MARTINGALE rời rạc và ứng dụng

LèI CÃM ƠNLòi đau tiên cúa khóa lu¾n này em xin gúi lòi cám nơ sâu sactói thay giáo h óngư dan TS.Tran Minh T óc.ư Thay đã giao đe tài và t¾ntình h óngư dan em trong quá trình hoàn thành

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

KHOA TOÁN

Pham Th% Lan Anh

Martingale rèi rac và Nng dnng

KHÓA LU¾N T6T NGHIfiP Hfi ĐAI H6C CHÍNH QUY

Chuyên ngành: Toán - úng dnng

Ngưèi hưéng dan: TS.Tran Minh Tưéc

Hà N®i - 2013

LèI CÃM ƠN

Lòi đau tiên cúa khóa lu¾n này em xin gúi lòi cám nơ sâu sactói thay giáo h óngư dan TS.Tran Minh T óc.ư Thay đã giao đe tài và t¾ntình h óngư dan em trong quá trình hoàn thành khóa lu¾n này Nhân d%pnày em xin gúi lòi cám nơ cúa mình tòi toàn b® các thay cô giáo trongkhoa Toán hoc đã giáng day và giúp đõ chúng em trong suot quá trìnhhoc t¾p tai khoa Đong thòi, tôi xin cám nơ các ban trong lóp K35ACN

Toán ngànhToán úng dnng, khoa Toán hoc đã nhi¾t tình giúp đõ tôi trong quá trình hoct¾p tai lóp

Hà n®i, ngày 10 tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Pham Th% Lan Anh

Mnc lnc

LèI

Me ĐAU 3

LèI C AM ĐOAN 4

Chương 1 Marting ale rèi rac. 5

1.1 K ỳ v ong có đieu ki¾n. 5

1.2 Khái ni¾m tương thích và dN báo đưec. 8

1.2.1 Các σ -tr òngư liên quan tói dãy bien ngau nhiên 8

1.3 Thèi điem Mark o v v à thèi điem dNng. 9

1.3.1 Đ%nh nghĩa .9

1.3.2 Các ví dn ve thòi điem dùng .10

1.3.3 Các tính c hat cúa thòi điem dùng 11

1.4 Quá trình Marting ale rèi rac. 13

1.4.1 Đ%nh nghĩa .14

1.4.2 Các ví dn .14

1.4.3 Các tính c hat .15

Chương 2 Úng dnng 19

2.1 Bài toán Gambler và Martingale 19

2.2 Quá trình dNng .

23

2.3 Áp dnng Optional Stopping theorem 25

T ài li¾u tham kháo

LèI Me ĐAU

Lý thuyet xác suat và thong kê là m®t b® ph¾n cúa toán hoc, nghiêncúu các hi¾n t ongư ngau nhiên và úng dnng chúng vào thnc te.Các kháini¾m dau tiên cúa xác suat do các nhà toán hoc tên tuoi Pierre Fermat (

1601 - 1665 ) và Bailes Pascal ( 1623 - 1662 ) xây dnng tù the ký thúXVII dna trên vi¾c nghiên cúu các quy lu¾t trong trò ch iơ may rúi.Saugan 3 the ký phát trien, lý thuyet xác suat đã đ ocư A.N.Kolmogorov tiên

Chương 1: Martingale ròi rac.

Chương 2: Úng dnng.

Tuy đã có nhieu co gang nh ngư do thòi gian và khá năng có han nên cácvan đe trong khóa lu¾n van ch aư đ ocư trình bày sâu sac và không thetránh khói có nhung sai sót trong cách trình bày Mong đ ocư sn góp ýxây dnng cúa thay cô và các ban Em xin chân thành cám n!ơ

LèI CAM ĐOAN

Khóa lu¾n cúa em đ ocư hoàn thành d óiư sn h óngư dan cúa TS.TranMinh T óc,ư cùng vói sn co gang cúa bán thân trong quá trình nghiên cúu

và thnc hi¾n khóa lu¾n, em có tham kháo m®t so tác giá ( đã nêu trongmnc tài li¾u tham kháo)

Em xin cam đoan nhung ket quá trong khóa lu¾n là ket quá nghiêncúu cúa bán thân, không trùng vói ket quá cúa các tác giá khác.Neu sai

em xin ch%u hoàn toàn trách nhi¾m

Hà n®i, ngày 10 tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Pham Th% Lan Anh

Chương 1

Martingale rèi rac.

1.1 Kỳ vong có đieu ki¾n.

Đ%nh nghĩa 1.1 Cho bien ngau nhiên X mà E(|X|) < ∞ Ta đã biet, E(X|

y ¸

E[X|Y = y] f Y (y)dyneu X,Y liên tnc.

Đây là ket quá quan trong đ ocư sú dnng trong m®t loat các tính chat sau này.

Đ%nh nghĩa 1.2 Cho hai bien ngau nhiên X,Y ta goi E[X|Y ] là kỳ vong

có đieu ki¾n cúa X theo Y , là m®t hàm h(Y ) mà có tính chat vói moi A

∈ σ (Y )

thì

E[X I A ] = E[h(Y )I A ]. (1.1.1)

Tính chat 1.1. 1 Neu C là hang so thì E(C|F ) = C (h.c.c).

2 Neu X ≤ Y (h.c.c) thì E(X|F ) ≤ E(Y |F )

(h.c.c) 3 |E(X|F )| ≤ E(|X||F ).

4 Neu a, b là hang so và aEX + bEY xác đ%nh thì

E((aX + bB)|F ) = aE(X|F ) + bE(Y |F ) (h.c.c).

5 E(X|{0/ , Ω}) = EX (h.c.c).

6 E(X|F ) = X (h.c.c).

7 E[E(X|F )] = EX (h.c.c).

E[E(X|F2)|F1] = E[E(X|F1)|F2] = E(X|F1) (h.c.c).

9 Neu X đ®c l¾p vói F (nghĩa là σ (X ) và F đ®c l¾p) thì

E(X|F ) = EX (h.c.c).

10 Neu Y là F−đo đ oc ư và E|Y | < ∞, E|XY | < ∞ thì

E(XY |F ) = Y E(X|F )(h.c.c).

Chúng minh (1) là hien nhiên.

(2) X ≤ Y (h.c.c) suy ra E[X I A ] ≤ E[Y I A ] vói moi A ∈ F

hay

E[E(X|F )I] ≤ E[E(Y |F )I], ∀A ∈ F.

Túc

(3) −|X| ≤ X ≤ |X| suy ra

−E(X|F ) ≤ E(Y |F ) ≤ E(|X||F )

Tù đó ta có đieu phái chúng minh

tù đó theo bat đang thúc đau Bat đang thúc sau suy ra tù (6) và nh¾n xét

E(X|F1) là F2−đo đ oc.ư

1.2 Khái ni¾m tương thích và dN báo đưec.

1.2.1 Các σ -trưèng liên quan téi dãy bien ngau nhiên

Cho tr ócư quá trình ngau nhiên X = {X n , n ∈ N} Ký hi¾u σ ({X n ,

n ∈ N}) là σ -tr òngư bé nhat cúa A chúa tat cá các σ -tr òngư σ (Xn ), n

Đ%nh nghĩa 1.3 Dãy quá trình ngau nhiên X = {X n , n ∈ N} đ oc ư goi

là t ươ thích vói dãy các ng σ-tr òng ư {A n , n ∈ N} neu ∀n ∈ N thì X n là

A n -đo

đ oc ư

Đ%nh nghĩa 1.4 Ta nói rang V = {V n , A n−1 , n ∈ N}, A1 = A0 là dãy

dn báo đ oc ư neu V n là A n−1 -đo đ oc ư vói moi n ∈ N.

Rõ ràng, dãy dn báo đ ocư là dãy tươ thích Tat nhiên, ta luôn có X =ng

{X n , σ≤ n, n ∈ N} là dãy tươ thích Ng òing ư ta th òngư goi σ≤n là σ -tr òngư tn nhiên cúa dãy X = {X n , n ∈ N} Nó gom tat cá nhung bien

1.3 Thèi điem Markov và thèi điem dNng.

Tù nay ve sau ta luôn giu các giá thiet sau:

• Giá sú ( Ω, A , P) là không gian xác suat vói A chúa tat cá các t¾p có xác suat 0 (t¾p O đ oc ư goi là xác suat 0, neu ton tai A ∈

A sao cho P(A) = 0 và O ⊂ A) Trong tr òngư hop này, ta nói(Ω, A , P) là

không gian xác suat đay

Neu thêm vào đó P(τ < ∞) = 1, thì τ đ ocư goi là thòi điem dùng

Chú ý: τ là thòi điem Markov khi và chí khi:

{ω : τ(ω) = n} = {ω : τ(ω) ≤ n}|{ω : τ(ω) ≤ n− 1} ∈ A n

Ký hi¾u A τ là lóp gom tat cá các t¾p con A cúa Ω sao cho:

Như v¾y, A τ gom tat cá các bien co quan sát đ ocư tính đen thòi điem τ

De dàng chúng minh rang A τ là σ -tr òngư con cúa σ -tr òngư A Th¾t

Ví dn 1 Neu τ(ω) ≡ n (∈ N¯ ) thì hien nhiên τ là thòi điem Markov.

Ví dn 2.Giá sú {X n , n ∈ N} là dãy các bien ngau nhiên, và B là t¾p Borel

cúa

R Đ¾t:



τ B :=  min{n : X n ∈ B} neu ω ∈ n∈NS X n ∈ B ,

0 neu X n ∈/ B ∀n ∈ E

Khi đó τB là thòi điem Markov đoi vói {σ ≤n }, n ∈ N Chúng minh suy ra

∞ trong các tr òngư hop còn lai.

τ n đ ocư đ%nh nghĩa tươ tn Khi đo {ng τ n , n ∈ N} là dãy các thòi điem Markov đoi vói {σ ≤n }, n ∈ N Chúng minh đoi vói τ2 suy ra tù:

n

{τ2 ≤ n} = {τ2 ≤ n} ∩

{X k ∈ B2}

k>τ1

1.3.3 Các tính chat cúa thèi điem dNng

Tính chat 1.2 Giá sú τ là thòi điem Markov đoi vói{A n , n ∈ N} Khi dó

Can l u ư ý rang, nói chung, tù đieu ki¾n {τ < n} ∈ A n không suy ra đ oc ư τ

là thòi điem Markov.

Tính chat 1.3 Neu τ1, τ2 là các thòi điem Markov đoi vói {A n , n ∈ N}, thì

τ1 ∧ τ2 = min(τ1, τ2), τ1 ∨ τ2 = max(τ1, τ2)

và (τ1 + τ2) là thòi điem Markov đoi vói {A n , n ∈ N}

Th¾t v¾y chúng minh suy ra tù:

[

[

[

{ τ1 ∧ τ2 ≤ n} = { τ1 ≤ n} ∪ { τ2 ≤ n}

Th¾t v¾y, chúng minh suy ra tù

Tính chat 1.5 Neu τ là thòi điem Markov đoi vói {A n , n ∈ N}, thì τ ∈

≤ σ ) = 1 thì A τ ⊂ A σ

∈ A τ , ho¾c t ươ đ ng ươ A∩{τ ≤ n} ∈ A ng n , ta có:

Th¾t v¾y, theo tính chat 4, ta có: A τ ⊂

Tính chat 1.7 Neu τ1, τ2 là các thòi điem Markov đoi vói {A n , n ∈ N},

Th¾t v¾y, vói moi n ∈ N ta có:

Tính chat 1.8 Giá sú {X n , A n , n ∈ N} là dãu t ươ thích và τ là thòi ng



X τ(ω)(ω)neu ω ∈ {τ(ω) < ∞} ,

X τ : Ω → R, Xτ (ω)

là đo đ oc ư đoi vói A τ , túc là: X τ ∈ A τ

Vì {X n ∈ B} ∈ A n Đieu này chúng tó {X τ ∈ B} ∈ A τ , túc là X τ ∈ A τ

1.4 Quá trình Martingale rèi rac.

Các đ%nh nghĩa d óiư đây có hi¾u lnc khi thay t¾p so nguyên không âm

k

k

{

N = 0, 1, bang t¾p huu han (0, 1, , N), N ∈ N.

1.4.1 Đ%nh nghĩa.

Giá sú (Ω, A , P) là không gian xác suat Dãy X = {Xn , A n , n ∈ N},

đ ocư goi là: Martingale trên (đoi vói {A n , n ∈ N}) , neu:

(i) {X n , A n , n ∈ N} là dãy tươ thích;ng

(ii) E|X n | < ∞, ∀n ∈ N;

(iii) vói m ≤ n, m, n ∈ N E(X n |A ) ≤ X m , P− hau chac chan.

Martingale dưéi (đoi vói {A n , n ∈ N}) ,neu đieu ki¾n (i), (ii) đ ocư thnc hi¾n, và

(iii’) vói m ≤ n, m, n ∈ N E(X n |A m ) ≥ X m , P− hau chac chan.

Martingale (đoi vói {A n , n ∈ N}) , neu đieu ki¾n (i), (ii) đ ocư thnc

hi¾n, và (iii’) vói m ≤ n, m, n ∈ N E(X n |A m ) ≥ X m ,

P− hau chac chan.

Martingale (đoi vói {A n , n ∈ N}) , neu đieu ki¾n (i), (ii) đ ocư thnc

hi¾n, và (iii") vói m ≤ n, m, n ∈ N E(X n |A m ) = X m P- hau chac chan

Ví dn 1.2 Giá sú X là bien ngau nhiên nào đó có E|X| < ∞ và {A n , n ∈ N}

X n = E(X|A n)

là dãy martingale đoi vói A n , n ∈ N Th¾t v¾y, vì A n−1 ⊂ A n ta có

X n−1 = E(X|A n−1 ) = E(E(X|A n )|A n−1 ) = E(X n |A n−1)

Ví dn 1.3 Neu X = {X n , A , n ∈ N} là martingale và g là hàm loi vói E|g(X n )| < ∞, n ∈ N thì {g(X n ), A , n ∈ N} là martingale

g(X m ) = g(E(X n |A m )) ≤ E(g(X n )|A m ).

1.4.3 Các tính chat.

Tính chat 1.9 Neu X = {X n , A , n ∈ N} là martingale trên, thì hàm

Th¾t v¾y, vói m ≤ n ta có:

EX m = E(E|A m ) = EX n

Tính chat 1.10 Neu X = {X n , A , n ∈ N} là martingale d ói, ư thì hàm

Th¾t v¾y, vói m ≤ n ta có:

Tính chat 1.11 Neu X = {X n , A , n ∈ N} là martingale, thì E|X n | p , 1

≤

Th¾t v¾y, do |x| p , 1 ≤ p < ∞ là hàm loi, nên {|

X n n

gale d ói, ư vì the tù tính chat hai ta có tính chat ba.

, A , n ∈ N} là martin-

Tính chat 1.12 Giá sú X = {X n , A , n ∈ N} là martingale trên, và τ, σ

≤ N} = 1

Khi đó:

|

Túc là, P{ω ∈ {τ ≥ σ} : X σ ≤ E(X σ |A )} = 0.

Do đó:

X τ∧σ ≥ E(X σ |A τ∧σ ), P − hau chac chan. (1.4.3)

Th¾t v¾y, đau tiên ta chú ý rang:

¸

{τ=n }

¸

{τ=n }

Trên t¾p này X σ = X n , nên theo 1.1.3 (tính chat 8) ta có:

E(X τ |A σ ) = E(X τ |A n ), ({ σ = n}, P − hau chac

chan) Do đó chí can chí ra rang trên t¾p {σ = n} ∩ {τ ≥ n}

X n ≥ E(X τ |A n ), P − hau chac chan.

Trong đó bat đang thúc sau cùng đ oc ư thnc hi¾n là do: (X n ) là

martingale trên, nên trên t¾p:

Ta

ho¾c t ươ đ ng ươ ng:

Tiep tnc bat đang thúc (1.4.4) ta đ oc: ư

Tính chat 1.13 Neu X = {X n , A , n ∈ N} là martingale trên và τ, σ là

τ ≤ N} = 1

Khi đó:

EX0 ≥ EX σ ≥ EX τ ≥ EX N

• Giá sú X = {X n , A , n ∈ N} là martingale d ói,v ư à τ, σ là hai

EX0 ≥ EX σ ≥ EX τ ≥ EX N

• Giá sú X = {X n , A , n ∈ N} là martingale d ói, ư và τ, σ là hai

N

0, 1, , N} là martingale d ói, ư nên theo khang đ%nh thú hai thì

Tính chat 1.14 Neu X = {X n , A , n ∈ N} là martingale và τ, σ là hai

Chúng minh Th¾t v¾y, ta thay:

Chương 2

Úng dnng

2.1 Bài toán Gambler và Martingale

Bài toán Gambler Hai đau thú A và B ch iơ m®t trò ch iơ như sau: tung

m®t đong xu neu đong xu ngúa thì đau thú A đ ocư 1 đong ng oc laiư đau

thú A mat 1 đong Giá sú rang, so tien ban đau cúa các đau thú A và B là

Neu đau thú A thang thì đau thú B het tien, ng oc ư lai, đau thú B thang thì đau thú A het tien Vì v¾y ta chí quan tâm đen tien cúa đau thú A.

Kí hi¾u X i là so tien mà đau thú đ ocư đ ocư ó lan tung thú i Khi đó.

P(X i = 1) = p, P(X i = −1) = q vói q = 1 − p và E(X i ) = p−q.

Tong so tien sau lan gieo thú n cho bói

S n = X1 + X2 + · · · + X n

Tính chat 2.1 So tien trung bình sau lan gieo thú n + 1 Khi cho bói l

thì E[S n+1|F n ] = S n tương úng tr òng hop ư này trò

ch iơ dien ra công bang và {S n , n ≥ 0} là martingale.

• Neu p > q thì E[S n+1|F n ] > S n tươ úng tr òngng ư hop này {S n , n ≥ 0} là martingale d ói.ư

• Neu p < q thì E[S n+1|F n ] < S n tươ úng tr òngng ư hop này {S n , n ≥ 0} là martingale trên.

Tính chat 2.2 Trong tr òng ư hop dien ra công bang, túc là {S n , F, n ≥ 0}

là martingale vói {F n = σ (X1, X2, , X n )} Khi đó {Y n = S2 − n, n ≥ 0}

2

n

cùng là martingale đoi vói F, n ≥ 1.

Chúng minh Vì Y n là hàm cúa X1, X2, , X n nên Y n là F n-đo đ oc.ưVì

|Y n | ≤ n + n2 nên Y n là khá tích Đe chúng minh {Y n } là martingale ta phái chí ra E[S n+1|F n ] = Y n chúng ta có

Tính chat 2.3 Trong trò ch i ơ Gambler tong quát, túc là xác suat đau thú A

đ oc ư tien hay lan gieo thú i là P(X i = 1) = p , xác suat đau thú A mat tien ó lan gieo thú i là P(X i = −1) = q Đ¾t S n = X1 + X n và đ%nh nghĩa

q

S n

Z n = (

p ) , n ≥ 1.

Khi đó {Z n , n ≥ 1} là martingale đoi vói F = σ (X1, X2, , X n ).

Chúng minh Vì Z n là hàm cúa X1, X2, , X n nên Z n là F n-đo đ oc.ưM¾t

q n p n khác, |Z n | ≤ |

p |

đieu ki¾n

+ |

q J

nên Z n là khá tích vói moi n chúng ta kiem tra E[Z n+1|F n ] = Z n

n+ 1

n+ 1

n+ 1

n+ 1

không thú v% gì Tuy nhiên, chúng ta có the dùng cu®c ch iơ khi so tienđat đen 100 Đây chính

là thòi điem dùng

T = min{n : S n = 100}.

Tính chat 2.4 Đ¾t S n = X1 + X2 + · · · + X n , n ≥ 1 là so tien thu đ oc ư đen lan gieo thú n Khi đó T = min{n : S n = 100} là thòi điem dùng đoi vói σ-tr òng ư {F n = σ (X1, X2, , X n ), n ≥ 1}.

Chúng minh Vói moi n, ta có

{S k = 100} ∈ F n

k=1

[

Đ%nh lý 2.1 Neu {Z n , n ≥ 0} là martingale đoi vói {F n , n ≥ 1}, khi

Đ¾c bi¾t E[Z T ∧n ] = E[Z0]

Đ%nh lý 2.2 Optional Stopping theorem Cho Z0, Z2, là martingale và

đ oc ư thóa mãn:

i, T là b% ch¾n, túc là ton tai so nguyên m sao cho T (ω) ≤ m

}

ii, {Z T∧n , n ≥ 0} là b% ch¾n, túc là ton tai hang so k sao cho |Z T∧n | ≤ k

E[Z T ] = E[Z T ∧n ] = E[Z0].

ii, Vì |Z T ∧n | ≤ k là b% ch¾n vói moi n nên ta có

E[Z T ] = lim E[Z T n ] = E[Z0].

2.3 Áp dnng Optional Stopping theorem.

Xét bài toán ó mnc 2.1 Giá sú rang ho se ch iơ cho đen khi m®t tronghai ng òiư ho phá sán Van đe đ¾t ra là xác đ%nh xác suat đe đau thú A

phá sán và trung bình so lan gieo

Đ¾t Sˆ n là so tien cúa đau thú A sau lan gieo thú n Khi đó

= min{n : S n = −a ho¾c S n = a + b}

Chúng ta đã biet, {S n , n ≥ 0} là martingale Vì S Y = −a ho¾c S T = b

nên chúng ta có

P(S T = −a) + P(S T = b) = 1 (2.3.1)

Chú ý rang { đau thú A là phá sán} = {S T = −a}.

Vì v¾y |S T∧n | ≤ a + b ∀n ≥ 1, theo đ%nh ngĩa Doob ta có E[S T ] =

Trung bình so lan gieo E[T ].

Chúng ta đã biet, Y n = S2 − n, n ≥ 0 là quá trình martingale vì v¾y quá

trình

dùng Y T n = S2 − (T ∧ n) cũng là martingale Vì v¾y, chúng ta có

n

∧ T∧n

E[Y T ∧n ] = E[Y T∧n ] = E[T ∧ n] = 0.

2

+ b2

·

a

a + b

= a · b

V¾y trung bình so lan gieo là E[T ] = a · b

Đ%nh lý 2.3 Xét du đ®ng ngau nhiên {S n , n ≥ 0} vói 0 < S0 = k < N sao cho S n = S0 + X1 + X2 · · · X n vói P(X i = 1) = p, P(X i = −1) =

q, p = 1 − q Giá sú p ƒ= q Khi đó xác suat đe du đ®ng cham 0 túc khi cham N là

đau tiên du đ®ng cham 0 ho¾c N Khi đó S T = 0 có nghĩa là du đ®ngcham 0 tr ócư khi cham N và S T = N du đ®ng cham N tr ócư khi cham 0.Vì

= P(S T = 0) +

p )

(1 − P(S T = 0)).

KET LU¾N

Thnc t¾p chuyên ngành vói đe tài:“ Martingale rèi rac và Nng dnng”,

em đã nghiên cúu đ ocư các n®i dung chú yeu sau:

1 Martingale ròi rac

2 Úng dnng

Ngoài sn no lnc hoc hói và tìm tòi cúa bán thân, đe tài cúa em đã

đ ocư hoàn thành d óiư sn giúp đõ, h óngư dan chí báo t¾n tình cúaTS.Tran Minh T ócư và ý kien đóng góp cúa các thay cô trong khoa Toán

và các ban sinh viên Đe tài thnc t¾p cơ bán đã đat đ ocư mnc đích đe ra

Nó đã mang lai sn can thiet và nhung loi ích cúa thnc t¾p chuyên ngànhnói chung và vi¾c đào tao Cú nhân ngành Toán nói riêng, góp phantrong sn phát trien cúa Toán hoc Tuy nhiên do thòi gian có han và móibat đau làm quen vói phươ pháp nghiên cúu khoa hoc nên đe tài nàyngcũng không tránh khói thieu sót Em rat mong đ ocư sn chí báo, đóng góp

ý kien cúa thay cô và các ban đe đe tài này đ ocư hoàn thi¾n h n.ơ Em xinchân thành cám n!ơ

Hà n®i, ngày 10 tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Pham Th% Lan Anh