Luận văn sư phạm MARTINGALE rời rạc và ứng dụng

Thầy đã giao đề tài và tận tìnhhướng dẫn em trong quá trình hoàn thành khóa luận này.. LỜI MỞ ĐẦULý thuyết xác suất và thống kê là một bộ phận của toán học, nghiên cứu cáchiện tượng ngẫu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Hà Nội - 2013

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên của khóa luận này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tớithầy giáo hướng dẫn TS.Trần Minh Tước Thầy đã giao đề tài và tận tìnhhướng dẫn em trong quá trình hoàn thành khóa luận này Nhân dịp này emxin gửi lời cảm ơn của mình tời toàn bộ các thầy cô giáo trong khoa Toánhọc đã giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học tập tại khoa

Đồng thời, tôi xin cảm ơn các bạn trong lớp K35ACN Toán ngànhToán ứng dụng, khoa Toán học đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình họctập tại lớp

Hà nội, ngày 10 tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Phạm Thị Lan Anh

Mục lục

LỜI MỞ ĐẦU 3

LỜI CAM ĐOAN 4

Chương 1 Martingale rời rạc 5

1.1 Kỳ vọng có điều kiện 5

1.2 Khái niệm tương thích và dự báo được 8

1.2.1 Các σ-trường liên quan tới dãy biến ngẫu nhiên 8

1.3 Thời điểm Markov và thời điểm dừng 9

1.3.1 Định nghĩa 9

1.3.2 Các ví dụ về thời điểm dừng 10

1.3.3 Các tính chất của thời điểm dừng 11

1.4 Quá trình Martingale rời rạc 13

1.4.1 Định nghĩa 14

1.4.2 Các ví dụ 14

1.4.3 Các tính chất 15

Chương 2 Ứng dụng 19

2.1 Bài toán Gambler và Martingale 19

2.2 Quá trình dừng 23

2.3 Áp dụng Optional Stopping theorem 25

Tài liệu tham khảo 29

LỜI MỞ ĐẦU

Lý thuyết xác suất và thống kê là một bộ phận của toán học, nghiên cứu cáchiện tượng ngẫu nhiên và ứng dụng chúng vào thực tế.Các khái niệm dầutiên của xác suất do các nhà toán học tên tuổi Pierre Fermat ( 1601 - 1665 )

và Bailes Pascal ( 1623 - 1662 ) xây dựng từ thế kỷ thứ XVII dựa trên việcnghiên cứu các quy luật trong trò chơi may rủi.Sau gần 3 thế kỷ phát triển,

lý thuyết xác suất đã được A.N.Kolmogorov tiên đề hóa

Dựa trên nền tảng đó, nhiều hướng nghiên cứu chuyên sâu của xác suất

đã ra đời, trong đó có martingale Đề tài luận văn của em "Martingale rờirạc và ứng dụng " là một phần nhỏ thuộc hướng nghiên cứu đó Để có thểhiểu và nắm bắt được một số kết quả của đề tài, em xây dựng luận văn theo

2 chương:

Chương 1: Martingale rời rạc.

Chương 2: Ứng dụng.

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên các vấn

đề trong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không thể tránh khỏi

có những sai sót trong cách trình bày Mong được sự góp ý xây dựng củathầy cô và các bạn Em xin chân thành cảm ơn!

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS.Trần MinhTước, cùng với sự cố gắng của bản thân trong quá trình nghiên cứu và thựchiện khóa luận, em có tham khảo một số tác giả ( đã nêu trong mục tài liệutham khảo)

Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên cứucủa bản thân, không trùng với kết quả của các tác giả khác.Nếu sai em xinchịu hoàn toàn trách nhiệm

Hà nội, ngày 10 tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Phạm Thị Lan Anh

Chương 1

Martingale rời rạc.

1.1 Kỳ vọng có điều kiện.

Định nghĩa 1.1 Cho biến ngẫu nhiên X mà E(|X|) < ∞ Ta đã biết, E(X|Y)

là kỳ vọng có điều kiện của X theo Y và được định nghĩa là hàm của Y khi

Đây là kết quả quan trọng được sử dụng trong một loạt các tính chất sau này.

Định nghĩa 1.2 Cho hai biến ngẫu nhiên X,Y ta gọi E[X|Y] là kỳ vọng có

điều kiện của X theo Y , là một hàm h(Y ) mà có tính chất với mọi A ∈ σ(Y ) thì

E[XIA] = E[h(Y )IA] (1.1.1)

Tính chất 1.1. 1 Nếu C là hằng số thì E(C|F ) = C (h.c.c).

2 Nếu X ≤ Y (h.c.c) thì E(X|F ) ≤ E(Y |F ) (h.c.c).

3 |E(X|F )| ≤ E(|X||F ).

4 Nếu a,b là hằng số và aEX + bEY xác định thì

E((aX + bB)|F ) = aE(X|F ) + bE(Y |F ) (h.c.c).

5 E(X|{/0,Ω}) = EX (h.c.c).

6 E(X|F ) = X (h.c.c).

7 E[E(X|F )] = EX (h.c.c).

8 Nếu F1 ⊂ F2 thì

E[E(X|F2)|F1] = E[E(X|F1)|F2] = E(X|F1) (h.c.c).

9 Nếu X độc lập với F (nghĩa là σ(X) và F độc lập) thì

E(X|F ) = EX (h.c.c)

10 Nếu Y là F −đo được và E|Y | < ∞,E|XY | < ∞ thì

E(XY |F ) = Y E(X|F )(h.c.c).

Chứng minh. (1) là hiển nhiên

(2) X ≤ Y (h.c.c) suy ra E[XIA] ≤ E[Y IA] với mọi A ∈ F

hay

E[E(X|F )I] ≤ E[E(Y |F )I], ∀A ∈ F

Tức là

E(X|F ) ≤ E(Y |F ) (h.c.c)

(3) −|X| ≤ X ≤ |X| suy ra

−E(X|F ) ≤ E(Y |F ) ≤ E(|X||F )

Từ đó ta có điều phải chứng minh

1.2 Khái niệm tương thích và dự báo được.

1.2.1 Các σ-trường liên quan tới dãy biến ngẫu nhiên

Cho trước quá trình ngẫu nhiên X = {Xn, n ∈ N} Ký hiệu σ ({Xn, n ∈ N})

là σ-trường bé nhất của A chứa tất cả các σ-trường σ(Xn), n ∈ N Ta gọi

Chẳng hạn, {σ≤n, n ∈ N} là họ không giảm Ta lưu ý rằng σ≤n gồm các biến

cố quan sát được tính đến thời điểm n

Định nghĩa 1.3 Dãy quá trình ngẫu nhiên X = {Xn, n ∈ N} được gọi là tương thích với dãy các σ-trường {An, n ∈ N} nếu ∀n ∈ N thì Xn là An-đo được.

Định nghĩa 1.4 Ta nói rằng V = {Vn, An−1, n ∈ N}, A1 = A0 là dãy dự báo được nếu Vn là An−1-đo được với mỗi n ∈ N.

Rõ ràng, dãy dự báo được là dãy tương thích Tất nhiên, ta luôn có X ={Xn, σ ≤ n, n ∈ N} là dãy tương thích Người ta thường gọi σ≤n là σ-trường

tự nhiên của dãy X = {Xn, n ∈ N} Nó gồm tất cả những biến cố liên quanđến quá khứ ( trước n ) và hiện tại ( tại n) của dãy

1.3 Thời điểm Markov và thời điểm dừng.

Từ nay về sau ta luôn giữ các giả thiết sau:

• Giả sử (Ω, A , P) là không gian xác suất với A chứa tất cả các tập

có xác suất 0 (tập O được gọi là xác suất 0, nếu tồn tại A ∈ A saocho P(A) = 0 và O ⊂ A) Trong trường hợp này, ta nói (Ω,A ,P) làkhông gian xác suất đầy đủ

Nếu thêm vào đó P(τ < ∞) = 1, thì τ được gọi là thời điểm dừng

Chú ý: τ là thời điểm Markov khi và chỉ khi:

{ω : τ(ω) = n} = {ω : τ(ω) ≤ n}|{ω : τ(ω) ≤ n − 1} ∈ An

Ký hiệu Aτ là lớp gồm tất cả các tập con A của Ω sao cho:

A∈ A∞, và A ∩ (τ ≤ n) ∈ An

Như vậy, Aτ gồm tất cả các biến cố quan sát được tính đến thời điểm τ

Dễ dàng chứng minh rằng Aτ là σ-trường con của σ-trường A Thật vậy:

• Ω ∈ Aτ, vì Ω ∩ (τ ≤ n) = (τ ≤ n) ∈ An

• Giả sử Ak ∈ Aτ, k = 1, 2, tức là: Ak∩ (τ ≤ n) ∈ An, k = 1, 2, Khi đó, ta có:

Ví dụ 1 Nếu τ(ω) ≡ n (∈ ¯N) thì hiển nhiên τ là thời điểm Markov.

Ví dụ 2.Giả sử {Xn, n ∈ N} là dãy các biến ngẫu nhiên, và B là tập Borel của

0 nếu Xn ∈ B ∀n ∈ E /

Khi đó τB là thời điểm Markov đối với {σ≤n}, n ∈ N Chứng minh suy ra từ:

Ví dụ 3 Giả sử {Xn, n ∈ N} là dãy các biến ngẫu nhiên và Bn, n = 1, 2,

là dãy Borel của R Đặt τ1 = τB1:

∞ trong các trường hợp còn lại

τnđược định nghĩa tương tự Khi đo {τn, n ∈ N} là dãy các thời điểm Markovđối với {σ≤n}, n ∈ N Chứng minh đối với τ2 suy ra từ:

1.3.3 Các tính chất của thời điểm dừng

Tính chất 1.2 Giả sử τ là thời điểm Markov đối với{An, n ∈ N} Khi dó

Cần lưu ý rằng, nói chung, từ điều kiện {τ < n} ∈ An không suy ra được τ

là thời điểm Markov.

Tính chất 1.3 Nếu τ1, τ2 là các thời điểm Markov đối với {An, n ∈ N}, thì

τ1∧ τ2 = min(τ1, τ2), τ1∨ τ2 = max(τ1, τ2)

và (τ1+ τ2) là thời điểm Markov đối với {An, n ∈ N}.

Thật vậy chứng minh suy ra từ:

{τ1∧ τ2 ≤ n} = {τ1≤ n} ∪ {τ2 ≤ n}

cũng là thời điểm Markov đối với {An, n ∈ N}

Thật vậy, chứng minh suy ra từ

Thật vậy, giả sử A = {τ ≤ m} Để chứng minh τ ∈ Aτ, ta phải chỉ ra A ∈ Aτ, hoặc tương đương A ∩ {τ ≤ n} ∈ An, ta có:

{τ ≤ m} ∩ {τ ≤ n} = {τ = n ∩ m} ∈ An∩m⊂ An

Bây giờ giả sử A ⊂ {ω : σ < ∞} và A ∈ Aτ, Khi đó do P(τ ≤ σ) = 1 và

σ -trường An đầy đủ, hai tập:

Do tính đối xứng ta có, {τ = σ} ∈ Aτ Cuối cùng biến cố của {τ < σ} là

{σ ≤ τ} ∈ Aτ , suy ra {τ < σ} ∈ Aτ ; biến cố đối của {τ ≤ σ} ∈ Aτ là

là đo được đối với Aτ , tức là: Xτ ∈ Aτ.

Thật vậy, với mọi tập Borel B của đường thẳng.

{Xτ ∈ B} ∩ {τ = n} = {Xn ∈ B}, {τ = n} ∈ An

Vì {Xn ∈ B} ∈ An Điều này chứng tỏ {Xτ ∈ B} ∈ Aτ, tức là Xτ ∈ Aτ

1.4 Quá trình Martingale rời rạc.

Các định nghĩa dưới đây có hiệu lực khi thay tập số nguyên không âm

N= 0, 1, bằng tập hữu hạn (0, 1, , N), N ∈ N

(iii) với m ≤ n,m,n ∈ N E(Xn|A ) ≤ Xm, P− hầu chắc chắn.

Martingale dưới (đối với {An, n ∈ N}) ,nếu điều kiện (i), (ii) được thựchiện, và

(iii’) với m ≤ n,m,n ∈ N E(Xn|Am) ≥ Xm, P− hầu chắc chắn

Martingale (đối với {An, n ∈ N}) , nếu điều kiện (i), (ii) được thực hiện, và(iii’) với m ≤ n,m,n ∈ N E(Xn|Am) ≥ Xm, P− hầu chắc chắn

Martingale (đối với {An, n ∈ N}) , nếu điều kiện (i), (ii) được thực hiện, và(iii") với m ≤ n,m,n ∈ N E(Xn|Am) = Xm P- hầu chắc chắn

1.4.2 Các ví dụ.

Ví dụ 1.1 Giả sử (ξn, n ∈ N) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với

Eξn = 0, n ∈ N.

Khi đó các tổng riêng Sn = ξ0+ + ξn là dãy martingale đối với An =

σ (ξ0, , ξn) Thật vậy, do Sn−1 ∈ An−1 và tính độc lập của ξn với An−1, ta có

E(Sn|An−1) = E(Sn−1+ ξn|An−1) = Sn−1+ Eξn = Sn−1

Ví dụ 1.2 Giả sử X là biến ngẫu nhiên nào đó có E|X| < ∞ và {An, n ∈ N}

là dãy σ−trường con không giảm của A Khi đó, dãy

Xn = E(X|An)

là dãy martingale đối với An, n ∈ N Thật vậy, vì An−1 ⊂ An ta có

Xn−1 = E(X|An−1) = E(E(X|An)|An−1) = E(Xn|An−1)

Ví dụ 1.3 Nếu X = {Xn, A , n ∈ N} là martingale và g là hàm lồi với

E|g(Xn)| < ∞, n ∈ N thì {g(Xn), A , n ∈ N} là martingale dưới.

Thật vậy, theo bất đẳng thức Jensen với m ≤ n ta có:

g(Xm) = g(E(Xn|Am)) ≤ E(g(Xn)|Am)

Tính chất 1.11 Nếu X = {Xn, A , n ∈ N} là martingale, thì E|Xn|p, 1 ≤

p< ∞ không giảm theo n ∈ N

Thật vậy, do |x|p, 1 ≤ p < ∞ là hàm lồi, nên {|Xn|n, A , n ∈ N} là gale dưới, vì thế từ tính chất hai ta có tính chất ba.

martin-Tính chất 1.12 Giả sử X = {Xn, A , n ∈ N} là martingale trên, và τ, σ là hai thời điểm Markov (đối với {An, n = 0, 1, , N}) sao cho P{τ ≤ N} = 1 Khi đó:

Xσ ≥ E(Xσ|A ) trên tập {τ ≥ σ }, P − hầu chắc chắn. (1.4.2)

n=0{σ = n} có độ đo không, nên từ (1.4.5) suy ra (1.4.2)

Tính chất 1.13 Nếu X = {Xn, A , n ∈ N} là martingale trên và τ, σ là hai thời điểm Markov (đối với {An, n = 0, 1, , N}) sao cho P{σ ≤ τ ≤ N} = 1 Khi đó:

n , An, n =

0, 1, , N} là martingale dưới, nên theo khẳng định thứ hai thì EXτ− ≤

Tính chất 1.15 Giả sử X = {Xn, A , n ∈ N} là martingale (martingale dưới)

τ là hai thời điểm Markov (đối với {An, n = 0, 1, , N}) Khi đó dãy "ngắt" tại thời điểm τ, Tức là:

Xτ = {Xn∧τ, A , n ∈ N}

cũng là martingale (martingale dưới).

Chứng minh. Thật vậy, ta thấy:

Chương 2

Ứng dụng

2.1 Bài toán Gambler và Martingale

Bài toán Gambler Hai đấu thủ A và B chơi một trò chơi như sau: tung một

đồng xu nếu đồng xu ngửa thì đấu thủ A được 1 đồng ngược lại đấu thủ Amất 1 đồng Giả sử rằng, số tiền ban đầu của các đấu thủ A và B là a đồng

và b đồng và họ sẽ tiếp tục chơi đến khi một trong số họ hết tiền

Nếu đấu thủ A thắng thì đấu thủ B hết tiền, ngược lại, đấu thủ B thắngthì đấu thủ A hết tiền Vì vậy ta chỉ quan tâm đến tiền của đấu thủ A

Kí hiệu Xi là số tiền mà đấu thủ được được ở lần tung thứ i Khi đó

Xi, i = 1, 2, là các biến ngẫu nhiên độc lập với phân phối xác suất

P(Xi = 1) = p, P(Xi = −1) = q

với q = 1 − p và E(Xi) = p − q

Tổng số tiền sau lần gieo thứ n cho bởi

Sn = X1+ X2+ · · · + Xn

với S0 = 0 và n = 1, 2,

Kí hiệu Fn= σ (X1, X2, , Xn) cho σ -đại số nhỏ nhất sinh bởi X1, X2, , Xn

Khi đó Fn ⊂ Fn+1 được xem như lịch sử của trò chơi đến thời điểm n ( lầngieo thứ n )

Tính chất 2.1 Số tiền trung bình sau lần gieo thứ n + 1 Khi cho bởi lịch

Tính chất 2.2 Trong trường hợp diễn ra công bằng, tức là {Sn, F , n ≥ 0}

là martingale với {Fn = σ (X1, X2, , Xn)} Khi đó {Yn = S2

n− n, n ≥ 0}

cùng là martingale đối với F , n ≥ 1.

Chứng minh. Vì Yn là hàm của X1, X2, , Xn nên Yn là Fn-đo được Vì

|Yn| ≤ n + n2 nên Yn là khả tích Để chứng minh {Yn} là martingale ta phảichỉ ra E[Sn+1|Fn] = Yn chúng ta có

E[Yn+1|Fn] = E[Yn|Fn] + E[2SnXn|Fn] + E[X2

n+1|Fn] − 1

= Yn+ 2SnE[Xn+1|Fn] + E[X2

n+1] − 1

= Yn+ 0 + 1 − 1 = Yn

Tính chất 2.3 Trong trò chơi Gambler tổng quát, tức là xác suất đấu thủ A

được tiền hay lần gieo thứ i là P(Xi = 1) = p , xác suất đấu thủ A mất tiền

ở lần gieo thứ i là P(Xi = −1) = q Đặt Sn= X1+ Xn và định nghĩa

Zn = (q

p)Sn, n ≥ 1

Khi đó {Zn, n ≥ 1} là martingale đối với F = σ (X1, X2, , Xn).

Chứng minh. Vì Zn là hàm của X1, X2, , Xn nên Zn là Fn-đo được Mặtkhác, |Zn| ≤ |q

p|n+ ⌊p

q⌋n nên Zn là khả tích với mỗi n chúng ta kiểm trađiều kiện

E[Zn+1|Fn] = Zn

Chúng ta có

E[Zn+1|Fn] = E

"

qp

Sn

·

qp

Sn

· E

"

qp

Xn+1#

= Zn·

"

qp



P(Xn+1 = 1) +

qp

−1

· q

#

= Zn(p + q) = Zn.Chú ý rằng p + q = 1

Nhận xét Trong trò chơi Gambler công bằng thì {Sn, n ≥ 1} là martingale.Nếu chúng ta cố định thời điểm n thì E[Sn] = 0 Điều này không thú vị gì.Tuy nhiên, chúng ta có thể dừng cuộc chơi khi số tiền đạt đến 100 Đây chính

Định lý 2.1 Nếu {Zn, n ≥ 0} là martingale đối với {Fn, n ≥ 1}, khi đó quá trình dừng {Yn= ZT ∧n} cũng là martingale đối với {Fn, n ≥ 1}.

Đặc biệt E[ZT ∧n] = E[Z0].

Định lý 2.2 Optional Stopping theorem Cho Z0, Z2, là martingale và

T là một thời điểm dừng hữu hạn Khi đó một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

i, T là bị chặn, tức là tồn tại số nguyên m sao cho T (ω) ≤ m

ii, {ZT ∧n, n ≥ 0} là bị chặn, tức là tồn tại hằng số k sao cho |ZT ∧n| ≤ k ∀n.

iii, E⌊T ⌋ < ∞ và tồn tại hằng số C sao cho |Zn− Zn−1| ≤ C ∀n

2.3 Áp dụng Optional Stopping theorem.

Xét bài toán ở mục 2.1 Giả sử rằng họ se chơi cho đến khi một trong haingười họ phá sản Vấn đề đặt ra là xác định xác suất để đấu thủ A phá sản vàtrung bình số lần gieo

Đặt bSn là số tiền của đấu thủ A sau lần gieo thứ n Khi đó

b

Sn = a + X1+ X2+ · · · + Xn = a + Sn

trong đó Xi, i = 1, 2, là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối xác suất

P(Xi = 1) = 12, P(Xi = −1) = 12 Trò chơi sẽ kết thúc nếu đấu thủ A hoặc B

là phá sản, tức là thời điểm dừng của cuộc chơi là

T = min{n : bSn = 0 hoặc bSn = a + b}

= min{n : Sn = −a hoặc Sn = a + b}

Chúng ta đã biết, {Sn, n ≥ 0} là martingale Vì SY = −a hoặc ST = b nênchúng ta có

P(ST = −a) + P(ST = b) = 1 (2.3.1)Chú ý rằng { đấu thủ A là phá sản} = {ST = −a}

Vì vậy |ST ∧n| ≤ a + b ∀n ≥ 1, theo định ngĩa Doob ta có E[ST] = E[S0] tứclà

E[ST] = (−a) · P(ST = −a) + b · P(ST = b) = 0 (2.3.2)Giải (2.3.1) và (2.3.2) ta thu được

P(ST = −a) = b

a+ b; P(ST = b) =

a

a+ bTrung bình số lần gieo E[T ]

Chúng ta đã biết, Yn= S2n− n, n ≥ 0 là quá trình martingale vì vậy quá trìnhdừng YT∧n= S2T∧n− (T ∧ n) cũng là martingale Vì vậy, chúng ta có

E[YT ∧n] = E[YT2∧n] = E[T ∧ n] = 0

Định lý 2.3 Xét du động ngẫu nhiên {Sn, n ≥ 0} với 0 < S0 = k < N sao cho Sn = S0+ X1+ X2· · · Xn với P(Xi = 1) = p, P(Xi = −1) = q, p = 1 − q.

Giả sử p 6= q Khi đó xác suất để du động chạm 0 tức khi chạm N là

Chứng minh. Đặt {T = min{n : Sn= 0 hoặc Sn= N}} là thời điểm đầu tiên

du động chạm 0 hoặc N Khi đó ST = 0 có nghĩa là du động chạm 0 trướckhi chạm N và ST = N du động chạm N trước khi chạm 0

Vì vậy ta có.

P(ST = 0) + (q

p)N(1 − P(ST = 0)) = (q

p)KSuy ra P(ST = 0) = (

q

p)K− (qp)N

1− (qp)N

KẾT LUẬN

Thực tập chuyên ngành với đề tài:“Martingale rời rạc và ứng dụng”,

em đã nghiên cứu được các nội dung chủ yếu sau:

1 Martingale rời rạc

2 Ứng dụng

Ngoài sự nỗ lực học hỏi và tìm tòi của bản thân, đề tài của em đã đượchoàn thành dưới sự giúp đỡ, hướng dẫn chỉ bảo tận tình của TS.Trần MinhTước và ý kiến đóng góp của các thầy cô trong khoa Toán và các bạn sinhviên Đề tài thực tập cơ bản đã đạt được mục đích đề ra Nó đã mang lại sựcần thiết và những lợi ích của thực tập chuyên ngành nói chung và việc đàotạo Cử nhân ngành Toán nói riêng, góp phần trong sự phát triển của Toánhọc Tuy nhiên do thời gian có hạn và mới bắt đầu làm quen với phươngpháp nghiên cứu khoa học nên đề tài này cũng không tránh khỏi thiếu sót

Em rất mong được sự chỉ bảo, đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn để đềtài này được hoàn thiện hơn Em xin chân thành cảm ơn!

Hà nội, ngày 10 tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Phạm Thị Lan Anh