nhập môn đại số tuyến tính

i iTa nhận thấy rằng, trên Ρ và rộng hơn là trên Χ xác định 2 phép tính: Phép cộng 2 số và phép nhân 2 số với các tính chất tương ứng.. Ma trận đối của ma trận A, ký hiệu – A, là ma trận

Trường Đại học Thủy lợi

Phạm Phú Triêm

NHẬP MÔN

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Euclid

Vào khoảng 365-275 TCN

Lời nói đầu

Theo chương trình cải cách giáo dục của Bộ Giáo dục và Đào tạo, nội dung

môn Đại số tuyến tính có sự thay đổi, bổ sung với mục tiêu nâng cao một bước chương

trình giảng dạy Đại số tuyến tính trong các Trường Đại học Kỹ thuật

Việc cải cách đòi hỏi phải khẩn trương biên soạn một tài liệu phù hợp với môn

học này, làm cơ sơ sở chuẩn bị bài giảng của giáo viên, đồng thời là tài liệu học tập

thuận lợi cho sinh viên với nhiều bài tập có hướng dẫn cách giải được bổ sung

Với mục đích đó, Bộ môn Toán Trường Đại học Thủy lợi và tác giả xin trân

trọng giới thiệu giáo trình ” Nhập môn Đại số tuyến tính “ và vô cùng cảm ơn các ý

kiến đóng góp quý giá của đồng nghiệp, độc giả

Hà nội 10-2004

MỤC LỤC

Lời nói đầu 2

Chương I : TRƯỜNG SỐ PHỨC 6

I- KHÁI NIỆM VỀ SỐ PHỨC 6

1- Đặt vấn đề 6

2- Đơn vị ảo 6

3- Số phức 6

4- Số thuần ảo 6

5- Hai số phức bằng nhau 6

6- Hai số phức liên hợp với nhau 7

7- Biểu diễn số phức trên mặt phẳng 7

8- Dạng lượng giác của số phức 7

II- CÁC PHÉP TÍNH 9

1- Cộng và trừ 2 số phức 9

2- Nhân 2 số phức 10

3- Chia số phức cho số phức 12

4- Căn bậc n của số phức 14

III- TRƯỜNG SỐ PHỨC 17

Kiểm tra nhận thức 23

Chương II : MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 23

I- KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN 23

1- Ma trận cấp m.n 23

2- Ma trận không 23

3- Hai ma trận bằng nhau 23

4- Ma trận đối 24

5- Ma trận chuyển vị 24

6- Ma trận vuông 25

7- Ma trận đơn vị 25

8- Ma trận đối xứng 25

II- CÁC PHÉP TÍNH ĐỐI VỚI MA TRẬN 26

1- Cộng và trừ 2 ma trận cùng cấp 26

2- Nhân ma trận với một số 27

3- Nhân 2 ma trận với nhau 28

III- ĐỊNH THỨC 29

1- Định thức cấp 2 29

2- Định thức cấp 3 29

3- Định thức cấp n 31

4- Định lý Laplace 32

5- Tính chất 39

IV- MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO CỦA MA TRẬN VUÔNG 43

1- Định nghĩa 43

2- Tính chất 44

3- Quy tắc tính 45

V- HẠNG CỦA MA TRẬN 48

1- Định nghĩa 48

2- Quy tắc tìm hạng của ma trận 50

Kiểm tra nhận thức 59

Chương III: KHÔNG GIAN VECTƠ 60

I- VECTƠ N- CHIỀU 60

1- Khái niệm 60

2- Sự phụ thuộc tuyến tính của hệ các vectơ 60

3- Hạng của hệ vectơ 64

II- KHÔNG GIAN VECTƠ N- CHIỀU 66

1- Khái niệm 66

2- Biến đổi toạ độ của vectơ 69

III- ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 72

1- Khái niệm 72

2- Dạng ma trận của một ánh xạ tuyến tính 73

3- Ma trận đồng dạng 74

IV- KHÔNG GIAN VECTƠ 76

1- Khái niệm 76

2- Không gian con 78

Kiểm tra nhận thức 90

Chương IV: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 91

I- KHÁI NIỆM 91

1- Hệ phương trình tuyến tính 91

2- Hệ thuần nhất 92

II- ĐỊNH LÝ 92

III- PHƯƠNG PHÁP GIẢI 98

1- Phương pháp ma trận nghịch đảo 98

2- Phương pháp Cramer 102

3- Phương pháp Gauss 108

Kiểm tra nhận thức 114

Chương V : VECTƠ RIÊNG - GIÁ TRỊ RIÊNG DẠNG SONG TUYẾN - DẠNG TOÀN PHƯƠNG 115

I- VECTƠ RIÊNG - GIÁ TRỊ RIÊNG 115

1- Định nghĩa 115

2- Định lý 116

II- DẠNG SONG TUYẾN V U C 118

1- Định nghĩa C F(V,U) 118

2- Ma trận của dạng song tuyến 120

III- DẠNG TOÀN PHƯƠNG 123

1- Định nghĩa 123

2- Tính xác định của dạng toàn phương 124

3- Dạng chính tắc của dạng toàn phương 125

4- Phương pháp đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc 125

5- Luật quán tính 132

IV- ĐƯỜNG BẬC HAI - MẶT BẬC HAI 132

1- Đường bậc hai 133

2- Mặt bậc hai 134

Kiểm tra nhận thức 141

Chương VI: KHÔNG GIAN EUCLID - KHÔNG GIAN UNITA 142

I- KHÁI NIỆM 142

1- Không gian Euclid 142

2- Không gian Unita 142

4- Góc giữa 2 vectơ trong không gian Euclid 143

5- Hai vectơ vuông góc với nhau trong không gian Euclid 143

II- CƠ SỞ TRỰC CHUẨN 147

1- Hình chiếu vuông góc 147

2- Cơ sở trực chuẩn 151

3- Phần bù trực giao 153

Kiểm tra nhận thức 158

Vì vậy chúng ta cần mở rộng khái niệm về số, từ tập hợp các số thực ra tập hợp các

số có tính chất tổng quát hơn - đó là tập hợp các số phức, mà chúng ta sẽ đề cập sau

Z = a + ib ≠ 0 ⇔ a2 + b2 > 0 (1.1.7)

( 0 = 0 +i.0)

6- Hai số phức liên hợp với nhau

Hai số phức liên hợp với nhau là hai số phức có phần thực tương ứng bằng nhau,

phần ảo tương ứng đối dấu với nhau

Như vậy số phức liên hợp với số phức Z = a +ib, ký hiệu là Z , sẽ là Z = a – ib

Ví dụ 4

1) Z = 1 – 2i ⇔ Z= 1 + 2i

2) Z = – 0,5 + i ⇔ Z= – 0,5 – i

3) Z = 4 ⇔ Z= 4

4) Z = – i ⇔ Z= i

Dễ dàng nhận thấy

Z Z= (1.1.8)

Z ∈ Ρ ⇔ Z= Z (1.1.9)

7- Biểu diễn số phức trên mặt phẳng Cho hệ trục toạ độ vuông góc x0y Cho số phức Z = a + ib y Trục ảo Trên trục 0x xác định một điểm có hoành độ bằng a b M Trên trục 0y xác định một điểm có tung độ bằng b Như vậy ta hoàn toàn xác định được một điểm M(a;b) Trục thực

Ngược lại, từ một điểm M(a,b) ta xác định được một 0 a x

số phức tương ứng Z = a + ib Vì vậy trục 0x còn gọi là Trục thực (tương ứng với phần thực a của số phức Z), trục 0y còn gọi là Trục ảo(tương ứng với phần ảo b của số phức Z) Mặt phẳng x0y còn gọi là Mặt phẳng phức Ví dụ 5 y Trục ảo 1) Z 1 = 1 – 2i ⇔ M 1(1 ; – 2) M 2 1

2) M 2(– 2 ; 1) ⇔ Z 2 = – 2 + I 1 4 Trục thực 3) Z 3 = 4 ⇔ M 3(4 ; 0) – 2 – 1 M 4 M 3 x

4) M 4(0 ; – 1) ⇔ Z 4 = – i – 2 M 1

8- Dạng lượng giác của số phức

Trước tiên ta biểu diễn số phức Z = a + ib trên mặt phẳng

Bán kính vectơ OM được gọi là Môđun của số phức Z và ký hiệu y Trục ảo ⎜Z⎜≡ r = OM (1.1.10) M

Góc tạo bởi OM với phần dương trục 0x được gọi là b

Argument của số phức Z và ký hiệu ArgZ

Như vậy r ϕ x

ArgZ = ϕ + 2kπ ; k = 0 , ± 1 , ± 2 , (1.1.11) 0 aTrục thực

Từ hình vẽ ta thấy

a rcos b rsin ϕ ϕ = = ⎧ ⎨ ⎩ (1.1.12)

Cho nên Z = a + ib = rcosϕ + irsinϕ Vậy ta có cách biểu diễn số phức Z dưới dạng lượng giác như sau

Z = r(cosϕ + i sinϕ) (1.1.13)

Dễ dàng nhận thấy

Z ≠ 0 ⇔ r > 0 (1.1.14) (0 = 0(cosϕ + i sinϕ ))

r1(cosϕ1 + i sinϕ1) = r2(cosϕ2 + i sinϕ2) ⇔ (1.1.15)

Ngược lại, ta sẽ tìm được r và ϕ khi đã cho số phức Z = a + ib, theo công thức

ở đây góc ϕ phải chọn sao cho b và sinϕ cùng dấu

Dạng lượng giác tổng quát của số phức Z là

Nếu a < 0 thì r = – a và ϕ = π ( điểm M tương ứng nằm trên phần âm trục 0x)

II- CÁC PHÉP TÍNH

1- Cộng và trừ 2 số phức

a- Định nghĩa

Tổng (hoặc Hiệu) của 2 số phức Z 1 , Z 2, ký hiệu Z 1 + Z 2 (hoặc Z 1 – Z 2), là một

số phức có phần thực bằng tổng (hoặc hiệu) phần thực tương ứng, phần ảo bằng tổng

(hoặc hiệu) phần ảo tương ứng

Như vậy với hai số phức Z 1 = a 1 + ib 1 , Z 2 = a 2 + ib 2 ; a 1 , b 1 , a 2 , b 2 ∈ Ρ ta

Z 1 = a 1 + ib 1 ⇔ M 1(a1 ; b1 ) M2

Z 2 = a 2 + ib 2 ⇔ M 2 (a2 ; b2 ) M1

* Áp dụng biểu diễn hình học phép cộng, trừ 2 vectơ

Z 1 + Z 2 ⇔ M 3 ( a 1 + a 2 ; b 1 + b 2 ) Trục thực

M3 là đỉnh đối diện với 0 của hình bình hành 0M1M3M2 0 M4 x

Z 1 – Z 2 ⇔ M 4 ( a 1 – a 2 ; b 1 – b 2 )

M4 là đỉnh của hình bình hành 0M2M1M4 mà M1 là đỉnh đối diện với 0

Ví dụ 8 Hãy biểu diễn hình học tổng và hiệu của 2 số phức sau đây Z1 = 1 + 2i, Z2 = – 2 + i Giải * Biểu diễn hình học của Z1 , Z2 :

Z1 = 1 + 2i ⇔ M 1(1 ; 2) Z2 = – 2 + i ⇔ M 2(– 2 ; 1)

* Biểu diễn hình học của Z1 + Z2 , Z1 – Z2 : y Trục ảo

Z 1 + Z 2 = –1 + 3i ⇔ M 3 (– 1 , 3 ) M3

Z 1 – Z 2 = 3 + i ⇔ M 4 ( 3 , 1 ) 3

c- Tính chất 2 M1

1* Giao hoán: Z 1 + Z 2 = Z 2 + Z 1 ; ∀ Z 1 , Z 2 ∈ Χ M2 M4

M4 2* Kết hợp: (Z 1 + Z 2) + Z3 = Z 1 + (Z 2 + Z3) = -2 -1 0 1 3

Z 1 + Z 2 + Z3 ∀ Z 1 , Z 2 , Z3 ∈ Χ

3* Với số không 0 ∈ Χ: Z + 0 = 0 + Z ; ∀ Z ∈ Χ 4* Số đối của số phức Z = a + ib , ký hiệu là – Z , là số phức thoả mãn điều kiện Z + (– Z ) = (– Z ) + Z = Z – Z = 0 ; ∀ Z ∈ Χ Dễ dàng nhận thấy

– Z = – a – ib (1.2.2)

− =Z Z (1.2.3) – (– Z) = Z (1.2.4)

Arg(– Z) = ArgZ + π (1.2.5)

5* Bất đẳng thức tam giác: Z1±Z2 ≤ Z1 + Z2 ; ∀ Z 1 , Z 2 ∈ Χ 6* Z + Z = 2ReZ ; ∀ Z ∈ Χ 7* Z1±Z2 =Z1±Z2 ; ∀ Z 1 , Z 2 ∈ Χ 8* – (Z1 ± Z2) = – Z1 m Z2 ; ∀ Z 1 , Z 2 ∈ Χ 2- Nhân 2 số phức a- Định nghĩa Tích của 2 số phức Z 1 , Z 2, ký hiệu Z 1Z 2, là một số phức thu được như nhân 2 nhị thức, với chú ý là i 2 =– 1 Như vậy với hai số phức Z 1 = a 1 + ib 1 , Z 2 = a 2 + ib 2 ; a 1 , b 1 , a 2 , b 2 ∈ Ρ ta có Z 1Z 2 = (a 1 + ib 1)( a 2 + ib 2) = a 1a 2 + ia 1b 2 + ia 2b 1 + i2b 1b 2 = a 1a 2 + i(a 1b 2 + a 2b 1) – b 1b 2 Cuối cùng ta được

Z 1Z 2 = (a 1a 2 – b 1b 2) + i(a 1b 2 + a 2b 1) (1.2.6)

Z 1Z 2 = r1(cosϕ1 + i sinϕ1) r2(cosϕ2 + i sinϕ2)

= r1r2(cosϕ1cosϕ2 + icosϕ1sinϕ2 + i cosϕ2sinϕ1 + i2 sinϕ1sinϕ2)

= r1r2[(cosϕ1cosϕ2 – sinϕ1sinϕ2) + i(cosϕ1sinϕ2 + cosϕ2sinϕ1)]

Cuối cùng ta có

Z 1Z 2 = r1r2[cos(ϕ1 + ϕ2) + isin(ϕ1 + ϕ2)] (1.2.7)

Như vậy, Tích 2 số phức dưới dạng lượng giác là một số phức dưới dạng lượng

giác có:Môđun bằng tích 2 Môđun tương ứng và Argument bằng tổng 2 Argument

tương ứng

Từ đó ta thu được Công thức Moivre sau đây

[r(cosϕ + isinϕ)]n = r n(cosnϕ + isinnϕ) (1.2.8)

Chú ý

Công thức Moivre đúng cho n = 0 , ± 1 , ± 2 , với r > 0

(Hiển nhiên Công thức Moivre vẫn đúng cho n = 0 , 1 , 2 , với r = 0)

1 1

Z Z

− = (1.2.13) Arg Z – 1 = – Arg Z (1.2.14)

2

Z

Z ta nhân cả tử và mẫu vớiZ2 Thật vậy

1

2

Z

Z = 1 2

r

r [cos(ϕ 1 – ϕ 2) + isin(ϕ 1 – ϕ 2)] (1.2.18)

Như vậy dưới dạng lượng giác, Thương của 2 số phức là một số phức có Mụđun

bằng thương Mụđun của số phức tử số cho Mụđun của số phức mẫu Argument bằng

hiệu Argument của số phức tử số cho Argument của số phức mẫu số

Giả sử dưới dạng lượng giác

Z = r(cosϕ + i sinϕ), n Z = r1(cosϕ1 + i sinϕ 1)

Vẽ vòng tròn lượng giác Trên trục tang xác định một điểm ứng với 1 Nối điểm

này với gốc 0 cắt vòng tròn lượng giác tại 2 điểm ứng với ϕ 1 ,ϕ 2 Ta chọn ϕ 1 vì sinϕ

3 1+i 3 2 cos sin

i i

Ta nhận thấy rằng, trên Ρ và rộng hơn là trên Χ xác định 2 phép tính: Phép cộng 2

số và phép nhân 2 số với các tính chất tương ứng Vì vậy ta có ý tưởng Tổng quát hóa

điều này cho tập hợp các phần tử (có cùng đặc trưng) Đó là khái niệm“ Trường “ mà

2* Kết hợp: (xy)z = x(yz) = xyz ; ∀ x, y, z ∈ T

3* Phân phối với phép cộng 2 phần tử của T: (x + y )z = xz + yz ; ∀ x, y, z ∈ T

4* Tồn tại “ Phần tử trung hòa “, ký hiệu là e ∈ T, thoả mãn điều kiện x.e = e.x =

1) T = Ρ - Trường số thực với phép cộng 2 số thực và phép nhân 2 số thực, trong

đó Phần tử không là số 0, Phần tử đối của số thực x là – x, Phần tử trung hoà là số 1,

Phần tử nghịch đảo của số thực x ≠ 0 là 1

x 2) T = Χ - Trường số phức với phép cộng 2 số phức và phép nhân 2 số phức trong

đó Phần tử không là số 0, Phần tử đối của số phức Z là – Z, Phần tử trung hoà là số 1,

Phần tử nghịch đảo của số phức Z ≠ 0 là 1

Z 3) Τ là tập hợp các hàm thực f(x) có hữu hạn điểm gián đoạn và nghiệm trên [a;b]

với phép cộng 2 hàm và phép nhân 2 hàm là một Trường vì

4) Tập hợp TH = {ib : b ∈Ρ} - tập hợp tất cả các số thuần ảo, với phép cộng là

phép cộng 2 số phức và phép nhân là phép nhân 2 số phức, không phải là một trường

Thật vậy, vì 2i ∈ TH, 5i ∈ TH nhưng 2i.5i = 10i2 = – 10 ∉ TH

Như vậy, để chứng tỏ một tập hợp, với 2 phép tính được xác định, không phải là

một trường, ta chỉ cần chỉ ra một điều kiện nào đó trong định nghĩa không thoã mãn là

a) (2 + 3i) + (4 – i) b) (– 5 + 6i) – (7 + 8i) c) (3 + 5i)(4 – i)

d) (6 + 11i)(7 + 3i) e) (4 – 7i)2 f) (– 2 + 3i)3

+

− i) 4i j) 5 −i k) − −5 12i l) 6 1 −i 3 m) ( )

3) Đưa các số phức sau đây về dạng lượng giác:

a) – 7 b) 8 c) 4i d) – 5i e) 2 + 2i f) 2 – 2i g) 2 + i 3 h) 1 – i i) – sin

4) Sử dụng công thức Moivre để biểu diễn các biểu thức sau đây:

a) cos2x , sin2x và cos4x , sin4x theo luỹ thừa của cosx , sinx ; x ∈ Ρ b) tg6x theo luỹ thừa của tgx ; x ∈ Ρ

5) Giải các phương trình sau đây:

a) x2 + x + 1 = 0 b) x2 – x + 1 = 0 c)

x2 – (2 + i)x – 1 + 7i = 0

d) x2 – (3 – 2i)x + 5 – 7i = 0 e) x4 – 3x2 + 4 = 0 f) x4+ 2x3 + 3x2 + 4x + 2 = 0

g) x4 + 6x3 + 9x2 + 100 = 0 h)⎮x⎮2 + (1 + i)x + i = 0

6) Tính w1n + w2n với n là số nguyên dương, trong đó w1 = 1 3

c)

2 1

k n n

8) Với ϕ ∈ Ρ và k là số nguyên dương, hãy tính:

A = 1 + cosϕ + cos2ϕ + + coskϕ B = sinϕ + sin2ϕ + + sinkϕ

9) Chứng minh:

a) Nếu x + iy = (a + ib)n ; x , y , a , b ∈ Ρ ; n = 1 , 2 , thì x2 + y2 = (a2 + b2)n b) Nếu a ib+ = ± (x + iy) ; x , y , a , b ∈ Ρ thì a ib− = ± (x – iy)

+ = 2cosmθ ; m = 1 , 2 , f) Tổng các nghiệm của phương trình 1 + Z + Z2 + Z3 + Z4 = 0 bằng – 1

j) Với z ≠ ± 1: w =1

1

z z

+

− là số thuần ảo ⇔ (Rez)2 + (Imz)2 = 1 k) Với mọi số nguyên n ≥ 1, a ∈ Ρ thì các nghiệm z của phương trình sau đây đều là thực và khác nhau:

12) Chứng minh a) Tập hợp T các số dạng a + b 3; a, b là các số hữu tỷ (với phép cộng 2 số thực

và phép nhân 2 số thực), sẽ là một trường

b) Tập hợp KT các số dạng a + ib; a, b là các số nguyên (với phép cộng 2 số phức

và phép nhân 2 số phức), không phải là một trường

++ isin 2 2

4

k

π π

+ ; k

; k = 0 , 1 , 2 , 3, 4 k) ± m2 3i

4) a1) cos2x = cos2x – sin2x và sin2x = 2sinxcosx

a2) cos4x = cos4x + sin4x – 6cos2xsin2x sin4x =

4(cos3xsin x – sin3xcosx)

b) cos6x = cos6x – 15 cos4xsin2x + 15 cos2xsin4x – sin6x

sin6x = 6cos5xsinx – 20 cos3xsin3x + 6 cosxsin5x tg6x =

2 ±i 2

π π

+ 2mπ : k = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ; m = 0 , ± 1 , ± 2 , b) b1) Không tồn tại a , b , c

Kiểm tra nhận thức

1* Nêu thêm càng nhiều càng tốt dẫn chứng cụ thể cần mở rộng khái niệm số thực

ra số phức

2* Nêu những điểm giống nhau của số thực và số phức

3* Nêu những điểm mở rộng của số phức so với số thực

4* Chứng minh càng nhiều càng tốt các điều Dễ dàng nhận thấy (1.1.8), (1.1.9),

5* Tại sao Công thức Moivre đúng cho n = 0 , ± 1 , ± 2 , với r > 0

(Hiển nhiên Công thức Moivre vẫn đúng cho n = 0 , 1 , 2 , với r = 0)?

6* Hãy tìm thêm nhiều ví dụ khác chứng tỏ tập hợp T, trên đó xác định 2 phép

tính, sẽ là một Trường hay không phải là một Trường

.

n n

Ma trận không là ma trận có các phần tử đều bằng không và được ký hiệu là O (khi

cần thiết thì ta nêu rõ cấp của ma trận không O)

O ≡ O m x n =

0 0 0

0 0 0

(số hàng của A là 2 ≠ số hàng của G là 1, số cột của A là 3 ≠ số cột của G là 4)

10) A ≠ D vì A, D không cùng cấp (số cột của A là 3 ≠ số cột của D là 2)

Ma trận đối của ma trận A, ký hiệu – A, là ma trận cùng cấp với ma trận A và có

các phần tử đối dấu với các phần tử tương ứng của ma trận A

.

n n

m m

.

n n

* Đường chéo qua a 11 , a 22 , , a nn được gọi là đường chéo chính

* Đường chéo qua a n1 , a n - 1 2 , , a 1n được gọi là đường chéo phụ

Tổng (Hiệu) 2 ma trận cùng cấp là một ma trận cùng cấp với 2 ma trận đã cho và

có các phần tử bằng tổng (hiệu) các phần tử tương ứng của 2 ma trận này

Như vậy với A ≡ A m x n = 1,2,

a

⎣ ⎦ a) Ta tính được:

− +

+

− +

Tích của ma trận với một số là một ma trận cùng cấp với ma trận đã cho và có các

phần tử bằng tích các phần tử tương ứng ma trận này với số đã cho

Như vậy với A ≡ A m.n = 1,2,

1* Giao hoán αA = Aα

2* Kết hợp với phép nhân 2 số (αβ)A = α(βA) = αβA; α, β ∈ Χ

3* Phân phối với phép cộng 2 số (α ± β)A = αA ± βA

4* Phân phối với phép cộng 2 ma trận α(A ± B) = αA ± αB

5* 1.A = A

6* (– 1).A = – A

7* 0.A = O

1* Không giao hoán, có nghĩa là không phải lúc nào ta cũng có AB = BA vì

* Có thể có AB nhưng không có BA hoặc ngược lại

* Cho dù có cả AB , BA nhưng vẫn có thể AB ≠ BA

4* Phân phối với phép cộng 2 ma trận A(B ± C) = AB ± AC

Định thức cấp 2 bằng tích các phần tử trên đường chéo chính trừ đi tích các phần tử

trên đường chéo phụ

* Ba số hạng cuối là các tích các phần tử trên đường chéo phụ hay trên đường song

songvới đường chéo phụ với dấu “– ” đặt trước

* Ba số hạng cuối là các tích các phần tử trên đường chéo phụ hay trên đỉnh các

tam giác có đáy song song với đường chéo phụ với dấu “– ” đặt trước

Số các hoán vị khác nhau h 1 h 2 h n của n số 1, 2, , n là n!

Nghịch thế là một cặp số trong một hoán vị h 1 h 2 h n mà số lớn hơn đứng trước số nhỏ hơn

Ký hiệu J ( h 1 h 2 h n ) là số nghịch thế của hoán vị h 1 h 2 h n

Ví dụ 13

Ba số 1, 2, 3 có 3! = 6 hoán vị sau đây:

Hoán vị 1 2 3 không có nghịch thế nào cho nên J ( 1 2 3 ) = 0

Hoán vị 1 3 2 có 1 nghịch thế là cặp số 3 2 cho nên J ( 1 3 2 ) = 1 Hoán vị 2 1 3 có 1 nghịch thế là cặp số 2 1 cho nên J ( 2 1 3 ) = 1 Hoán vị 2 3 1 có 2 nghịch thế là 2 cặp số 2 1 và 3 1 cho nên J (

n

n n n

n n

Phần phụ đại số của phần tử a 1 1 = 1 là A 1 1 = (– 1 ) 1+ 1 ⎜A(1,1)⎜ =

* Tổng các tích các phần tử cùng một cột (hàng) với các phần phụ đại số tương ứng

bằng giá trị của định thức đã cho

* Tổng các tích các phần tử cùng một cột (hàng) với các phần phụ đại số tương ứng

của các phần tử của cột (hàng) khác sẽ bằng không

n

i j i k i

Chứng minh

* Trước tiên ta chứng minh

n n

n n

Tương tự cho các định thức tiếp theo trong (*) là A 21 , , A n1

Thật vậy, theo định nghĩa

Tổng lấy theo tất cả các hoán vị h 1 h 2 h n của n – 1 số 2, 3, ,n vì các số

hạng khác đều chứa một thừa số 0, đó là phần tử ở cột thứ nhất kể từ hàng thứ 2 trở đi Hơn nữa J(1, h 2, ,h n ) = J( h 2, ,h n ) Vì vậy vế phải của (**) đúng bằng

⎜A(1,1)⎜ = 22 2

2

Như vậy ta đã chứng minh được

⎜A⎜ = a 11A 11 + a 21A 21 + + a n1A n1

* Bây giờ ta chứng minh

n n

n n

.

n n

n n

* Định thức có các phần tử nằm phía trên hoặc phía dưới đường chéo chính đều

bằng không sẽ bằng tích các phần tử trên đường chéo chính

* Định thức cấp n có các phần tử nằm phía trên hoặc phía dưới đường chéo phụ

đều bằng không sẽ bằng tích các phần tử trên đường chéo phụ nhân với ( )1 (23)

0 0

n n

0 0

0 0 0.

n n n

Các định thức trong (2.3.8), (2.3.9) gọi là các định thức dạng tam giác

* Mở rộng

1 2

. k

A A A

+ +

+ +

(Định thức cấp n – 1 có tính chất như Dn(a))

(Định thức cấp n – 1)

Ta có công thức truy hồi

Dn(a) = (a + 1)Dn -1(a) – aDn - 2(a) (*)

D4(a) = (a + 1)D3(a) – aD2(a) = a4 + a3 +a2 + a + 1

0 0 0 = 0, O là ma trận không, vuông cấp n.n

Tuy nhiên khi ⎢A ⎢ = 0 chưa chắc A = O, chẳng hạn ⎢A ⎢= 1 0

0 0 1 = 1, E là ma trận đơn vị cấp n.n

Tuy nhiên khi ⎢A ⎢=1 chưa chắc A = E, chẳng hạn ⎢A ⎢= 1 1

Các tính chất được phát biểu dưới đây đúng cho định thức cấp n ≥ 2

Nhưng để đơn giản ta mô tả cho định thức cấp 3

1* Khi đổi hàng thành cột, cột thành hàng, thì giá trị của định thức kông thay đổi

Vậy hàng và cột của định thức có vai trò như nhau Cho nên từ tính chất tiếp theo

ta chỉ phát biểu cho hàng và hiểu rằng kết quả vẫn đúng cho cột

2* Khi đổi vị trí 2 hàng cho nhau thì giá trị của định thức đổi dấu