Nhập môn đại số Tenxơ

Lý do chọn đề tàiMỞ ĐẦU Đại số tenxơ, đại số đối xứng và đại số ngoài là một công cụ hữu hiệutrong toán học, cơ học lượng tử, vật lý lý thuyết,…Nhiều kết quả, hay phươngpháp nghiên cứu c

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới toàn thể các thầy giáo cô giáotrong khoa Toán, các thầy cô trong tổ Đại số, những người tận tình dạy dỗ,giúp đỡ tôi trong bốn năm học vừa qua cũng như tạo điều kiện cho tôitrong quá trình hoàn thành khóa luận

Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo :

Ths Nguyễn Huy Hưng, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng

ghóp nhiều ý kiến quý báu trong tôi thực hiện khóa luận

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả của cá nhân tôi trong quá trình học tập, tìm tòihọc hỏi và nghiên cứu Bên cạnh đó được sự quan tâm tạo điều kiện của các thầygiáo, cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là giúp đỡ nhiệt tình của thầy giáo Ths

Nguyễn Huy Hưng.

Tôi xin cam đoan kết quả khóa luận tốt nghiệp của tôi với đề tài “Nhập môn đại số ten xơ” không trùng lặp hay sao chép kết quả của đề tài khác.

Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiêm

Hà Nội, tháng 5 năm 2010

Sinh viên

Nhƣ Thúy Vân

1 Lý do chọn đề tài

MỞ ĐẦU

Đại số tenxơ, đại số đối xứng và đại số ngoài là một công cụ hữu hiệutrong toán học, cơ học lượng tử, vật lý lý thuyết,…Nhiều kết quả, hay phươngpháp nghiên cứu của đại số tenxơ còn ảnh hưởng đến một số lĩnh vực khác củatoán học và đời sống, trong nghiên cứu khoa học

Với niềm yêu thích bộ môn Đại số, và được sự giúp đỡ tận tình của thầy

giáo Ths Nguyễn Huy Hưng, tôi mạnh dạn thực hiện kháo luận tốt nghiệp với đề

tài: “ Nhập môn đại số ten xơ ”

2 Mục đích nghiên cứu

Cung cấp nghiên cứu về tích tenxơ của không gian véctơ

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng: Các kiến thức cơ bản về tính chất phổ dụng của các khônggian véctơ

+ Phạm vi: Nội dung kiến thức trong phạm vi của đại số tuyến tính

4 Nhiệm vụ nghiên cứu: Tìm hiểu lý thuyết về tích tenxơ.

5 Phương pháp nghiên cứu

Phân tích tài liệu có liên quan và tổng hợp kinh nghiệm của bản thân

6 Cấu trúc khóa luận

Chương 1, tôi trình bày một số kiến thức cơ bản như không gian véctơ,ánh xạ tuyến tính, ánh xạ song tuyến tính Chương 2, đây là nội dung chính củakhóa luận Các khái niệm như tích tenxơ của hai không gian, hai không gian con,hai không gian thương, tích tenxơ của hai ánh xạ được trình bày khá chi tiết.Chương 3, tôi trình bày những kết quả mở rộng của chương 2 cho nhiều khônggian

hữu hạn phần tử s1, s2, s3….,sn thuộc S, từ điều kiện

Định lý : Trong không gian véctơ luôn tồn tại cơ sở, hai cơ sở bất kỳ luôn

có cùng lực lượng Lực lượng của nó được gọi là số chiều của không gian véctơ

Tổng trực tiếp của không gian véctơ: Cho V, W là hai không gian

Không gian con: W⊂ V được gọi là không gian con nếu W là

Mệnh đề : Nếu W⊂ V là không gian

∃U

là không gian con sao

mãn:

[v1]+[v2] = (v1 + v2) + W , v1 ,v2 ∈ V

thương của V theo không gian véctơ con W

Không gian tuyến tính của các ánh xạ tuyến tính: Xét tập hợp tất cả cácánh xạ tuyến tính: V→W ( giả thiết V, W hữu hạn chiều), ký hiệu là:L(V, W) L(V, W) cũng là một không gian véctơ trên K, với các phép toán :

là Γ - tuyến tính

ta có thể đưa ra cấu trúc không gian véctơ trong tập B(E,E;G) Không gian

1.2.5 Ánh xạ song tuyến tính của không gian con không gian thương

không gian con

Ta định nghĩa ánh xạ song tuyến tính

gian con của G gồm những véctơ có dạng

CHƯƠNG 2 TÍCH TENXƠ CỦA HAI KHÔNG GIAN

nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:

véctơ

x ⊗ y(x ∈ y, y ∈ F ) sinh ra T, hoặc tương

cho biểu đồ sau giao hoán:

E x F ϕ H

⊗

f T

(2.1)

Hai điều kiện trên tương đương với điều kiện sau:

⊗: Với mọi ánh xạ song tuyến tính ϕ :E x F → H thì tồn tại duy nhất một ánh xạ song tuyến tính f: T →H sao cho (2.1) giao hoán.

tuyến tính:

Ngược lại, giả sử cho ⊗ Hiển nhiên ⊗ 2 thỏa mãn.

ra được i  f = id T do vậy i là toàn ánh và do đó T = T1 suy ra ⊗ 1

2.2Những tính chất cơ bản

Ta đưa ra một vài tính chất được suy ra từ định nghĩa

= 0 suy ra b i = 0, i=1, r

Vì các véctơ ai độc lập tuyến tính (i=1, r ) nên ta chọn r hàm tuyến tính

f i sao cho

f i (aj) = δ i (i, j = 1, r ).

Xét hàm song tuyến tính:

j

i i

Bổ đề 2.2.2: Trong E, cho cơ sở {eα }α ∈ A, thế thì với mọi

véctơ z∈T, ta có thể viết dưới dạng :

ν

i

i

và nếu các véctơ phụ thuộc tuyến

α

Suy ra điều này trái với giả thiết r nhỏ nhất Do đó các véctơ xi độc lập tuyếntính Chứng minh tương tự, ta có các véctơ yi độc lập tuyến tính.

là hai ánh xạ song tuyến tính có tính

chất phổ dụng Khi đó, tồn tại một đẳng cấu tuyến tính f: sao cho:

(λx1 + µx2 , y) − λ(x1, y) − µ(x2 , y)

và

Tương tự như vậy ta chứng minh được ⊗ tuyến tính đối với biến y.

không gian véctơ H Vì cặp(x, y) x∈E, y ∈F là một cơ sở của C(E xF) nên tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính

g: C(E x F) →Hsao cho

2.5Tích tenxơ của hai không gian véctơ

2.5.1 Định nghĩa: Tích tenxơ của hai không gian véctơ E và F là một cặp (T,

⊗) trong đó ⊗: E x F→T là một ánh xạ song tuyến tính cótính chất phổ dụng Không gian được xác định duy nhất bởi E và F đếnmột đẳng cấu, và cũng được gọi là tích tenxơ của E và F, được ký hiệubởi E ⊗ F

Ta chỉ ra tenxơ có tính chất giao hoán theo nghĩa

Thật vậy, xét ánh xạ song tuyến tính:

ψ : F x E →E ⊗ F , với ψ (y, x) =

⊗ Fsao cho:

2.6Hạn chế của ánh xạ song tuyến tính thành ánh xạ tuyến tính

Cố định E, F và G là ba không gian véctơ, Xét đẳng cấu:

φ : L(E ⊗ F, G) ≅ B(E, F, G)Xác định bởi:

Từ ⊗ 2 ta dễ dàng chỉ ra φ là một toàn ánh vì nó cho biết bất kỳ một

trên được biểu

diễn bởi sơ đồ sau:

F

Do vậy mọi ánh xạ song tuyến tính ψ : E x F →K cảm sinh một

2.7 Tích tenxơ của hai không gian con

2.7.1 Ví dụ

V là không gian véctơ với cơ sở{e1, e2}, W là không gian véctơ cơ sở{ε1,ε2 ,ε3 }; V1 là không gian con của V sinh bởi e1, W1 là không gian concủa W sinh bởi ε1 Khi đó V1 ⊗W1 = ke1 ⊗kε1

2.8 Tích tenxơ của hai không gian thương

ϕ (x, y) = ψ ( x, y )

2.9 Tích tenxơ của tổng trực tiếp

mọi cặp

ϕ (x, y) = ∑α ,βiαβ ( πα x, pβ y )

thì ( G ,ϕ ) là tích tenxơ

Nhưng từ đẳng thức này ta chỉ ra rằng h ánh xạ mọi không gian con Eα

Khi đó (

α , β

2.11 Tích tenxơ của các véctơ cơ sở

dim(E⊗F ) = dimE.dimF (2.3)

2.12 Áp dụng cho ánh xạ song tuyến tính

Cho E, F là các không gian véctơ với cơ sở tương ứng là

(xα)α∈I

và ( yβ )

β∈J

tuyến tính

⊗ F → G và mọi ánh xạ song tuyến tính ϕ có được một

Dễ dàng ta xây dựng một tập cơ sở của B(E,F;G) với điều kiện E và F hữu

là một cơ sở của L(E ⊗ F;G) Do đó ánh xạ

là một cơ sở của B(E,F;G).

Nếu G hữu hạn chiều thì dim B(E,F;G) = dim E dim F dim G Đặc biệt

B(E,F;G) = dim E dim F

2.13 Giao của các tích tenxơ

1 1 1 1

Mệnh đề 2.14 Cho L(E, E’) ⊗ L(F, F’) là tích tenxơ của L(E, E’) và

L(F, F’).

Khi đó ánh xạ tuyến tính

f : L(E, E’) ⊗ L(F, F’) → L(E ⊗ F, E’

⊗ F’ ), cảm sinh bởi ánh xạ song tuyến tính β là một đơn ánh

ψ i ∈L(F, F’),ϕi , ψ i

Hệ quả 1 Cặp (Im β , β ) là tích tenxơ của L(E, E’) và L(F, F’).

Hệ quả 2 Ánh xạ song tuyến tính β : L(E) x L(F) → L(E

Hệ quả 3 Nếu E, F hữu hạn chiều

gian L(E ⊗ F, E’ ⊗ F’) Thế thì cặp (L(E ⊗ F, E’ ⊗ F’),

β ) là tích tenxơ của L(E, E’) và (F, F’).

+

2.15 Ví dụ

là hợp thành của x và y trong một cơ sở của E Dễ dàng thấy được không

ψ : F→F’ , ψ ’: F’ →F’’

Ta định nghĩa phép hợp :

':

Với T(kerϕ , kerψ ) = kerϕ ⊗ F+E ⊗kerψ cũng là cácphép chiếu chính tắc Theo 2.7 thì tồn tại đẳng cấu:

Ta định nghĩa ánh xạ tuyến tính

⊗F’,bởi

CHƯƠNG III TÍCH TENXƠ CỦA NHIỀU KHÔNG GIAN VÉCTƠ

Ở chương này, tôi trình bày một số kết quả mở rộng của chương 2 chonhiều không gian véctơ và xem xét một số tính chất của chúng

:ϕ : (

là một ánh xạ tuyến tính bất kỳ

E1 , …,

đồ giao hoán sau:

biểu diễn bởi biểu

E 1 x … x

E p ϕ→ H

E 1 ⊗… ⊗ E p

Từ đó, ta xác định duy nhất một ánh xạ song tuyến tính:

Phát biểu định lý trong trường hợp p = 2 ta có được các trường hợp khác và có

thể ký hiệu chúng một cách tổng quát Đặc biệt nếu { a i } tương ứng là cơ sở của

Tích tenxơ của nhiều ánh xạ tuyến tính cũng được định nghĩa tương tự

sao cho

=f(x⊗x’) ⊗(y⊗y’),

3.3 Hàm song tuyến tính

Φ (x, x’) Ψ (y, y’)

Vì i là đơn ánh nên từ (2.17), ta được:

Giả sử E* , E và F*, F là hai cặp không gian đối ngẫu và hai tich vôhướng xác định bởi < , > Từ kết quả trên suy ra tồn tại duy nhất một hàmsong tuyến tính < , > trong E* ⊗ F*

, E⊗F sao cho

< x* ⊗y* ,x ⊗y > = < x*, x > <y*, y > (3.11)

Và hàm song tuyến tính này cũng không suy biến Nếu

E* , E và F*, F là cặpkhông gian đối ngẫu thì tính đối ngẫu giữa

tích vô hướng này có tính chất đối xứng

Bây giờ, giả sử E*

, Ei là các cặp không gian đối ngẫu, và mọi tích vôhướng xác định bởi < , > Tương tự với p = 2, ta có tích vô hướng cảm sinh giữa

i F i

Mặt khác, không gian L(E⊗F) là không gian đối ngẫu đến E⊗F với tích vô hướng:

Xét đơn ánh

xác định bởi:

Từ (3.11), (3.13), (3.14) ta được hệ thức

Do đó đơn ánh i bảo toàn tích vô hướng

3.6 Không gian tích trong

Một không gian tích trong của không gian véctơ E là một hàm song tuyến tính đối xứng không suy biến trong E, ký hiệu ( , ) Đặc biệt, mọi không gianEuclide đều có một không gian tích trong

Giả sử E và F là không gian tích trong và ký hiệu cả hai là ( , ) Từ (3.2)

(x1 ⊗y1, x2 ⊗y2) = (x1, x2 ) (y1, y2)

Rõ ràng hàm song tuyến tính này đối xứng Hơn nữa nó là ánh xạ

gian tích trong E và F

Bây giờ, giả sử E, F là hai không gian Euclide n và m chiều Chọn hệ cơ

cũng là không gian Euclide

3.7 Đại số kết hợp

Cho E*, E là cặp không gian véctơ đối ngẫu Ta định nghĩa phép nhân

là phần tử đơn vị của đại số giao hoán hay là tenxơ đơn vị của E Để rõ ràng,

do đó

n

∑ν

chính nó, với tích vô hướng cho bởi:

< x* ⊗x, y⊗y* > = < x*, y> <y*, x >

Suy ra T bảo toàn tích vô hướng

Trường hợp 2: dimE = ∞ Đại số hợp thành không có phần tử đợn vị Thậtvậy ,

tổng hữu hạn e =

r

∑ν

∑ν

ν = 1

do e1,….,er sinh ra E và F hữu hạn chiều suy ra vô lý

không là một song ánh

Từ những phần sau chương này, ta xét những không gian hữu hạn chiều

Mệnh đề 3.7.1 Cho ánh xạ song tuyến tính:

ϕ : E x F → T , dim T = n.m Khi đó ϕ thỏa mãn ⊗ 1 và

Chứng minh:

⊗ F), suy ra f là đẳng cấu nênϕ thỏa mãn ⊗ 2 Mặt khác, nếu

dimE’ = n’; dimF’ = m’ Thì từ (1.14), ánh xạ song tuyến tính :

= dimL(E; E’).dimL(F; F’)

L(E; E’) ⊗( F; F’),

ν

Nếu E’ = F’ = Γ thì L(E⊗ F; Γ ) = L(E; Γ ) ⊗( F; Γ ) tức

là :

Do đó, tích tenxơ của các hàm tuyến tính f, g tương ứng trong E, F là

ánh xạ song tuyến tính ⊗có tính chất phổ dụng ( mệnh đề 3.17) suy ra

dưới T

Từ những biểu đồ trên ta được:

Do đó (3.15) trở thành: tr(T(b* ⊗a)  T(a* ⊗b)) = < b*, b > trT(a*, a).

>a nên :

Công thức (3.16) là trường hợp đặc biệt khi vết không suy biến (phần 3.3)

3.9 Đại số của biến đổi tuyến tính

Trong đó Q là tự đẳng cấu tuyến tính của L(A⊗A) và:

Từ phần (3, 7), F là đẳng cấu tuyến tính Do đó Q là tự đẳng cấu tuyến tính của A⊗A từ hệ thức (3.19) ta có Ω là đẳng cấu

Hệ quả: Giả sử

{αi } là độc lập tuyến tính Khi đó từ biểu thức

( i = 1, r ).

3.10 đồng cấu của A

∑ αi ϕ  βi = 0, ∀ ϕ

∈A, ta có βi = 0 i

hα ≠ 0 của

đại số A, cho bởi: hα ϕ =

αi ϕ α

− 1

Ngược lại, với mọi tự đồng cấu khác 0 của đại số A đều có được bằng cáchtương tự Nói cách khác, mọi tự đồng cấu h ≠ 0 của đại số A có thể viết dưới

ϕ α − 1

Phần tử α xác định duy nhất bởi h lên một hệ số không đổi Đặc biệt, mọi

KẾT LUẬN

Đề tài này không chỉ có ý nghĩa về mặt lý thuyết mà còn có ý nghĩa cả vềmặt thực tiễn Nó cung cấp một phần lý thuyết về ba đại số đa tuyến tính trênmột trường, đó là: Đại số ten xơ, đại số ngoài, đại số ten xơ đối xứng Qua đó,chúng ta có những ứng dụng của đại số vào hình học, giải tích, cơ học vật lý,…

Tuy nhiên, do thời gian không có hạn và do trình độ của tôi còn hạn chếnên đề tài này không thể tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong được sự đóngghps ý kiến của các thầy, các cô cùng các bạn sinh viên để đè tài này ngày càngđược hòan thiện

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Sách tiếng Việt:

1 Đại số đại cương – Nguyễn Hữu Việt Hưng, NXB giáo dục

2 Sách giáo trình đại số tuyến tính – Phan Hồng Trường.Sách tiếng Anh:

1 Multilinear Algebra – Werner Greub, Springer – Verlag

Mục lục

MỞ ĐẦU 3

C HƯƠN G I MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ 4

1.1 Không gian véctơ 4

1.1.1 Định nghĩa : 4

1.1.2 dụ Ví 5

1.1.3 sở, Cơ chiều 5

1.2 Ánh xạ tuyến tính 6

1.2.1 Định nghĩa 6

1.2.2 dụ Ví 7

1.2.3 Ánh xạ song tuyến tính 7

1.2.4 dụ Ví 7

1.2.5 Ánh xạ song tuyến tính của không gian con không gian thư ơng 8

1.2.6 Ánh xạ đa tuyến tính 9

C HƯƠN G 2 TÍCH TENXƠ CỦA HAI KHÔNG GIAN VÉCTƠ 10

2.1 Tính chất phổ dụng 10

2.2 Những tính chất cơ bản 11

2.3 Tính duy nhất 14

2.4 Sự tồn tại 14

2.5 Tích tenxơ của hai không gian véctơ 16

2.5.1 Định nghĩa 16

2.5.2Ví dụ 17

2.6 Hạn chế của ánh xạ song tuyến tính thành ánh xạ tuyến tính 17

2.7 Tích tenxơ của hai không gian con 19

2.7.1Ví dụ 20

2.8 Tích tenxơ của hai không gian thư ơng 20

2.9 Tích tenxơ của tổng trực tiếp 21

2.9.1Ví dụ 23

2.10 Sự phân tích trực tiếp 23

2.11 Tích tenxơ của các véctơ cơ sở 26

2.12 Áp dụng cho ánh xạ song tuyến tính 26

2.13 Giao của các tích tenxơ 28

2.14 Tích tenxơ các các ánh xạ tuyến tính 29

2.15 Ví dụ 31

2.16 Phép hợp của các tích tenxơ 32

2.17 Ảnh và tạo ảnh. 33

C HƯƠN G III TÍCH TENXƠ CỦA NHIỀU KHÔNG GIAN VÉCTƠ 35

3.1 Tính chất phổ dụng 35

3.1.1 Định nghĩa 35

3.2 Ánh xạ song tuyến tính 39

3.3 Hàm song tuyến tính 40

3.4 Ánh xạ đối ngẫu 42

3.5 Ví dụ 42

3.6 Không gian tích trong 43

3.7 Đại số kết hợp 44

3.8 Đẳng cấu T 47

3.9 Đại số của biến đổi tuyến tính 48

3.10 đồng cấu của A 49

KẾT LUẬN…… ………49

TÀI LIỆU THAM KHẢO……….………50