Tích chập suy rộng fourier cosine, fourier sine thời gian rời rạc và ứng dụng

PH’P BI˜N ÊI KIšU TCH CHŠP SUY RËNG THÍI GIAN RÍI R„C V€ PH×ÌNG TRœNH TOEPLIZT-HANKEL RÍI 3.1 Ph²p bi¸n êi kiºu t½ch chªp suy rëng Fourier sine, Fourier cosine thíi gian ríi r¤c... Hçng

BË GIO DÖC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC BCH KHOA H€ NËI

NGUY™N ANH €I

TCH CHŠP SUY RËNG FOURIER COSINE, FOURIER SINE THÍI GIAN RÍI R„C

V€ ÙNG DÖNG

LUŠN N TI˜N Sž TON HÅC

H  Nëi - 2020

BË GIO DÖC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC BCH KHOA H€ NËI

NGUY™N ANH €I

TCH CHŠP SUY RËNG FOURIER COSINE, FOURIER SINE THÍI GIAN RÍI R„C

MÖC LÖC

MÖC LÖC 1

LÍI CAM OAN 4

LÍI CƒM ÌN 5

DANH MÖC CC KÞ HI›U V€ CHÚ VI˜T TT 7

MÐ †U 10

Ch÷ìng 1. BI˜N ÊI FOURIER THÍI GIAN RÍI R„C 20 1.1 T½n hi»u thíi gian ríi r¤c v  h» thèng 20

1.1.1 T½n hi»u thíi gian ríi r¤c 20

1.1.2 C¡c h» thèng tuy¸n t½nh b§t bi¸n 21

1.2 Bi¸n êi Fourier thíi gian ríi r¤c 24

1.2.1 ành ngh¾a 24

1.2.2 T½nh ch§t cõa bi¸n êi 25

1.2.3 ành lþ Wiener - Levy 28

Ch÷ìng 2. TCH CHŠP SUY RËNG FOURIER COSINE, FOURIER SINE THÍI GIAN RÍI R„C 29 2.1 Bi¸n êi Fourier cosine v  Fourier sine thíi gian ríi r¤c 30 2.1.1 Chu©n cõa d¢y thíi gian ríi r¤c 30

2.1.2 ành ngh¾a 30

2.1.3 T½nh ch§t 32

2.2 T½ch chªp suy rëng Fourier sine thíi gian ríi r¤c 35

2.2.1 T½ch chªp suy rëng Fourier sine thíi gian ríi r¤c 36

2.2.2 T½ch chªp suy rëng Fourier sine thíi gian ríi

r¤c vîi h m trång 43 2.3 T½ch chªp suy rëng Fourier cosine thíi gian ríi r¤c 49

2.3.1 T½ch chªp suy rëng Fourier cosine thíi gian

ríi r¤c 50 2.3.2 T½ch chªp suy rëng Fourier cosine thíi gian

ríi r¤c vîi h m trång 55 2.4 T½ch chªp Fourier cosine thíi gian ríi r¤c 64 Ch÷ìng 3. PH’P BI˜N ÊI KIšU TCH CHŠP SUY RËNG THÍI GIAN RÍI R„C V€ PH×ÌNG TRœNH TOEPLIZT-HANKEL RÍI

3.1 Ph²p bi¸n êi kiºu t½ch chªp suy rëng Fourier sine,

Fourier cosine thíi gian ríi r¤c 70 3.1.1 Ph²p bi¸n êi kiºu t½ch chªp suy rëng Fourier

sine thíi gian ríi r¤c 71 3.1.2 Ph²p bi¸n êi kiºu t½ch chªp suy rëng Fourier

cosine thíi gian ríi r¤c 73 3.1.3 Ph²p bi¸n êi kiºu t½ch chªp Fourier cosine

thíi gian ríi r¤c 75 3.2 Ph÷ìng tr¼nh Toeplitz-Hankel ríi r¤c 77

3.2.1 Ph÷ìng tr¼nh Toeplitz-Hankel ríi r¤c vîi nh¥n

°c bi»t 77 3.2.2 Ph÷ìng tr¼nh Toeplitz-Hankel vîi v¸ ph£i °c

bi»t 87 3.2.3 H» ph÷ìng tr¼nh Toeplitz-Hankel ríi r¤c 90

K˜T LUŠN V€ KI˜N NGHÀ 100

DANH MÖC CÆNG TRœNH ‚ CÆNG BÈ CÕA LUŠN N 102

T€I LI›U THAM KHƒO 103

LÍI CAM OAN

Luªn ¡n n y ÷ñc vi¸t düa tr¶n nhúng nghi¶n cùu cõa t¡c gi£ t¤i Tr÷íng

¤i håc B¡ch khoa H  Nëi, d÷îi sü h÷îng d¨n cõa th¦y PGS.TS Nguy¹n Xu¥nTh£o

C¡c k¸t qu£ trong luªn ¡n n y l  mîi v  ch÷a tøng cæng bè trong b§t kýcæng tr¼nh khoa håc n o cõa t¡c gi£ kh¡c

H  nëi, th¡ng 8 n«m 2020

LÍI CƒM ÌN

Luªn ¡n n y ÷ñc ho n th nh t¤i Tr÷íng ¤i håc B¡ch khoa H  Nëi, d÷îi

sü h÷îng d¨n khoa håc tªn t¼nh cõa PGS.TS Nguy¹n Xu¥n Th£o Th¦y ¢

d nh nhi·u cæng sùc, d¨n d­t tæi v o con ÷íng nghi¶n cùu khoa håc, ëngvi¶n kh½ch l» tæi v÷ñt l¶n nhúng khâ kh«n trong håc tªp v  cuëc sèng Tø tªn

¡y láng, em xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh v  s¥u s­c nh§t tîi Th¦y v s³ cè g­ng ph§n §u hìn núa º xùng ¡ng vîi cæng lao cõa Th¦y

T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn Vi»n To¡n ùng döng v  Tin håc công nh÷Pháng  o t¤o - Tr÷íng ¤i håc B¡ch khoa H  Nëi, ¢ t¤o måi i·u ki»n thuªnlñi cho t¡c gi£ trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu t¤i tr÷íng

T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c ¸n GS.TSKH Vô Kim Tu§n, Tr÷íng

¤i håc West Georgia, USA v  TS Nguy¹n Thanh Hçng, Tr÷íng ¤i håc S÷ph¤m H  Nëi Ng÷íi th¦y v  ng÷íi anh ¢ luæn ëng vi¶n t¡c gi£ trong qu¡tr¼nh håc tªp nghi¶n cùu, v  câ nhúng þ ki¸n âng gâp s¥u s­c v· nëi dung khit¡c gi£ ho n th nh luªn ¡n

Xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th nh vi¶n trong nhâm Seminar Gi£i t½ch Tr÷íng H B¡ch khoa H  Nëi, Seminar Gi£i t½ch - Tr÷íng H KHTN - H

-QG H  Nëi v· nhúng trao êi húu ½ch gióp cho Luªn ¡n ÷ñc ho n thi»n hìn.Nhúng þ ki¸n cõa c¡c gi¡o s÷ v  c¡c çng nghi»p tham dü c¡c semina n y ¢gióp tæi tr÷ðng th nh hìn trong nghi¶n cùu khoa håc °c bi»t, nhúng ëngvi¶n, nhªn x²t quþ b¡u v  þ ki¸n âng gâp s¥u s­c cõa GS.TSKH Nguy¹nV«n Mªu, PGS.TS Nguy¹n Thõy Thanh, PGS.TS H  Ti¸n Ngo¤n, PGS.TS.Nguy¹n Minh Tu§n, TS Nguy¹n V«n Ngåc, PGS TS Trành Tu¥n, PGS.TS.Nguy¹n Minh Khoa, TS Ph¤m V«n Ho¬ng, TS Nguy¹n H£i Sìn, TS Nguy¹nQuang Chung, TS Tr¦n Hçng Th¡i, l  nhúng kinh nghi»m quþ b¡u º luªn

¡n ho n thi»n mët c¡ch thuªn lñi Mët l¦n núa, em xin ÷ñc b y tä láng bi¸t

ìn ch¥n th nh ¸n nhúng ng÷íi th¦y m  em luæn tæn k½nh, ¸n nhúng ng÷íianh, ng÷íi chà v  nhúng çng nghi»p

Xin ch¥n th nh c£m ìn Ban Gi¡m hi»u, c¡c th¦y cæ trong Bë mæn To¡n,Khoa khoa håc cì b£n, Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m Kÿ thuªt H÷ng Y¶n, nìi t¡cgi£ ang cæng t¡c, ¢ t¤o i·u ki»n thuªn lñi cho t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh

ho n th nh luªn ¡n.

Cuèi còng, t¡c gi£ xin gûi líi c£m ìn tø tªn ¡y láng ¸n gia ¼nh b¤n b±

v  çng nghi»p, nìi luæn d nh cho t¡c gi£ t¼nh y¶u th÷ìng væ h¤n Trong qu¡tr¼nh håc tªp v  ho n th nh luªn ¡n, t§t c£ c¡c Th¦y, b¤n b±, çng nghi»p,

°c bi»t l  c¡c th nh vi¶n trong gia ¼nh, ¢ luæn s¡t c¡nh, ëng vi¶n v  õng

hë t¡c gi£ â l  nguçn ëng lüc to lîn gióp t¡c gi£ ho n th nh luªn ¡n cõam¼nh

T¡c gi£

DANH MÖC CC KÞ HI›U V€ CHÚ VI˜T TT

ˆ F l  bi¸n êi t½ch ph¥n Fourier (xem trang 10)

ˆ Fc l  bi¸n êi t½ch ph¥n Fourier cosine (xem trang 11)

ˆ Fs l  bi¸n êi t½ch ph¥n Fourier sine (xem trang 11)

ˆ Lp(R+), 1 ≤ p < ∞, l  khæng gian c¡c h m sè f x¡c ành tr¶n R+, thäam¢n

F·) (xem trang 12) l  t½ch chªp èi vîi ph²p bi¸n êi Fourier

ˆ (· ∗ ·) (xem trang 12) l  t½ch chªp èi vîi ph²p bi¸n êi Fourier cosine

ˆ FDT (xem trang 15) l  bi¸n êi Fourier thíi gian ríi r¤c.

ˆ `1(N0) (xem trang 30) l  khæng gian c¡c d¢y sè phùc x := {x(n)}n≥0

÷ñc trang bà vîi chu©n

1(N0) (xem trang 30) l  khæng gian con cõa `1(N0) vîi x(0) = 0

ˆ FcDT (xem trang 30) l  bi¸n êi Fourier cosine thíi gian ríi r¤c

ˆ FsDT (xem trang 31) l  bi¸n êi Fourier sine thíi gian ríi r¤c

·)(xem trang 43) l  t½ch chªp suy rëng vîi h m trång γ(y) = sin ω

èi vîi ph²p bi¸n êi Fourier sine thíi gian ríi r¤c

·)(xem trang 55) l  t½ch chªp suy rëng vîi h m trång γ(y) = sin ω

èi vîi ph²p bi¸n êi Fourier sine thíi gian ríi r¤c

MÐ †U

1 Làch sû v§n · v  l½ do lüa chån · t i

A Ph²p bi¸n êi t½ch ph¥n èi vîi lîp h m kh£ t½ch

Lþ thuy¸t ph²p bi¸n êi t½ch ph¥n v  t½ch chªp èi vîi c¡c ph²p bi¸n êit½ch ph¥n câ vai trá quan trång khæng thº thi¸u trong c¡c ng nh y sinh håc,

àa lþ, h£i d÷ìng håc, C¡c ph²p bi¸n êi t½ch ph¥n ra íi r§t sîm v  câvai trá °c bi»t quan trång trong l½ thuy¸t công nh÷ trong ùng döng, ph£i

kº ¸n tr÷îc h¸t l  ph²p bi¸n êi Fourier, Fourier sine, Fourier cosine, ph²pbi¸n êi Laplace, ph²p bi¸n êi Mellin, sau â l  c¡c ph²p bi¸n êi Hankel,Kontorovich-Lebedev, B£n th¥n ph²p bi¸n êi Fourier ra íi xu§t ph¡t tø

b i to¡n thüc t¸ khi J Fourier nghi¶n cùu v· qu¡ tr¼nh truy·n nhi»t

Ph²p bi¸n êi Fourier câ d¤ng (xem [1, 2, 3])

N

Z

−N

eixyg(y)dy (0.4)Trong tr÷íng hñp f ∈ L1(R) l  h m ch®n ho°c h m l´ Khi â, f ∈ L1(R+)

v  ta nhªn ÷ñc ph²p bi¸n êi Fourier cosine v  Fourier sine câ d¤ng nh÷

sau (xem [4, 5])

(Fcf )(y) = Fc[f ](y) =

r2π

∞

Z

0

f (x) sin(xy)dx, f ∈ L1(R+) (0.6)Vîi f ∈ Lp(R+), 1 ≤ p ≤ 2, ta câ

(Fcf )(y) = Fc[f ](y) = lim

N →∞

r2π

T½ch chªp suy rëng v  t½ch chªp

Mët trong nhúng v§n · quan trång cõa ph²p bi¸n êi t½ch ph¥n l  nghi¶ncùu c¡c t½ch chªp suy rëng, t½ch chªp v  ùng döng li¶n quan Ch¯ng h¤n nh÷:t½nh t½ch ph¥n, t½nh têng cõa chuéi, gi£i c¡c b i to¡n Vªt lþ-To¡n, ph÷ìngtr¼nh vi ph¥n, ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n, ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng, ph÷ìngtr¼nh vi-t½ch ph¥n, lþ thuy¸t x¡c su§t, xû lþ £nh, xû lþ t½n hi»u, kÿ thuªt

i»n, (xem [4, 6, 7, 8, 10, 11]) Do â, h÷îng nghi¶n cùu n y ¢ ÷ñc nhi·u

nh  to¡n håc tr¶n th¸ giîi quan t¥m v  nghi¶n cùu

Theo làch sû ph¡t triºn th¼ c¡c kh¡i ni»m v· t½ch chªp l¦n l÷ñt ÷ñc xu§thi»n vîi nhúng t¶n gåi kh¡c nhau nh÷: t½ch chªp suy rëng (t½ch chªp suyrëng khæng câ h m trång v  t½ch chªp suy rëng câ h m trång), t½ch chªp(t½ch chªp khæng câ h m trång v  t½ch chªp câ h m trång) v  a chªp

èi vîi t½ch chªp m  trong ¯ng thùc nh¥n tû hâa cõa nâ câ nhi·u hìnmët ph²p bi¸n êi t½ch ph¥n ÷ñc gåi l  t½ch chªp suy rëng Trong luªn ¡n

n y, t½ch chªp suy rëng ÷ñc gåi theo t¶n cõa ph²p bi¸n êi t¡c ëng v ot½ch chªp suy rëng trong ¯ng thùc nh¥n tû hâa

T½ch chªp ¦u ti¶n ÷ñc x¥y düng l  t½ch chªp èi vîi ph²p bi¸n êiFourier, cö thº t½ch chªp cõa hai h m f v  g èi vîi ph²p bi¸n êi Fourier

câ d¤ng nh÷ sau (xem [5, 9])

÷a ra h¬ng sè tèi ÷u cho b§t ¯ng thùc Young (xem [14])

N«m 1951, I.N Sneddon x¥y düng t½ch chªp cõa hai h m ch®n f v  g èivîi ph²p bi¸n êi Fourier cosine nh÷ sau (xem [9])

÷ñc x¥y düng v  nghi¶n cùu (xem [17, 18, 19])

N«m 1958, l¦n ¦u ti¶n Y.Ya Vilenkin thi¸t lªp ÷ñc cæng thùc t½ch chªpvîi h m trång èi vîi ph²p bi¸n êi Mehler-Fox (xem [20]).

G¦n mët thªp k sau, n«m 1967, V.A Kakichev ¢ ÷a ra ph÷ìng ph¡pki¸n thi¸t º x¥y düng t½ch chªp vîi h m trång èi vîi mët ph²p bi¸n êit½ch ph¥n b§t ký (xem [21]) Nhí â, æng ¢ x¥y düng ÷ñc t½ch chªp èivîi c¡c ph²p bi¸n êi t½ch ph¥n Hankel, Kontorovich-Lebedev, t½ch chªp vîi

h m trång èi vîi ph²p bi¸n êi t½ch ph¥n Fourier sine (xem [21, 23]),

V o n«m 1951, trong cuèn s¡ch cõa m¼nh [3], I.N Sneddon ÷a ra cængthùc t½ch chªp suy rëng Fourier sine, x¡c ành nh÷ sau (xem [3])

f (u)[g(|x − u|) − g(x + u)]du, x > 0, (0.15)

thäa m¢n ¯ng thùc nh¥n tû hâa v  ¯ng thùc Parseval d÷îi ¥y (xem [3, 24])

sè t½ch chªp suy rëng ¢ ÷ñc x¥y düng v  nghi¶n cùu, ch¯ng h¤n t½ch chªpsuy rëng èi vîi c¡c ph²p bi¸n êi Stieltjes, Hilbert, Fourier cosine v  Fouriersine, Kontorovich-Lebedev, Laplace v  bi¸n êi H, (xem [5, 26, 27, 28]).Kho£ng nhúng n«m 1990, mët sè t½ch chªp suy rëng èi vîi ph²p bi¸n

êi t½ch ph¥n theo ch¿ sè ÷ñc nghi¶n cùu bði t¡c gi£ S.B Yakubovich (xem[30, 31, 32])

N«m 1998, V.A Kakichev v  N.X Th£o ¢ ÷a ra ph÷ìng ph¡p ki¸nthi¸t, cho i·u ki»n c¦n º x¡c ành t½ch chªp suy rëng èi vîi ba ph²p bi¸n

êi t½ch ph¥n b§t ký vîi h m trång l  γ sao cho thäa m¢n ¯ng thùc nh¥n

tû hâa (xem [25])

K3(f ∗γ

K i

g)(y) = γ(y)(K1f )(y) · (K2g)(y), i = 1, 2, 3 (0.18)

Tø ành ngh¾a tr¶n cho th§y, v¸ ph£i xu§t hi»n hai ph²p bi¸n êi t½chph¥n kh¡c nhau do â ùng döng s³ phong phó hìn (trong khi èi vîi t½ch

chªp th¼ ¯ng thùc nh¥n tû hâa ch¿ câ mët ph²p bi¸n êi t½ch ph¥n), do vªyc¡c thæng tin nhªn ÷ñc câ thº tø nhi·u nguçn kh¡c nhau M°t kh¡c, khiho¡n êi c¡c ph²p bi¸n êi t½ch ph¥n theo mët trªt tü nh§t ành s³ nhªn

÷ñc c¡c t½ch chªp suy rëng kh¡c nhau, v¼ th¸ nhúng ùng döng nhªn ÷ñckh¡ a d¤ng

Tr¶n cì sð â, trong Luªn ¡n cõa m¼nh n«m 2007 t¡c gi£ N.M Khoa ¢x¥y düng v  nghi¶n cùu c¡c t½ch chªp suy rëng vîi h m trång èi vîi ba ph²pbi¸n êi t½ch ph¥n l  c¡c bi¸n êi Fourier, Fourier cosine, Fourier sine v  t½chchªp suy rëng èi vîi hai ph²p bi¸n êi t½ch ph¥n thuëc c¡c bi¸n êi â, c¡cb§t ¯ng thùc chu©n Tø â ÷a ra ùng döng gi£i mët lîp c¡c ph÷ìng tr¼nht½ch ph¥n, h» ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n kiºu t½ch chªp (xem [33])

Ti¸p theo, n«m 2012 t¡c gi£ N.T Hçng khi x²t c¡c bi¸n êi t½ch ph¥n li¶nquan ¸n c¡c t½ch chªp v  t½ch chªp suy rëng câ h m trång èi vîi nhâm c¡cph²p bi¸n êi t½ch ph¥n Fourier, Fourier sine v  Fourier cosine ¢ x¥y düng

÷ñc c¡c ph²p bi¸n êi t½ch ph¥n kiºu t½ch chªp Fourier sine, kiºu t½ch chªpsuy rëng Fourier sine-cosine, kiºu t½ch chªp suy rëng Fourier cosine-sine vîi

h m trång, b§t ¯ng thùc kiºu Young Luªn ¡n x¥y düng ÷ñc i·u ki»n c¦n

v  õ º c¡c ph²p bi¸n êi x¥y düng ÷ñc l  unita trong khæng gian L2(R+),thi¸t lªp cæng thùc ph²p bi¸n êi ng÷ñc (xem [34])

Ph÷ìng tr¼nh Toeplitz-Hankel vîi lîp h m kh£ t½ch

L  ph÷ìng tr¼nh câ nhi·u ùng döng thó và trong c¡c l¾nh vüc khoa håckh¡c nhau nh÷ lþ thuy¸t t¡n x¤, lþ thuy¸t ëng lüc håc ch§t läng, lþ thuy¸tlåc tuy¸n t½nh, trong nghi¶n cùu v· va ch¤m  n hçi, t¡n x¤ kh½ quyºn, ënglüc håc kh½ lo¢ng, Ph÷ìng tr¼nh Toeplitz-Hankel têng qu¡t câ d¤ng (xem[35, 36, 37])

trong â g, k1, k2 l  nhúng h m ¢ bi¸t, f l  ©n h m

Nhí cæng cö t½ch chªp suy rëng mîi x¥y düng ÷ñc, trong Luªn ¡n n«m

2012, t¡c gi£ N.T Hong ¢ gi£i ÷ñc mët sè lîp c¡c ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n

n y vîi nh¥n Toeplitz v  nh¥n Hankel °c bi»t, công nh÷ nh¥n Toeplitz v nh¥n Hankel b§t ký nh÷ng v¸ ph£i °c bi»t, vîi nghi»m thu ÷ñc biºu di¹nd÷îi d¤ng âng (xem [34, 38, 39] v  [40])

N«m 2013, nhâm t¡c gi£ P.K Anh, N.M Tuan v  P.D Tuan công ¢x²t ph÷ìng tr¼nh Toeplitz-Hankel (0.19) trong tr÷íng hñp nh¥n l  h m tu¦n

Cho ¸n nay, ngo¤i trø mët sè tr÷íng hñp °c bi»t, b i to¡n t¼m nghi»m

âng cho ph÷ìng tr¼nh Toeplitz-Hankel vîi lîp h m kh£ t½ch trong tr÷ínghñp têng qu¡t v¨n ang l  b i to¡n mð

B Bi¸n êi Fourier thíi gian ríi r¤c vîi lîp h m kh£ têng

Trong c¡c b i to¡n thüc t¸ nh÷ xû lþ t½n hi»u, xû lþ £nh hay xû lþ ¥mthanh ta luæn nh­c ¸n mët trong nhúng bi¸n êi quan trång, â l  bi¸n êiFourier thíi gian ríi r¤c

Bi¸n êi Fourier thíi gian ríi r¤c èi vîi d¢y t½n hi»u thíi gian ríi r¤cx(n) ÷ñc x¡c ành bði (xem [42, 43, 44, 45, 47])

∞

Xx(n)y(n) = 1

2π

π

ZX(ω)Y∗(ω)dω (0.24)

vîi y∗(n) l  li¶n hñp phùc cõa y(n) v  câ Y∗(ω) = FDT{y∗(n)}.

Quan s¡t mët c¡ch h¼nh thùc, biºu thùc t½ch chªp d÷îi d¤ng têng câ thºh¼nh dung tüa nh÷ biºu thùc t½ch chªp d÷îi d¤ng t½ch ph¥n cõa lîp h m kh£t½ch, nh÷ng biºu thùc t½ch chªp d÷îi d¤ng têng kh¡c vîi biºu thùc t½ch chªpd÷îi d¤ng t½ch ph¥n T½ch chªp d÷îi d¤ng t½ch ph¥n l  mët cæng cö ph¥nt½ch to¡n håc trong lþ thuy¸t h» thèng tuy¸n t½nh thíi gian li¶n töc, cán biºuthùc t½ch chªp d÷îi d¤ng têng ð ¥y (t½ch chªp thíi gian ríi r¤c) âng vaitrá quan trång èi vîi h» thèng tuy¸n t½nh thíi gian ríi r¤c, vîi dú li»u ¦u

v o l  c¡c d¢y sè (thüc ho°c phùc) V¼ vªy t½ch chªp d÷îi d¤ng t½ch ph¥n v t½ch chªp d÷îi d¤ng têng l  hai èi t÷ñng ho n to n kh¡c nhau, d¨n tîi c¡chti¸p cªn v  nghi¶n cùu chóng công kh¡c nhau

T½ch chªp Fourier thíi gian ríi r¤c r§t câ þ ngh¾a trong l¾nh vüc xû lþ t½nhi»u sè, l  h» thèng tuy¸n t½nh b§t bi¸n thíi gian trong xû lþ c¡c t½n hi»u

¦u v o (xem [42, 44, 49])

Vîi þ ngh¾a quan trång trong nhi·u l¾nh vüc nh÷ vªy, nh÷ng cho tîi thíi

iºm hi»n nay câ r§t ½t k¸t qu£ cæng bè li¶n quan tîi ph²p bi¸n êi Fourierthíi gian ríi r¤c, v¨n døng l¤i ð vi»c ÷a ra t½nh ch§t, cæng thùc t½ch chªp(xem [42, 43, 46, 50]) Cho tîi nay v¨n ch÷a câ cæng tr¼nh n o v· ph²p bi¸n

êi thíi gian ríi r¤c nâi chung v  bi¸n êi Fourier cosine thíi gian ríi r¤c,Fourier sine thíi gian ríi r¤c nâi ri¶ng công nh÷ b§t ¯ng thùc t½ch chªp suyrëng thíi gian ríi r¤c v  ph²p bi¸n êi kiºu t½ch chªp suy rëng thíi gian ríir¤c công ch÷a h· ÷ñc nh­c tîi

Do â v§n · nghi¶n cùu c¡c t½ch chªp suy rëng li¶n quan ¸n ph²p bi¸n

êi Fourier cosine ho°c Fourier sine thíi gian ríi r¤c, c¡c t½nh ch§t to¡n tû,c¡c b§t ¯ng thùc kiºu t½ch chªp suy rëng, c¡c ph²p bi¸n êi kiºu t½ch chªpsuy rëng v  ùng döng v o gi£i ph÷ìng tr¼nh Toeplitz - Hankel ríi r¤c l  mëtnëi dung câ þ ngh¾a khoa håc c¦n ÷ñc ti¸p töc nghi¶n cùu

Tr¶n cì sð â v  º ph¡t triºn h÷îng nghi¶n cùu n y chóng tæi chån ·

t i cho Luªn ¡n vîi t¶n gåi "T½ch chªp suy rëng Fourier cosine, Fourier sinethíi gian ríi r¤c v  ùng döng"

2 Möc ½ch, èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu

ˆ Möc ½ch: Nghi¶n cùu bi¸n êi Fourier cosine thíi gian ríi r¤c v  bi¸n

êi Fourier sine thíi gian ríi r¤c vîi c¡c d¢y t½n hi»u ban ¦u l  c¡cd¢y ch®n l´ èi xùng Tø â x¥y düng c¡c t½ch chªp suy rëng èi vîic¡c ph²p bi¸n êi Fourier cosine, Fourier sine thíi gian ríi r¤c v  t½chchªp vîi ph²p bi¸n êi Fourier cosine thíi gian ríi r¤c ¡nh gi¡ c¡c

b§t ¯ng thùc t½ch chªp suy rëng, t½ch chªp thíi gian ríi r¤c v  ùngdöng gi£i mët sè lîp ph÷ìng tr¼nh Toeplitz-Hankel ríi r¤c.

ˆ èi t÷ñng: T½ch chªp suy rëng, t½ch chªp, b§t ¯ng thùc t½ch chªp suyrëng, bi¸n êi kiºu t½ch chªp suy rëng èi vîi c¡c bi¸n êi t½ch ph¥nFourier cosine, Fourier sine thíi gian ríi r¤c v  ph÷ìng tr¼nh Toeplitz -Hankel ríi r¤c

ˆ Ph¤m vi nghi¶n cùu: L  t½ch chªp suy rëng, t½ch chªp, ph²p bi¸n êikiºu t½ch chªp suy rëng Fourier cosine thíi gian ríi r¤c, ph²p bi¸n êikiºu t½ch chªp suy rëng Fourier sine thíi gian ríi r¤c; c¡c b§t ¯ngthùc t½ch chªp suy rëng Fourier cosine v  Fourier sine thíi gian ríi r¤c;ph÷ìng tr¼nh Toeplitz-Hankel ríi r¤c

3 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu

Trong Luªn ¡n sû döng c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i t½ch h m, ph÷ìng ph¡pto¡n tû, ph÷ìng ph¡p bi¸n êi t½ch ph¥n B¶n c¤nh â, ph÷ìng ph¡p bi¸n

êi thíi gian ríi r¤c công ÷ñc sû döng

4 C§u tróc v  c¡c k¸t qu£ cõa Luªn ¡n

Ngo i ph¦n Mð ¦u, K¸t luªn v  T i li»u tham kh£o, Luªn ¡n ÷ñc tr¼nh

b y trong ba ch÷ìng sau:

Ch÷ìng 1: Ki¸n thùc chu©n bà Trong ch÷ìng n y, chóng tæi nh­c l¤inhúng ki¸n thùc c¦n dòng trong Luªn ¡n Cö thº l  c¡c d¢y t½n hi»u thíigian ríi r¤c, h» thèng t½n hi»u, h» thèng tuy¸n t½nh b§t bi¸t thíi gian, t½chchªp cõa h» thèng tuy¸n t½nh b§t bi¸n thíi gian, bi¸n êi Fourier thíi gianríi r¤c v  nhúng ành lþ, m»nh · câ li¶n quan ¸n Luªn ¡n

Ch÷ìng 2: T½ch chªp suy rëng Fourier cosine, Fourier sine thíi gianríi r¤c Trong ch÷ìng n y chóng tæi x¥y düng c¡c bi¸n êi Fourier cosine,Fourier sine thíi gian ríi r¤c, t½ch chªp suy rëng v  t½ch chªp èi vîi bi¸n êi

¢ x¥y düng ÷ñc Nghi¶n cùu t½nh ch§t to¡n tû cõa c¡c t½ch chªp suy rëng

n y nh÷ sü tçn t¤i, t½nh bà ch°n, ¯ng thùc nh¥n tû hâa, ¯ng thùc Parseval.Nghi¶n cùu c¡c b§t ¯ng thùc èi vîi c¡c t½ch chªp suy rëng thíi gian ríi r¤cli¶n quan tîi c¡c bi¸n êi Fourier cosine v  Fourier sine thíi gian ríi r¤c tr¶nc¡c khæng gian d¢y Nhªn ÷ñc ành lþ kiºu Young ríi r¤c, b§t ¯ng thùckiºu Young ríi r¤c, tø â thu ÷ñc c¡c ¡nh gi¡ c¡c b§t ¯ng thùc chu©n èivîi c¡c t½ch chªp suy rëng, t½ch chªp â

Ch÷ìng 3: Ph²p bi¸n êi kiºu t½ch chªp suy rëng thíi gian ríi r¤c v ph÷ìng tr¼nh Toeplitz-Hankel ríi r¤c Trong ch÷ìng n y chóng tæi nghi¶n cùu

mët sè ph²p bi¸n êi t½ch ph¥n kiºu t½ch chªp suy rëng, t½ch chªp li¶n quantîi c¡c t½ch chªp suy rëng Fourier cosine, Fourier sine thíi gian ríi r¤c x¥ydüng ÷ñc trong Ch÷ìng 2, nhªn ÷ñc i·u ki»n c¦n v  õ º bi¸n êi t½chph¥n kiºu t½ch chªp suy rëng nâi tr¶n l  unita trong c¡c khæng gian l2(N0)

v  `o

2(N0) Ùng döng cõa c¡c t½ch chªp, t½ch chªp suy rëng ¢ x¥y düng ÷ñctrong Ch÷ìng 2 v o vi»c gi£i v  ¡nh gi¡ nghi»m cõa mët v i lîp cõa ph÷ìngtr¼nh, h» ph÷ìng tr¼nh Toeplitz-Hankel ríi r¤c

5 Þ ngh¾a c¡c k¸t qu£ ¤t ÷ñc trong Luªn ¡n

X¥y düng c¡c t½ch chªp suy rëng, t½ch chªp suy rëng vîi h m trång v t½ch chªp mîi èi vîi c¡c bi¸n êi Fourier cosine thíi gian ríi r¤c v  bi¸n êiFourier sine thíi gian ríi r¤c, tø â nghi¶n cùu c¡c ph²p bi¸n êi kiºu t½chchªp suy rëng, t½ch chªp thíi gian ríi r¤c

Nghi¶n cùu v  thi¸t lªp ÷ñc nhúng b§t ¯ng thùc v· chu©n èi vîi c¡ct½ch chªp suy rëng, t½ch chªp Fourier sine thíi gian ríi r¤c v  Fourier sinethíi gian ríi r¤c mîi x¥y düng ÷ñc, c¡c ành lþ kiºu Young ríi r¤c, b§t ¯ngthùc kiºu Young ríi r¤c Tø â nhªn ÷ñc ùng döng gi£i v  ¡nh gi¡ nghi»mcõa mët sè lîp ph÷ìng tr¼nh Toeplitz-Hankel ríi r¤c

Gâp ph¦n l m phong phó th¶m v· lþ thuy¸t c¡c bi¸n êi thíi gian ríi r¤c,b§t ¯ng thùc t½ch chªp suy rëng v  b§t ¯ng thùc t½ch chªp C¡c k¸t qu£

v  þ t÷ðng cõa Luªn ¡n câ thº sû döng trong nghi¶n cùu c¡c t½ch chªp suyrëng èi vîi c¡c bi¸n êi thíi gian ríi r¤c kh¡c

Nëi dung ch½nh cõa Luªn ¡n düa tr¶n 4 cæng tr¼nh ¢ cæng bè, trong â

câ 2 b i «ng tr¶n t¤p ch½ khoa håc thuëc danh möc ISI, 1 b i «ng tr¶n t¤pch½ quèc t¸ v  1 b i thuëc t¤p ch½ quèc gia C¡c k¸t qu£ n y ¢ ÷ñc b¡o c¡o

to n bë hay tøng ph¦n t¤i c¡c Hëi nghà khoa håc v  c¡c Seminar sau:

ˆ C¡c hëi nghà khoa håc:

- Hëi nghà Khoa håc ¤i håc B¡ch khoa H  Nëi, th¡ng 11 n«m 2016;

- Hëi nghà Quèc t¸ "Xu h÷îng mîi trong tèi ÷u hâa v  gi£i t½ch bi¸nph¥n cho c¡c ùng döng" t¤i Quy Nhìn th¡ng 12 n«m 2016;

- Hëi nghà Ùng döng to¡n håc Vi»t Nam l¦n thù 2 t¤i Hç Ch½ Minhth¡ng 12 n«m 2017;

- ¤i hëi to¡n håc to n quèc l¦n thù 9 t¤i Nha Trang th¡ng 8 n«m2018;

- Hëi th£o Khoa håc li¶n k¸t quèc t¸ v· "Ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n v ùng döng" t¤i H÷ng Y¶n th¡ng 10 n«m 2018

ˆ C¡c seminar:

- Seminar Gi£i t½ch v  ¤i sè, Tr÷íng ¤i håc Khoa håc Tü nhi¶n, ¤ihåc Quèc gia H  Nëi;

- Seminar Gi£i t½ch, Tr÷íng ¤i håc B¡ch khoa H  Nëi;

- Seminar Bë mæn To¡n, Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m Kÿ thuªt H÷ng Y¶n

Ch÷ìng 1 BI˜N ÊI FOURIER THÍI GIAN RÍI R„C

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y nhúng kh¡i ni»m cì b£n v· t½nhi»u thíi gian ríi r¤c, h» thèng t½n hi»u thíi gian ríi r¤c, h» thèng tuy¸n t½nhb§t bi¸n thíi gian Tr¼nh b y v· bi¸n êi Fourier thíi gian ríi r¤c, c¡c ànhngh¾a, t½nh ch§t cì b£n v  t½ch chªp Fourier thíi gian ríi r¤c, l  c¡c ki¸n thùcchu©n bà c¦n sû döng trong c¡c ch÷ìng ti¸p theo cõa luªn ¡n Nëi dung cõach÷ìng ÷ñc tham kh£o tø c¡c t i li»u [37, 42, 43, 44, 46, 48]

1.1 T½n hi»u thíi gian ríi r¤c v  h» thèng

1.1.1 T½n hi»u thíi gian ríi r¤c

T½n hi»u ríi r¤c (v· m°t thíi gian) l  t½n hi»u ch¿ x¡c ành tr¶n mët tªpríi r¤c cõa thíi gian (mët tªp nhúng thíi iºm ríi r¤c) D÷îi d¤ng to¡n håc,t½n hi»u ríi r¤c mang gi¡ trà thüc (ho°c phùc) câ thº ÷ñc xem l  mët h mli¶n k¸t t÷ìng ùng tø tªp sè tü nhi¶n ¸n tªp sè thüc (ho°c phùc) ([46], 8.3Basic Discrete-Time Signals)

T½n hi»u thíi gian ríi r¤c ÷ñc biºu di¹n d÷îi d¤ng mët d¢y c¡c gi¡ tràvîi ph¦n tû thù n cõa d¢y ÷ñc k½ hi»u l  x(n), ÷ñc vi¸t ð d¤ng nh÷ sau([46], 8.3 Basic Discrete-Time Signals)

Têng qu¡t hìn, b§t ký d¢y t½n hi»u n o ·u câ thº ÷ñc thº hi»n d÷îid¤ng chuéi

D¢y sè mô A.αn vîi α l  sè phùc câ c¡c ph¦n thüc v  ph¦n £o l  c¡c d¢yl÷ñng gi¡c câ trång sè theo c§p sè nh¥n Cö thº, n¸u α = |α|eiω0 v  A = Aeiφ,d¢y Aαn câ thº biºu di¹n theo b§t ký c¡ch n o sau ¥y

x(n) = Aαn =|A|eiφ|α|neiω0 n

= |A| cos(ω0n + φ) + j|A| sin(ω0n + φ); (1.6)

â l , ph¦n thüc v  ph¦n £o cõa eiω 0 n ¤i l÷ñng ω0 ÷ñc gåi l  t¦n sè dao

ëng v  φ ÷ñc gåi l  pha

1.1.2 C¡c h» thèng tuy¸n t½nh b§t bi¸n

a) C¡c h» thèng tuy¸n t½nh ([42])

Mët h» thèng thíi gian ríi r¤c ÷ñc °c tr÷ng bði mët to¡n tû T l  nhi»m

vö bi¸n êi d¢y v o x(n) th nh d¢y ra y(n) Chóng ta câ thº sû döng hailo¤i kþ hi»u to¡n tû sau:

T {x(n)} = y(n), (1.7)ho°c

x(n)−→ y(n).TChóng ta câ thº biºu di¹n h» thèng n y b¬ng sì ç

x(n)(K½ch th½ch)

y(n) = T {x(n)}

(¡p ùng)T

Ph÷ìng tr¼nh (1.7) ¤i di»n cho mët quy t­c ho°c cæng thùc º t½nh to¡nc¡c gi¡ trà chuéi ¦u ra (¡p ùng cõa h» thèng) tø c¡c gi¡ trà chuéi ¦u v o(k½ch th½ch)

C¦n nh§n m¤nh r¬ng gi¡ trà cõa chuéi ¦u ra t¤i méi gi¡ trà cõa ch¿ sè n

câ thº phö thuëc v o c¡c m¨u ¦u v o x(n) cho t§t c£ c¡c gi¡ trà cõa n, tùc

l , y t¤i thíi iºm n câ thº phö thuëc v o t§t c£ ho°c mët ph¦n cõa to n bëd¢y x(n)

H» thèng tuy¸n t½nh ([44])

To¡n tû T °c tr÷ng cho mët h» thèng tuy¸n t½nh khi v  ch¿ khi

T {ax1(n) + bx2(n)} = aT {x1(n)} + bT {x2(n)} = ay1(n) + by2(n) (1.8)

Ð ¥y, c¡c h¬ng sè tòy þ a, b ∈ Z, y1(n) l  ¡p ùng ¦u ra cõa k½ch th½ch

¦u v o x1(n) v  y2(n) l  ¡p ùng cõa x2(n)

¡p ùng xung cõa h» thèng tuy¸n t½nh ([48])

Ta th§y r¬ng mët d¢y b§t ký x(n) câ thº biºu di¹n b¬ng biºu thùc têngtheo cæng thùc (1.3) Gi£ sû h» thèng l  tuy¸n t½nh, ta câ thº vi¸t:

¡p ùng hk(n) ÷ñc gåi l  ¡p ùng xung cõa h» thèng tuy¸n t½nh.

Nhªn x²t 1.1.1 ([48])

ˆ C¡c h» thèng tuy¸n t½nh ÷ñc biºu di¹n bði ¡p ùng xung cõa nâ

ˆ hk(n) l  h m cõa k v  n, nh÷ vªy ð c¡c gi¡ trà k kh¡c nhau s³ cho tac¡c ¡p ùng xung kh¡c nhau, h» thèng tuy¸n t½nh n y s³ phö thuëc v obi¸n k, n¸u bi¸n k l  thíi gian th¼ ta câ h» thèng tuy¸n t½nh phö thuëc

v o thíi gian

b) C¡c h» thèng tuy¸n t½nh b§t bi¸n

ành ngh¾a 1.1.1 ([48], 1.3.2 C¡c h» thèng tuy¸n t½nh b§t bi¸n)

N¸u y(n) l  ¡p ùng vîi k½ch th½ch x(n), th¼ h» thèng tuy¸n t½nh gåi l  b§tbi¸n khi y(n − k) l  ¡p ùng cõa k½ch th½ch x(n − k), ð ¥y k ∈ Z

N¸u bi¸n sè l  thíi gian, ta nâi l  h» thèng b§t bi¸n theo thíi gian

Nhªn x²t 1.1.2 ([48], trang 24) T½ch chªp n y ch¿ óng cho h» thèng tuy¸nt½nh b§t bi¸n, v¼ nâ ÷ñc ành ngh¾a cho h» thèng n y.

c) H» thèng tuy¸n t½nh b§t bi¸n ên ành

ành ngh¾a 1.1.2 ([48], trang 37) Mët h» thèng ÷ñc gåi l  ên ành n¸uùng vîi d¢y ¦u v o bà ch°n, ta câ d¢y ¦u ra bà ch°n

Tùc l  vîi |x(n)| < ∞ vîi n b§t ký,

ta s³ câ |y(n)| < ∞ vîi n b§t ký

ành lþ 1.1.1 ([48], trang 37) Mët h» thèng tuy¸n t½nh b§t bi¸n l  ên

ành n¸u v  ch¿ n¸u ¡p ùng xung cõa nâ thäa m¢n i·u ki»n sau:

1.2 Bi¸n êi Fourier thíi gian ríi r¤c

Bi¸n êi Fourier thíi gian ríi r¤c l  mët d¤ng cõa gi£i t½ch Fourier câ thº

¡p döng cho mët chuéi c¡c gi¡ trà Thuªt ngú thíi gian ríi r¤c ÷ñc · cªp

¸n thüc ch§t l  º bi¸n êi ho¤t ëng tr¶n dú li»u ríi r¤c, th÷íng l  c¡cm¨u câ kho£ng ìn và thíi gian

Nhªn x²t 1.2.1 ([44], Nhªn x²t 3.1)

1 N¸u mët chuéi x(n) ¤i di»n cho t½n hi»u vªt lþ, bi¸n êi Fourier thíigian ríi r¤c X(ω) = FDT{x(n)}(ω) câ ngh¾a l  phê t½n hi»u, mæ t£ nëidung t¦n sè cõa t½n hi»u

2 °c bi»t, n¸u h m thíi gian h(n) ¤i di»n cho ¡p ùng xung cõa h»thèng tuy¸n t½nh b§t bi¸n thíi gian thíi gian, bi¸n êi Fourier thíi gianríi r¤c H(ω) = FDT{h(n)}(ω) câ ngh¾a l  ¡p ùng t¦n sè, mæ t£ c¡chh» thèng ph£n ùng vîi d¢y ¦u v o tu¦n ho n câ t¦n sè gâc ω

Mët iºm kh¡c bi»t nêi bªt cõa bi¸n êi Fourier thíi gian ríi r¤c so vîibi¸n êi Fourier thíi gian li¶n töc l  t½nh tu¦n ho n cõa nâ (vîi chu ký 2π)trong (kÿ thuªt sè) bi¸n t¦n sè ω, k¸t qu£ tø thüc t¸ r¬ng â l  mët h m cõa

eiω tu¦n ho n vîi chu ký 2π trong mi·n ω, tùc l  ei(ω+2nπ) = eiω

Ta câ thº gåi ph÷ìng tr¼nh (1.14) l  ph÷ìng tr¼nh ph¥n t½ch (analysisequation) v  ph÷ìng tr¼nh (1.15) l  ph÷ìng tr¼nh têng hñp (synthesis equa-tion) ([44], trang 131)

Câ thº nâi r¬ng bi¸n êi Fourier thíi gian ríi r¤c s³ tçn t¤i n¸u d¢y x(n)

câ n«ng l÷ñng húu h¤n, tùc l  ([42], trang 51),

1.2.2 T½nh ch§t cõa bi¸n êi

a T½nh tu¦n ho n ([43], trang 17-1)

Tø bi¸n êi Fourier thíi gian ríi r¤c X(ω) x¡c ành bði ph÷ìng tr¼nh(1.14) l  mët h m cõa eiω, nâ luæn tu¦n ho n vîi chu ký 2π:

X(ω) = X(ω + 2mπ), vîi måi m ∈ Z (1.18)T½nh tu¦n ho n cho ph²p chóng ta chó þ ¸n bi¸n êi Fourier thíi gian ríir¤c ch¿ trong mët kho£ng thíi gian, ta th÷íng dòng l  kho£ng −π ≤ ω ≤ π

b T½nh tuy¸n t½nh ([42], trang 59)

Vîi FDT{x(n)}(ω) = X(ω) v  FDT{y(n)}(ω) = Y (ω), ta câ

ax(n) + by(n) FDT

←→ aX(ω) + bY (ω), ∀a.b ∈ R, (1.19)cæng thùc tr¶n câ þ ngh¾a r¬ng bi¸n êi Fourier thíi gian ríi r¤c cõa tê hñptuy¸n t½nh cõa c¡c d¢y l  mët tê hñp tuy¸n t½nh cõa c¡c bi¸n êi Fourier thíigian ríi r¤c

c Nghàch £o thíi gian ([45], trang 138)

Nâi chung, bi¸n êi Fourier thíi gian ríi r¤c câ thuëc t½nh £o ng÷ñc thíigian:

d Dàch chuyºn thíi gian ([45], trang139)

Bi¸n êi Fourier thíi gian ríi r¤c câ c¡c thuëc t½nh dàch chuyºn thíi giannh÷ sau

f Vi ph¥n trong mi·n t¦n sè t¦n sè ([43], trang 17-3.)

B¬ng c¡ch vi ph¥n hai v¸ cõa ph÷ìng tr¼nh (1.14) theo bi¸n ω ta câ

dX(ω)dω

(1.14)

= ddω

i·u n y câ ngh¾a l  ph²p nh¥n vîi n trong mi·n thíi gian ta ÷ñc vi ph¥ntheo bi¸n ω nh¥n vîi i trong mi·n t¦n sè.

g H» thùc Parseval's (ành lþ Rayleigh) ([44], trang 144.)

N¸u x(n) câ n«ng l÷ñng húu h¤n v  bi¸n êi Fourier thíi gian ríi r¤cX(ω) = FDT{x(n)}, th¼ ta câ

2π

|X(ω)|2dω, (1.25)trong â |X(ω)|2 ÷ñc gåi l  mªt ë n«ng l÷ñng cõa t½n hi»u x(n)

B¼nh luªn

Bi¸n êi Fourier thíi gian ríi r¤c cõa lîp h m kh£ têng câ sü kh¡c bi»tvîi bi¸n êi Fourier cõa lîp h m kh£ t½ch, i·u â ÷ñc thº hi»n rã trong c¡ccæng thùc (1.14), (1.18) v  ð trong þ ii) cõa ành lþ 1.2.1

Ch÷ìng 2 TCH CHŠP SUY RËNG FOURIER COSINE, FOURIER SINE THÍI GIAN RÍI R„C

Trong ch÷ìng n y, ta x²t c¡c tr÷íng hñp d¢y t½n hi»u ban ¦u l  c¡c d¢ych®n, l´ tr¶n mi·n èi xùng cõa bi¸n êi Fourier thíi gian ríi r¤c Thu ÷ñcc¡c bi¸n êi bi¸n êi Fourier cosine v  Fourier sine thíi gian ríi r¤c

Möc 2.1 nghi¶n cùu chu©n cõa d¢y thíi gian ríi r¤c, bi¸n êi Fourier thíigian ríi r¤c vîi c¡c tr÷íng hñp d¢y ¦u v o l  c¡c d¢y ch®n hay l´ èi xùng.C¡c k¸t qu£ cõa möc n y ÷ñc tr¼nh b y düa v o cæng tr¼nh [2] v  [4] trongDanh möc c¡c cæng tr¼nh ¢ cæng bè cõa luªn ¡n

Möc 2.2 nghi¶n cùu t½ch chªp suy rëng Fourier sine thíi gian ríi r¤c v t½ch chªp suy rëng Fourier sine thíi gian ríi r¤c vîi h m trång Tø â ÷a

ra ¡nh gi¡ b§t ¯ng thùc chu©n, ành lþ kiºu Young ríi r¤c, b§t ¯ng thùckiºu Young ríi r¤c, ành lþ kiºu Titchmarch C¡c k¸t qu£ cõa möc n y ÷ñctr¼nh b y düa v o cæng tr¼nh [1], [3] v  [4] trong Danh möc c¡c cæng tr¼nh ¢cæng bè cõa luªn ¡n

Möc 2.3 nghi¶n cùu t½ch chªp suy rëng Fourier cosine thíi gian ríi r¤c v t½ch chªp suy rëng Fourier cosine thíi gian ríi r¤c vîi h m trång Thu ÷ñcc¡c ¯ng thùc nh¥n tû hâa, ÷a ra c¡c ¡nh gi¡ b§t ¯ng thùc chu©n, ành

lþ kiºu Young, b§t ¯ng thùc kiºu Young, ành lþ kiºu Titchmarch C¡c k¸tqu£ cõa möc n y ÷ñc tr¼nh b y düa v o cæng tr¼nh [1], [3] v  [4] trong Danhmöc c¡c cæng tr¼nh ¢ cæng bè cõa luªn ¡n

Möc 2.4 nghi¶n cùu t½ch chªp Fourier cosine thíi gian ríi r¤c Thu ÷ñc

¯ng thùc nh¥n tû hâa, cæng thùc Parseval v  c¡c b§t ¯ng thùc chu©n tr¶nc¡c khæng gian d¢y C¡c k¸t qu£ cõa möc n y ÷ñc tr¼nh b y düa v o cængtr¼nh [2] trong Danh möc c¡c cæng tr¼nh ¢ cæng bè cõa luªn ¡n

2.1 Bi¸n êi Fourier cosine v  Fourier sine

thíi gian ríi r¤c

Möc n y ÷a ra cæng thùc chu©n cõa d¢y thíi gian ríi r¤c, ành ngh¾ac¡c bi¸n êi Fourier cosnie thíi gian ríi r¤c v  bi¸n êi Fourier sine thíi gianríi r¤c còng c¡c t½nh ch§t cõa c¡c bi¸n êi

2.1.1 Chu©n cõa d¢y thíi gian ríi r¤c

Cho `p(N0), 1 ≤ p ≤ ∞, l  khæng gian d¢y c¡c sè phùc x := {x(n)}n≥0

÷ñc trang bà vîi chu©n

¥y l  cæng thùc bi¸n êi ng÷ñc cõa bi¸n êi Fourier cosine thíi gian ríi r¤c,

÷ñc trang bà vîi chu©n trong (2.1) Ð â, Xc(ω) l  h m tu¦n ho n chu ký2π Tø cæng thùc (0.5) v  (2.3) cho th§y, º mæ t£ ho n to n ÷ñc t½n hi»u

¦u v o x(n) ta c¦n x¡c ành måi thæng tin ¦u ra cõa Xc(ω) tr¶n o¤n cìb£n

Ð ¥y ||.||p l  chu©n p cõa Lp(0, π)

ành ngh¾a 2.1.2 Bi¸n êi Fourier sine thíi gian ríi r¤c cõa d¢y x :={x(n)}n≥0 ∈ `o

÷ñc trang bà vîi chu©n trong (2.1) èi vîi khæng gian `o

p(N0) N¸u x ∈ `o

2(N0),th¼ ¯ng thùc Parseval's cho bi¸n êi Fourier sine thíi gian ríi r¤c câ d¤ng

kxk2 =

r2

π kXskL2(0,π)

2.1.3 T½nh ch§t

Vîi c¡c d¢y t½n hi»u thíi gian ríi r¤c ban ¦u x(n), y(n) qua hai ph²p bi¸n

êi Fourier cosine, Fourier sine thíi gian ríi r¤c ta ÷ñc t½n hi»u ¦u ra t÷ìngùng l  FcDT{x(n)}(ω), FcDT{y(n)}(ω) v  FsDT{x(n)}(ω), FsDT{y(n)}(ω)

Ta câ c¡c t½nh ch§t sau:

a T½nh tuy¸n t½nh: Khi c¡c d¢y x(n), y(n) ∈ `1(N0), ta câ c¡c t½nhch§t:

FcDT{ax(n) + by(n)}(ω) = aXc(ω) + bYc(ω), ∀a, b ∈ R

Khi c¡c d¢y x(n), y(n) thuëc khæng gian con `o

m  ta bi¸t r¬ng 2 cos(nω0) cos(nω) = cos(nω+ω0

Theo bi¸n êi Fourier sine thíi gian ríi r¤c (2.5) ta ÷ñc

dωXs(ω) = FcDT{nx(n)}(ω) (2.12)Chùng minh Thªt vªy, v¼ x(n) ∈ `o

1(N0) n¶n x(0) = 0 Tø â ta câd

2.2.1 T½ch chªp suy rëng Fourier sine thíi gian ríi r¤c

ành ngh¾a 2.2.1 T½ch chªp suy rëng Fourier sine thíi gian ríi r¤c cõa haid¢y x(n) v  y(n) l  d¢y (x ∗

Chùng minh Cho Xo(ω), Ye(ω) l  c¡c th nh ph¦n ch®n, l´ cõa X(ω), Y (ω)

tø [0, π] tîi [−π, π] Sû döng bi¸n êi Fourier thíi gian ríi r¤c [42, 43, 46],

¯ng thùc Parseval's cho bi¸n êi Fourier thíi gian ríi r¤c cõa Xo, Ye cho ta

Tø xo(n) ∈ `o2(Z), ye(n) ∈ `2(Z), chuéi b¶n tr¡i cõa (2.16) hëi tö tuy»t èi,

÷ñc biºu di¹n nh÷ sau

i, n ≥ 0

(2.18)K¸t hñp (2.16) v  (2.18) ta thu ÷ñc (2.15) Cæng thùc (2.15) cho ta th§yr¬ng 2Xs(ω)Yc(ω) ∈ L1(0, π) l  bi¸n êi Fourier sine thíi gian ríi r¤c cõa d¢y(x ∗

≤ 4π

Chùng minh °t p1, q1, r1 t÷ìng ùng l  c¡c sè mô li¶n hñp cõa p, q, r, tùc l