Nhập môn đại số đồng đều

Em xin cam đoan khóa luận được hoàn thành bởi sự cố gắng nỗ lực trong việc tìm tòi, nghiên cứu của bản thân cùng với sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của thầy giáo Nguyễn Huy Hưng cũng như

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện khóa luận “Nhập môn đại số đồng điều’’, cùng với sự say mê, cố gắng của bản thân và sự chỉ bảo tận tình, sự giúp đỡ của thầy giáo Nguyễn Huy Hưng đã giúp em hoàn thành tốt khóa luận của mình

Em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầy cũng như các thầy cô trong tổ Đại số, các thầy cô và các bạn sinh viên đã giúp đỡ em trong thời gian qua

Do khuôn khổ thời gian và trình độ chuyên môn của bản thân còn hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót Em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn để đề tài được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cám ơn!

Hà Nội, ngày 15 tháng 04 năm 2013

Sinh viên thực hiện

Hà Thị Ngoan

LỜI CAM ĐOAN

Trong quá trình nghiên cứu khóa luận “Nhập môn đại số đồng điều” em có sử dụng một số tài liệu tham khảo để hoàn thành khóa luận của mình

Em xin cam đoan khóa luận được hoàn thành bởi sự cố gắng nỗ lực trong việc tìm tòi, nghiên cứu của bản thân cùng với sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của thầy giáo Nguyễn Huy Hưng cũng như các thầy cô trong tổ Đại số

Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn

Hà Nội, ngày 15 tháng 04 năm 2013

Sinh viên thực hiện:

Hà Thị Ngoan

MỤC LỤC

Mở đầu 1

Chương 1 Môđun 2

1.1 Dãy khớp 2

1.2 Dãy nửa khớp 8

1.3 Tích tenxơ 13

1.4 Môđun các đồng cấu 16

1.5 Phạm trù 23

1.6 Hàm tử 24

1.7 Phép biến đổi các hàm tử 25

1.8 Hàm tử môđun 26

Chương 2 Torn và Extn 30

2.1 Phép giải 30

2.2 Hàm tử xoắn 34

2.3 Hàm tử mở rộng 42

Kết luận 50

MỞ ĐẦU

Đại số đồng điều ngày nay đang tràn ngập toàn bộ Toán học Vì vậy việc nghiên cứu bộ môn này là cần thiết Nó nghiên cứu hai dãy vô hạn những hàm tử Torn và Extn (với n = 1, 2, …), nhờ hai hàm tử này

mà có thể kéo dài các dãy khớp của các hàm tử  và hàm tử Hom tương ứng

Trên cơ sở những kiến thức đã học về Đại số đại cương, một số kiến thức về môđun, được sự chỉ bảo tận tình của thầy giáo Nguyễn Huy Hưng, em đã mạnh dạn chọn đề tài “Nhập môn Đại số đồng điều” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp cho mình

Khóa luận của em gồm 2 chương Chương 1 Một số kiến thức cơ

sở Trong chương này, em trình bày các khái niệm, tính chất có liên quan tới dãy khớp, dãy nửa khớp, đặc biệt là cách chứng minh “săn trên biểu đồ” Từ đó ta có thể xây dựng lên các ánh xạ trên một biểu đồ có các dòng là khớp, là nửa khớp và hình vuông là giao hoán theo các chiều khác nhau Ngoài ra, em còn đề cập tới các khái niệm phạm trù và hàm

tử đặc biệt là phạm trù môđun Chương 2 Các hàm tử Torn và Extn Chương này, em tập trung tìm hiểu cách xây dựng phép giải xạ ảnh những môđun, làm nền tảng xây dựng nên các hàm tử xoắn Torn và hàm

tử mở rộng Extn Do khuôn khổ thời gian và trình độ chuyên môn nên nhiều ứng dụng lí thú khác chưa được trình bày ở đây, em hi vọng thời gian tới sẽ có dịp tìm hiểu sâu sắc hơn

Trong quá trình thực hiện khóa luận, em đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu lí thuyết, đọc sách, tìm hiểu các tài liệu về Đại số hiện đại, Đại số đồng điều, Đại số đại cương

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

 Dãy (1) được gọi là khớp tại môđun B nếu Im f K ger

 Một môđun trong dãy các đồng cấu được gọi là môđun trung

gian nếu tại đó vừa có đồng cấu vào vừa có đồng cấu ra

 Dãy (1) được gọi là khớp nếu nó khớp tại mỗi môđun trung gian

 Dãy khớp ngắn là dãy khớp có dạng

 Dãy (1) được gọi là chẻ ra tại môđun B, nếu Im f là một hạng

tử trực tiếp của B, tức tồn tại môđun con B1 sao cho: B=Imf B1

 Một dãy khớp được gọi là chẻ nếu nó chẻ tại mỗi môđun trung

Để ý rằng: đồng cấu h là đẳng cấu K her 0 và Y/Imf=0

Ví dụ 2: Cho h X: Ylà đơn cấu mà không là đẳng cấu Khi đó

Tương tự, nếu h là toàn cấu mà không là đẳng cấu thì “dãy khớp của h” cũng là dãy khớp ngắn Nó có dạng

Định lí 1.1.1 (Bổ đề mạnh về bốn đồng cấu)

Cho biểu đồ giao hoán các đồng cấu

trong đó hai dòng là khớp,  là toàn cấu và  là đơn cấu Khi đó ta có:

i) Ker g K er

Im  g'  Im

Chứng minh: (Phép chứng minh bằng cách “ Săn trên biểu đồ’’)

Trước hết ta nhắc lại rằng, một biểu đồ các đồng cấu là giao hoán nếu tích của các đồng cấu xuất phát từ một nguồn và tới cùng một đích

có kết quả như nhau Bây giờ, ta chứng minh định lí

Mô tả các bước săn:

 Vì cKer nên h c( )h' ( ) c  Do 0  đơn cấu nên ( ) 0

h c  tức cKerh hay cImgKerh do dòng khớp Vậy tồn tại

Mô tả các bước săn:

b

* Hệ quả 1.1.2 (Bổ đề năm đồng cấu)

Cho biểu đồ giao hoán các đồng cấu sau

trong đó: các dòng là khớp, 1 toàn cấu, 5 đơn cấu Khi đó, nếu 2 và

’

g’

 Dãy (1) được gọi là nửa khớp tại Y nếu Imf  Kerg

 Dãy (1) được gọi là nửa khớp nếu nó nửa khớp tại mọi môđun

khác hai đầu (nếu có) của dãy

 Nhận xét: Dãy đã cho được gọi là nửa khớp nếu và chỉ nếu cái hợp

thành g f của hai đồng cấu kế tiếp bất kì f và g trong dãy là đồng cầu tầm thường

* Trong một dãy nửa khớp tùy ý cho trước

K g f gọi là môđun dẫn xuất của dãy C tại môđun Y

* Các môđun của dãy nửa khớp C thường được chỉ số hóa bởi những số nguyên lùi hoặc những số nguyên tiến

Định nghĩa 1.2.2:

Nếu các số nguyên lùi được dùng làm chỉ số thì dãy nửa khớp C

gọi là một dãy dưới (hay phức hợp dây chuyền) và các đồng cấu trong C

đều được kí hiệu bằng cùng một chữ  Khi đó, mọi dãy dưới C có dạng như sau:

với   = 0 Trong trường hợp này, các phần tử của Cn gọi là các dây

chuyền n- chiều của C và các đồng cấu  gọi là các toán tử bờ Hạt nhân

của  trong Cn được kí hiệu là Z C và gọi là môđun các chu trình n- n 

chiều của C Ảnh của  trong Cn được kí hiệu là B C và gọi là môđun n 

Khi các số nguyên tiến được dùng làm chỉ số, dãy nửa khớp C gọi

là một dãy trên (hay phức hợp đối dây chuyền) và các đồng cấu của C

đều được kí hiệu bằng cùng một chữ  Khi đó, mọi dãy trên C có dạng như sau:

với   = 0 Trong các trường hợp này, các từ đối dây chuyền, đối chu

trình và đối bờ được dùng thay cho dây chuyền, chu trình và bờ trong

các dãy dưới, các chỉ số trên được dùng thay cho các chỉ số dưới Môđun dẫn xuất của C tại môđun Cn được kí hiệu là:

những R- môđun, chỉ số hóa bởi các số nguyên n  sao cho quan hệ

giao hoán  f n  f n1 xảy ra trong hình chữ nhật 

Bây giờ, ta xét một đồng cấu tùy ý cho trước f C: D của dãy dưới C vào dãy dưới D Theo bài tập (1.1.1), đồng cấu f n:C n D n

chuyển Z C vào n  Z D và n  B C vào n  B D có nghĩa là n 

H D Đồng cấu H n f này gọi là đồng cấu cảm ứng n- chiều của f

* Ta gọi đồng cấu đồng nhất i C: C của dãy dưới C gọi là họ

của các đồng cấu f C: D và g D: E và được kí hiệu là :

* Hai đồng cấu , :f g C D từ một dãy dưới C vào một dãy dưới

D gọi là đồng luân nếu và chỉ nếu  một họ những đồng cấu

h h C D n sao cho  n , ta có h n h n1  f ng n

trong biểu đồ sau

Trong trường hợp này, họ h gọi là đồng luân (hay là một đồng

luân dây chuyền) giữa các đồng cấu f và g Kí hiệu : h f  g C:  D

* Để nối các khớp trong mệnh đề (1.2.2) thành một dãy duy nhất

ta phải dựng với mỗi số nguyên n, một đồng cấu  :H n E H n1 C Các

đồng cấu này gọi là các đồng cấu nối của dãy khớp ngắn (S)

 Bổ đề 1.2.4:

Hàm  là một đồng cấu của môđun Z n E vào môđun H n1 C

* Theo bổ đề (1.2.5), đồng cấu  cảm ứng ra một đồng cấu

1.3.1 Hàm song tuyến tính: (Ánh xạ R- song tuyến tính)

Cho A, B, X là các R- môđun và luôn giả thiết R là vành giao hoán có đơn vị là 1 Một ánh xạ f A B:   X được gọi là song tuyến

tính hay ánh xạ song tuyến tính nếu thỏa mãn:

1.3.2 Tích tenxơ của hai môđun

Cho A, B, X, T là các R- môđun, f A B:  T là một ánh xạ song tuyến tính Cặp T f được gọi là tích tenxơ của R- môđun A, B , 

nếu mọi ánh xạ song tuyến tính :g A B  X đều tồn tại duy nhất đồng cấu :h T  X sao cho hf g tức biểu đồ sau giao hoán

gọi là tích tenxơ của hai đồng cấu f, g Kí hiệu h f g

Bổ đề 1.3.1 : (Định lý toàn cấu của tích tenxơ)

Nếu f A:  A' và g B:  B' là những toàn cấu của những môđun trên R, thì tích tenxơ h f g A: B A'B', trên R cũng là một toàn cấu và hạt nhân của nó Ker h là môđun con K của AB sinh ra bởi các phần tử a  của A b B với aKer f hoặc

 

er

bK g

Bổ đề 1.3.2 : (Định lí đẳng cấu của tích tenxơ)

Nếu f A:  A' và : g B B' là những đẳng cấu của những

R- môđun thì tích tenxơ h f g A: B A'B', cũng là một đẳng cấu

Vì g và i là những R- toàn cấu, nên theo (1.3.1) suy ra 'g cũng là

R- toàn cấu và Ker g ' K là môđun con củaBM, K được sinh ra bởi các phần tử y  w của B  M với yKer g hoặc wKer i

Vì K được sinh ra bởi các phần tử y w và Im f ' là môđun

con của BM nên Ker g ' K Im f '

 ', '

Hom A B và ta kí hiệu h:Hom f g , 

Ta dễ dàng chứng minh được các mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.4.1:

Nếu : i AA và : j BB là các đồng cấu đồng nhất của các môđun A và B trên R thì Hom i j , :Hom A B , Hom A B ,  là đồng cấu đồng nhất của môđun Hom A B  , 

Nếu f A: ' A , ' : '' f A  A', : g BB'; ' : ' g B B'' là những đồng cấu của những môđun trên R thì ta có:

H Hom f g Hom A B Hom A B

là môđun con K của Hom A B ,  xác định bởi

Hai tam giác trên giao hoán tức là h p g;  p

Vì h là một đẳng cấu, nên ta có thể định nghĩa một đồng cấu

Vì i là một toàn cấu, f là một đơn cấu nên từ mệnh đề (1.4.3), suy

ra f*Hom f i ,  là một đơn cấu Do g f 0 nên ta có

1.4.2 Bài tập

Bài tập 1.4.1: Cho biểu đồ các đồng cấu

trong đó dòng là khớp, gh 0 Hãy chứng minh rằng : tồn tại và duy

Đồng cấu  chính là đồng cấu phải tìm

Bài tập 1.4.2: Cho biểu đồ các đồng cấu

trong đó hình vuông giao hoán, dòng dưới là khớp, kh 0 và P là môđun

xạ ảnh Chứng minh rằng tồn tại đồng cấu : P  A để hình vuông bên trái cũng giao hoán

(1.4.1), tồn tại đồng cấu : P  A sao cho:

f  h

đồng cấu  chính là đồng cấu cần tìm

1.5 PHẠM TRÙ

Định nghĩa 1.5.1 :

Một phạm trù C được cho bởi :

C1, Một lớp các vật k mà mỗi phần tử của k được gọi là một vật của phạm trù C

C2, Hai vật X, Y tùy ý của k luôn xác định một tập hợp Mor X Y , 

là tập hợp các cấu xạ từ vật X đến vật Y sao cho với hai cặp khác nhau của

ii) Có đồng nhất : Với mỗi vật X  k tùy ý luôn tồn tại một cấu xạ

ix, ixMor X, X  gọi là phần tử đồng nhất sao cho

+ Mor X, Y Hom X, Y  là tập hợp tất cả các đồng cấu nhóm

từ nhóm abel X vào nhóm abel Y

+ Tích cấu ánh xạ bằng ánh xạ hợp thành các cấu xạ đó

* Giống như các ánh xạ trong tập hợp và các đồng cấu trong nhóm, trong phạm trù cũng có một khái niệm tương tự gọi là hàm tử 1.6 HÀM TỬ

1.6.1 Định nghĩa hàm tử hiệp biến

Giả sử C và D là hai phạm trù đã cho và xét một tương ứng

f : CD cho ứng với mỗi vật X của C một cấu xạ f() của D Tương

ứng f được gọi là một hàm tử hiệp biến từ C tới D nếu nó thỏa mãn ba

điều kiện:

i) X, YkC nếu : X Y thì f    : f X f Y 

ii)  X kC ta có f i x if x 

iii) Nếu  được xác định thì f() = f()f()

1.6.2 Hàm tử phản biến (nghịch biến)

Tương ứng f gọi là hàm tử phản biến (nghịch biến) từ C tới D nếu

nó thỏa mãn ba điều kiện :

1.7.1 Phép biến đổi tự nhiên

Giả sử f và g là hai hàm tử hiệp biến bất kì từ một phạm trù C

đến phạm trù D Ta gọi phép biến đổi tự nhiên của hàm tử f vào hàm tử

glà một hàm  cho ứng với mỗi vật X của phạm trù C một cấu xạ

1.7.2 Tương đương tự nhiên

Giả sử f g C, : D là những hàm tử tùy ý cho trước cùng hiệp

biến hoặc cùng phản biến Ta sẽ dùng kí hiệu : f  g để chỉ một phép biến đổi tự nhiên  của hàm tử f vào hàm tử g Nếu cấu xạ ( ) X của

D là một tương đương với mọi vật X C Thì khi đó  gọi là một

tương đương tự nhiên của các hàm tử f và g Kí hiệu : f g

1.8 HÀM TỬ MÔĐUN

1.8.1 Định nghĩa phạm trù môđun

Với bất kì vành R có đơn vị cho trước Ta xét lớp  mà R

+ Mỗi vật của lớp này là một R- môđun cho trước

+ Cấu xạ giữa hai vật là những R- đồng cấu môđun

Với bất kì cấu xạ  :M  N,M N, là những R- môđun cho trước Khi đó, cấu xạ:N Q,  Q R Tích hai cấu xạ  là ánh xạ hợp thành   0 : M Q

Theo định nghĩa phạm trù, ta có R là phạm trù (hay gọi là phạm

+ Với ba vật bất kì X Y Z, , K của C , tích trong C xác định một

hàm song tuyến tính từ Mor X Y( , )Mor( , )Y Z vào Mor( , )X Z

* Nhận xét: Ta có phạm trù R là một phạm trù tuyến tính nên

f    được gọi là hàm tử tuyến tính

1.8.3 Các ví dụ: Cho  là R- môđun trong  R

Ví dụ 1: Hàm tử 

Với mỗi môđun X trên R trong MR, gọi f(X) là tích tenxơ X M trên

R của các môđun X và M Với mỗi đồng cấu  : X Y của những môđun trên R trong MR, gọi f   là tích tenxơ i X: M Y M của 

và tự đồng cấu đồng nhất i của M và lúc này f là một hàm tử hiệp biến

1.8.4 Hàm tử tuyến tính hiệp biến trên R

Giả sử f   : R R là một hàm tử tuyến tính hiệp biến trên R

bao giờ cũng khớp

1.8.6 Hàm tử nửa khớp, khớp trái, khớp phải

* Một hàm tử f M: R M R gọi là nửa khớp nếu và chỉ nếu dãy

f X  f Y  f Z bao giờ cũng là khớp khi f là hiệp biến và dãy

bao giờ cũng khớp khi f phản biến

* Một hàm tử f M: R M R gọi là khớp trái nếu và chỉ nếu dãy

bao giờ cũng khớp khi f là phản biến

* Một hàm tử f M: R M R gọi là khớp phải nếu và chỉ nếu dãy

CHƯƠNG 2 CÁC HÀM TỬ TORn VÀ EXTn

2.1 PHÉP GIẢI

Định nghĩa 2.1.1 :

Cho A là một R- môđun phải tùy ý Ta gọi phép giải của A là một

dãy khớp các R- môđun và các đồng cấu

0 1

Nói riêng, nếu Xn là môđun tự do (tương ứng môđun xạ ảnh) trên

R với mọi n0 thì (1) được gọi là một phép giải tự do (tương ứng phép

giải xạ ảnh) của môđun A

Định lý sau đây khẳng định sự tồn tại của phép giải xạ ảnh

Định lí 2.1.1: Mọi môđun A trên R đều có một phép giải tự do

Chứng minh: Ta đã biết rằng mọi môđun A đều đẳng cấu với một

môđun thương của một môđun tự do Do đó, tồn tại một dãy khớp ngắn

trong đó F1 là môđun tự do trên R Như vậy bằng phép quy nạp toán học

ta thu được các dãy khớp ngắn

với mọi số nguyên n > 0, ở đó Fn là môđun tự do trên R

Bây giờ ta lập dãy

n n

nÕu n nÕu n

Để chứng minh (2) là phép giải tự do của A ta chỉ còn phải chứng minh nó là dãy khớp Thật vậy, do tính chất của dãy khớp ngắn ta có n

là đơn cấu và n là toàn cấu với mọi n  nên ta có 0

1

Imn Imn Kern Ker , tức là n Imn1 Ker với mọi n n  0

Đó là điều cần phải chứng minh

Ở trên chúng ta đã chứng minh được sự tồn tại phép giải xạ ảnh của môđun A Bây giờ ta sẽ chứng tỏ tính duy nhất của phép giải xạ ảnh theo nghĩa hai phép giải xạ ảnh bất kì của cùng một môđun A đều tương đương đồng luân

Trước hết ta thiết lập mệnh đề sau

Mệnh đề 2.1.2: Cho h A: B là đồng cấu của môđun A vào môđun B bất kì và

0 1

sao cho biểu đồ sau đây là giao hoán

Các đồng cấu f n , n 0 và h lập thành phép biến đổi dây chuyền

n

' 0

