Tiểu luận:Đại số đồng đều ppt

Một trong những khái niệm hay trong lý thuyết phạm trù đó là giới hạn trực tiếp và giới hạn ngược đã được giới thiệu rất nhiều ở một số tài liệu.. Trong tiểu luận này, phần chính tôi giớ

TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN

*********

HÀ DUY NGHĨA

GIỚI HẠN

TIỂU LUẬN ĐẠI SỐ ĐỒNG ĐIỀU

Quy Nhìn, th¡ng 12 n«m 2009

BË GIO DÖC V€ €O T„O

TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN

*********

HÀ DUY NGHĨA

GIỚI HẠN

CAO HỌC TOÁN KHÓA 11

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

TIỂU LUẬN ĐẠI SỐ ĐỒNG ĐIỀU

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS NGUYỄN ĐỨC MINH

Quy Nhìn, th¡ng 12 n«m 2009

MỤC LỤC

Trang phụ bìa i

Mục lục 1

Lời mở đầu 2

Chương 1 Một số bài tập về phạm trù và hàm tử 3 1.1 gghfhfh-pham tru 3

1.2 Hàm tử 4

1.3 Bài tập 5

Chương 2 Giới hạn 10 2.1 Giới hạn thuận 10

2.1.1 Tập thuận 10

2.1.2 Hệ thuận 10

2.1.3 Giới hạn thuận 10

2.2 Tính chất của giới hạn thuận 11

Kết luận 14

LỜI MỞ ĐẦU

Cùng với sự phát triển của toán học hiện đại nói chung, lý thuyết phạm trù đã được các nhà toán học quan tâm và đã đạt được nhiều kết quả xuất sắc, vào những năm 1940 Samuel Eilenberg và Saunders Mac Lane là những người đầu tiên đưa lý thuyết Phạm trù, cho đến nay nó được phát triển mạnh

mẽ Một trong những khái niệm hay trong lý thuyết phạm trù đó là giới hạn trực tiếp và giới hạn ngược đã được giới thiệu rất nhiều ở một số tài liệu Trong tiểu luận này, phần chính tôi giới thiệu khái niệm giới hạn và một

số tính chất của nó qua tài liệu tham khảo [2] Tiểu luận gồm hai chương cùng với phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo

Chương 1: Giới thiệu các khái niệm về phạm trù, hàm tử và giải các bài tập về hàm tử

Chương 2: Là nội dung chính của tiểu luận bao gồm khái niệm giới hạn, các ví dụ về giới hạn, các định lý mô tả tính chất đặc trưng của giới hạn Mặc dù bản thân đã rất cố gắng trong học tập, nghiên cứu và được sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy giáo hướng dẫn, nhưng do năng lực của bản thân và thời gian còn hạn chế nên tiểu luận khó tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để tiểu luận được hoàn thiện hơn

Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Đức Minh người

đã tận tình giúp đỡ, cùng tập thể lớp cao học toán khoá 11 tạo điều kiện cho tôi hoàn thành tiểu luận này

Chương 1

MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ]

Quy ước 1.1.1 Trong lý thuyết tập hợp mới, phần tử , lớp thuộc là những

khái niệm cơ bản không định nghĩa Để chỉ phần tử x thuộc lớp A ta kí hiệu

x ∈ A, lớp A được gọi là tập hợp nếu tồn tại lớp B nhận A làm phần tử của nó

Định nghĩa 1.1.2 Cho một Phạm trùP là cho các dữ kiện sau:

1 Cho một lớp Ob(P) mà các phần tử của nó thường gọi là các vật( và kí hiệu bởi các chữ cái in hoa A,B,C )

2.Với mỗi cặp có (kể thứ tự)(A,B) của Ob(P), cho một tập hợp (có thể rỗng),

kí hiệu là MorP(A, B) và gọi là tập các xạ từ A đến B thường được ký hiệu

là A f //B hay f : A −→ B ta thường goi A là nguồn còn B là đích của xạ

f

3.Với mỗi bộ 3 vật (A, B, C) cho một ánh xạ thường gọi là luật hợp thành

MorP(A, B) × MorP −→ MorP(A, C), (f, g) 7−→ g ◦ f

các dữ kiện trên phải thỏa mãn hai tiên đề sau:

a)Phép hợp thành có tính kết hợp :với 3 xạ A f //B g //C h //D bất kỳ

ta luôn có h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f b)Với mỗi vật A ∈ Ob(P) tồn tại một xạ

1A ∈ MorP(A, A) ( Gọi là xạ đồng nhất trên A, sao cho

∀B, C ∈ Ob(P)và∀ A f //B ∈ MorP(A, B), ∀ C g //A ∈ MorP(C, A)

ta luôn có f ◦ 1 A = f, 1 A ◦ g = g

Ví dụ 1.1.3 a) Phạm trù các tập hợp: Ob(S) là lớp tất cả các tập hợp,

các xạ là các ánh xạ, luật hợp thành là luật hợp thành các ánh xạ, các xạ đồng nhất là các ánh xạ đồng nhất

b)Phạm trù các môđun trên vành giao hoán R,ModR: Ob(Mod)

là các môđun trên vành giao hoán R (cố định cho trước) các xạ là các đồng cấu R-môđun , luật hợp thành là luật hợp thành là luật hợp thành các đồng

cấu, các xạ đồng nhất là các đồng cấu đồng nhất.Trong phạm trù này các

Mor(A, B) kí hiệu Hom(A, B).

c)Phạm trù các nhóm Gr Ob(Gr) là các nhóm, các xạ là các đồng cấu nhóm, luật hợp thành là luật hợp thành các đồng cấu, các xạ đồng nhất là các đồng cấu đồng nhất

Định nghĩa 1.2.1 Cho P và K là hai phạm trù Một hàm tử thuận biến (tương ứng phản biến ) F từ phạm trùP vào phạm trù K kí hiệu F: P −→ K được hiểu là cặp ánh xạ (FO ,FM) trong đó(FO : Ob(P) −→ Ob(K) vỔ FM :

P −→ K sao cho:

1.∀A, B ∈ Ob(P), ∀ϕ ∈ MorP(A, B), ta có FM (ϕ) ∈ MorK(FO (A),FO (B)

( tương ứng FM (ϕ) ∈ MorK(FO (B),FO (A)

2.∀A ∈ Ob(P),PM(1A) = 1FO (A)

3.∀A, B, C ∈ Ob(P), ∀f ∈ MorP(A, B), ∀g ∈ MorK(B, C) ta có FM (g ◦

f ) =FM (g) ◦FM (f ) ( tương ứng FM (g ◦ f ) = FM (f ) ◦FM (g).

Quy ước 1.2.2 Để dơn giản mỗi A ∈ Ob(P) ta ký hiệuF(A) thay choFO (A)

và với mỗi f ∈ MorP(A, B) ta ký hiệu F(f ) thay cho FM (f ).

Minh họa định nghĩa trên là hình vẽ sau

A

f



 g◦f

<

<

<

<

F(f )

{{wwwwww

www F(g)◦F(f )

##G G G G G

B g //C F(B) F(g)

//F(C) (Hàm tử thuận biến)

P F //K

A

f



 g◦f

<

<

<

<

B g //C F(B)

F(f ) w;;w w w w

F(C)

F(g)

F(g)◦F(f )

ccGGGGGGGG G

(Hàm tử phản biến)

Ví dụ 1.2.3 a) Hàm tử F : Gr −→ S xác định bởi : ∀A ∈ Ob(Gr),F(A) =

A, ∀ A f //B ∈ MorGr(A, B),F(f ) = f

b) Hàm tử Hom, hàm tử tensor là các hàm tử phạm trù.ModR vào chính nó

Trong các bài tập sau, ta cho F :ModR −→ModR, là hàm tử thuận biến cộng tính

Bài tập 1.3.1 Nếu F là khớp trái thì với mọi dãy khớp các R-môđun

0 //X f //Y g //Z

ta luôn có

0 //F(X) F(f ) //F(Y ) F(g) //F(Z) (1.1) cũng là khớp

Giải

Đặt U = Im g, V = Z/Im g, α : U ,→ Z, β : Z → V , khi đó ta có hai dãy

sau là khớp:

0 //X f //Y g0 //U //0

0 //U α //Z β //V //0

Vì F là hàm tử cộng tính khớp trái nên hai dãy

0 //F(X) F(f ) //F(Y )F(g0)//F(U )

0 //F(U )F(α) //F(Z) F(β) //F(V ) cũng là khớp, do đó F(f ) là đơn cấu.

Vì vậy để chứng minh (1.1) là khớp ta cần chứng minh :

Im F(f ) = Ker F(g).

Trước hết phân tích g : Y −→ Z thành hợp thành của hai đồng cấu g0, α

theo sơ đồ sau:

Y g //

g0 ==

=

=

F(g0)HH##H

H

U

α

@@

F(U ) F(α)

;;w w w w w

Khi đó ta có :F(g) =F(α)F(g0),

Suy ra :Ker F(g) = Ker F(g0) = Im F(f ),(F(α) đơn cấu).

Vậy dãy 0 //F(X) F(f ) //F(Y ) F(g) //F(Z) là khớp.

Bài tập 1.3.2 Nếu F là khớp phải thì với mọi dãy khớp các R-môđun

0 //X f //Y g //Z

ta luôn có

0 //F(X) F(f ) //F(Y ) F(g) //F(Z) (1.2) cũng là khớp

Giải

Tương tự, đặt :U = Ker f, V = X/Ker f, α : U ,→ X, β : X → V , khi đó

ta cũng có hai dãy khớp ngắn

0 //V f0 //Y g //Z //0 (1.4)

Trong đó :

f0 : X/Ker f → Y

x + Ker f 7→ f (x)

1) Trước hết ta chứng minh hai dãy(1.3),(1.4) là khớp.

Dãy (1.3) khớp là bình thường

Ta kiểm tra tính khớp của dãy (1.4)

Trước hết ta chứng minh f0 là ánh xạ, thật vậy ta có :

∀x + Ker f = x0+ Ker f ⇒ x + x0 ∈ Ker f ⇒ f (x) = f (x0)

Ngoài ra ta cũng có : Ker f0 = {x ∈ X/Ker f |f0(x) = f (x) = 0} = {0}(x ∈ Ker f ), nên f0 là đơn cấu, do đó để chứng minh (1.4) khớp ta cần chứng minh

Im f0 = Ker g.

i) Imf0 ⊂ Ker g

Ta có ∀y ∈ Imf0 tồn tại x + Imf ∈ V sao cho f0(x + Im f ) = y = f (x) khi

đó g(f0(x + Im f )) = g(f (x)) = g(y) = 0 ⇒ y ∈ Ker g.

Vậy Im f0 ⊂ Ker g.

ii) Ker g ⊂ Im f0

∀x ∈ Ker g ⊂ Y ⇒ g(x) = 0, vì f0 là đơn cấu nên tồn tại z ∈ V sao cho

f0(z) = x từ đó suy ra x ∈ Im f0.

2)Áp dụng tính chất khớp phải của F để chứng minh dãy(1.2) khớp

Ta có Flà thuần biến và khớp phải nên hai dãy

F(V )F(f0)//F(Y ) F(g) //F(Z) //0 (1.5)

F(U ) F(α)//F(X) F(β) //F(V ) //0 (1.6)

là khớp, do đó F(g) là toàn cấu.

Ta cần chứng minh Im F(f ) = Ker F(g).

Trước hết phân tích f : X → Y thành hợp thành của hai đồng cấu β0 và

f0 sao cho f = f0 ◦ β như sơ đồ sau :

X f //

β ==

=

=

F(β)HH##H

H

V

f0

@@

F(V ) F(f0)

;;v v v v v

Khi đó F(f ) = F(f0) ◦ F(β), Ngoài ra ta cũng có (1.5) và (1.6) cũng khớp

nênF(β) là toàn cấu và Ker F(g) = Im F(f0), do đó

Im F(f ) = ImF(f0) = Ker F(g)

Vậy dãy (1.2) là khớp

Bài tập 1.3.3 Nếu Flà khớp thì với mọi dãy khớp X f //Y g //Z ta luôn

có dãy

F(A) F(f ) //F(Y ) F(g) //F(Z) (1.7) Cũng là khớp

Giải

Đặt A = Ker f, B = Imf = Ker g, C = Im g, khi đó ta có các dãy sau là

khớp

0 //A α // X β //B //0

0 //Y γ //B θ //C //0

0 //C g0 //Z h // Z/C //0

Theo đề bài F là khớp nên ta có các dãy sau là khớp

0 //F(A) F(α)//F(X)F(β) //F(B) //0 (1.8)

0 //F(B) F(γ) //F(Y ) F(θ) //F(C) //0 (1.9)

0 //F(C)F(g0)//F(X) F(h)//F(Z/C) //0 (1.10)

Với cách đặt như trên ta có thể phân tích f, g thành những hợp thành của

các đồng cấu tương ứng theo sơ đồ giao hoán sau

X f //

β ==

=

=

F(β)HH##H

H

B

γ

@@

F(B) F(γ)

;;v v v v v

Y g //

θ ==

=

=

F(θ)HH##H

H

C F(g0)

@@

F(C) F(g0)

;;w w w w w

Tức làf = γ ◦ β và g = g0◦ θ

Khi đó ta có :

F(f ) =F(γ) ◦F(β)

F(g) =F(g0) ◦F(θ)

Do đó Im F(f ) = Im (F(γ) ◦F(β)) = Im F(γ), ( vì F(β) là toàn xạ)

Tương tự ta cũng có :Ker F(g) = Ker F(θ)

Im F(f ) = Im F(γ),

Im F(γ) = Ker F(θ).

Suy ra Im F(f ) = Ker F(g)

Vậy dãy F(A) F(f ) //F(Y ) F(g) //F(Z) là khớp.

Cách giải khác

Theo giả thiết ta có dãy

0 //Imf j //Y p //Y /Ker g //0

là khớp nên Im f = Im j = Ker p = Ker g và dãy

0 //F(Im )F(j) //F(Y ) F(p) //F(Y /Ker g) //0 (1.11) cũng là khớp, do đó :Im F(f ) = Im F(j) = Ker F(p) = Ker F(g).

Vậy dãy F(A) F(f ) //F(Y ) F(g)

//F(Z) là khớp.

Chương 2

GIỚI HẠN

2.1.1 Tập thuận

Định nghĩa 2.1.1 Một tập thuận là tập không rỗng I được sắp thứ tự theo

nghĩa sau, mỗi i, j ∈ I tồn tại một k ∈ I sao cho i ≤ k và j ≤ k.

Một ví dụ điển hình cho tập thuận là một lớp tập hợp con hữu hạn của

một tập sắp thứ tự theo nghĩa bao hàm Thật vậy, nếu A và B là hai tập con hữu hạn tùy ý thì cả A và B là chứa trong một tập hữu hạn A ∪ B.

2.1.2 Hệ thuận

Định nghĩa 2.1.2 Cho I là tập thuận, Khi đó lớp tập hợp các vật A i , i ∈ I, trong phạm trù C, với i ≤ j có một xạ h(i, j) : A i −→ A j thỏa điều kiện:

i) Nếu i ≤ j ≤ k thì h(i; k) = h(j; k) ◦ h(i, j).

ii) h(i, i) = 1 A i

Lớp các vật và các xạ như vậy được gọi là hệ thuận

Một ví dụ đơn giản cho hệ thuận là ta chọn các vật là lớp các môđun con hữu hạn sinh của một môđun, và xạ là bao gồm các phép nhúng chính tắc, khi đó hệ thuận chính là tập các môđun và các xạ như vậy, sự sắp thứ tự trong tập này cũng theo nghĩa bao hàm

2.1.3 Giới hạn thuận

Giới hạn thuận của một phạm trù C tùy ý được định nghĩa bởi tính chất phổ dụng sau

Định nghĩa 2.1.3 Gọi {A i , h(i, j)i, j ∈ I} là một hệ thuận của các vật và

các xạ trên phạm trù C, Giới hạn của hệ là một vật A trong C với xạ tương

ứng α i : A i −→ A ,với i, j ∈ I, i ≤ j thì α i = α j ◦ h(i, j) (được viết gọn

hA, α i i) thỏa mãn điều kiện phổ dụng sau Nếu có một cặp hB, f iicũng có

tính chất như trên thì tồn tại duy nhất một xạ f : A −→ B sao cho biểu đồ

sau là giao hoán

A

f

B

A i

f i

??~~

~

~

α i











h(i,j) //A j

α j

XX000 000 000 000 000

f j

``@@@@@@

@

và ký hiệu là: A = lim

→ A i

Ví dụ 2.1.4 i) Gọi A là tổng trực tiếp A = ⊕ i C i và I là tập sắp tứ tự Đặt

A i = ⊕

k<i M i , khi đó A i với xạ nhúng chính tắc h(i, j) : A i −→ A j là một hệ

thuận Và hệ này có giới hạn là A với đồng cấu là phép nhúng chính tắc.

ii) Gọi C n = hc n i là nhóm xyclic cấp p n , ánh xạ h(n, n + 1) :

C n → C n+1 thỏa h(n, n + 1)(c n ) = pc n+1 là đồng cấu, do đó với mỗi m <

k, m, p ∈ N ta xác định được đồng cấu h(m, k) : C m → C k thỏa h(m, k)(c m) =

p m−k c k Vậy hệ {C n , h(n, m), n, m ∈ N} là hệ thuận và lim→ A i = Z(p∞)

iii) Bao đóng đại số của trường F có thể được xây dựng bởi các nghiệm rời nhau của các đa thức trong vành F [X] Với C là bao đóng đại số của F và E là mở rộng của F , khi đó mọi phép nhúng từ F vào C đều

có thể mở rộng thành phép nhúng từ E vào C Khi đó C cùng với xạ là các phép nhúng là giới hạn thuận của lớp các mở rộng của F.

Trong phạm trù các môđun giới hạn thuận luôn tồn tại Cụ thể ta có định

lý sau

Định lý 2.2.1 Nếu {M i , h(i, j), i, j ∈ I} là hệ thuận các R-môđun thì giới hạn thuận của hệ tồn tại.

Chứng minh Lấy M = (⊕ i M i )/N với N là môđun con của ⊕ i M i sinh bởi những phần tử có dạng:

β j h(i, j)x i − β i x i , i ≤ j, x i ∈ M i (2.1)

trong đó β j là những ánh xạ từ M i vào ⊕i M i

i) Xây dựng đồng cấu từ M i vào M

Gọi α i : M i −→ M xác định bởi α i x i = β i x i + N

khi đó α i là một đồng cấu từ M i vàoM và đồng thời :

α j h(i, j)x i = β j h(i, j)x i + N = β i x i + N = α i x i (?).

ii) Giả sử tồn tại cặp hB, f i i cũng thỏa tính chất (?), ta chứng minh tồn tại duy nhất đồng cấu f từ M vào B sao cho biểu đồ sau là giao hoán.

M

f

B

M i

f i

>>|

|

|

|

|

α i

h(i,j)

//M j

α j

XX111 111 111 111 111

f j

aaBBBB BBBB

Bây giờ ta xây dựng xạ f như sau,với mỗi f i : M i −→ B ta xác định tương ứng f : M −→ B bởi

f (β i x i + N ) = f i x i , tương ứng này là một cấu xạ và nó thỏa điều kiện f α i = f i,

Nhưng mỗi phần tử của N có dạng (2.1) nên f là ánh xạ tùy ý từ N vào 0.

Kết hợp các điều kiện trên lại ta suy ra định lý đã được chứng minh

Mệnh đề 2.2.2 (Bài tập 2, Problem For Section 10.9 [2]) Chứng tỏ rằng

trong phạm trù các môđun trên vành giao hoán, giới hạn trực tiếp của tích tensor là giao hoán, cụ thể là :

lim→ (M ⊗ N i ) = M ⊗ lim→ N i Trong đó giới hạn thuận của N i là tồn tại.

Chứng minh Gọi N = lim

→ N i , hệ thuận {N i , h(i, j)} chứa trong một hệ {M ⊗

N i , 1 ⊗ h(i, j)},khi đó theo định nghĩa của giới hạn thuận mỗi f i : N i −→ Bcó duy nhất một f : A −→ B sao cho biểu đồ sau là giao hoán , khi đó mỗi ánh xạ

g i : M ⊗ N i −→ B cũng có một ánh xạ tương ứng duy nhất g : M ⊗ N −→ B ánh xạ này là mở rộng của của f i ,vì vậy

lim→ (M ⊗ N i ) = M ⊗ N = M ⊗ lim→ N i

Định lý 2.2.3 (Bài tập 4, Problem For Section 10.9 [2]) Giả sử rằng A, B, C

là giới hạn thuận của hệ {A i }, {B i }, {C i } của R-môđun.Giả sử rằng với mỗi

i, dãy

A i f i //B i g i //C i

là khớp, khi đó dãy

A f //B g //C

cũng khớp, và do đó giới hạn thuận là một hàm tử khớp.

KẾT LUẬN

Trong phần nội dung chính của tiểu luận, tôi đã trình bày được khái niệm giới hạn đặc biệt tôi đã trình bày được trong phạm trù các môđun trên vành giao hoán, giới hạn trực tiếp của tích tensor là giao hoán

Trong khuôn khổ một tiểu luận và hạn chế về thời gian cũng trình độ nên một vài vấn đề trình bày chưa thật sự rõ ràng, chưa thật sự phong phú, rất mong được lượng thứ, chỉ bảo của Thầy cô giáo và các bạn để bài tiểu luận hoàn thiện hơn

Tài liệu tham khảo

1 Nguyễn Đức Minh Giáo trình Đại số đồng đều Tài liệu dành cho Cao

học toán khóa 11

2 Robert B Ash Abstract algebra,

3 Ngô Bảo Châu Giáo trình hình học đại số, Tháng 8, 2003.