩn chuyển vị riêng [76], Shchukin và Vogel đãđưa ra được một tiêu chuẩn đan rối khá mạnh, bao trùm lên nhiều tiêu

chuẩn đã được đề xuất trước đó [80] Có thể tóm tắt ý tưởng chính của

tiêu chuẩn chuyển vị riêng như sau Phép chuyển vị chỉ tác dụng lên một

trong hai hệ con của một hệ hai thành phần được gọi là phép chuyển vị

riêng Phép chuyển vị riêng biến ma trận mật độ dương của trạng thái

hai thành phần có thể tách ˆρ = P

ipiˆi,A⊗ ˆρi,B thành ma trận chuyển

vị ˆρTB = Pipi( ˆρi,A) ⊗ ( ˆρi,B)T cũng xác định dương nên được gọi là phép

chuyển vị riêng dương Từ đó suy ra ma trận mật độ chuyển vị của một

trạng thái nào đó có một trị riêng âm sẽ là trạng thái đan rối và đây chỉ

là điều kiện đủ.

Một toán tử ˆA được gọi là không âm nếu

hΦ| ˆA|Φi = Tr( ˆA|ΦihΦ|) ≥ 0 (1.29)với mọi trạng thái |Φi Đặt ˆf = |00ihΦ|, dễ dàng nhận thấy ˆf†f = |ΦihΦ|ˆ

và do đó hΦ| ˆA|Φi = Tr( ˆA ˆf†f ) ≡ h ˆˆ f†f iˆAˆ Viết |Φi dưới dạng các toán tử

sinh photon tác dụng lên chân không, nghĩa là |Φi = ˆg†|00i, trong đó ˆg

là hàm của các toán tử hủy ˆa và ˆb của trường Khi đó

ˆ

f = |00ihΦ| = |00ih00|ˆg (1.30)

có dạng N -tích do |00ih00| = : exp(−ˆa†ˆa − ˆb†ˆb) : Như vậy một toán tử

ˆ

A không âm khi và chỉ khi với một toán tử ˆf bất kỳ có dạng N -tích, bất

đẳng thức sau được thỏa mãn