Nhập môn đại số đồng đều

LỜI CẢM ƠNTrong quá trình nghiên cứu thực hiện khóa luận “Nhập môn đại sốđồng điều’’, cùng với sự say mê, cố gắng của bản thân và sự chỉ bảo tậntình, sự giúp đỡ của thầy giáo Nguyễn Huy

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện khóa luận “Nhập môn đại sốđồng điều’’, cùng với sự say mê, cố gắng của bản thân và sự chỉ bảo tậntình, sự giúp đỡ của thầy giáo Nguyễn Huy Hưng đã giúp em hoàn thànhtốt khóa luận của mình

Em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầycũng như các thầy cô trong tổ Đại số, các thầy cô và các bạn sinh viên đãgiúp đỡ em trong thời gian qua

Do khuôn khổ thời gian và trình độ chuyên môn của bản thân cònhạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót Em kínhmong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn để đề tàiđược hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cám ơn!

Hà Nội, ngày 15 tháng 04 năm 2013

Sinh viên thực hiện

Hà Thị Ngoan

LỜI CAM ĐOAN

Trong quá trình nghiên cứu khóa luận “Nhập môn đại số đồngđiều” em có sử dụng một số tài liệu tham khảo để hoàn thành khóa luậncủa mình

Em xin cam đoan khóa luận được hoàn thành bởi sự cố gắng nỗlực trong việc tìm tòi, nghiên cứu của bản thân cùng với sự hướng dẫn,chỉ bảo tận tình của thầy giáo Nguyễn Huy Hưng cũng như các thầy côtrong tổ Đại số

Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và cácbạn để khóa luận được hoàn thiện hơn

Hà Nội, ngày 15 tháng 04 năm 2013

Sinh viên thực hiện:

Hà Thị Ngoan

MỤC LỤC Mở

đầu 1

Chương 1 Môđun 2

1.1 Dãy khớp 2

1.2 Dãy nửa khớp 8

1.3 Tích tenxơ 13

1.4 Môđun các đồng cấu 16

1.5 Phạm trù 23

1.6 Hàm tử 24

1.7 Phép biến đổi các hàm tử 25

1.8 Hàm tử môđun 26

Chương 2 Tor n và Ext n 30

2.1 Phép giải 30

2.2 Hàm tử xoắn 34

2.3 Hàm tử mở rộng 42

Kết luận . 50

MỞ ĐẦU

Đại số đồng điều ngày nay đang tràn ngập toàn bộ Toán học Vìvậy việc nghiên cứu bộ môn này là cần thiết Nó nghiên cứu hai dãy vôhạn những hàm tử Torn và Extn (với n = 1, 2, …), nhờ hai hàm tử này

mà có thể kéo dài các dãy khớp của các hàm tử  và hàm tử Homtương ứng

Trên cơ sở những kiến thức đã học về Đại số đại cương, một sốkiến thức về môđun, được sự chỉ bảo tận tình của thầy giáo Nguyễn HuyHưng, em đã mạnh dạn chọn đề tài “Nhập môn Đại số đồng điều” làm đềtài khóa luận tốt nghiệp cho mình

Khóa luận của em gồm 2 chương Chương 1 Một số kiến thức cơ

sở Trong chương này, em trình bày các khái niệm, tính chất có liên quantới dãy khớp, dãy nửa khớp, đặc biệt là cách chứng minh “săn trên biểuđồ” Từ đó ta có thể xây dựng lên các ánh xạ trên một biểu đồ có cácdòng là khớp, là nửa khớp và hình vuông là giao hoán theo các chiềukhác nhau Ngoài ra, em còn đề cập tới các khái niệm phạm trù và hàm

tử đặc biệt là phạm trù môđun Chương 2 Các hàm tử Torn và Extn.Chương này, em tập trung tìm hiểu cách xây dựng phép giải xạ ảnhnhững môđun, làm nền tảng xây dựng nên các hàm tử xoắn Torn và hàm

tử mở rộng Extn Do khuôn khổ thời gian và trình độ chuyên môn nênnhiều ứng dụng lí thú khác chưa được trình bày ở đây, em hi vọng thời gian tới sẽ có dịp tìm hiểu sâu sắc hơn

Trong quá trình thực hiện khóa luận, em đã sử dụng các phươngpháp nghiên cứu lí thuyết, đọc sách, tìm hiểu các tài liệu về Đại số hiệnđại, Đại số đồng điều, Đại số đại cương

4

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1.DÃY KHỚP

1.1.1 Các định nghĩa

Dãy các đồng cấu (hữu hạn hay vô hạn)

● Dãy (1) được gọi là khớp tại môđun B nếu Im f  Kerg

● Một môđun trong dãy các đồng cấu được gọi là môđun trung gian

nếu tại đó vừa có đồng cấu vào vừa có đồng cấu ra

● Dãy (1) được gọi là khớp nếu nó khớp tại mỗi môđun trung gian

● Dãy khớp ngắn là dãy khớp có dạng

● Dãy (1) được gọi là chẻ ra tại môđun B, nếu Im f là một hạng tử trực

tiếp của B, tức tồn tại môđun con B1 sao cho: B=Imf  B1

● Một dãy khớp được gọi là chẻ nếu nó chẻ tại mỗi môđun trung

gian

1.1.2.Các ví dụ

Ví dụ 1: “Dãy khớp của đồng cấu h : X  Y ’’ được xác định như sau:

0  Kerh i  X  h Y  P Y / Im h 0,

trong đó i là phép nhúng và P là phép chiếu mà tính khớp tại các môđuntrung gian: Kerh, X, Y và Y/Imh gần như là hiển nhiên

Để ý rằng: đồng cấu h là đẳng cấu  Kerh  0 và Y/Imf=0

Ví dụ 2: Cho h : X  Y là đơn cấu mà không là đẳng cấu Khi đó

Kerh  0 và do vậy “dãy khớp của h” là dãy khớp ngắn:

0  X h Y  P Y / Im h 0

Tương tự, nếu h là toàn cấu mà không là đẳng cấu thì “dãy khớpcủa h” cũng là dãy khớp ngắn Nó có dạng

Chứng minh: (Phép chứng minh bằng cách “ Săn trên biểu đồ’’)

Trước hết ta nhắc lại rằng, một biểu đồ các đồng cấu là giao hoánnếu tích của các đồng cấu xuất phát từ một nguồn và tới cùng một đích

có kết quả như nhau Bây giờ, ta chứng minh định lí

i) * Chứng minh g  Ker   Ker

Trước hết do  g  g ' mà

Suy ra

 g(Ker )  g ' (Ker ) = g'(0) = 0

g  Ker   Ker

* Chứng minh Ker  g  Ker 

Có nghĩa là với mọi c  Ker  C phải chỉ ra b  Ker mà

g(b)  c Phần tử b như vậy được tìm ra nhờ phép săn trên biểu đồ sau:

Mô tả các bước săn:

● Vì c  Ker nên  h(c)  h '  (c)  0 Do  đơn cấu nên

● Vì  là toàn cấu nên tồn tại a  A mà  (a)  a ' Hiển nhiên, ta

 f (a)  f ' (a)  f '(a ')  b '

Để chứng minh đẳng thức ii) trước hết sử dụng g '   g ta được:

g '(Im )  Im( g)  Im  và do vậy Im  g '1

(Im  )

Để kết thúc ta cần phải chứng minh bao hàm ngược lại

g '1

(Im  )  Im , tức b ' g '1

(Im  )  B ' phải b  B sao cho

 (b)  b ' Phần tử b này cũng được tìm nhờ phép săn trên biểu đồ sau:

1

● Bởi  toàn cấu nên a  A mà  (a)  a ' Hiển nhiên, ta có

 f (a)  f ' (a)  f '(a ')  b ' b1

* Hệ quả 1.1.2 (Bổ đề năm đồng cấu)

Cho biểu đồ giao hoán các đồng cấu sau

trong đó: các dòng là khớp,  toàn cấu,  đơn cấu Khi đó, nếu  và

 đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) thì  cũng là đơn cấu (toàn cấu, đẳng

(do hình vuông giao hoán)

Do x tùy ý thuộc Ker h nên  Ker h  Kerh ' (đpcm)

● Dãy (1) được gọi là nửa khớp tại Y nếu Imf  K er g

● Dãy (1) được gọi là nửa khớp nếu nó nửa khớp tại mọi môđun khác hai

đầu (nếu có) của dãy

 Nhận xét: Dãy đã cho được gọi là nửa khớp nếu và chỉ nếu cái hợp

những đồng cấu của những môđun trên R, môđun thương

K er  g  / Im f  gọi là môđun dẫn xuất của dãy C tại môđun Y.

* Các môđun của dãy nửa khớp C thường được chỉ số hóa bởinhững số nguyên lùi hoặc những số nguyên tiến

Định nghĩa 1.2.2:

Nếu các số nguyên lùi được dùng làm chỉ số thì dãy nửa khớp C

gọi là một dãy dưới (hay phức hợp dây chuyền) và các đồng cấu trong C

đều được kí hiệu bằng cùng một chữ  Khi đó, mọi dãy dưới C có dạngnhư sau:

Khi các số nguyên tiến được dùng làm chỉ số, dãy nửa khớp C gọi

là một dãy trên (hay phức hợp đối dây chuyền) và các đồng cấu của C

đều được kí hiệu bằng cùng một chữ  Khi đó, mọi dãy trên C có dạngnhư sau:

(C) / B n

(C) gọi là môđun đối đồng điều n- chiều của C.

những R- môđun, chỉ số hóa bởi các số nguyên n □ sao cho quan hệ

giao hoán   f  f   xảy ra trong hình chữ nhật

dãy dưới Khi đó, họ

* Ta gọi đồng cấu tầm thường từ một dãy dưới C vào một dãy

dưới D là đồng cấu h : C  D sao cho hn là đồng cấu tầm thường từ

môđun Cn vào môđun Dn, n □ Ta dùng kí hiệu

cấu tầm thường

Định nghĩa 1.2.5:

h  0 để chỉ h là đồng

* Hai đồng cấu f , g : C 

D từ một dãy dưới C vào một dãy dưới

D gọi là đồng luân nếu và chỉ nếu  một họ những đồng cấu

S  : 0 C f  D  g  E  0 Điều đó có nghĩa

những dãy dưới sao

* Để nối các khớp trong mệnh đề (1.2.2) thành một dãy duy nhất

ta phải dựng với mỗi số nguyên n, một đồng cấu  : H n  E   H n1 C  Các

đồng cấu này gọi là các đồng cấu nối của dãy khớp ngắn (S).

1.3.1 Hàm song tuyến tính: (Ánh xạ R- song tuyến tính)

Cho A, B, X là các R- môđun và luôn giả thiết R là vành giao

hoán có đơn vị là 1 Một ánh xạ f : A  B  X được gọi là song tuyến tính hay ánh xạ song tuyến tính nếu thỏa mãn:

1.3.2 Tích tenxơ của hai môđun

Cho A, B, X, T là các R- môđun, f : A  B  T là một ánh xạ

song tuyến tính Cặp T , f  được gọi là tích tenxơ của R- môđun A, B

nếu mọi ánh xạ song tuyến tính g : A  B  X đều tồn tại duy nhất đồng cấu h :T  X sao cho

R hoặc A  B (A tenxơ với B)

1.3.3 Tích tenxơ của hai đồng cấu

Cho các đồng cấu sau f : A  A' , g : B  B ' là các R- đồng cấu môđun Khi đó, đồng cấu h : A  B  A' B '

x  y  f  x  g  y 

gọi là tích tenxơ của hai đồng cấu f, g Kí hiệu h 

Bổ đề 1.3.1 : (Định lý toàn cấu của tích tenxơ)

f : A  A' và g : B  B ' là những đẳng cấu của những

các tích tenxơ của chúng với tự đồng cấu đồng nhất

Ker  g '  K là môđun con của B  M , K được sinh ra

bởi các phần tử yw của BM với y  Ker g  hoặc w  Keri 

là đồng cấu tầm thường, nên suy ra Im f '  Ker g '

Suy ra Im f '  Ker g 'hay (2) là khớp (đpcm)

Mệnh đề 1.3.4:

Nếu dãy sau những đồng cấu của những R- môđun

* Cho A, B là các R- môđun, R là vành giao hoán có đơn vị Kí

hiệu Hom R  A, B :=  đồng cấu f : A  B  hoặc Hom A, B

đến B

Hom A, B là một R- môđun các R- đồng cấu từ A

* Giả sử f : A'  A và g : B  B ' là những R- đồng cấu tùy ý cho trước và xét các môđun Hom A, B và Hom A', B '

Định nghĩa một ánh xạ

h : Hom A, B  Hom A', B '

bằng cách lấy h   g    f với  trong Hom A, B vào môđun

Hom A', B ' và ta kí

hiệu h : Hom f , g 

Ta dễ dàng chứng minh được các mệnh đề sau:

Nếu f : A'  A , f ' : A''  A', g : B  B ' ; g ' : B '  B ''

đồng cấu của những môđun trên R thì ta có:

Hom f  f ', g ' g   Hom f ', g '  Hom f , g

H  Hom f , g  : Hom A, B  Hom A', B '

là môđun con K

của Hom A, B xác định bởi

K     Hom A, B saocho Im  f   Ker g  

g* 

Hom g,i M  M , trong đó i : là tự đồng

cấu đồng nhất của môđun M cũng là dãy khớp.

Chứng minh:

Vì g là một toàn cấu và i là một đơn cấu nên theo mệnh đề (1.4.3)

suy ra g*  Hom g,i  là một đơn cấu

Hai tam giác trên giao hoán tức là h  p  g ;   p  

Vì h là một đẳng cấu, nên ta có thể định nghĩa một đồng cấu

   h1

: C  M

(h-1 là một R- đẳng cấu)Khi đó   HomC, M  và g : B  C ;  : C  M    g : B  M

Ta có g*    Hom B, M  nên g*       g   h1

 g   p  

Do đó  Im g*  Do  là bất kì nên Ker f *   Im g*  (2)

Từ (1) và (2)  Im g*   Ker f *  Vậy ta có điều phải chứng minh Định

Vì i là một toàn cấu, f là một đơn cấu nên từ mệnh đề (1.4.3), suy

ra f*  Hom f ,i  là một đơn cấu Do g  f  0 nên ta có

Giả sử  là phần tử tùy ý của HomM , B trong Ker  g*  Vì

g*  Homi, g  nên từ mệnh đề (1.4.2) suy ra

 M    Im i   Ker g   Im f 

Do f là R- đơn cấu nên tồn tại một đẳng cấu

j : Im f   A sao cho f  j

là đồng cấu bao hàm của Im(f) vào B: Im f  i

  f*     f   i

29

Đồng cấu  chính là đồng cấu phải tìm.

Bài tập 1.4.2: Cho biểu đồ các đồng cấu

trong đó hình vuông giao hoán, dòng dưới là khớp, kh  0 và P là môđun

xạ ảnh Chứng minh rằng tồn tại đồng cấu  : P  A

trái cũng giao hoán

để hình vuông bên

f     h

đồng cấu  chính là đồng cấu cần tìm

1.5 PHẠM TRÙ

Định nghĩa 1.5.1 :

Một phạm trù C được cho bởi :

C1, Một lớp các vật k mà mỗi phần tử của k được gọi là một vậtcủa phạm trù C

C2, Hai vật X, Y tùy ý của k luôn xác định một tập hợp Mor  X ,Y 

là tập hợp các cấu xạ từ vật X đến vật Y sao cho với hai cặp khác nhau của

các vật  X ,Y   U ,V 

MorX, Y  MorU, V  

C3, Với mỗi bộ ba (X, Y, Z) tùy ý các vật của k luôn có một ánh

xạ Mor X ,Y  MorY , Z   ,      Mor X , Z  gọi là phép nhân (tích các cấu xạ) sao cho các điều kiện sau thỏa mãn:

+ MorX, Y  HomX, Y là tập hợp tất cả các đồng cấu nhóm

từ nhóm abel X vào nhóm abel Y

+ Tích cấu ánh xạ bằng ánh xạ hợp thành các cấu xạ đó

* Giống như các ánh xạ trong tập hợp và các đồng cấu trongnhóm, trong phạm trù cũng có một khái niệm tương tự gọi là hàm tử

1.6 HÀM TỬ

1.6.1 Định nghĩa hàm tử hiệp biến

Giả sử C và D là hai phạm trù đã cho và xét một tương ứng

f : C  D cho ứng với mỗi vật X của C một cấu xạ f() của D Tương

ứng f được gọi là một hàm tử hiệp biến từ C tới D nếu nó thỏa mãn ba

điều kiện:

i) X, Y kC nếu  : X  Y thì f : f X  f Y

ii) X k ta có f ix   if x

iii) Nếu  được xác định thì f() = f()f()

1.6.2 Hàm tử phản biến (nghịch biến)

Tương ứng f gọi là hàm tử phản biến (nghịch biến) từ C tới D nếu

nó thỏa mãn ba điều kiện :

1.7.1 Phép biến đổi tự nhiên

Giả sử f và g là hai hàm tử hiệp biến bất kì từ một phạm trù C đến phạm trù D Ta gọi phép biến đổi tự nhiên của hàm tử f vào hàm tử

g là một hàm  cho ứng với mỗi vật X của phạm trù C một cấu xạ

( X ) của phạm trù D sao cho hai điều kiện sau thỏa mãn:

F ( )(Y )  ( X )g( )

1.7.2 Tương đương tự nhiên

Giả sử f , g : C 

D là những hàm tử tùy ý cho trước cùng hiệp

biến hoặc cùng phản biến Ta sẽ dùng kí hiệu  : f  g để chỉ một phép

biến đổi tự nhiên  của hàm tử f vào hàm tử g Nếu cấu xạ ( X ) của

D là một tương đương với mọi vật X  C Thì khi đó  gọi là một

tương đương tự nhiên của các hàm tử f và g Kí hiệu  : f  g

1.8 HÀM TỬ MÔĐUN

1.8.1 Định nghĩa phạm trù môđun

Với bất kì vành R có đơn vị cho trước Ta xét lớp R mà

+ Mỗi vật của lớp này là một R- môđun cho trước

+ Cấu xạ giữa hai vật là những R- đồng cấu môđun

Với bất kì cấu xạ  : M  N ,M , N là những R- môđun cho

trước Khi đó, cấu xạ  : N  Q,Q  Tích hai cấu xạ  là ánh xạ hợp thành     : M  Q

R

0



1.8.3 Các ví dụ: Cho  là R- môđun trong  R

gọi f    là tích tenxơ   i : X  M  Y  M của 

và tự đồng cấu đồng nhất i của M và lúc này f là một hàm tử hiệp biến

Ví dụ 2: Hàm tử Hom

Với mỗi môđun X trên R trong MR, gọi f X là môđunHomX, M tất cả các đồng cấu của X và M Với mỗi đồng cấu

 : X  Y

của những môđun trên R trong MR, gọi f    là đồng cấu

Hom ,i  : HomY , M   Hom X , M 

trong đó i : M  M

tử phản biến

là tự đồng cấu đồng nhất của M Ta có f là một hàm

1.8.4 Hàm tử tuyến tính hiệp biến trên R

Giả sử f :  R   R là một hàm tử tuyến tính hiệp biến trên R.

0 f X f f Y f f Z 0bao giờ cũng khớp.

* Một hàm tử phản biến

mọi dãy khớp ngắn

f : M R  M R gọi là khớp nếu và chỉ nếu

0  X  Y  Z  0những môđun trên , dãy

0 f Z f f Y f f X 0bao giờ cũng khớp

1.8.6 Hàm tử nửa khớp, khớp trái, khớp phải

bao giờ cũng khớp khi f phản biến

* Một hàm tử f : M R  M R gọi là khớp trái nếu và chỉ nếu dãy

0 f X f f Y f f Z 0bao giờ cũng khớp khi f là hiệp biến và dãy

0 f Z f f Y f f X

bao giờ cũng khớp khi f là phản biến

* Một hàm tử f : M R  M R gọi là khớp phải nếu và chỉ nếu dãy

f X f f Y f f Z 0bao giờ cũng khớp trong trường hợp f là hiệp biến và dãy

f Z f f Y ff X 0bao giờ cũng khớp trong trường hợp f là phản biến