50 de thi hsg toan 8

a) 85 + 211 chia hÕt cho 17 b) 1919 + 6919 chia hÕt cho 44 R.Bµi 2: a) Rót gän biÓu thøc: b) Cho . TÝnh ®) V× Do ®ã : xyz( + + )= 3 Bµi 3 : (3®) Chøng minh : VÏ h×nh b×nh hµnh ABMC ta cã AB = CM . §Ó chøng minh AB = KC ta cÇn chøng minh KC = CM. ThËt vËy xÐt tam gi¸c BCE cã BC = CE (gt) => tam gi¸c CBE c©n t¹i C => v× gãc C1 lµ gãc ngoµi cña tam gi¸c BCE => mµ AC BM (ta vÏ) => nªn BO lµ tia ph©n gi¸c cña . Hoµn toµn t­¬ng tù ta cã CD lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BCM . Trong tam gi¸c BCM, OB, CO, MO ®ång quy t¹i O => MO lµ ph©n tia ph©n gi¸c cña gãc CMB Mµ : lµ hai gãc ®èi cña h×nh b×nh hµnh BMCA => MO víi tia ph©n gi¸c cña gãc A theo gt tia ph©n gi¸c cña gãc A cßn song song víi OK => K,O,M th¼ng hµng. Ta l¹i cã : mµ (hai gãc ®ång vÞ) => c©n t¹i C => CK = CM. KÕt hîp AB = CM => AB = CK (®pcm) Bµi 4: (1®) Ta cã M= 4x2 + 4x + 5 =(2x)2 + 2.2x.1 + 1 +4

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

t

§Ò 1 R.Bµi 1: (3®) Chøng minh rÇng:

a) (1,5®) Ta cã: 85 + 211 = (23)5 + 211 = 215 + 211 =211(24 +1)=211.17

Râ rµng kÕt qu¶ trªn chia hÕt cho 17

C CBM �B  CBM nên BO là tia phân giác của CBM� Hoàn toàn

t-ơng tự ta có CD là tia phân giác của góc BCM Trong tam giácBCM, OB, CO, MO đồng quy tại O => MO là phân tia phân giác củagóc CMB

Mà : �BAC BMC,� là hai góc đối của hình bình hành BMCA => MO //với tia phân giác của góc A theo gt tia phân giác của góc A cònsong song với OK => K,O,M thẳng hàng

K

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

1

Câu 4 Cho hình thang ABCD (đáy lớn CD) Gọi O là giao điểmcủa AC và BD; các đờng kẻ từ A và B lần lợt song song với BC và ADcắt các đờng chéo BD và AC tơng ứng ở F và E Chứng minh:

<=> ( xr + xs + 1)  ( x2 + x + 1) víi 0 r;s 2

<=> r = 2 vµ s =1 => m = 3k + 2 vµ n =3t + 1

r = 1 vµ s = 2 m = 3k + 1 vµ n =3t + 2

<=> mn – 2 = ( 3k + 2) ( 3t + 1) – 2 = 9kt + 3k + 6t = 3(3kt + k + 2t)

mn – 2 = ( 3k + 1) ( 3t + 2) – 2 = 9kt + 6k + 3t =3( 3kt + 2k + t)

=> (mn – 2)  3 §iÒu ph¶i chøng minh

1

4 3 2

1 3 2 1

2 4

3

1 4

3

1 3 2

1 3

669 1004 1003 2008

2007 2006 2 2007

2006

1 2

F O



4

O K

E H F

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

OE

 => EF // ABb) ABCA1 và ABB1D là hình bình hành => A1C = DB1 =AB

Vì EF // AB // CD nên

DC

AB AB

OK.OD

=>

CK

AH OB CK

OB AH S

S





2

1

2

1

4

OD CK

OD AH S

S

.

2 1

2 1

đề 3 R.Câu 1: a Rút gọn biểu thức:

y a

x

(1) và    2

z

c y

b x

ca a

c b

bc c

b a

19 1997

a.BM  EF

b Các đờng thẳng BM, EF, CE đồng quy

Câu 5: Cho a,b, c, là các số dơng Tìm giá trị nhỏ nhất của

P= (a+ b+ c) (

c b a

1 1 1



Đáp án Câu 1: a ( 1,25 điểm) Ta có:

Vì x2=y2 + z2  (*) = 25x2 –30xy + 9y2 –16 (x2 –y2) = (3x –5y)2

Câu 2: ( 1,25 điểm) a Từ (1)  bcx +acy + abz =0

2 2

2

yz

bc xz

ac xy

ab c

z b

y a

x

4 2

4

2

2 2

2 2

z b

y a x

2

ca bc

bc ab ab

Câu 3: ( 1,25 điểm)

1988

2007 1997

2007 2006

Câu 4: a ( 1,25 điểm) Gọi K là giao điểm CB với EM; B

H là giao điểm của EF và BM

  EMB =BKM ( gcg)

 Góc MFE =KMB  BH  EF E MK

b ( 1,25 điểm)  ADF = BAE (cgc) AF  BEH

Tơng tự: CE  BF  BM; AF; CE

6

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

là các đờng cao của BEF  đpcm

b a

c c

a a

b b

a b

c a

c c

b a

b c

a b

a

3 1 1

Mặt khác   2

x

y y

x

với mọi x, y dơng  P  3+2+2+2 =9Vậy P min = 9 khi a=b=c

-đề 4 Bài 1 (3đ):

Bài 3 (4đ): Cho tam giác ABC ( AB > AC )

1) Kẻ đờng cao BM; CN của tam giác Chứng minh rằng:

a) ABM đồng dạng ACN

b) góc AMN bằng góc ABC2) Trên cạnh AB lấy điểm K sao cho BK = AC Gọi E là trung

điểm của BC; F là trung điểm của AK

Chứng minh rằng: EF song song với tia phân giác Ax của gócBAC

1) a) x2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4) (1đ)

b) a10 + a5 + 1 = (a10 + a9 + a8 ) - (a9 + a8 + a7 ) + (a7 + a6 + a5

) - (a6 + a5 + a4 ) + (a5 + a4 + a3 ) - (a3 + a2 + a ) + (a2 + a + 1 ) =(a2 + a + 1 )( a8 - a7 + a5 - a4 + + a3 - a+ 1 ) (1đ)

2)

8 94

6 96

1

- 94

1

- 92

1

- 92

5 2 1

2

5 ) 2 4 ( ) 2

( 1 2

3 3

x x x x

AB

  AMN đồng dạng ABC

 AMN =  ABC ( hai góc tơng ứng) (1,25đ)

2) Kẻ Cy // AB cắt tia Ax tại H (0,25đ)

 BAH =  CHA ( so le trong, AB // CH)

mà  CAH = BAH ( do Ax là tia phân giác) (0,5đ)

8

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

Suy ra:

 CHA = CAH nên CAH cân tại C

do đó : CH = CA => CH = BK và CH // BK (0,5đ)

BK = CAVậy tứ giác KCHB là hình bình hành suy ra: E là trung điểmKH

Do F là trung điểm của AK nên EF là đờng trung bình của tamgiác KHA Do đó EF // AH hay EF // Ax ( đfcm)(0,5đ)

Bài 4 (1đ):

2007

2007 2007

2 2007

2

=

2007

2006 2007

2006 2007

) 2007 (

A min =

2007

2006 khi x - 2007 = 0 hay x = 2007 (0,5đ)

-đề 5 Câu 1 ( 3 điểm ) Cho biểu thức A =

1 3

6

6 4

x x x

1 5 2

x x

Câu 3 ( 3,5 điểm): Cho hình vuông ABCD Qua A kẽ hai đờng

thẳng vuông góc với nhau lần lợt cắt BC tai P và R, cắt CD tại Q vàS

1, Chứng minh AQR và APS là các tam giác cân

2, QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS Chứng minh

3 3

Tìm giá trị nguyên của x để Anhận giá trị nguyên

Câu 5 ( 1 điểm)

a, Chứng minh rằng 3 3 3  3   3

.

3xy x y z y

x z y

b, Cho 1 1 1  0

z y

x Tính 2 2 z2

xy y

xz x

yz

A  

Đáp án Câu 1

a, x # 2 , x # -2 , x # 0

b , A =

2

6 : 2

1 2

2 4

=      : 62

2 2

2 2

x

x x

2 2 2 6

1 5 1

x x

0 1 2

2 3 1

x x

1 2

1 1

1 2

x

x

 x =1 ; x = 2 ; x = - 2/ 3

Cả 3 giá trị trên đều thỏa mãn ĐKXĐ

Vậy PT đã cho có tập nghiệm S =

2

; 2

; 1

Câu 3:

1, ADQ = ABR vì chúng là hai tam

giác vuông (để ý góc có cạnh vuông

2, AM và AN là đờng trung tuyến của

tam giác vuông cân AQR và APS nên ANSP và AMRQ

Mặt khác :  PAN  PAM = 450 nên góc MAN vuông Vậy tứ giácAHMN có ba góc vuông, nên nó là hình chữ nhật

10

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

3, Theo giả thiết: QARS, RCSQ nên QA và RC là hai đờng caocủa SQR Vậy P là trực tâm của SQR

4, Trong tam giác vuông cân AQR thì MA là trung điểm nên AM =2

 MA = MC, nghĩa là M cách đều A và C

Chứng minh tơng tự cho tam giác vuông cân ASP và tam giácvuông SCP, ta có NA= NC, nghĩa là N cách đều A và C Hay MN làtrungtrực của AC

5, Vì ABCD là hình vuông nên B và D cũng cách đều A và C Nóicách khác, bốn điểm M, N, B, D cùng cách đều A và C nên chúngphải nằm trên đờng trung trực của AC, nghĩa là chúng thẳnghàng

Câu 4 Ta có ĐKXĐ x  -1/2

A = (x + 1) +

1 2

2



x vì x Z nên để A nguyên thì

1 2

x z y

Biến đổi vế phải đợc điều phải chứng minh

b, Ta có abc 0 thì

a b aba b c c ab c c abc c

z y

3 1 1 1

3 3

y x

xyz z

xyz y

xyz x

xyz z

xy y

xz x

yz A

=====================

đề 6 Bài 1 : (2 điểm) Cho biểu thức :

2 2

4

2

x x

1

1

x

x x

a) Rút gọn

b) Tìm giá trị bé nhất của M

Bài 2 : (2 điểm) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên

A =

3

83 2 3

Bài 3 : 2 điểm

Giải phơng trình :

a) x2 - 2005x - 2006 = 0

b) x 2 + x 3 + 2 x 8 = 9

Bài 4 : (3đ) Cho hình vuông ABCD Gọi E là 1 điểm trên cạnh

BC Qua E kẻ tia Ax vuông góc với AE Ax cắt CD tại F Trung tuyến

AI của tam giác AEF cắt CD ở K Đờng thẳng qua E song song với

) 1 )(

1 (

1 )

1 )(

1 (

2 2

4

2 4 2

x

x x x

x

x4+1-x2) =

1

2 1

1 1

2

2

2

2 4 4

x x x

x< 2 ; 2  x < 3 ; 3  x < 4 ; x 4

Rồi suy ra nghiệm của phơng trình là : x = 1 ; x = 5,5

Bài 4 :

12

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

a)  ABE =  ADF (c.g.c)  AE = AF

 AEF vuông cân tại tại A nên AI  EF

 IEG =  IEK (g.c.g)  IG = IK

Tứ giác EGFK có 2 đờng chéo cắt

nhau tại trung điểm mỗi đờng và

Bài 5 : Biến đổi :

36

6

1 6 6

1

6

2

2 2

x x

x

x

( Với x  0 ; x   6 )1) Rút gọn biểu thức A

2) Tính giá trị biểu thức A với x=

5 4 9

x

x

Câu 3: ( 4 điểm )

Cho hình chữ nhật ABCD TRên đờng chéo BD lấy điểm P , gọi M

là điểm đối xứng của C qua P

a) Tứ giác AMDB là hình gi?

b) Gọi E, F lần lợt là hình chiếu của điểm M trên AD , AB

Chứng minh: EF // AC và ba điểm E,F,P thẳng hàng

c)Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF khôngphụ thuộc vào vị trí của điểm P

d) Gi¶ sö CP  DB vµ CP = 2,4 cm,; 169

PB PD

) 6 )(

6 ( ) 6 (

1 6 ) 6

x

x x

1 6 36

6 6 36

6

2

2 2

x x

x x x

x x x

x x

) 1 ( 12

1 )

1 1

1) (1 ®iÓm ) x2+y2+1  x y+x+y  x2+y2+1 - x y-x-y  0

 2x2 +2y2+2-2xy-2x-2y 0  ( x2+y2-2xy) + ( x2+1-2x) +( y22y)  0

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

2 ( 3 1 0

2 5 3 3 1

2 1

m

m m

→ góc FEA = góc OAB → EF //AC (1)

Mặt khác IP là đờng trung bình của  MAC → IP // AC (2)

1 (

1 1

1 )

2 )(

1 (

2

2 2

x x

x x x

Vậy Amax  [ ( x+ ]

4

3 ) 2

1 2

 min  x+ 12 = 0 → x = -

2 1

Amax là

3

4

khi x = -1/2

§¸p ¸n

Bµi 1: 3 ®iÓm

a, TÝnh: Ta cã: a3 + a2c – abc + b2c + b3

= (a3 + b3) + ( a2c –abc + b2c)= (a + b) ( a2 –ab =b2 ) + c( a2 - ab+b2)

= ( a + b + c ) ( a2 – ab + b2 ) =0 ( V× a+ b + c = 0 theo gi¶thiÕt)

VËy:a3 +a2c –abc + b2c + b3 = 0 ( ®pCM)

b, 1,5 ®iÓm Ta cã:

bc(a+d) 9b –c) – ac( b +d) (a-c) + ab(c+d) ( a-b)

= bc(a+d) [ (b-a) + (a-c)] – ac(a-c)(b+d) +ab(c+d)(a-b)

= -bc(a+d )(a-b) +bc(a+d)(a-c) –ac(b+d)(a-c) + ab(c+d)(a-b)

= b(a-b)[ a(c+d) –c(a+d)] + c(a-c)[ b(a+d) –a(b+d)]

16

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

= b(a-b) d(a-c) + c(a-c) d(b-a)





x

DÊu “ =” x¶y ra khi x= 2004

Tõ (1) vµ (2) suy ra: t  4  VËy gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña t = 4khi x =2004

VËy ymax=

8016

1 2004

VÕ tr¸I lµ 4 sè nguyªn liªn tiÕp kh¸c 0 nªn c¸c thõa sèph¶I cïng dÊu ( + )hoÆc dÊu ( - )

Suy ra:

BO

IC AO

AC

BO

AO IC

OA

BD

ID OB

OA BD

ID IC

2 3

16

2 2

2

a a

a a

2.T×m c¸c cÆp sè (x;y) � Z sao cho gi¸ trÞ cña P = 3

Bµi 2 (2 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh:

18

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8







Bµi 4 (3 ®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh b»ng a Gäi

E; F lÇn lît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB, BC M lµ giao ®iÓm cña

Bài 2.(2 điểm) Điều kiện xác định:

2 3 4 5 6

x x x x x

x x

x x



 nhỏ nhất khi  2

1

x =0

Dấu “=” xảy ra khi x-1 = 0 � x 1 Vậy Mmax = 1 khi x = 1

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

Rút gọn biểu thức : A = 1

2.5+ 1

5.8+ 1

8.11+……….+(3n2)(31 n5)Câu 2 (1,5đ) Tìm các số a, b, c sao cho :

Đa thức x4 + ax + b chia hết cho (x2 - 4)

Câu 3 (2đ) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức 2 7

1

x  x

có giá trị nguyên

1 1

ba

Câu 4 Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác

Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 < 2 (ab + ac + bc)

Câu 5 Chứng minh rằng trong một tam giác , trọng tâm G, trựctâm H, tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác là O Thì H,G,O thẳnghàng

Câu 5 trong tam giác ABC H là trực tâm, G là

Trọng tâm, O là tâm đờng tròn ngoại tiếp

 VAHG: VMOG (c.g.c)

 H,G,O thẳng hàng

======================

đề 11 Câu 1:Cho biểu thức: A=

93319

3

363

143

2 3

2 3

x

x x

x

a, Tìm giá trị của biểu thức A xác định

b, Tìm giá trị của biểu thức A có giá trị bằng 0

22

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

c, Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên

Câu3 : Cho tứ giác ABCD có diện tích S Gọi K,L,M,N lần lợt là các

điểm thuộc các cạnh AB,BC,CA,AD sao cho AK/ AB = BL / BC

a.(1đ)

Ta có A=

) 1 3 ( ) 3 (

) 4 3 ( ) 3 (

x x

(0,5đ)Vậy biểu thức A xác định khi x3,x1/3(0,5đ)

b Ta có A=

1 3

4 3

4 3

D N B1

K1 A

Gọi S1,,S2, S3, S4 lần lợt là diện tích tam giác AKN,CLM,DMN và BKL

Kẻ BB1AD; KK1AD ta có KK1//BB1 => KK1/BB1= AK/AB

SANK/SABD= AN.KK1/AD.BB1= AN.AK/AD.AB= x(1-x)=> S1=x(1-x)

SABD(0,5đ)

Tơng tự S2= x(1-x) SDBC=> S1,+S2= x(1-x)( SABD+ SDBC)= x(1-x)S(0,25đ)

Tơng tự S3+S4= x(1-x)S

 S1,+S2+ S3+ S4= x(1-x)2S (0,25đ)

 SMNKL=S-( S1,+S2+ S3+ S4)= 2S x21/2)2+1/2S1/2S(0,25đ)

-2Sx+S=2S(x-Vậy SMNKL đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1/2S khi x=1/2 khi đóM,N,K,L lần lợt là trung điểm các cạnh CD,DA,AB,BC (0,25đ)

b.(1,5đ)

24

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

Với x=-1 thì(*)=> 3=-a+b=> a=4,b=7

Vậy d của phép chia x99+x55+x11+x+7 cho x2-1 là 4x+7

6 3 4 2 2

2

2 3 4 5

x x x x x

1 1

1

b) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác

Chứng minh rằng:

b a c a c b c b

a       

1 1

1



c b a

1 1 1

BN PB AP

Đáp án

Bài 1:

a) x2+2x-8 = (x-2)(x+4) 0  x2 và x- 4(0,5đ)

TXĐ =x/xQ;x 2 ;x  4

0,2đ

b) x5 - 2x4+2x3- 4x2- 3x+ 6 = (x-2)(x2+ 3)x-1)(x+1)1,0đ

= 0 khi x=2; x=  1 0,2đ

Để M= 0 Thì x5-2x4+ 2x3-4x2-3x+6 = 0

x2+ 2x- 8 00,5đ

3 ( )

4 )(

2 (

) 1 )(

3 )(

x x

x x

0,1đ

b) (n3+2n2- 3n + 2):(n2-n) đợc thơng n + 3 d 20,3đ

Muốn chia hết ta phải có 2n(n-1)  2n0,2đ

Ta có:

1)

26

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

1 )

1 ( 1

x z

z xy

x

0,3đ

z xz

xz xz

yz y

xz yz

1 1

0,3đ

1

1 1



xz xz

z z

0,2đ

b) a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên

a+b-c > 0; b+c-a > 0; c+a-b > 00,2đ

c

b

a

2 2

4 1

2 1

b

a

c

2 1

AC

AB NC

7

AB AC

BC AB

Nên

0,2đ 10 ( )

9

5 5

9 5

4

cm

BC NC

NC

BC NC

7

BC AC

BC AB

0,2đ

3

11 3 11

3 4

7

cm ac

MC MA

MA MC MA

AP BA

BC MA

MC AC

AB BC

BC AC

AB PB

AP MA

MC BC BN

0,5đ

========================

đề 13 Câu 1: ( 2,5 điểm)

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

Đáp án Câu 1: a/ Ta có: x2 – x – 6 = x 2 – 4 – x – 2 = (x - 2)(x + 2) – (x + 2)

= (x + 2)(x – 2 - 1) = (x + 2 )(x - 3) ( Nếu giải bằng cách khác cho điểm tơng đơng )

-2

Câu 3: Ta có : n 5 – 5n 3 + 4n = n 5 – n 3 – 4n 3 + 4n = n 3 (n 2 - 1) – 4n( n 2 - 1)

= n(n - 1)( n + 1)(n - 2)(n + 2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp trong đó có ít nhất hai số là bội của 2 ( trong đó một số là bội của 4, một

số là bội của 3, một số là bội của 5).

Vậy tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 8,3,5 = 120.

4/ x � 3 , ta có: 3x – 2 = 14 � x = 16

3 Vậy phơng trình trên có nghiệm là x = - 4 và x = 16

Ta có VAFB VBIC (theo cách vẽ) nên: FB = IB (2)

Từ (1) và (2) suy ra :VFIB đều

Đờng thẳng CI cắt FB tại H Ta có: I�2 = 300 ( góc ngoài của VCIB).Suy ra: H�2 = 900 ( vì �B= 600 ) Tam giác đều FIB nên IH là trungtrực của FB hay CH là đờng trung trực củaVCFB Vậy VCFB cân tại

f(x) =x4-3x3+3x2 + ax+b chia hết cho đa thức g(x) =x2+4-3x.Câu 2 (2 điểm) Phân tích thành nhân tử

(x+y+z)3 –x3-y3-z3

Câu 3 (2 điểm ) :

a-Tìm x để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất : x2 +x+1

b-Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A= h(h+1) (h+2) (h+3)

30

2

I 2

F 2

H

150 15 0 2

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

C©u 4(2 ®iÓm ) : Chøng minh r»ng nÕu a2+b2+c2=ab+bc+acth× a=b=c

C©u 5 (2 ®iÓm ) : Trong tam gi¸c ABC lÊy ®iÓm P sao cho

PAC = PBC Tõ P dùng PM vu«ng gãc víi BC PK vu«ng gãc víi CA.Gäi D lµ trung ®iÓm cña AB Chøng minh : DK=DM

§¸p ¸n

Bµi 1 (2 ®iÓm) Chia f(x) cho g(x)

Ta cã : x4-3x2+3x2+ax+b: x2-3x+4

= x2+1 d (a-3)x + b+4 (1 ®iÓm) f(x): g(x) khi vµ chØ khi sè d b»ng kh«ng

a-3=0 => a=3b+4=0 => b=-4

Đặt : 3h+h2 =x

A= x(x+2) = x2+2x = x 2+2x+1-1 = (x+1)2-1 -1 Giá trị nhỏ nhất của A là -1

Bài 4 (2 điểm ) Chứng minh.

Theo giả thiết : a2+b2+c2 = ab+ac+bc

Ta có : a2+b2+c2 – ab-ac-bc = 0

Suy ra : (a2-2ab+b2) + (b2-2ab+c2) + (a2-2ac+c2)=0 (1

điểm)

(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2= 0

Điều này xảy ra khi và chỉ khi

a-b = b-c = a-c = 0 Tức là : a=b=c (1 điểm)

Bài 5 (2 điểm) C

Gọi E là trung điểm của AP

F là trung điểm của BP K M

Từ các tam giác vuông APK; BPM ta suy ra

KEP =2KAP ; MEP = 2MBPDEPF là hình bình hành nên DEP= DFP

Theo giả thiết KAD = MBP nên KEP = MFP

Vậy DEK = DPM suy ra DEK= MFO (c.g.c)

Do đó : DK=OM

==========================

đề 15 Câu 1: (2đ) Tìm hai số biết

a Hiệu các bình phơng của 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp bằng36

b Hiệu các bình phơng của 2 số tự nhiên lẻ liên tiếp bằng 40

Câu 2: (1,5đ) Số nào lớn hơn:

2 2

5 2

2

2005 2006

2005 2006

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

0 6 995

6 996

5 997

4 998

3 999

2 1000

Câu 4: (1đ) Giải bất phơng trình ax –b> bx+a

Câu 5: (2,5đ) Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD Qua A vẽ

đ-ờng thẳng AK song song với BC Qua B vẽ đđ-ờng thẳng BI song songvới AD BI cắt AC ở F, AK cắt BD ở E Chứng minh rằng:

a EF song song với AB

b AB2 = CD.EF

Câu 6: (1,5đ) Cho hình thang ABCD (AD//BC) có hai đờng chéo,

cắt nhau ở O Tính diện tích tam giác ABO biết diện tích tamgiác BOC là 169 cm2 và diện tích tam giác AOD là 196 cm2

Đáp án Câu 1: a Gọi 2 số chẵn liên tiếp là x và x+2 (x chẵn).

2

) 2005 2006

(

2005 2006

2005 2006

2005 2006

2005 2006

2005 2006

2005 2006

2005 2006

2006 2 2006

2005 2006

2005 2006





Câu 3: Phơng trình đã cho tơng đơng với:

0 1 995

6 1

996

5 1

997

4 998

3 1 999

2 1

1001 996

1001 997

1001 998

1001 999

1001 1000

1 996

1 997

1 998

1 999

1 1000

1 )(

1001

 x=-1001

Vậy nghiệm của phơng trình là x=-1001

Câu 4: * Nếu a> b thì x>

b a

b a





* Nếu a<b thì x<

b a

b a





* Nếu a=b thì 0x> 2b

+ Nghiệm đúngvới mọi x nếu b<0+ Vô nghiệm nếu b 0

b AEB Và KED đồng dạng, suy ra

EB

DE AB

OK



EB

DB AB

DC EB

BD AB

KC DK EB

EB DE AB

DB EF

DI EB

Câu 6: Theo đề bài ta phải tính diện

tích tam giác ABO, biết SBOC = 169 cm2

SAOD = 196 cm2

Ta nhận thấy SABD = SACD (vì có chung đáy AD

và đờng cao tơng ứng bằng nhau)

Suy ra SABO = SCOD

Từ công thức tính diện tích tam giác ta rút ra rằng: tỷ số diện tíchhai tam giác có chung đờng cao bằng tỷ số hai đáy tơng ứng

Do đó:

COD

AOD BOC

ABO

S

S OC

AO S

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

x2 - 3|x| - 4 = 0

Câu 3(2đ): Trên 3 cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC lấy tơng ứng các

điểm P, Q, R Chứng minh điều kiện cần và đủ để AP; BQ; CR đồngqui là:

Câu 5(2đ): Cho hai số x, y thoã mãn điều kiện 3x + y = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A = 3x2 + y2

Đáp án Câu 1

A =

x

x x

x x x

x x

).

1

1 4 1

1 1

Bài 2:

a) Giải phơng trình:

2006 2005

1 1 2004

Cho hình thang ABCD; M là một điểm tuỳ ý trên đáy lớn AB Từ M

kẻ các đờng thẳng song song với hai đờng chéo AC và BD Các ờng thẳng này cắt hai cạnh BC và AD lần lợt tại E và F Đoạn EF cắt

đ-AC và BD tại I và J

a) Chứng minh rằng nếu H là trung điểm của IJ thì H cũng là trung

điểm của EF

b) Trong trờng hợp AB = 2CD, hãy chỉ ra vị trí của M trên AB saocho EJ = JI = IF

Bài 4 Cho a  4; ab  12 Chứng minh rằng C = a + b  7

1

x x

b) A =

x

x x

x x x

1

1 4 )

1 ( ) 1 (

2 2

x

x x

1 1 2004

1 1 2004

2005

2005 2005

1 2004

2004 2004

2006 2004

1 2004

1 )(

2

b a

Bài 3

a) Ta có:

OB

DO PM

FP IE

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

OA

CO QM

FI

 hay FI.FJ = EI.EJ (4)Nếu H là trung điểm của IJ thì từ (4) ta có:

EH FH

IJ EH

IJ EH

IJ FH

) 2

suy ra: EF = FI + IE = 3FI Tơng tự từ (2) và (3) ta có EF = 3EJ

12 3 2 4

1 4

3 2 4

1 ) 4

b Rút gọn biểu thức:

M =

30 11

1 20

9

1 12

7

1 6

5

1

2 2

2

2  a a  a a  a a  a

a

Câu 2:

a Tìm số nguyên dơng n để n5 +1 chia hết cho n3 +1

b Giải bài toán nến n là số nguyên

Câu 3:

Cho tam giác ABC, các đờng cao AK và BD cắt nhau tại G Vẽ

đờng trung trực HE và HF của AC và BC Chứng minh rằng BG =2HE và AG = 2HF

1 6 5

1 12 7

1 20 9

1 30 11

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

Tơng tự trong CBI : HF//IB và HF = 1/2IB (2) (0.25đ)

Từ BGAC và HEAC  BG//IA (3) (0.25đ)

1 3

6

6 4

x x x

x

x

a tìm tập xác định A: Rút gọn A?

b Tìm giá trị của x khi A = 2

c.Với giá trị của x thì A < 0

d timg giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên

bài 2 (2,5đ)

a Cho P =

1 2

1

2 3 4

3 4

x x x

Rút gọn P và chứng tỏ P không âm với mọi giá trị của x

b Giải phơng trình

8

1 30 11

1 20

9

1 12

7

1 6

5

1

2 2

CF

Bài 3 (1đ)

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A =

9

12 27

2 



x x

Bài 4 (3đ)

Cho ABC vuông tại A và điểm H di chuyển trên BC Gọi E, F lần lợt

là điểm đối xứng của H qua AB và AC

sau khi biến đổi ta đợc;

1 2

1

2 3 4

3 4

x x x

1đ

Tử: x4 + x3 + x + 1 = (x+1)2(x2- x + 1) 0,25đ

Mẫu: x4 - x3 + 2x2 -x +1 = (x2 + 1)(x2 -x + 1) 0,25đ

Nên mẫu số (x2 + 1)(x2 -x + 1) khác 0 Do đó không cần điềukiện của x 0,25đ

40