ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2017 – 2018 MÔN: Toán 8 Thời gian làm bài: 120 phút (không tính thời gian giao đề) Bµi 1. (2,0 điểm): Chứng minh rằng: a) 85 + 211 chia hÕt cho 17 b) 1919 + 6919 chia hÕt cho 44 Bài 2. (6,0 điểm): Tìm x, biết: a) x2 2005x 2006 = 0 b) c) Bài 3. (4,0 điểm): Cho biÓu thøc: A= a) T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc A x¸c ®Þnh. b) T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc A cã gi¸ trÞ b»ng 0. c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn. Bài 4. (3 điểm): Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CA. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AD, AF, EF, ED. a Tứ giác MNPQ là hình gì? Tại sao? b Tam giác ABC có điều kiện gì thì MNPQ là hình chử nhật? c Tam giác ABC có điều kiện gì thì MNPQ là hình thoi? Bài 5. (4 điểm): Hình thang ABCD có ABCD, đường cao bằng 12(m), AC BD, BD=15(m). a Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DC ở E. Chứng minh Từ đó tính độ dài DE. b Tính diện tích hình thang ABCD. Bài 4. (1 điểm): T×m gi¸ trÞ lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt cña biÓu thøc sau (nÕu cã): M = 4x2 + 4x + 5 Ta cã M= 4x2 + 4x + 5 =(2x)2 + 2.2x.1 + 1 +4 = (2x + 1)2 + 4. V× (2x + 1)2 0 =>(2x + 1)2 + 4 4 M 4 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M = 4 khi x = Bµi 3( 2 ®iÓm). T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÎu thøc: Bµi 3.(2®iÓm) M lín nhÊt khi nhá nhÊt. V× vµ nªn nhá nhÊt khi = 0. DÊu “=” x¶y ra khi x1 = 0 . VËy Mmax = 1 khi x = 1.
Trang 1ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2017 – 2018 MễN: Toỏn 8 Thời gian làm bài: 120 phỳt (khụng tớnh thời gian giao đề)
Bài 1 (2,0 điểm):
Chứng minh rằng:
a) 85 + 211 chia hết cho 17
b) 1919 + 6919 chia hết cho 44
Bài 2 (6,0 điểm):
Tỡm x, biết:
a) x2 - 2005x - 2006 = 0
b)
x+1
2008 +
x +2
2007 +
x +3
2006=
x+ 4
2005 +
x+5
2004 +
x +6
2003
c)
1
x2+9 x +20+
1
x2+11 x+30+
1
x2+13 x+ 42=
1 18
Bài 3 (4,0 điểm):
Cho biểu thức: A=
3 x3−14 x2+3 x +36
3 x3−19 x2+33 x−9 a) Tìm giá trị của biểu thức A xác định
b) Tìm giá trị của biểu thức A có giá trị bằng 0
c) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên
Bài 4 (3 điểm):
Cho tam giỏc ABC Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC,
CA Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AD, AF, EF, ED
a/ Tứ giỏc MNPQ là hỡnh gỡ? Tại sao?
b/ Tam giỏc ABC cú điều kiện gỡ thỡ MNPQ là hỡnh chử nhật?
c/ Tam giỏc ABC cú điều kiện gỡ thỡ MNPQ là hỡnh thoi?
Bài 5 (4 điểm):
Trang 2Hình thang ABCD có AB//CD, đường cao bằng 12(m), ACBD, BD=15(m)
a/ Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DC ở E Chứng minh
2
BD = DE.DH. Từ đó tính độ dài DE
b/ Tính diện tích hình thang ABCD
Bài 4 (1 điểm):
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt cña biÓu thøc sau (nÕu cã):
M = 4x2 + 4x + 5
Ta cã M= 4x2 + 4x + 5 =[(2x)2 + 2.2x.1 + 1] +4
= (2x + 1)2 + 4
V× (2x + 1)2 0 =>(2x + 1)2 + 4 4 M 4
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M = 4 khi x =
-1 2
Bµi 3 ( 2 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÎu thøc:
2
2
x
M
x
Bµi 3.(2®iÓm)
2
1
M
M
M lín nhÊt khi
2
2
1 2
x x
nhá nhÊt
V× x 12 0 x
vµ 2
2 0
nªn
2
2
1 2
x x
nhá nhÊt khi x 12
= 0 DÊu “=” x¶y ra khi x-1 = 0 x 1 VËy Mmax = 1 khi x = 1
a) Chứng minh rằng: Với mọi x € Q thì giá trị của đa thức:
M = (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16 là bình phương của một số hữu tỉ
b) Giải phương trình
Trang 3Câu 3: (4,0 điểm)
a) Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau: 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0
Bài 4 (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600, phân giác BD Gọi M, N, I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD
a) Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh
b) Cho AB = 4cm Tính các cạnh của tứ giác AMNI
Câu 5 (2,0 điểm): Chứng minh bất đẳng thức:
Đáp án đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8
1 a) Ta cã: 85 + 211 = (23)5 + 211 = 215 + 211 =211(24 + 1)
=211.17 chia hÕt cho 17
0,5 0,5 b) Ta cã: 1919 + 6919 = (19 + 69)(1918 – 1917.69 +…+ 6918)
= 88(1918 – 1917.69 + …+ 6918) chia hÕt cho 44
0,5 0,5
2 a) Ta có x2 – 2005x – 2006 = 0
⇔ x2 – 1 – 2005x – 2005 = 0
⇔ (x + 1)(x – 1) – 2005(x – 1) = 0
⇔ (x – 1)(x + 1 – 2005) = 0
⇔ x – 1 = 0 ⇔ x = 1
Hoặc x – 2004 = 0 ⇔ x = 2004
0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 b) Ta có:
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
2008 2007 2006 2005 2004 2003
⇔
⇔
x +2009
2008 +
x +2009
2007 +
x +2009
2006 =
x+ 2009
2005 +
x+ 2009
2004 +
x+ 2009
2003
⇔
x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009
0
2008+
1
2007+
1
2006−
1
2005−
1
2004−
1
2003)=0
0,5
0,5
0,5
Trang 4Vỡ: 2008 20051 1 ;
20072004;
2006 2003
Do đú :
1
2008+
1
2007+
1
2006−
1
2005−
1
2004−
1
2003<0 Vậy x + 2009 = 0 ⇔ x = -2009
0,25 0,25 c) Ta cú:
1
x2+9 x +20+
1
x2+11 x+30+
1
x2+13 x+ 42=
1
18 (1)
x2+9x+20 = (x+4)(x+5) ;
x2+11x+30 = (x+6)(x+5) ;
x2+13x+42 = (x+6)(x+7) ;
ĐKXĐ : x≠−4; x≠−5; x≠−6; x≠−7
Biểu thức (1):
⇔ 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)
⇔ (x+13)(x-2)=0
⇔ x=-13; x=2;
0,25 0,25
0,5 0,5
0,25
0,25
3
a) Ta có A=
Vậy biểu thức A xác định khi x3, x1/3
0,5 0,5 b) Ta có A=
3 x+4
<=> x=-4/3 (thoã mãn đk)
Vậy với x=-4/3 thì biểu thức A có giá trị bằng 0
0,5
0,25 0,25 c) Ta có A=
3 x+4
5
3 x−1
Để A có giá trị nguyên thì
5
5<=> 3x-11,5
0,5
0,5
Trang 5=>x=-4/3;0;2/3;2
VËy víi gi¸ trÞ nguyªn cđa xlµ 0 vµ 2 th× A cã gi¸ trÞ nguyªn
0,5 0,5
a/
1 / / ;
1 / / ;
2
MN PQ MN PQ
Vậy MNPQlà hình bình hành
b/ Giả sử MNPQ là hình chử nhật thì MP = NQ
Mà
2 2
AC
MP AF
AC AB AB
NQ AD
Vậy tam giác ABC cân tại A thì MNPQ là hình chử nhật
** Hoặc:
/ /
.
MN MQ
MN BC AE BC đồngthời EB EC
MQ AE
Nêntam giác ABC cântại A
1
0,5
1
Trang 6c/ Giả sử MNPQ là hình thoi thì MN = MQ
BC AE
Vậy tam giác ABC vuông tại A thì MNPQ là hình thoi
** Hoặc:
Vậy tam giác ABC vuông tại A
0,5
1
a/ Kẻ BH DC
2 2 2 15 12 2 2 9 2
9
Xét tam giác BDH và tam giác EDB
1
BDE chung BDH#EDB
2 25
b/
1
2
ABCD
1 1
1
0,5
Trang 7Bài 4 :(3 điểm)
Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q lần lợt là trung điểm của AB, BC, CD và DA a) Tứ giác MNPQ là hình gì? Tại sao?
b) Tìm điều kiện để tứ giác MNPQ là hình vuông?
c) Với điều kiện câu b), hãy tính tỷ số diện tích của hai tứ giác ABCD và MNPQ
d) Bài 4:(3,5 điểm)
điểm
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p) a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành 1
điểm
q) b) MNPQ là hình vuông khi và chỉ khi AC = BD, ACBD 1
điểm
2
a
2 ; SMNPQ =
2
a
điểm
s)
ABCD MNPQ
S
2 S
0.5
điểm
Baứi 3: ( 3 ủieồm ) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để phõn thức cú giỏ trị là số nguyờn
5
A
x
b
c a
d
n m
Trang 8
2
3
5 1; 3 5
2; 4;6;8
x
x