Tích chập suy rộng fourier cosine, fourier sine thời gian rời rạc và ứng dụng tt

Tø â x¥y düng c¡c t½ch chªp suy rëng èi vîi c¡c ph²p bi¸n êiFourier cosine, Fourier sine thíi gian ríi r¤c v t½ch chªp vîi ph²p bi¸n êiFourier cosine thíi gian ríi r¤c.. ¡nh gi¡ c¡c b§t

BË GIO DÖC V€ €O T„OTR×ÍNG „I HÅC BCH KHOA H€ NËI

NGUY™N ANH €I

TCH CHŠP SUY RËNG FOURIER COSINE, FOURIER SINE THÍI GIAN RÍI R„C

Cæng tr¼nh ÷ñc ho n th nh t¤i:

TR×ÍNG „I HÅC BCH KHOA H€ NËI

Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: PGS.TS NGUY™N XU…N THƒO

Ph£n bi»n 1: Ph£n bi»n 2: Ph£n bi»n 3:

Luªn ¡n ÷ñc b£o v» tr÷îc Hëi çng ¡nh gi¡ luªn ¡n ti¸n s¾ c§p Tr÷íng håp t¤i ¤i håc B¡ch Khoa H  Nëi

V o hçi gií, ng y th¡ng n«m 2020.

Câ thº t¼m hiºu luªn ¡n t¤i th÷ vi»n:

1 Th÷ vi»n T¤ Quang Bûu - Tr÷íng HBK H  Nëi

2 Th÷ vi»n Quèc gia Vi»t Nam

Danh möc c¡c cæng tr¼nh ¢ cæng bè cõa

Luªn ¡n

1 N A Dai and N X Thao (2018), Generalized convolutions with function for discrete-time Fourier cosine and sine transforms, AnnalesUniv Sci Budapest., Sect Comp., Vol 47, pp 227-237

weight-2 N.X Thao, V.K Tuan and N.A Dai (2018), Discrete-time Fourier sine convolution, Int Trans & Spec Funct (SCIE), Vol.29(11), pp.866-874

co-3 N.X Thao and N.A Dai (2018), Discrete-time Fourier sine integraltransform, J Math Appl., Vol.16(2), pp 51-62

4 N.X.Thao, V.K.Tuan and N.A Dai (2020), A discrete convolution volving Fourier sine and cosine series and its applications, Int Trans

in-& Spec Funct (SCIE), Vol 31(3), pp 243-252

MÐ †U

1 Làch sû v§n · v  l½ do lüa chån · t i

A Ph²p bi¸n êi t½ch ph¥n èi vîi lîp h m kh£ t½ch

Ph²p bi¸n êi Fourier câ d¤ng

(Fcf )(y) = Fc[f ](y) =

r2π

f (u)[g(|x − u|) − g(x + u)]du, x > 0 (0.15)

Ph÷ìng tr¼nh Toeplitz-Hankel têng qu¡t èi vîi lîp h m kh£ t½ch

°c bi»t câ thº gi£i ÷ñc v  cho nghi»m d÷îi d¤ng âng

B Bi¸n êi Fourier thíi gian ríi r¤c vîi lîp h m kh£ têng

Bi¸n êi Fourier thíi gian ríi r¤c èi vîi d¢y t½n hi»u x(n) ÷ñc x¡c ànhbði

X(eiω)eiωndω, ω ∈ [−π, π], (0.21)

trong â ω l  bi¸n thüc, c¡c t½n hi»u ¦u v o x(n) khæng phö thuëc v o ω.T½ch chªp vîi lîp h m kh£ têng

T½ch chªp èi vîi bi¸n êi Fourier thíi gian ríi r¤c cõa hai d¢y x(n) v y(n) câ d¤ng nh÷ sau

FDT{x(n) ∗ y(n)}(eiω) =FDT{x(n)}(eiω) ·FDT{y(n)}(eiω), (0.23)vîi x(n), y(n) ∈ C, −∞ < n < ∞, v  ¯ng thùc Parseval

vîi y∗(n) l  li¶n hñp phùc cõa y(n) v  câ Y∗(e−iω) =FDT{y∗(n)}.

Cho tîi nay v¨n ch÷a câ cæng tr¼nh n o v· ph²p bi¸n êi thíi gian ríi r¤cnâi chung v  bi¸n êi Fourier cosine thíi gian ríi r¤c, Fourier sine thíi gianríi r¤c nâi ri¶ng công nh÷ b§t ¯ng thùc t½ch chªp suy rëng thíi gian ríi r¤c

v  ph²p bi¸n êi kiºu t½ch chªp suy rëng thíi gian ríi r¤c công ch÷a h· ÷ñcnh­c tîi

Tr¶n cì sð â v  º ph¡t triºn h÷îng nghi¶n cùu n y chóng tæi chån ·

t i cho Luªn ¡n vîi t¶n gåi "T½ch chªp suy rëng Fourier cosine ríi r¤c v ùng döng"

2 Möc ½ch, èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu

• Möc ½ch: Nghi¶n cùu bi¸n êi Fourier cosine thíi gian ríi r¤c v  bi¸n

êi Fourier sine thíi gian ríi r¤c vîi c¡c d¢y t½n hi»u ban ¦u l  c¡c d¢y ch®nl´ èi xùng Tø â x¥y düng c¡c t½ch chªp suy rëng èi vîi c¡c ph²p bi¸n êiFourier cosine, Fourier sine thíi gian ríi r¤c v  t½ch chªp vîi ph²p bi¸n êiFourier cosine thíi gian ríi r¤c ¡nh gi¡ c¡c b§t ¯ng thùc t½ch chªp suyrëng, t½ch chªp thíi gian ríi r¤c v  ùng döng gi£i mët sè lîp ph÷ìng tr¼nhToeplitz-Hankel ríi r¤c

• èi t÷ñng: T½ch chªp suy rëng, t½ch chªp, b§t ¯ng thùc t½ch chªp suyrëng, bi¸n êi kiºu t½ch chªp suy rëng èi vîi c¡c bi¸n êi t½ch ph¥n Fouriercosine, Fourier sine thíi gian ríi r¤c v  ph÷ìng tr¼nh Toeplitz - Hankel ríir¤c

• Ph¤m vi nghi¶n cùu: L  t½ch chªp suy rëng, t½ch chªp, ph²p bi¸n êikiºu t½ch chªp suy rëng Fourier cosine thíi gian ríi r¤c, ph²p bi¸n êi kiºut½ch chªp suy rëng Fourier sine thíi gian ríi r¤c; c¡c b§t ¯ng thùc t½chchªp suy rëng Fourier cosine v  Fourier sine thíi gian ríi r¤c; ph÷ìng tr¼nhToeplitz-Hankel ríi r¤c

3 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu

Trong Luªn ¡n sû döng c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i t½ch h m, ph÷ìng ph¡pto¡n tû, ph÷ìng ph¡p bi¸n êi t½ch ph¥n B¶n c¤nh â, ph÷ìng ph¡p bi¸n

êi thíi gian ríi r¤c công ÷ñc sû döng

4 C§u tróc v  c¡c k¸t qu£ cõa Luªn ¡n

Ngo i ph¦n Mð ¦u, K¸t luªn v  T i li»u tham kh£o, Luªn ¡n ÷ñc tr¼nh

b y trong ba ch÷ìng sau:

Ch÷ìng 1: Ki¸n thùc chu©n bà Trong ch÷ìng n y, chóng tæi nh­c l¤inhúng ki¸n thùc c¦n dòng trong Luªn ¡n Cö thº l  c¡c d¢y t½n hi»u thíigian ríi r¤c, h» thèng t½n hi»u, h» thèng tuy¸n t½nh b§t bi¸t thíi gian, t½ch

chªp cõa h» thèng tuy¸n t½nh b§t bi¸n thíi gian, bi¸n êi Fourier thíi gianríi r¤c v  nhúng ành lþ, m»nh · câ li¶n quan ¸n Luªn ¡n.

Ch÷ìng 2: T½ch chªp suy rëng Fourier cosine, Fourier sine thíi gianríi r¤c Trong ch÷ìng n y chóng tæi x¥y düng c¡c bi¸n êi Fourier cosine,Fourier sine thíi gian ríi r¤c, t½ch chªp suy rëng v  t½ch chªp èi vîi bi¸n êi

â Nghi¶n cùu t½nh ch§t to¡n tû cõa c¡c t½ch chªp suy rëng n y nh÷ sü tçnt¤i, t½nh bà ch°n, ¯ng thùc nh¥n tû hâa, ¯ng thùc Parseval Nghi¶n cùu c¡cb§t ¯ng thùc èi vîi c¡c t½ch chªp suy rëng thíi gian ríi r¤c li¶n quan tîic¡c bi¸n êi Fourier cosine v  Fourier sine thíi gian ríi r¤c tr¶n c¡c khænggian d¢y Nhªn ÷ñc ành lþ kiºu Young ríi r¤c, b§t ¯ng thùc kiºu Youngríi r¤c v  c¡c ¡nh gi¡ c¡c b§t ¯ng thùc chu©n èi vîi c¡c t½ch chªp suyrëng, t½ch chªp â

Ch÷ìng 3: Ph²p bi¸n êi kiºu t½ch chªp suy rëng thíi gian ríi r¤c v ph÷ìng tr¼nh Toeplitz-Hankel ríi r¤c Trong ch÷ìng n y chóng tæi nghi¶n cùumët sè ph²p bi¸n êi t½ch ph¥n kiºu t½ch chªp suy rëng, t½ch chªp li¶n quantîi c¡c t½ch chªp suy rëng Fourier cosine, Fourier sine thíi gian ríi r¤c x¥ydüng ÷ñc trong Ch÷ìng 2, nhªn ÷ñc i·u ki»n c¦n v  õ º c¡c ph²p bi¸n

êi kiºu t½ch chªp suy rëng â l  unita Mët sè ùng döng cõa c¡c t½ch chªp,t½ch chªp suy rëng ¢ x¥y düng ÷ñc v o vi»c gi£i v  ¡nh gi¡ nghi»m cõamët v i lîp cõa ph÷ìng tr¼nh, h» ph÷ìng tr¼nh Toeplitz-Hankel ríi r¤c

5 Þ ngh¾a c¡c k¸t qu£ ¤t ÷ñc trong Luªn ¡n

X¥y düng c¡c t½ch chªp suy rëng, t½ch chªp suy rëng vîi h m trång v t½ch chªp mîi èi vîi c¡c bi¸n êi Fourier cosine thíi gian ríi r¤c v  bi¸n êiFourier sine thíi gian ríi r¤c, tø â nghi¶n cùu c¡c ph²p bi¸n êi kiºu t½chchªp suy rëng, t½ch chªp thíi gian ríi r¤c

Nghi¶n cùu v  thi¸t lªp ÷ñc nhúng b§t ¯ng thùc chu©n èi vîi c¡c t½chchªp suy rëng, t½ch chªp thíi gian ríi r¤c mîi x¥y düng ÷ñc, c¡c ành lþkiºu Young ríi r¤c, ành lþ kiºu Titchmarch Tø â nhªn ÷ñc ùng döng gi£i

v  ¡nh gi¡ nghi»m cõa mët sè lîp ph÷ìng tr¼nh Toeplitz-Hankel ríi r¤c.Gâp ph¦n l m phong phó th¶m v· lþ thuy¸t c¡c bi¸n êi thíi gian ríi r¤c,b§t ¯ng thùc t½ch chªp suy rëng v  b§t ¯ng thùc t½ch chªp

Nëi dung ch½nh cõa Luªn ¡n düa tr¶n 4 cæng tr¼nh ¢ cæng bè, trong â

câ 2 b i «ng tr¶n t¤p ch½ khoa håc thuëc danh möc ISI, 1 b i «ng tr¶n t¤pch½ quèc t¸ v  1 b i thuëc t¤p ch½ quèc gia

Ch÷ìng 1 TÊNG QUAN V— BI˜N ÊI FOURIER THÍI GIAN

RÍI R„C

1.1 T½n hi»u thíi gian ríi r¤c v  h» thèng

1.1.1 T½n hi»u thíi gian ríi r¤c

T½n hi»u thíi gian ríi r¤c ÷ñc biºu di¹n to¡n håc d÷îi d¤ng c¡c d¢y sè.Mët d¢y sè x, trong â sè thù n cõa d¢y ÷ñc k½ hi»u l  x(n), ÷ñc vi¸t ðd¤ng nh÷ sau

Mët h» thèng thíi gian ríi r¤c ÷ñc °c tr÷ng bði mët to¡n tû T l  nhi»m

vö bi¸n êi d¢y v o x(n) th nh d¢y ra y(n) Chóng ta câ thº sû döng hailo¤i kþ hi»u to¡n sû sau:

ho°c

x(n)−→ y(n).TKhi h» thèng l  h» thèng tuy¸n t½nh v  b§t bi¸n, ta câ quan h» sau:

T [δ(n)] = h(n),

ð ¥y X(ω) l  h m tu¦n ho n chu ký 2π, d¢y t½n hi»u ¦u v o x(n) câ thº

l  thüc ho°c phùc (thæng th÷íng ta x²t tîi l  c¡c t½n hi»u phùc)

1.2.2 T½nh ch§t cõa bi¸n êi

Ch÷ìng 2 TCH CHŠP SUY RËNG FOURIER COSINE, SINE

THÍI GIAN RÍI R„C

2.1 Bi¸n êi Fourier cosine v  Fourier sine

thíi gian ríi r¤c

2.1.1 Chu©n cõa d¢y thíi gian ríi r¤c

Cho `p(N0), 1 ≤ p ≤ ∞, l  khæng gian d¢y c¡c sè phùc x := {x(n)}n≥0

÷ñc trang bà vîi chu©n

Ð â, Xc(ω) l  h m tu¦n ho n chu ký 2π

V  cæng thùc bi¸n êi ng÷ñc cõa bi¸n êi Fourier cosine thíi gian ríi r¤c

Ð ¥y ||.||p l  chu©n p cõa Lp(0, π).

ành ngh¾a 2.1.2 Bi¸n êi Fourier sine thíi gian ríi r¤c cõa d¢y x :={x(n)}n≥0 ∈ C ÷ñc x¡c ành bði

kxk2 =

r2

π kXsk2

2.2 T½ch chªp suy rëng Fourier sine thíi gian

ríi r¤c

2.2.1 T½ch chªp suy rëng Fourier sine thíi gian ríi r¤c

ành ngh¾a 2.2.1 T½ch chªp suy rëng Fourier sine thíi gian ríi r¤c cõa haid¢y x(n) v  y(n) l  d¢y (x ∗

ành lþ 2.2.1 Cho x(n) ∈ `o

2(N0) v  y(n) ∈ `2(N0) Th¼ t½ch chªp suy rëng(2.13) thuëc khæng gian `o

H» qu£ 2.2.1 (B§t ¯ng thùc kiºu Young ríi r¤c) °t p, q, r > 1, thäam¢n i·u ki»n 1

p + 1q = 1 + 1r N¸u x(n) ∈ `o

p(N0), y(n) ∈ `q(N0), th¼(x ∗

2.2.2 T½ch chªp suy rëng Fourier sine thíi gian ríi r¤c

1(N0, en) l  khæng gian con cõa `1(N0, en) khi x(0) = 0

ành lþ 2.2.5 (ành lþ kiºu Titchmarch) Cho c¡c ¡p ùng xung x(n), y(n)

l  c¡c d¢y ¢ bi¸t thuëc `o

1(N0, en) Khi â (x ∗γ

FsDTy)(n) ≡ 0 khi v  ch¿ khix(n) ≡ 0 ho°c y(n) ≡ 0 vîi måi n ≥ 0

2.3 T½ch chªp suy rëng Fourier cosine thíi

ành lþ 2.3.3 (ành lþ kiºu Young ríi r¤c) Cho p, q, r > 1, thäa m¢n

H» qu£ 2.3.1 (B§t ¯ng thùc kiºu Young ríi r¤c) °t p, q, r > 1, thäam¢n i·u ki»n 1

p + 1q = 1 + 1r N¸u x(n) ∈ `o

p(N0), y(n) ∈ `o

q(N0), th¼(x ∗

2.3.2 T½ch chªp suy rëng Fourier cosine thíi gian ríi

2.4 T½ch chªp Fourier cosine thíi gian ríi r¤c

ành ngh¾a 2.4.1 T½ch chªp Fourier cosine thíi gian ríi r¤c cõa hai d¢yx(n) v  y(n) l  mët d¢y (x ∗o

`op(N0) vîi p = 1, 2.

ˆ Chùng minh c¡c b§t ¯ng thùc chu©n cõa c¡c t½ch chªp suy rëng,t½ch chªp tr¶n c¡c khæng gian `p(N0) v  `o

p(N0), p = 1, 2; ành lþ kiºuTitchmarch ríi r¤c cho c¡c t½ch chªp suy rëng; t½ch chªp thíi gian ríir¤c; ành lþ kiºu Young ríi r¤c, b§t ¯ng thùc kiºu Young ríi r¤c vîit½ch chªp suy rëng Fourier sine thíi gian ríi r¤c v  t½ch chªp suy rëngFourier cosine thíi gian ríi r¤c

Ch÷ìng 3 PH’P BI˜N ÊI KIšU TCH CHŠP SUY RËNG THÍI GIAN RÍI R„C V€ PH×ÌNG TRœNH

TOEPLITZ-HANKEL RÍI R„C

3.1 Ph²p bi¸n êi kiºu t½ch chªp suy rëng

Fourier sine, Fourier cosine thíi gian ríi r¤c

3.1.1 Ph²p bi¸n êi kiºu t½ch chªp suy rëng Fourier

sine thíi gian ríi r¤c

X²t bi¸n êi kiºu t½ch chªp suy rëng Fourier sine thíi gian ríi r¤c èi vîic¡c d¢y t½n hi»u ¦u v o x(n) v  t½n hi»u ¦u ra y(n) câ d¤ng nh÷ sau

TsDT : x 7→x ∗

F sDT

ky(n) =TsDT{x(n)} =

3.1.2 Ph²p bi¸n êi kiºu t½ch chªp suy rëng Fourier

cosine thíi gian ríi r¤c

X²t bi¸n êi kiºu t½ch chªp suy rëng Fourier cosine thíi gian ríi r¤c èivîi d¢y t½n hi»u ¦u v o x(n) v  t½n hi»u ¦u ra y(n) d¤ng

TcDT : x 7→ k ∗

F cDT

x,y(n) = TcDT{x(n)} =

ð ¥y d¢y k(n) ÷ñc gåi l  nh¥n cõa bi¸n êi thíi gian ríi r¤c

ành lþ 3.1.2 (ành lþ kiºu Watson ríi r¤c) i·u ki»n c¦n v  õ ºbi¸n êi TcDT trong cæng thùc (3.6) l  unita trong `o

V½ dö 3.1.2 Ta công câ kn = 2n

(4n2 − 1)π

h(−1)n + i

i, n ≥ 0 Th¼

FsDT{k(n)}(ω) = 2ieiω v  |FsDT{k(n)}(ω)| = 12 Do â, bi¸n êi t½ch chªp(3.6) l  unita trong `o

2(N0)

3.1.3 Ph²p bi¸n êi kiºu t½ch chªp Fourier cosine thíi

ð ¥y, d¢y k(n) ÷ñc gåi l  nh¥n cõa bi¸n êi thíi gian ríi r¤c

ành lþ 3.1.3 [ành lþ kiºu Watson ríi r¤c] i·u ki»n c¦n v  õ º bi¸n

êi TocDT trong (3.11) l  uinta trong l2(N0) l 

|Kc(ω)| ≡ |FcDT{k(n)}(ω)| = 1

2, ω ∈ [0, π]. (3.12)Hìn núa, bi¸n êi ng÷ñc câ d¤ng

2e2iω v  |FcDT{k(n)}(ω)| = 1

2 Do â,ph²p bi¸n êi kiºu t½ch chªp Fourier cosine thíi gian ríi r¤c (3.11) l  unitatrong `2(N0)

Trong möc n y, chóng tæi gi£i mët sè lîp ph÷ìng tr¼nh tr¶n vîi c¡c tr÷ínghñp °c bi»t cõa nh¥n v  v¸ ph£i.

3.2.1 Ph÷ìng tr¼nh Toeplitz-Hankel ríi r¤c vîi nh¥n

°c bi»t

X²t ph÷ìng tr¼nh Toeplitz-Hankel ríi r¤c têng qu¡t (3.16), trong â nh¥n

k1(n) v  k2(n) l  tròng nhau k1(n) = k2(n) = k(n) Khi â ph÷ìng tr¼nh câd¤ng:

Ð â k(n), h(n) ∈ `1(N0) l  c¡c d¢y ¢ bi¸t v  x(n) ∈ `1(N0) l  d¢y c¦n t¼m

º thuªn ti»n cho vi»c gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh v  h» ph÷ìng tr¼nh sau n y,

FcDT{z(n)}(ω) = 1

FcDT{x(n)}(ω).a) C¡c ph÷ìng tr¼nh d¤ng

ành lþ 3.2.1 Cho k(n), z(n) ∈ `1(N0), v  FcDT{k(n)}(ω) 6= 0 vîi méi

ω ∈ [0, π] Khi â ph÷ìng tr¼nh Toeplitz-Hankel d¤ng (3.18) câ nghi»m duynh§t x(n) ∈ `1(N0)

z(n) = −1 + (−1)n

πn2 , n ≥ 1 v  z(0) = π2

2 .Khi â ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m duy nh§t x(n) ∈ `1(N0) ð d¤ng

z(n) = −1 + (−1)n

πn2 , n ≥ 1 v  z(0) = π2

2 .Khi â ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m duy nh§t thuëc `1(N0) câ d¤ng

n

n2 , n ≥ 1 v  z(0) = −π + 4π3

3 .Khi â ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m duy nh§t thuëc `1(N0) câ d¤ng

x(n) = −2 + 2(−1)n

πn2 , n ≥ 1 v  x0 = −π + π2.b) Ta x²t ph÷ìng tr¼nh Toeplitz - Hankel ríi r¤c câ d¤ng nh÷ sau:

ð ¥y c¡c d¢y nh¥n k1(n), k2(n) l  tòy þ v  v¸ ph£i thäa m¢n i·u ki»n chotr÷îc.

ð â l(n) ∈ `1(N0), x¡c ành bði

l(n) =

r12π

ành lþ 3.2.7 N¸u u(n), z(n), v(n), w(n) ∈ `1(N0) v  thäa m¢n i·u ki»n

2(N0) v  ph²p bi¸n êi kiºu t½ch chªp Fouriercosine thíi gian ríi r¤c l  unita trong `2(N0) v  thi¸t lªp cæng thùc ph²p bi¸n

êi ng÷ñc çng thíi ch¿ ra c¡c v½ dö cö thº minh håa cho sü tçn t¤i cõa c¡cph²p bi¸n êi ¢ nghi¶n cùu, l m rã hìn sü tçn t¤i cõa c¡c ph²p bi¸n êikiºu t½ch chªp thíi gian ríi r¤c

• Gi£i ra nghi»m biºu di¹n qua c¡c t½ch chªp suy rëng v  t½ch chªp mîix¥y düng ÷ñc cõa lîp c¡c ph÷ìng tr¼nh Toeplitz-Hankel ríi r¤c vîi nh¥n

°c bi»t, ph÷ìng tr¼nh Toeplitz-Hankel ríi r¤c vîi nh¥n b§t ký v  v¸ ph£i

°c bi»t, ÷a ra mët sè v½ dö cö thº cõa ph÷ìng tr¼nh Toeplitz-Hankel ríir¤c vîi nh¥n °c bi»t Mët sè h» ph÷ìng tr¼nh ph÷ìng tr¼nh Toeplitz-Hankelríi r¤c nh÷ h» (3.50), (3.58) v  h» (3.66) công gi£i ra nghi»m thæng qua c¡ct½ch chªp suy rëng, t½ch chªp thíi gian ríi r¤c â ¡nh gi¡ nghi»m cõa c¡cph÷ìng tr¼nh qua mët sè b§t ¯ng thùc èi vîi t½ch chªp suy rëng Fouriercosine thíi gian ríi r¤c, t½ch chªp suy rëng Fourier sine thíi gian ríi r¤c v t½ch chªp Fourier cosine thíi gian ríi r¤c mîi x¥y düng ÷ñc

K˜T LUŠN V€ KI˜N NGHÀ

C¡c k¸t qu£ ch½nh cõa luªn ¡n ¤t ÷ñc:

1 X¥y düng mët sè t½ch chªp suy rëng, t½ch chªp suy rëng câ trång v t½ch chªp èi vîi c¡c bi¸n êi Fourier cosine v  Fourier sine thíi gian ríir¤c Tø â, tr¶n mët sè khæng gian h m x¡c ành ta nhªn ÷ñc mët sèt½nh ch§t to¡n tû, b§t ¯ng thùc chu©n, ¯ng thùc nh¥n tû hâa, ¯ngthùc Parseval, ành lþ kiºu Titchmarch v  ành lþ kiºu Young, b§t ¯ngthùc kiºu Young èi vîi t½ch chªp suy rëng Fourier sine, Fourier cosinethíi gian ríi r¤c

2 Nhªn ÷ñc i·u ki»n c¦n v  õ º c¡c ph²p bi¸n êi kiºu t½ch chªp suyrëng èi vîi c¡c bi¸n êi Fourier cosine v  Fourier sine thíi gian ríi r¤c

l  unita trong khæng gian `o

2(N0), ph²p bi¸n êi kiºu t½ch chªp Fouriercosine thíi gian ríi r¤c l  unita trong khæng gian `2(N0), thi¸t lªp cængthùc bi¸n êi ng÷ñc Tø â cho v½ dö minh håa sü tçn t¤i cõa lîp ph²pbi¸n êi kiºu t½ch chªp suy rëng, kiºu t½ch chªp thíi gian ríi r¤c n¶utr¶n

3 Thi¸t lªp mët sè b§t ¯ng thùc èi vîi c¡c t½ch chªp suy rëng Fouriercosine, t½ch chªp suy rëng Fourier sine thíi gian ríi r¤c, t½ch chªp suyrëng Fourier cosine, Fourier sine thíi gian ríi r¤c câ trång v  t½ch chªpFourier cosine thíi gian ríi r¤c trong c¡c khæng gian `2(N0), `o

2(N0).Gi£i v  ¡nh gi¡ nghi»m cõa mët sè lîp ph÷ìng tr¼nh, h» ph÷ìng tr¼nhToeplitz-Hankel ríi r¤c