Biểu diễn số hạt của các đại lượng động lực trong cơ học lượng tử

Trong cơ học cổ điển, để đặc trưng cho chuyển động của một hạt, tadùng những đại lượng động lực như: tọa độ, xung lượng, moment động lượngcủa hạt… Các đại lượng đó gọi chung là các biến

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất củamình tới thầy Hoàng Phúc Huấn người đã hướng dẫn tận tình và thườngxuyên động viên em trong quá trình hoàn thiện đề tài, người đã dành cho em

sự giúp đỡ ưu ái nhất trong thời gian học tập, nghiên cứu cũng như trong quátrình hoàn thiện khóa luận này

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Vật lí lý thuyết đãtạo điều kiện và đóng góp ý kiến để em hoàn thành tốt khóa luận tốt nghiệp.Tuy nhiên do thời gian và khuôn khổ không cho phép, đề tài còn hạn chếnên chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót Rất mong sự đóng góp vàtiếp tục xây dựng đề tài của bạn đọc quan tâm

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Đoàn Thị Thu

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan những nội dung nghiên cứu và trình bày trong khóa

luận “Biểu diễn số hạt của các đại lượng động lực trong cơ học lượng tử” là

của riêng em dưới sự hướng dẫn tận tình của Th.S Hoàng Phúc Huấn

Nội dung nghiên cứu này chưa từng được công bố trong bất kỳ khóa luận nào khác

Em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về nội dung nghiên cứu trong đề tài của mình

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Đoàn Thị Thu

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Lời cam đoan

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Giả thuyết khoa học 2

4 Đối tượng nghiên cứu 2

5 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

6 Phương pháp nghiên cứu 2

7 Cấu trúc khóa luận 2

NỘI DUNG 4

Chương 1: Các tiên đề cơ bản của cơ học lượng tử 4

1.1Bế tắc của lý thuyết cổ điển 4

1.1.1 Bức xạ của vật đen 4

1.1.2 Tính bền vững của nguyên tử 5

1.1.3 Hiệu ứng quang điện 6

1.2Các giả thuyết 6

1.2.1 Giả thuyết Plăng 6

1.2.2 Thuyết lượng tử của Anhxtanh (Thuyết photon) 8

1.2.3 Thuyết lượng tử Bo (Bohr) 9

1.3Hệ tiên đề của cơ học lượng tử 10

1.3.1 Tiên đề 1 10

1.3.2 Tiên đề 2 10

1.3.3 Tiên đề 3 11

Bài tập vận dụng 12

Chương 2: Các đại lượng động lực trong cơ học lượng tử 17

2.1 Các toán tử tọa độ 17

2.2 Các toán tử xung lượng 18

2.3 Các toán tử moment xung lượng 19

2.4 Toán tử năng lượng 20

2.5 Toán tử spin của electron 21

Bài tập vận dụng 24

Chương 3: Biểu diễn số hạt của các đại lượng động lực trong cơ học lượng tử 27

3.1 Tọa độ, xung lượng và năng lượng của dao động tử điều hòa 27

3.1.1 Phương trình Schodinger 28

3.1.2 Hàm sóng 28

3.1.3 Năng lượng 32

3.2 Chuyển các toán tử: tọa độ, xung lượng và năng lượng của dao động tử điều hòa sang biểu diễn số hạt 33

3.2.1iểu diễn số hạt của toán tử tọa độ và xung lượng 33

3.2.2 Biểu diễn số hạt của toán tử năng lượng 34

3.2.3 Các vectơ riêng và trị riêng của toán tử Hamintonian 35

Bài tập vận dụng 41

KẾT LUẬN 46

TÀI LIỆU THAM KHẢO 47

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Vào cuối thế kỷ 19 các nhà Vật lí đã phát hiện ra nhiều những hiện tượng

và hiệu ứng mà Vật lí học cổ điển không thể giải thích được như là: hiệu ứngquang điện, quy luật bức xạ của vật đen,… Và để giải thích được các hiệntượng này, các nhà Vật lí lỗi lạc của thế kỷ 20 như Max Planck, AlbertEinstein và Niels Bohr đã lần lượt đề xuất những giả thuyết lượng tử khácnhau mà tất cả đều thừa nhận tính chất gián đoạn của năng lượng của một sốloại hệ vi mô

Và như vậy, các hạt vật chất vi mô vừa có tính chất sóng lại vừa có tính chất hạt, chính vì thế mà các đại lượng động lực của nó không xác định đồng thời

Trong cơ học cổ điển, để đặc trưng cho chuyển động của một hạt, tadùng những đại lượng động lực như: tọa độ, xung lượng, moment động lượngcủa hạt… Các đại lượng đó gọi chung là các biến số động lực (như tọa độ vàxung lượng…) đều có giá trị xác định Vấn đề chủ yếu của việc mô tả chuyểnđộng là tìm sự phụ thuộc của chúng vào thời gian

Trong cơ học lượng tử thì vấn đề lại khác, hạt không được hình dung nhưmột chất điểm chuyển động theo một quỹ đạo, mà là một bó sóng định xứtrong một miền của không gian tại một thời điểm và bó sóng thay đổi theothời gian Tại một thời điểm ta chỉ có thể nói về xác suất để tìm thấy hạt trongmột phần tử thể tích của không gian Hay nói cách khác là xác suất để tọa độcủa hạt có giá trị nằm trong khoảng nào đó Nói chung về biến số động lựccũng vậy, ta chỉ có thể nói về xác suất để một biến số động lực có giá trị nằmtrong khoảng nào đó chứ không thể nói về giá trị xác định của biến số độnglực tại một thời điểm như trong cơ học cổ điển

Và để giải quyết các bài toán cho chuyển động của hạt vi mô ta phải giảiphương trình Schodinger tức là ta sẽ đi tìm phương trình hàm riêng, trị riêngcho toán tử năng lượng Việc làm này sẽ dẫn đến các tích phân phức tạp vàviệc giải các bài toán này là rất khó khăn Để đơn giản hơn trong việc giảiphương trình hàm riêng, trị riêng ta sẽ chuyển việc giải phương trình tíchphân thành việc giải phương trình đại số Muốn vậy ta phải biểu diễn các toán

tử năng lượng và các đại lượng động lực trong biểu diễn số hạt

Đó chính là lí do mà em chọn đề tài “ Biểu diễn số hạt của các đại lượng

động lực trong cơ học lượng tử ” làm khóa luận tốt nghiệp của mình.

2 Mục đích nghiên cứu

- Tìm hiểu về cách biểu diễn số hạt của các đại lượng động lực trong cơhọc lượng tử

- Tìm hiểu về cơ sở toán học trong cơ lượng tử

3 Giả thuyết khoa học

- Tìm cách giải phương trình Schodinger bằng một phương pháp đơn giản hơn đó là phương pháp đại số

4 Đối tượng nghiên cứu

- Thế giới các hạt vi mô

- Nghiên cứu các đại lượng động lực trong cơ học lượng tử

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Biểu diễn các toán tử năng lượng, toán tử xung lượng và toán tử tọa

độ của các hạt vi mô qua các toán tử sinh hủy

- Giải các phương trình vi phân trong cơ học lượng tử

6 Phương pháp nghiên cứu

- Đọc và tra cứu tài liệu

- Dùng các phương pháp toán cho Vật lí

7 Cấu trúc khóa luận

Khóa luận gồm có 3 chương:

Chương 1: Các tiên đề cơ bản của cơ học lượng tử

Chương 2: Các đại lượng động lực trong cơ học lượng tử.

Chương 3: Biểu diễn số hạt của các đại lượng động lực trong cơ học lượng tử

NỘI DUNGCHƯƠNG 1: CÁC TIÊN ĐỀ CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

1.1 Bế tắc của lý thuyết cổ điển

Vật lí học cổ điển là Vật lí học không kể đến thuyết tương đối và thuyếtlượng tử Theo quan niệm cổ điển thì các loại bức xạ (tia hồng ngoại, ánhsáng, tia tử ngoại, tia Rơnghen, tia Gamma) đều là những sóng điện từ lantruyền trong không gian Năng lượng của sóng tỷ lệ với bình phương biên độ

và có thể biến đổi liên tục Như vậy một vật có thể phát ra (dưới dạng bức xạ)hay hấp thụ (của bức xạ chiếu tới) những năng lượng tùy ý, tức là những nănglượng có giá trị liên tục

Sau đây ta xét một số hiện tượng không thể giải thích được bằng các lýthuyết cổ điển như: tính bền vững của nguyên tử, quy luật bức xạ của vậtđen,… Từ đó dẫn đến việc phải xây dựng một khái niệm mới về lượng tử thìmới giải thích được chúng, đó là bước đầu của việc hình thành cơ học lượngtử

1.1.1 Bức xạ của vật đen

Thực nghiệm chứng tỏ rằng một vật đen ở nhiệt độ T phát ra những bức

xạ điện từ có phổ liên tục, năng lượng của bức xạ phát ra phụ thuộc vào nhiệt

độ của vật Vật phát ra bức xạ đồng thời hấp thụ năng lượng của những bức

xạ chiếu tới Khi năng lượng mà vật hấp thụ được bằng năng lượng vật bức xạtrong cùng một thời gian thì nhiệt độ của vật giữ không đổi Nếu thực hiệnđược sự cân bằng năng lượng ấy đối với cả hệ thống vật và bức xạ thì bức xạgọi là bức xạ cân bằng

bức xạ ấy chứa trong một đơn vị thể tích không gian thì tỷ lệ với dm và cóbiểu thức là: q(m, T)dm

Hệ số tỷ lệ q(m, T): gọi là mật độ năng lượng của phổ, đó là một hàm sốđặc trưng cho bức xạ cân bằng.

Từ giáo trình vật lý thống kê sẽ dẫn tới công thức cho mật độ năng lượngbức xạ gọi là công thức Rêlây:

  , T   

kT

(1.1)

 2 c 3

Với c là vận tốc ánh sáng trong chân không, k là hằng số Bônzơman, T là

nhiệt độ của bức xạ cân bằng Công thức Rêlây phù hợp với thực nghiệm

đối với các tần số lớn thì công thức cho kết quả phi lý Ta có thể thấy ngay

bức xạ đối với toàn bộ phổ liên tục, từ tần số thấp đến tần số rất cao) chứatrong một đơn vị thể tích không gian:

1.1.2 Tính bền vững của nguyên tử

Nếu áp dụng các định luật của vật lí cổ điển cho các electron chuyểnđộng xung quanh nguyên tử thì dẫn đến các kết quả sau đây:

nói cách khác thì phổ của bức xạ của nguyên tử là liên tục

2 Vì nguyên tử phát ra bức xạ nên năng lượng của nguyên tử giảm liêntục, bán kính quỹ đạo của electron giảm Sau một thời gian ngắn vào khoảng

2





Các kết quả này mâu thuẫn với thực nghiệm, bình thường thì nguyên tửkhông phát ra bức xạ, nếu bị kích thích thì nguyên tử phát ra bức xạ mà tần số

có giá trị xác định (phổ gián đoạn), nguyên tử bền vững và không có hiệntượng electron rơi vào hạt nhân

1.1.3 Hiệu ứng quang điện

Nếu ta chiếu ánh sáng thích hợp vào bề mặt một kim loại thì có thể làmbật electron ở mặt kim loại ra ngoài, hiện tượng này được phát hiện lần đầutiên vào năm 1887

Các kết quả thực nghiệm thu được là:

1 Có hiệu ứng ngưỡng: dòng quang điện chỉ xuất hiện khi tần số v củaánh sáng không nhỏ hơn một giá trị ngưỡng v0 nào đó và giá trị của v0 phụthuộc vào chất bị chiếu sáng

2 Vận tốc của các điện tử và độ lớn của thế hãm không phụ thuộc vàocường độ mà chỉ phụ thuộc vào tần số của ánh sáng và chất bị chiếu sáng

độ ánh sáng gây ra hiệu ứng quang điện

Không thể giải thích những phát hiện trên bằng quan niệm cho ánhsáng thuần túy là sóng, vì năng lượng của sóng có thể thay đổi liên tục, nếuchiếu sáng đủ mạnh, không quan trọng tần số của ánh sáng là bao nhiêu, cácđiện tử sẽ nhận một lượng năng lượng lớn hơn công tối thiểu (còn gọi là côngthoát) của kim loại để thoát ra ngoài và chuyển động càng nhanh khi cường

độ chiếu sáng càng lớn, những điều hoàn toàn trái ngược với các kết quả thựcnghiệm

1.2 Các giả thuyết

1.2.1 Giả thuyết Plăng

Để giải quyết điều phi lý trong hiện tượng bức xạ của vật đen nói trên,năm 1900 Plăng đã đưa ra giả thuyết như sau: một dao động tử điều hòa cótần số (góc) riêng là m chỉ có thể có những năng lượng gián đoạn, giá trị đó

bằng một số nguyên lần của một đại lượng s, gọi là lượng tử năng lượng(hay lượng tử) Ứng với tần số góc m, giá trị của s là:

Xuất phát từ giả thuyết Plăng và dùng các phương pháp của vật lí thống

kê ta có thể chứng minh được công thức cho mật độ năng lượng bức xạ :

Thực vậy: nếu ta áp dụng cho các tần số thấp, sao cho:

m

thì:

 

 3

1.2.2 Thuyết lượng tử của Anhxtanh (Thuyết Photon)

Để giải thích các kết quả thực nghiệm về hiệu ứng quang điện Anhxtanhnăm 1905 đã mở rộng thuyết lượng tử của Plăng và đề xuất thuyết lượng tửánh sáng (còn gọi là thuyết photon) thừa nhận tính chất hạt của ánh sáng.Theo Anhxtanh, ánh sáng là chùm các hạt gọi là các lượng tử ánh sáng hay

các photon chuyển động trong chân không với cùng một vận tốc c trong mọi

hệ quy chiếu quán tính Tính chất hạt của photon được thể hiện qua năng

lượng E và xung lượng p liên hệ với tần số v và vectơ sóng k bởi các công

là A0, vận tốc của điện tử sau khi bứt ra khỏi kim loại là u và khối lượng nghỉ

bảo toàn năng lượng:

Vì công thoát khác nhau đối với các kim loại khác nhau nên tần số

Những điều này giải thích kết quả thực nghiệm thứ nhất trong hiệu ứng quangđiện

Từ đẳng thức (1.10) cũng suy ra rằng vận tốc của các điện tử không phụthuộc vào cường độ mà chỉ phụ thuộc vào tần số của ánh sáng và chất bị chiếusáng

r = J 2 (ℎv − A

Thuyết photon còn giải thích được cả kết quả thực nghiệm thứ ba củahiện tượng quang điện Thật vậy cường độ dòng quang điện bão hòa tỷ lệ với

số điện tử bị bứt ra ngoài, mà số điện tử này lại tỷ lệ với số photon và sốphoton lại chính là cường độ ánh sáng

Giải Nobel Vật lí năm 1921 đã được trao cho Anhxtanh để ghi nhậncông lao của ông trong lĩnh vực Vật lí lý thuyết và đặc biệt là việc giải thíchtrọn vẹn hiệu ứng quang điện

1.2.3 Thuyết lượng tử Bo (Bohr)

Để giải thích hiện tượng bền vững của nguyên tử và phổ phát xạ giánđoạn của nguyên tử khi bị kích thích, Bo đã đưa ra một giả thuyết lượng tử,

rồi áp dụng (cùng với cơ học cổ điển) cho nguyên tử và đã thu được kết quảphù hợp với thực nghiệm.

Nội dung chính của thuyết Bo là: Năng lượng E của nguyên tử chỉ có thể

có những giá trị gián đoạn:

cuối Em Nếu gọi mnm là tần số góc của bức xạ phát ra thì ta sẽ có:

Giả thuyết Bo là bước đầu tiên dùng thuyết lượng tử để nghiên cứunguyên tử Với các tính toán dựa trên cơ sở cơ học cổ điển và mẫu nguyên tử

Bo người ta thu nhận được các kết quả phù hợp với thực nghiệm

1.3 Hệ tiên đề của cơ học lượng tử

thì nó cũng có thể ở trong trạng thái được mô tả bởi tổ hợp tuyến tính bất kỳ:

Khi ta đo một biến số động lực nào đó thì ta chỉ thu được các giá trị bằng

số là các trị riêng của toán tử biểu diễn biến số động lực ấy

Vì các giá trị bằng số của các biến số động lực là thực nên trị riêng củacác toán tử biểu diễn biến số động lực phải là thực, muốn thế những toán tử

ấy phải là Hecmite

Xét một biến số động lực biểu diễn bằng một toán tử Lˆ, toán tử này cócác trị riêng L1, L2, … , Li, … với các hàm riêng tương ứng là: u1, u2, … , ui, …Xét một hệ lượng tử ở trạng thái biểu diễn bởi các hàm sóng ƒ

Theo tính chất đủ của hệ các hàm riêng của toán tử Hecmite thì ta có thể

i

Dấu ∑ ký hiệu việc lấy tổng theo tất cả các hàm riêng

1.3.3 Tiên đề 3

đo biến số động lực L ta thu được giá trị Li sẽ bằng |ci |2

Trường hợp riêng: Nếu hàm sóng ƒ(x) trùng với một hàm riêng của toán

tử Lˆ thì biến số động lực L có giá trị xác định, bằng trị riêng tương ứng với hàm riêng ấy Cụ thể là:

toán

tử

Lˆ Chú ý rằng: Xác suất để L = Li là |ci |2 là xác suất tỷ đối

Muốn tính xác suất tuyệt đối thì ta phải chuẩn hóa các hệ số phân tích ci,suất tức là phải nhân chúng với một hằng số thế nào để dẫn tới kết quả: tổng xác suất của các trạng thái có thể phải bằng 1

i

Xác suất Pi thỏa mãn hệ thức này mới là xác suất tuyệt đối

Bài tập vận dụng

Bài 1.1 Tìm năng lượng và hàm sóng của hạt trong trường hợp hạt chuyển

động trong hố thế 3 chiều và có thế năng V(x):

0 < x < a V(x, y, z) = 0 ở bên trong vùng {0 < y < b

Hệ tọa độ được chọn sao cho một trong các đỉnh của hộp nằm tại gốc tọa độ

và các trục x, y, z là 3 trong số 12 cạnh của hộp Thế năng bên trong hộp là

bằng 0, ngoài hộp là vô cùng

Với điều kiện như trên, ta kết luận rằng hàm sóng bằng 0 ở bên ngoàihộp Bên trong hộp, toán tử thế năng bằng 0, nên phương trình sóngSchodinger không phụ thuộc thời gian sẽ là:

Ta thấy vế trái của phương trình (1.26) hoàn toàn không phụ thuộc vào

các biến y và z Trong khi đó, vế phải của (1.26) hoàn toàn không phụ thuộc vào biến x Như vậy để 2 vế phương trình bằng nhau thì phương trình phải

năng trong hộp V(x) = 0 và chiều dài l = a Như vậy nghiệm của (1.30) là:

z

Trong đó: a, b, c là độ dài của các cạnh theo các trục x, y, z tương ứng.

Hàm sóng có 3 số lượng tử ns, ny và nz Chúng biến đổi một cách độc lập vớinhau

Hàm sóng có dạng:

được chuẩn hóa như sau:

(

hay: = 1.

Bài 1.2 Tìm bước sóng Đơ Brơi cho các trường hợp sau:

a) Electron bay qua các hiệu điện thế 1 V, 100 V, 1000 V

b) Electron bay với vận tốc v = 108 cm/s

c) Electron chuyển động với năng lượng 1MeV

Brơi của electron trong câu a được xác định bởi công thức:

Khi U = 1V thì ß = 12,25.10–10m; khi U = 100 V thì ß = 1,225.10–10m

b) Vận tốc của electron v = 108 cm/s = 106 m/s rất bé so với vận tốc của ánh

với năng lượng tĩnh E0 = m0c2 của nó và bước sóng Đơ Brơi của electronđược xác định bằng công thức:

c) Trong trường hợp T = 1 MeV ta phải dùng công thức tính bước sóng Đơ

Brơi của electron tương đối tính:

CHƯƠNG 2: CÁC ĐẠI LƯỢNG ĐỘNG LỰC TRONG CƠ HỌC

LƯỢNG TỬ

Trong cơ học cổ điển để đặc trưng cho chuyển động của của một hạt, tadùng những đại lượng như: tọa độ, xung lượng, mômen xung lượng củahạt,… Các đại lượng đó gọi chung là biến số động lực Hạt chuyển động theomột quỹ đạo và ở một thời điểm đã cho thì tất cả các biến số động lực (chẳnghạn như tọa độ và xung lượng) đều có giá trị xác định Vấn đề chủ yếu củaviệc mô tả chuyển động là tìm sự phụ thuộc giữa chúng và sự phụ thuộc củachúng vào thời gian

Trong cơ học lượng tử vấn đề lại khác, hạt không được hình dung nhưmột chất điểm chuyển động theo một quỹ đạo, mà là một bó sóng định xứtrong một miền của không gian tại một thời điểm và bó sóng thay đổi theothời gian Tại một thời điểm ta chỉ có thể nói về xác suất để tìm thấy hạt trongmột phần tử thể tích của không gian, hay nói cách khác là xác suất để tọa độcủa hạt có giá trị nằm trong khoảng nào đó Nói chung về biến số động lựccũng vậy, ta chỉ có thể nói về xác suất để một biến số động lực có giá trị nằmtrong khoảng nào đó chứ không thể nói về giá trị xác định của biến số động lực tại một thời điểm như trong cơ học cổ điển

Vì có sự khác biệt nói trên nên trong cơ học lượng tử biến số động lựckhông phải mô tả bằng một số như trong cơ học cổ điển Chúng ta phải tìmmột cách mô tả khác thể hiện được những đặc tính của các quy luật lượng tử.Những nghiên cứu về toán tử cho thấy có thể dùng công cụ toán học này để

mô tả biến số động lực trong cơ học lượng tử

2.1 Các toán tử tọa độ

Xét trường hợp hạt chuyển động trên trục x,trạng thái của hạt mô tả bởi

hàm sóng ƒ(x) Giả sử ƒ(x) đã dược chuẩn hóa Toán tử tọa độ xˆ phải

là Hermite và có dạng thế nào để trị trung bình của tọa độ cho bởi công thức:

x = ∫ ƒ∗xˆƒdx (2.1)Nếu gọi q(x) là mật độ xác suất để tọa độ có giá trị là x thì trị trung bình

y z=̂z

(2.6)

Ba toán tử xˆ, yˆ, ẑlập thành toán tử vectơ bán kính r⃗ˆ= xˆs⃗+ yˆy⃗+ẑk¯⃗ Kết quả việc tác dụng toán tử tọa độ nào đó lên một hàm của tọa độ vàthời gian là việc nhân đơn thuần tọa độ đó với hàm đó

2.2 Các toán tử xung lượng

Hàm sóng ƒ viết ở công thức (2.11) là hàm số biểu diễn trạng thái

2.3 Các toán tử moment xung lượng

Trong cơ học cổ điển moment xung lượng L¯⃗được định nghĩa như sau:một hạt chuyển động trên quỹ đạo cong tại điểm có vectơ bán kính r⃗, xunglượng g⃗, sẽ có moment xung lượng (đối với trục tức thời đi qua tâm chínhkhúc lúc đó) là: L¯⃗= r⃗× g⃗

Hình chiếu của vectơ L¯⃗lên các trục tọa độ có biểu thức như sau:

Ls = ygz − zgy{Ly = zgs −

xgz Lz = xgy −

ygs

(2.17)

Như vậy toán tử moment xung lượng của hạt là Lˆ = r×̂ g= ̂ − iℏ(r⃗× ∇)

và các toán tử hình chiếu moment xung lượng của hạt sẽ có dạng :

Ba đại lượng trên là ba thành phần của toán tử vectơ L¯⃗.

Còn toán tử bình phương moment xung lượng:

2.4 Toán tử năng lượng

Trong cơ học cổ điển, năng lượng toàn phần được biểu diễn qua tọa độ x

và xung lượng p theo biểu thức sau đây:

và : xˆ = x, yˆ = y, z=̂ z.

Vậy :

2.5 Toán tử spin của electron

Kí hiệu các toán tử hình chiếu spin lên các trục tọa độ là Sˆs , Sˆy,

rằng chúng phải thỏa mãn các quy tắc giao hoán, giống như các toán tửhình chiếu moment quỹ đạo Lˆs, Lˆy , Lˆz Nghĩa là:

Sˆs Sˆy − Sˆy Sˆs = iℏSˆz{Sˆy Sˆz − Sˆz Sˆy

= iℏSˆs Sˆz Sˆs −

SˆsSˆz = iℏSˆy

(2.25)

Hơn nữa, vết chiếu spin lên một phương bất kì chỉ có thể nhận hai giá trị

là ± ℏ⁄2, do đó những toán tử này phải được biểu diễn bằng những ma trậncấp 2, bởi vì chỉ có các ma trận cấp 2 mới có 2 giá trị riêng

os oy − oy os =2ioz{oy oz − oz oy =2ios oz os − os oz =

Xét tổ hợp:

2i(os oy + oy os) = (2ios )oy + oy(2ios )

= oy oz oy − oz oy 2 + o2o − o o o = 0 (2.29)Hoàn toàn tương tự:

osoy = − oy os{oy oz = − oz

Sau khi nhân os với oy , nhân oy với os , sử dụng hệ thức phản giao hoán (2.30):

Các ma trận (2.42.1), (2.42.2), (2.42.3) gọi là các ma trận spinơ Pauli,

Sˆy

= Sˆ

Cho các toán tử vế trái tác dụng lên hàm ƒ(x, y, z) ta tìm được:

a) (yg−̂ ĝy)ƒ = − iℏ [y 6ƒ −

được: yĝy − ĝy y = iℏ, zĝz − ĝz z = iℏ

− yx

6ƒ 6z

+ xz

Bài 2.2 Xuất phát từ phương trình Haisenbec, hãy xét xem đối với hạt tự do,

các đại lượng như năng lượng, xung lượng, các hình chiếu của moment xunglượng và bình phương mômen xung lượng có được bảo toàn không?

Từ các phương trình này ta thấy rằng năng lượng và xung lượng của hạt

tự do là những đại lượng bảo toàn

2

= i {ĝ(ĝ2y − yĝ2) − ĝ(ĝ2z − zĝ2)}

CHƯƠNG 3: BIỂU DIỄN SỐ HẠT CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG

ĐỘNG LỰC TRONG CƠ LƯỢNG TỬ.

Trong chương này chúng ta sẽ tìm cách đưa ra biểu diễn số hạt của các đại lượng động lực như: tọa độ, xung lượng và năng lượng Và viết các đại lượng này theo biểu diễn số hạt

Bài toán lý tưởng hóa là bài toán coi các dao động là điều hòa Chúng ta

sẽ đi vào xét một bài toán mang tính chất lý tưởng hóa đó là bài toán về dao động tử điều hòa

Bài toán:

Xét một hạt khối lượng m, chuyển động một chiều theo trục Ox dưới tác

dụng của lực đàn hồi F = − kx (k là hệ số đàn hồi) Tìm năng lượng của hạt

3.1 Tọa độ, xung lượng và năng lượng của dao động tử điều hòa

Trong cơ học cổ điển, hạt sẽ dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng x = 0 áp dụng định luật II Newton ta có:

trong đó E là năng lượng toàn phần.

Trong cơ học lượng tử ta gọi hệ đang xét là dao động tử điều hòa

3.1.1 Phương trình Schodinger

Thế năng của hạt là:

2

và do đó trạng thái lượng tử của hạt với năng lượng E được diễn tả bằng

hàm sóng ƒ(x) thỏa mãn phương trình Schodinger:

Khi £ đủ lớn có thể bỏ qua số hạng cƒ(£) trong vế trái của (3.13) ta thu được:

Để hàm sóng ƒ˜(£) xác định theo công thức (3.15) hữu hạn khi £ →

∞ bắt buộc chuỗi lũy thừa r(£) phải trở thành đa thức, nghĩa là chuỗi (3.18) phải bị ngắt ở một bậc kmas = n nào đó Nghĩa là a0 (hoặc a1),…, ak,

với Nn là hệ số chuẩn hóa

Nghiệm của phương trình (3.13) có kể đến (3.15) và (3.22) là:

= )(− 1)k (2£)n–

k=0 n(n–1)(n–2)(n–3)

tử điều hòa chỉ có thể nhận các giá trị gián đoạn:

Có thể quy ước chọn gốc tính năng lượng trùng với năng lượng 0: E0.Khi đó dao động tử điều hòa chỉ có thể có năng lượng là bội của năng lượngℏm:

Đó chính là giả thuyết Plăng: năng lượng của một dao động tử điều hòa

3.2 Chuyển các toán tử: tọa độ, xung lượng và năng lượng của dao động

tử điều hòa sang biểu diễn số hạt.

3.2.1 Biểu diễn số hạt của toán tử tọa độ và xung lượng

Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa cũng có thể tìm được bằngphương pháp đại số, sử dụng các hệ thức giao hoán chính tắc và biểu thức củaHamintonian:

Để thuận tiện khi viết các công thức ở đây cũng như sau này, thay cho

các toán tử tọa độ x và xung lượng − iℏd⁄dx

và xung lượng chính tắc mới:

ta hãy dùng các toán tử tọa độ

Hamintonian (3.38) có thể biểu diễn qua ĝvà qˆ:

Công thức (3.49) chính là biểu diễn số hạt của toán tử xung lượng

Công thức (3.50) chính là biểu diễn số hạt của toán tử tọa độ

3.2.2 Toán tử năng lượng trong biểu diễn số hạt

Hamintonian (3.48) được viết thành :

Hˆ = 1 {ℏm [aˆ2 + aˆaˆ+ + aˆ+aˆ + (aˆ+)2] − ℏ m[aˆ2 − aˆaˆ+ −

aˆ+aˆ + (aˆ+)2]}

⇒ aˆaˆ+ − aˆ+aˆ = 1,

Công thức (3.64) chính là biểu diễn số hạt của toán tử năng lượng

3.2.3 Các vectơ riêng và trị riêng của toán tử Hamintonian

Việc nghiên cứu phổ năng lượng của dao động tử điều hòa quy về bàitoán tìm các vectơ riêng và trị riêng của Hamintonian (3.64), trong đó cáctoán tử aˆ và aˆ+ thỏa mãn hệ thức giao hoán (3.63) Để làm điều đó tađịnh nghĩa một toán tử mới như sau: