Tích chập suy rộng fourier cosine, fourier sine thời gian rời rạc và ứng dụng

Cho tới nay vẫn chưa có công trình nào về phép biếnđổi thời gian rời rạc nói chung và biến đổi Fourier cosine thời gian rời rạc,Fourier sine thời gian rời rạc nói riêng cũng như bất đẳng

NGUYỄN ANH ĐÀI

TÍCH CHẬP SUY RỘNG FOURIER COSINE, FOURIER SINE THỜI GIAN RỜI RẠC

VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

Hà Nội - 2020

NGUYỄN ANH ĐÀI

TÍCH CHẬP SUY RỘNG FOURIER COSINE, FOURIER SINE THỜI GIAN RỜI RẠC

VÀ ỨNG DỤNG

Ngành: Toán học

Mã ngành: 9460101

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯÒI HƯÓNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS NGUYỄN XUÂN THẢO

MỤC LỤC

DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG Bố CỦA LUẬN ÁN 102

TÀI LIỆU THAM KHẢO 103

3

LỜI CAM ĐOAN

Luận án này được viết dựa trên những nghiên cứu của tác giả tại TrườngĐại học Bách khoa Hà Nội, dưởi sự hưởng dẫn của thầy PGS.TS Nguyễn XuânThảo

Các kết quả trong luận án này là mói và chưa từng công bố trong bất kỳcông trình khoa học nào của tác giả khác

Giáo viên hướng dẫn

Hà nội, tháng 8 năm 2020

Tác giả

LỜI CẢM ƠN

Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, dưởi

sự hưởng dẫn khoa học tận tình của PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo Thầy đãdành nhiều công sức, dẫn dắt tôi vào con đường nghiên cứu khoa học, độngviên khích lệ tôi vượt lên những khó khăn trong học tập và cuộc sống Từ tậnđáy lòng, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tói Thầy và

sẽ cố gắng phấn đấu hơn nữa để xứng đáng vói công lao của Thầy

Tác giả xin chân thành cảm ơn Viện Toán ứng dụng và Tin học cũng nhưPhòng Đào tạo - Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, đã tạo mọi điều kiện thuậnlợi cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Vũ Kim Tuấn, TrườngĐại học West Georgia, USA và TS Nguyễn Thanh Hồng, Trường Đại học Sưphạm Hà Nội Người thầy và người anh đã luôn động viên tác giả trong quátrình học tập nghiên cứu, và có những ý kiến đóng góp sâu sắc về nội dung khitác giả hoàn thành luận án

Xin chân thành cảm ơn các thành viên trong nhóm Seminar Giải tích Trường ĐH Bách khoa Hà Nội, Seminar Giải tích - Trường ĐH KHTN - ĐH

-QG Hà Nội về những trao đổi hữu ích giúp cho Luận án được hoàn thiện hơn.Những ý kiến của các giáo sư và các đồng nghiệp tham dự các semina này đãgiúp tôi trưởng thành hơn trong nghiên cứu khoa học Đặc biệt, những độngviên, nhận xét quý báu và ý kiến đóng góp sâu sắc của GS.TSKH NguyễnVăn Mậu, PGS.TS Nguyễn Thủy Thanh, PGS.TS Hà Tiến Ngoạn, PGS.TS.Nguyễn Minh Tuấn, TS Nguyễn Văn Ngọc, PGS TS Trịnh Tuân, PGS.TS.Nguyễn Minh Khoa, TS Phạm Văn Hoằng, TS Nguyễn Hải Sơn, TS NguyễnQuang Chung, TS Trần Hồng Thái, là những kinh nghiêm quý báu để luận

án hoàn thiện một cách thuận lợi Một lần nữa, em xin được bày tỏ lòng biết

ơn chân thành đến những người thầy mà em luôn tôn kính, đến những ngườianh, người chị và những đồng nghiệp

Xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, các thầy cô trong Bộ môn Toán,Khoa khoa học cơ bản, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên, nơi tácgiả đang công tác, đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trìnhhoànthành luận án.

Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn từ tận đáy lòng đến gia đình bạn bè

và đồng nghiệp, nơi luôn dành cho tác giả tình yêu thuơng vô hạn Trong quátrình học tập và hoàn thành luận án, tất cả các Thầy, bạn bè, đồng nghiệp,đặc biệt là các thành viên trong gia đình, đã luôn sát cánh, động viên và ủng

hộ tác giả Đó là nguồn động lực to lởn giúp tác giả hoàn thành luận án củamình

Tác giả

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIET TÁT

với chuẩn sup

• F là biến đổi tích phân Fourier (xem trang 10)

• Lp(R+), 1 < p < 1, là không gian các 11 àm số f xác định trên R+, thỏamãn

• T là toán tử tích chập thời gian rời rạc (xem trang 21)

• (• * •) (xem trang 12) là tích chập đối với phép biến đổi Fourier

• (• * •) (xem trang 12) là tích chập đối với phép biến đổi Fourier cosine

(• * •) (xem trang 13) là tích chập đối với phép biến đổi Fourier sine.

(• * •) (xem trang 13) là tích chập với hàm trọng 7 (y) = sin y đối với

phép biến đổi Fourier

'1 (No) (xem trang 30) là không gian các dãy số phức x := {x(n)}n>0được trang bị với chuẩn

IM, := (“

||x||i :=sup |xn| < 1

n>0

• F c DT (xem trang 30) là biến đổi Fourier cosine thời gian rời rạc.

• F s DT (xem trang 31) là biến đổi Fourier sine thời gian rời rạc.

• (• * •) (xem trang 36) là tích chập suy rộng đối với phép biến đổiFourier sine thời gian rời rạc

• (• * •) (xem trang 43) là tích chập suy rộng với hàm trọng7(y) = sin !

đối với phép biến đổi Fourier sine thời gian rời rạc

• (• * •) (xem trang 50) là tích chập suy rộng đối với phép biến đổiFourier cosine thời gian rời rạc

• (• * •) (xem trang 55) là tích chập suy rộng với hàm trọng7(y) = sin !đối với phép biến đổi Fourier sine thời gian rời rạc

• (• * •) (xem trang 64) là tích chập đối với phép biến đổi Fourier cosinethời gian rời rạc

• T sDT (xem trang 71) là toán tử kiểu tích chập suy rộng Fourier sinethời gian rời rạc

! 1+ X |x(n)|p ) < 1

• r T s DT (xem trang 71) là toán tử nghịch đảo kiểu tích chập suy rộngFourier sine thời gian rời rạc.

• TDy (xem trang 73) là toán tử nghịch đảo kiểu tích chập suy rộngFourier cosine thời gian rời rạc

• T cDT (xem trang 73) là toán tử kiểu tích chập suy rộng Fourier cosinethời gian rời rạc

• T cDT (xem trang 75) là toán tử kiểu tích chập Fourier cosine thời gianrời rạc

1

• TcDT (xem trang 76) là toán tử nghịch đảo kiểu tích chập Fourier cosinethời gian rời rạc

MỞ ĐẦU

1 Lịch sử vấn đề và lí do lựa chọn đề tài

A Phép biến đổi tích phân đối với lớp hàm khả tích

Lý thuyết phép biến đổi tích phân và tích chập đối với các phép biến đổitích phân có vai trò quan trọng không thể thiếu trong các ngành y sinh học,địa lý, hải dương học, Các phép biến đổi tích phân ra đời rất sớm và cóvai trò đặc biệt quan trọng trong lí thuyết cũng như trong ứng dụng, phải

kể đến trước hết là phép biến đổi Fourier, Fourier sine, Fourier cosine, phépbiến đổi Laplace, phép biến đổi Mellin, sau đó là các phép biến đổi Hankel,Kontorovich-Lebedev, Bản thân phép biến đổi Fourier ra đời xuất phát từbài toán thực tế khi J Fourier nghiên cứu về quá trình truyền nhiệt

Phép biến đổi Fourier có dạng (xem [1, 2, 3])

1

(Ff )(x) = F[/](!) = -—= ỉ e~' xy f (ý)dy, f 2 L1 (R); (0.1)

V2% J

—1 N (Ff)(x) = F[f](x)= lim —= í e~ ixx f (y)dy,f 2 Lp( R ); 1 < p < 2.

Nếu g(x) = (Ff )(x) 2 Lp( R ); 1 < p < 2, ta có phép biến đổi Fourier ngược

như sau (xem [1, 2])

N

f (x) = (F- 1 g)(x) = F-1[g](x) = lim —= í e ixy g(y)dy. (0.4)

N!1 ự 2u J

-N

và ta nhận được phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine có dạng như

Theo lịch sử phát triển thì các khái niệm về tích chập lần lượt được xuấthiện với những tên gọi khác nhau như: tích chập suy rộng (tích chập suyrộng không có hàm trọng và tích chập suy rộng có hàm trọng), tích chập(tích chập không có hàm trọng và tích chập có hàm trọng) và đa chập.

Đối với tích chập mà trong đẳng thức nhân tử hóa của nó có nhiều hơnmột phép biến đổi tích phân được gọi là tích chập suy rộng Trong luận ánnày, tích chập suy rộng được gọi theo tên của phép biến đổi tác động vàotích chập suy rộng trong đẳng thức nhân tử hóa

(Fc f )(y) = Fc[f](y) = f (x) cos(xy)dx; f 2 L1(R+);

Tích chập đầu tiên được xây dựng là tích chập đối với phép biến đổi

Fourier, cụ thể tích chập của hai hàm f và g đối với phép biến đổi Fourier

có dạng như sau (xem [5, 9])

Năm 1912, Young đã đưa ra bất đẳng thức cơ bản (xem [12, 13])

||f *g\\L r(R) <||f||Lp(R)||g||Lq(R); 1 + 1 = 1 + 1, 1 <p;q;r< 1; (0.11)cho tích chập Fourier trên R

(f * g)(x) = Ị f (x - y )g ( y )d y.

RBất đẳng thức Young được chứng minh cũng đúng cho tích chập Fourier trêncác nhóm compact địa phương bất kỳ (kể cả Z) Tuy nhiên, bất đẳng thứcYoung (0.11) chưa phải bất đẳng thức chặt Tới năm 1975, w Beckner đãđưa ra hằng số tối ưu cho bất đẳng thức Young (xem [14])

Năm 1951, I.N Sneddon xây dựng tích chập của hai hàm chẵn f và g đối

với phép biến đổi Fourier cosine như sau (xem [9])

Năm 1958, lần đầu tiên Y.Ya Vilenkin thiết lập được công thức tích chậpvới hàm trọng đối với phép biến đổi Mehler-Fox (xem [20]).

Gần một thập kỷ sau, năm 1967, V.A Kakichev đã đưa ra phương phápkiến thiết để xây dựng tích chập với hàm trọng đối với một phép biến đổitích phân bất kỳ (xem [21]) Nhờ đó, ông đã xây dựng được tích chập đốivới các phép biến đổi tích phân Hankel, Kontorovich-Lebedev, tích chập vớihàm trọng đối với phép biến đổi tích phân Fourier sine (xem [21, 23]),

Vào năm 1951, trong cuốn sách của mình [3], I.N Sneddon đưa ra côngthức tích chập suy rộng Fourier sine, xác định như sau (xem [3])

số tích chập suy rộng đã được xây dựng và nghiên cứu, chẳng hạn tích chậpsuy rộng đối với các phép biến đổi Stieltjes, Hilbert, Fourier cosine và Fouriersine, Kontorovich-Lebedev, Laplace và biến đổi H, (xem [5, 26, 27, 28])

Khoảng những năm 1990, một số tích chập suy rộng đối với phép biếnđổi tích phân theo chỉ số được nghiên cứu bởi tác giả S.B Yakubovich (xem[30, 31, 32])

Năm 1998, V.A Kakichev và N.x Thảo đã đưa ra phương pháp kiếnthiết, cho điều kiện cần để xác định tích chập suy rộng đối với ba phép biếnđổi tích phân bất kỳ với hàm trọng là 7 sao cho thỏa mãn đẳng thức nhân

tử hóa (xem [25])

K 3 (f ị g)(y) = 7( y )(K i f )(y) • (K 2g )( y ); ỉ = 1,2, 3. (0.18)

K i

Từ định nghĩa trên cho thấy, vế phải xuất hiện hai phép biến đổi tíchphân khác nhau do đó ứng dụng sẽ phong phú hơn (trong khi đối với tíchchập thìđẳng thức nhân tử hóa chỉ có một phép biến đổi tích phân), do vậycác thông tin nhận được có thể từ nhiều nguồn khác nhau Mặt khác, khihoán đổi các phép biến đổi tích phân theo một trật tự nhất định sẽ nhậnđược các tích chập suy rộng khác nhau, vì thế những ứng dụng nhận đượckhá đa dạng.

Trên cơ sở đó, trong Luận án của mình năm 2007 tác giả N.M Khoa đãxây dựng và nghiên cứu các tích chập suy rộng với hàm trọng đối với ba phépbiến đổi tích phân là các biến đổi Fourier, Fourier cosine, Fourier sine và tíchchập suy rộng đối với hai phép biến đổi tích phân thuộc các biến đổi đó, cácbất đẳng thức chuẩn Từ đó đưa ra ứng dụng giải một lớp các phương trìnhtích phân, hệ phương trình tích phân kiểu tích chập (xem [33])

Tiếp theo, năm 2012 tác giả N.T Hồng khi xét các biến đổi tích phân hênquan đến các tích chập và tích chập suy rộng có hàm trọng đối với nhóm cácphép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine và Fourier cosine đã xây dựngđược các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier sine, kiểu tích chậpsuy rộng Fourier sine-cosine, kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine-sine vớihàm trọng, bất đẳng thức kiểu Young Luận án xây dựng được điều kiện cần

thiết lập công thức phép biến đổi ngược (xem [34])

Phương trình Toeplitz-Hankel với lớp hàm khả tích

Là phương trình có nhiều ứng dụng thú vị trong các lĩnh vực khoa họckhác nhau như lý thuyết tán xạ, lý thuyết động lực học chất lỏng, lý thuyếtlọc tuyến tính, trong nghiên cứu về va chạm đàn hồi, tán xạ khí quyển, độnglực học khí loãng, Phương trình Toeplitz-Hankel tổng quát có dạng (xem[35, 36, 37])

1

f(x) + Ị [ k ! (x ■ y) ■ k 2 (x - y)] f (y}dy =

g(x),x > 0, (0.19)

Nhờ công cụ tích chập suy rộng mới xây dựng được, trong Luận án năm

2012, tác giả N.T Hong đã giải được một số lớp các phương trình tích phânnày với nhân Toeplitz và nhân Hankel đặc biệt, cũng như nhân Toeplitz vànhân Hankel bất kỳ nhưng vế phải đặc biệt, với nghiệm thu được biểu diễndưới dạng đóng (xem [34, 38, 39] và [40])

Năm 2013, nhóm tác giả P.K Anh, N.M Tuan và P.D Tuan cũng đãxét phương trình Toeplitz-Hankel (0.19) trong trường hợp nhân là hàm tuầnhoàn(xem [41]), phương trình ở dạng

2 X

A" x + Ị [k 1 (x ■ y) ■ k2(x - y)]ộ(y )d y = g (x) :

Cho đến nay, ngoại trừ một số trường hợp đặc biệt, bài toán tìm nghiệmđóng cho phương trình Toeplitz-Hankel với lớp hàm khả tích trong trườnghợp tổng quát vẫn đang là bài toán mở

B Biến đổi Fourier thời gian rời rạc với lớp hàm khả tổng

Trong các bài toán thực tế như xử lý tín hiệu, xử lý ảnh hay xử lý âmthanh ta luôn nhắc đến một trong những biến đổi quan trọng, đó là biến đổiFourier thời gian rời rạc

Biến đổi Fourier thời gian rời rạc đối với dãy tín hiệu thời gian rời rạc

x(n) được xác định bởi (xem [42, 43, 44, 45, 47])

2x J

—X

trong đó ! là biến thực, các tín hiệu đầu vào x(n) không phụ thuộc vào !

Tích chập đối với lớp hàm khả tổng

Tích chập đối với biến đổi Fourier thời gian rời rạc của hai dãy x(n) và

y(n) có dạng như sau (xem [43, 46, 47, 48])

1

{x(n) * y(n)g(m) = x(m)y(n — m), —1 <n< 1, (0.22)

thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

FDT {x(n) * y(n)g(!) = FDT{x(n)}(w) • FDT{y(n)}(w), (0.23)với x(n),y(n) 2 C, —1 < n < 1, và đẳng thức Parseval

n=—co _

với y 1 (n) là liên hợp phức của y(n) và có Y*(w) = F DT{y*(n)g.

Quan sát một cách hình thức, biểu thức tích chập dưới dạng tổng có thểhình dung tựa như biểu thức tích chập dưới dạng tích phân của lớp hàm khảtích, nhưng biểu thức tích chập dưới dạng tổng khác với biểu thức tích chậpdưới dạng tích phân Tích chập dưới dạng tích phân là một công cụ phântích toán học trong lý thuyết hệ thống tuyến tính thời gian liên tục, còn biểuthức tích chập dưới dạng tổng ở đây (tích chập thời gian rời rạc) đóng vaitrò quan trọng đối với hệ thống tuyến tính thời gian rời rạc, với dữ liệu đầuvào là các dãy số (thực hoặc phức) Vì vậy tích chập dưới dạng tích phân vàtích chập dưới dạng tổng là hai đối tượng hoàn toàn khác nhau, dẫn tới cáchtiếp cận và nghiên cứu chúng cũng khác nhau

Tích chập Fourier thời gian rời rạc rất có ý nghĩa trong lĩnh vực xử lý tínhiệu số, là hệ thống tuyến tính bất biến thời gian trong xử lý các tín hiệuđầu vào (xem [42, 44, 49])

Với ý nghĩa quan trọng trong nhiều lĩnh vực như vậy, nhưng cho tới thờiđiểm hiện nay có rất ít kết quả công bố liên quan tới phép biến đổi Fourierthời gian rời rạc, vẫn dừng lại ở việc đưa ra tính chất, công thức tích chập(xem [42, 43, 46, 50]) Cho tới nay vẫn chưa có công trình nào về phép biếnđổi thời gian rời rạc nói chung và biến đổi Fourier cosine thời gian rời rạc,Fourier sine thời gian rời rạc nói riêng cũng như bất đẳng thức tích chập suyrộng thời gian rời rạc và phép biến đổi kiểu tích chập suy rộng thời gian rờirạc cũng chưa hề được nhắc tới

Do đó vấn đề nghiên cứu các tích chập suy rộng liên quan đến phép biến

đổi Pourier cosine hoặc Pourier sine thời gian rời rạc, các tính chất toán tử,

1 Mục đích: Nghiên cứu biến đổi Fourier cosine thời gian rời rạc và biến

đổi Fourier sine thời gian rời rạc với các dãy tín hiệu ban đầu là cácdãy chẵn lẻ đối xứng Từ đó xây dựng các tích chập suy rộng đối vớicác phép biến đổi Fourier cosine, Fourier sine thời gian rời rạc và tíchchập với phép biến đổi Fourier cosine thời gian rời rạc Đánh giá các

các bất đẳng thức kiểu tích chập suy rộng, các phép biến đổi kiểu tích chập suy rộng và ứng dụng vào giải phương trình Toeplitz - Hankel rời rạc là một

nội dung có ý nghĩa khoa học cần được tiếp tục nghiên cứu

Trên cơ sở đó và để phát triển hướng nghiên cứu này chúng tôi chọn đề

tài cho Luận án với tên gọi " Tích chập suy rộng Pourier cosine, Pourier sine

thời gian rời rạc và ứng dụng".

2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

bất đẳng thức tích chập suy rộng, tích chập thời gian rời rạc và ứngdụng giải một số lớp phương trình Toeplitz-Hankel rời rạc.

• Đối tượng: Tích chập suy rộng, tích chập, bất đẳng thức tích chập suyrộng, biến đổi kiểu tích chập suy rộng đối với các biến đổi tích phânFourier cosine, Fourier sine thời gian rời rạc và phương trình Toeplitz -Hankel rời rạc

• Phạm vi nghiên cứu: Là tích chập suy rộng, tích chập, phép biến đổikiểu tích chập suy rộng Fourier cosine thời gian rời rạc, phép biến đổikiểu tích chập suy rộng Fourier sine thời gian rời rạc; các bất đẳngthức tích chập suy rộng Fourier cosine và Fourier sine thời gian rời rạc;phương trình Toeplitz-Hankel rời rạc

3 Phương pháp nghiên cứu

Trong Luận án sử dụng các phương pháp giải tích hàm, phương pháptoán tử, phương pháp biến đổi tích phân Bên cạnh đó, phương pháp biếnđổi thời gian rời rạc cũng được sử dụng

4 Cấu trúc và các kết quả của Luận án

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận án được trìnhbày trong ba chương sau:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi nhắc lại

những kiến thức cần dùng trong Luận án Cụ thể là các dãy tín hiệu thờigian rời rạc, hệ thống tín hiệu, hệ thống tuyến tính bất biết thời gian, tíchchập của hệ thống tuyến tính bất biến thời gian, biến đổi Fourier thời gianrời rạc và những định lý, mệnh đề có liên quan đến Luận án

Chương 2: Tích chập suy rộng Fourier cosine, Fourier sine thời gian

rời rạc Trong chương này chúng tôi xây dựng các biến đổi Fourier cosine,

Fourier sine thời gian rời rạc, tích chập suy rộng và tích chập đối với biến đổi

đã xây dựng được Nghiên cứu tính chất toán tử của các tích chập suy rộngnày như sự tồn tại, tính bị chặn, đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức ParsevaLNghiên cứu các bất đẳng thức đối với các tích chập suy rộng thời gian rời rạchên quan tới các biến đổi Fourier cosine và Fourier sine thời gian rời rạc trêncác không gian dãy Nhận được định lý kiểu Young rời rạc, bất đẳng thứckiểu Young rời rạc, từ đó thu được các đánh giá các bất đẳng thức chuẩn đốivới các tích chập suy rộng, tích chập đó

Chương 3: Phép biến đổi kiểu tích chập suy rộng thời gian rời rạc và

phương trình Toeplitz-Hankel rời rạc Trong chương này chúng tôi nghiên cứumột

số phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng, tích chập liên quantới các tích chập suy rộng Fourier cosine, Fourier sine thời gian rời rạc xâydựng được trong Chương 2, nhận được điều kiện cần và đủ để biến đổi tích

phân kiểu tích chập suy rộng nói trên là unita trong các không gian l 2(No)

và '2(N0) ứng dụng của các tích chập, tích chập suy rộng đã xây dựng đượctrong Chương 2 vào việc giải và đánh giá nghiệm của một vài lớp của phươngtrình, hệ phương trình Toeplitz-Hankel rời rạc

5 Ý nghĩa các kết quả đạt được trong Luận án

Xây dựng các tích chập suy rộng, tích chập suy rộng với hàm trọng vàtích chập mới đối với các biến đổi Fourier cosine thời gian rời rạc và biến đổiFourier sine thời gian rời rạc, từ đó nghiên cứu các phép biến đổi kiểu tíchchập suy rộng, tích chập thời gian rời rạc

Nghiên cứu và thiết lập được những bất đẳng thức về chuẩn đối với cáctích chập suy rộng, tích chập Fourier sine thời gian rời rạc và Fourier sinethời gian rời rạc mới xây dựng được, các định lý kiểu Young rời rạc, bất đẳngthức kiểu Young rời rạc Từ đó nhận được ứng dụng giải và đánh giá nghiệmcủa một số lớp phương trình Toeplitz-Hankel rời rạc

Góp phần làm phong phú thêm về lý thuyết các biến đổi thời gian rời rạc,bất đẳng thức tích chập suy rộng và bất đẳng thức tích chập Các kết quả

và ý tưởng của Luận án có thể sử dụng trong nghiên cứu các tích chập suyrộng đối với các biến đổi thời gian rời rạc khác

Nội dung chính của Luận án dựa trên 4 công trình đã công bố, trong đó

có 2 bài đăng trên tạp chí khoa học thuộc danh mục ISI, 1 bài đăng trên tạpchí quốc tế và 1 bài thuộc tạp chí quốc gia Các kết quả này đã được báo cáotoàn bộ hay từng phần tại các Hội nghị khoa học và các Seminar sau:

• Các hội nghị khoa học:

- Hội nghị Khoa học Đại học Bách khoa Hà Nội, tháng 11 năm 2016;

- Hội nghị Quốc tế "Xu hướng mới trong tối ưu hóa và giải tích biếnphân cho các ứng dụng" tại Quy Nhơn tháng 12 năm 2016;

- Hội nghị ứng dụng toán học Việt Nam lần thứ 2 tại Hồ Chí Minhtháng 12 năm 2017;

- Đại hội toán học toàn quốc lần thứ 9 tại Nha Trang tháng 8 năm2018;

- Hội thảo Khoa học liên kết quốc tế về "Phương trình tích phân vàứng dụng" tại Hưng Yên tháng 10 năm 2018

• Các seminar:

- Seminar Giải tích và Đại số, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đạihọc Quốc gia Hà Nội;

- Seminar Giải tích, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội;

- Seminar Bộ môn Toán, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên

CHƯƠNG 1

BIẾN ĐỔI FOURIER THỜI GIAN RỜI RẠC

Trong chương này, chúng tôi trình bày những khái niệm cơ bản về tínhiệu thời gian rời rạc, hệ thống tín hiệu thời gian rời rạc, hệ thống tuyến tínhbất biến thời gian Trình bày về biến đổi Fourier thời gian rời rạc, các địnhnghĩa, tính chất cơ bản và tích chập Fourier thời gian rời rạc, là các kiến thứcchuẩn bị cần sử dụng trong các chương tiếp theo của luận án Nội dung củachương được tham khảo từ các tài liệu [37, 42, 43, 44, 46, 48]

1.1 Tín hiệu thời gian rời rạc và hệ thống

1.1.1 Tín hiệu thời gian rời rạc

Tín hiệu rời rạc (về mặt thời gian) là tín hiệu chỉ xác định trên một tậprời rạc của thời gian (một tập những thời điểm rời rạc) Dưới dạng toán học,tín hiệu rời rạc mang giá trị thực (hoặc phức) có thể được xem là một hàmhên kết tương ứng từ tập số tự nhiên đến tập số thực (hoặc phức) ([46], 8.3

Basic Discrete-Time Signals).

Tín hiệu thời gian rời rạc được biểu diễn dưới dạng một dãy các giá trịvới phần tử thứ n của dãy được kí hiệu là x(n), được viết ở dạng như sau

([46], 8.3 Basic Discrete-Time Signals)

Để thuận tiện, ta thường đề cập đến dãy đơn vị mẫu là một xung thời gianrời rạc hoặc đơn giản là một xung lực

Tổng quát hơn, bất kỳ dãy tín hiệu nào đều có thể được thể hiện dướidạng chuỗi

lượng giác có trọng số theo cấp số nhân Cụ thể, nếua = |a|eỉ!° và A = Ae^,

đó là, phần thực và phần ảo của ei!°n Đại lượng !0 được gọi là tần số dao

động và ộ được gọi là pha.

1.1.2 Các hệ thống tuyến tính bất biến

a) Các hệ thống tuyến tính ([42])

Một hệ thống thời gian rời rạc được đặc trưng bởi một toán tử T là nhiệm

vụ biến đổi dãy vào x(n) thành dãy ra y(n) Chúng ta có thể sử dụng hai

loại ký hiệu toán tử sau:

y(n) = T {x(n)}

(Đáp ứng)

Phương trình (1.7) đại diện cho một quy tắc hoặc công thức để tính toáncác giá trị chuỗi đầu ra (đáp ứng của hệ thống) từ các giá trị chuỗi đầu vào(kích thích)

Cần nhấn mạnh rằng giá trị của chuỗi đầu ra tại mỗi giá trị của chỉ số n

có thể phụ thuộc vào các mẫu đầu vào x(n) cho tất cả các giá trị của n, tức

là, y tại thời điểm n có thể phụ thuộc vào tất cả hoặc một phần của toàn bộ

dãy x(n).

Hệ thống tuyến tính ([44])

Toán tử T đặc trưng cho một hệ thống tuyến tính khi và chỉ khi

ở đây, các hằng số tùy ý a,b 2 Z, y1(n) là đáp ứng đầu ra của kích thích

đầu vào x1(n) và y2(n) là đáp ứng của x 2 (n).

Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính ([48])

Ta thấy rằng một dãy bất kỳ x(n) có thể biểu diễn bằng biểu thức tổngtheo công thức (1.3) Giả sử hệ thống là tuyến tính, ta có thể viết:

k=—cc

x(n)(Kích thích)

Và ta có:

(1.10)

Đáp ứng h k(n) được gọi là đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính.

Nhận xét 1.1.1 ([48])

• Các hệ thống tuyến tính được biểu diễn bởi đáp ứng xung của nó

• hk(n) là hàm của k và n, như vậy ở các giá trị k khác nhau sẽ cho ta

các đáp ứng xung khác nhau, hệ thống tuyến tính này sẽ phụ thuộc vàobiến k, nếu biến k là thời gian thì ta có hệ thống tuyến tính phụ thuộcvào thời gian

b) Các hệ thống tuyến tính bất biến

Định nghĩa 1.1.1 ([48], 1.3.2 Các hệ thống tuyến tính bất biến)

Nếu y(n) là đáp ứng với kích thích x(n), thì hệ thống tuyến tính gọi là bất

biến khi y(n — k) là đáp ứng của kích thích x(n — k), ở đây k 2 Z.

Nếu biến số là thời gian, ta nói là hệ thống bất biến theo thời gian

Nhận xét 1.1.2 ([48], trang 24) Tích chập này chỉ đúng cho hệ thống tuyếntính bất biến, vì nó được định nghĩa cho hệ thống này.

Định lý 1.1.1 ([48], trang 37) Một hệ thống tuyến tính bất biến là ổn

định nếu và chỉ nếu đáp ứng xung của nó thỏa mãn điều kiện sau:

1.2 Biến đổi Fourier thời gian rời rạc

Biến đổi Fourier thời gian rời rạc là một dạng của giải tích Fourier có thể

áp dụng cho một chuỗi các giá trị Thuật ngữ thời gian rời rạc được đề cậpđến thực chất là để biến đổi hoạt động trên dữ liệu rời rạc, thường là cácmẫu có khoảng đơn vị thời gian

2x J

—X

ở đây X(w) là hàm tuần hoàn chu kv 2v Nó thay thế cho toàn bộ phổ thôngtin trong đoạn cơ bản cần cho sự mô tả đầy đủ tín hiệu Dãy tín hiệu đầuvào x(n) có thể là thực hoặc phức (thông thường ta xét tới là các tín hiệuphức)

Nhận xét 1.2.1 ([44], Nhận xét 3.1)

1 Nếu một chuỗi x(n) đại diện cho tín hiệu vật lý, biến đổi Fourier thời

gian rời rạc X(!) = F DT{x(n)}(!) có nghĩa là phổ tín hiệu, mô tả nộidung tần số của tín hiệu

2 Đặc biệt, nếu hàm thời gian h(n) đại diện cho đáp ứng xung của hệthống tuyến tính bất biến thời gian thời gian, biến đổi Fourier thời gian

rời rạc H(!) = FDT {h(n)}(u) có nghĩa là đáp ứng tần số, mô tả cách

hệ thống phản ứng với dãy đầu vào tuần hoàn có tần số góc !

Một điểm khác biệt nổi bật của biến đổi Fourier thời gian rời rạc so vớibiến đổi Fourier thời gian liên tục là tính tuần hoàn của nó (với chu kỳ 2%)trong (kỹ thuật số) biến tần số !, kết quả từ thực tế rằng đó là một hàm của

ei! tuần hoàn với chu kỳ 2% trong miền !, tức là ei(!+2n^) = e'!

Ta có thể gọi phương trình (1.14) là phương trình phân tích (analysisequation) và phương trình (1.15) là phương trình tổng hợp (synthesis equa-tiôn) ([44], trang 131)

Có thể nói rằng biến đổi Fourier thời gian rời rạc sẽ tồn tại nếu dãy x(n)

có năng lượng hữu hạn, tức là ([42], trang 51),

Nhận xét 1.2.2 ([44], Nhận xét 3.2) Lưu ý rằng, đối với đáp ứng xung h(n)

của hệ thống tuyến tính bất biến thời gian rời rạc, điều kiện tổng tuyệt đối(1.17) muốn chỉ ra rằng một hệ thống tuyến tính bất biến ổn định có đáp

1.2.2 Tính chất của biến đổi

a Tính tuần hoàn ([43], trang 17-1)

(1.17)

Từ biến đổi Fourier thời gian rời rạc X(!) xác định bởi phương trình

Tính tuần hoàn cho phép chúng ta chú ý đến biến đổi Fourier thời gian rờirạc chỉ trong một khoảng thời gian, ta thường dùng là khoảng X < ! < %

b Tính tuyến tính ([42], trang 59)

Với FDT{x(n)}(!) = X(!) và FDT {y(n)}(!) = Y(!), ta có

ax(n) + by(n) ^ D ! aX(!) + bY(!), Va.b 2 R, (1.19)công thức trên có ý nghĩa rằng biến đổi Fourier thời gian rời rạc của tổ hợptuyến tính của các dãy là một tổ hợp tuyến tính của các biến đổi Fourier thờigian rời rạc

c Nghịch đảo thời gian ([45], trang 138)

Nói chung, biến đổi Fourier thời gian rời rạc có thuộc tính đảo ngược thờigian:

và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

G(a) = FDT {x(n) * y(n)g(!) = X(a)Y(a).

Chúng ta nhớ lại rằng, nếu ta biểu diễn tín hiệu trong miền tần số liên

tục thì tích chập được định nghĩa bởi một tích phân

e Vi phân trong miền tần số tần số ([43], trang 17-3.)

Bằng cách vi phân hai vế của phương trình (1.14) theo biến ! ta có

= — i X nx(n) e~ i!n

= - ÌFDT{nx(n)}(w),

thu được tính chất vi phân trong miền tần số của biến đổi Fourier thời gian

rời rạc như sau

nx(n) ■ d! ' ■ idX(!

(m+r) m=—00 r=—00

(1-24)

Điều này có nghĩa là phép nhân với n trong miền thời gian ta được vi phân theo biến ! nhân với i trong miền tần số.

f Hệ thức ParscvaPs (Định lý Rayleigh) ([44], trang 144.)

Nếu x(n) có năng lượng hữu hạn và biến đổi Fourier thời gian rời rạc

i) Cho x(n) 2 '1(Z) và Q(z) là hàm giải tích trên miền tần số của

FDT {x(n)}(!>) Khỉ đó, $(FDT {x(n)}(w)) là biến đổi Pourier thời gian

rời rạc của dãy y(n) 2 'i(No) nào đó và lập thành chuỗi hội tụ tuyệt

Bình luận

Biến đổi Fourier thời gian rời rạc của lớp hàm khả tổng có sự khác biệtvới biến đổi Fourier của lớp hàm khả tích, điều đó được thể hiện rõ trong cáccông thức (1.14), (1.18) và ở trong ý ii) của Định lý 1.2.1

(1-25)

CHƯƠNG 2

TÍCH CHẬP SUY RỘNG FOURIER COSINE,

FOURIER SINE THỜI GIAN RỜI RẠC

Trong chương này, ta xét các trường hợp dãy tín hiệu ban đầu là các dãychẵn, lẻ trên miền đối xứng của biến đổi Fourier thời gian rời rạc Thu đượccác biến đổi biến đổi Fourier cosine và Fourier sine thời gian rời rạc

Mục 2.1 nghiên cứu chuẩn của dãy thời gian rời rạc, biến đổi Fourier thờigian rời rạc với các trường hợp dãy đầu vào là các dãy chẵn hay lẻ đối xứng.Các kết quả của mục này được trình bày dựa vào công trình [2] và [4] trongDanh mục các công trình đã công bố của luận án

Mục 2.2 nghiên cứu tích chập suy rộng Fourier sine thời gian rời rạc vàtích chập suy rộng Fourier sine thời gian rời rạc với hàm trọng Từ đó đưa

ra đánh giá bất đẳng thức chuẩn, định lý kiểu Young rời rạc, bất đẳng thứckiểu Young rời rạc, định lý kiểu Titchmarch Các kết quả của mục này đượctrình bày dựa vào công trình [1], [3] và [4] trong Danh mục các công trình đãcông bố của luận án

Mục 2.3 nghiên cứu tích chập suy rộng Fourier cosine thời gian rời rạc vàtích chập suy rộng Fourier cosine thời gian rời rạc với hàm trọng Thu đượccác đẳng thức nhân tử hóa, đưa ra các đánh giá bất đẳng thức chuẩn, định

lý kiểu Young, bất đẳng thức kiểu Young, định lý kiểu Titchmarch Các kếtquả của mục này được trình bày dựa vào công trình [1], [3] và [4] trong Danhmục các công trình đã công bố của luận án

Mục 2.4 nghiên cứu tích chập Fourier cosine thời gian rời rạc Thu đượcđẳng thức nhân tử hóa, công thức Parseval và các bất đẳng thức chuẩn trêncác không gian dãy Các kết quả của mục này được trình bày dựa vào côngtrình [2] trong Danh mục các công trình đã công bố của luận án

2.1 Biến đổi Fourier cosine và Fourier sine

thời gian rời rạc

Mục này đưa ra công thức chuẩn của dãy thời gian rời rạc, định nghĩacác biến đổi Fourier cosnie thời gian rời rạc và biến đổi Fourier sine thời gianrời rạc cùng các tính chất của các biến đổi

2.1.1 Chuẩn của dãy thời gian rời rạc

Cho 'p(No), 1 < p < 1, là không gian dãy các số phức x := {x(n)} n > 0

được trang bị với chuẩn

và ẹ(No) là không gian con của íp(No) khi x(0) = 0

2.1.2 Định nghĩa

Định nghĩa 2.1.1 Biến đổi Fourier cosine thời gian rời rạc đối với dãy tín

hiệu x(n) 2 'p(No) được định nghĩa bởi

n=1

1x( |n|)cos(n!);

được trang bị với chuẩn trong (2.1) ở đó, X c (u) là hàm tuần hoàn chu kỳ

2% Từ công thức (0.5) và (2.3) cho thấy, để mô tả hoàn toàn được tín hiệu

đầu vào x(n) ta cần xác định mọi thông tin đầu ra của X c (H) trên đoạn cơ

ở đây | | 11 p là chuẩn p của Lp(0,^)

Định nghĩa 2.1.2 Biến đổi Fourier sine thời gian rời rạc của dãy x :={x(n)}n>0 2 'p(N0) được xác định bởi

1

n=1Tương tự như đối với biến đổi Fourier cosine thời gian rời rạc ta thu đượcbiến đổi Fourier sine thời gian rời rạc ngược dạng

%

x(n) = F~D T{Xs(w)}(n) = X s (ix) sin(ni!)di!. (2.6)

% J

0

Được trang bị với chuẩn trong (2.1) đối với không gian'°(N0) Nếu x 2 '2(No),

thì đẳng thức Parseval’s cho biến đổi Fourier sine thời gian rời rạc có dạng

11x112 =

/-2.1.3 Tính chất

Với các dãy tín hiệu thời gian rời rạc ban đầu x(n), y(n) qua hai phép biến

đổi Fourier cosine, Fourier sine thời gian rời rạc ta được tín hiệu đầu ra tương

Ta có các tính chất sau:

a Tính tuyến tính: Khi các dãy x(n),y(n) 2 '1(N0), ta có

chất:

FC DT{ax(n) + by(n)}(w) = aX C (u) + bY C (!); Va, b 2 R:

FS DT {ax(n) + by(n)}((!) = aX s (xì) + bY s (xì), Va, b 2 R:

FC DT{x(n) cos(n!0)}(w) = ^X x(n) cos(n!0) cos(n!) + x^lmà ta biết rằng 2cos(n!o) cos(n!) = cos(n! 2!) + cos(nj! 2!), khi đó

(2.9)

(2.10)

sin(n!0) sin(n!) = ỉ[cos(n|!~!ũ |) — cos(n! 2!

c Vi phân trong miền tần số

i) Nếu dãy tín hiệu x(n) 2 '1 (N0), thì ta có

Theo biến đổi Fourier sine thời gian rời rạc (2.5) ta được

Như vậy ta được -y-Xdas(a) = F cDT{nx(n)}(a)

2.2 Tích chập suy rộng Fourier sine thời gian

rời rạc

Mục này dành cho việc nghiên cứu tích chập ruy rộng và tích chập suyrộng có hàm trọng đối với biến đổi Fourier sine thời gian rời rạc trên cáckhông gian

2.2.1 Tích chập suy rộng Fourier sine thời gian rời rạc

Định nghĩa 2.2.1 Tích chập suy rộng Fourier sine thời gian rời rạc của hai

dãy x(n) và y(n) là dãy (x * y)(n), xác định bởi

F sDT

(x * y)(n) = /2 x(m)[y(|n — m|) — y(n + m)], n > 0

F sDT

m=0

nếu chuỗi hội tụ với mọi n > 0

rộng (2.13) thuộc không gian'Oũ(No); hơn nữa

Chứng minh Cho X(!), Y(!) là các thành phần chẵn, lẻ của X(X Y(!)

từ [0,^] tới [—%,%] Sử dụng biến đổi Fourier thời gian rời rạc [42, 43, 46],

ở đó ( — 1)sign(n) 1

X)(n) = 2 x(|n|); y(n) = 2y(|n|); n 2 Z

22