Các định lí giới hạn và ứng dụng

Khoa Toán CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNGLời cảm ơn Lời đầu tiên của khóa luận này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tớithầy giáo hướng dẫn T.s.. Lời cam đoanKhóa luận của em được hoàn thàn

Khoa Toán CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG

Lời cảm ơn

Lời đầu tiên của khóa luận này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tớithầy giáo hướng dẫn T.s Trần Minh Tước Thầy đã giao đề tài và tậntình hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành khóa luận này Nhândịp này em xin gửi lời cảm ơn tới toàn bộ các thầy cô giáo trong khoaToán đã giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học tậptại khoa

Đồng thời em xin cảm ơn các bạn trong lớp K35 CN Toán, khoaToán đã nhiệt tình giúp đỡ em trong quá trình học tập tại lớp

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Đỗ Thị Minh Thu

Khoa Toán CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG

Lời cam đoan

Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầygiáo Trần Minh Tước, cùng với sự cố gắng của bản thân trong quátrình nghiên cứu và thực hiện khóa luận, em có tham khảo một số tácgiả(đã nêu trong mục tài liệu tham khảo)

Em xin cam đoan đây những kết quả trong khóa luận là kết quảnghiên cứu của bản thân, không trùng với kết quả của các tác giả khác.Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Đỗ Thị Minh Thu

Mục lục

1.1 Các dạng hội tụ của dã y các biến ngẫu nhiên 6

1.1.1 Hội tụ theo xác suất 6

1.1.2 Hội tụ theo bình phương trung bình 7

1.1.3 Hội tụ theo phân b ố 7

1.1.4 Hội tụ hầu c hắc c hắn 9

1.2 Một số bất đẳng thức 10

1.2.1 Bất đẳng thức Cheb yshev 10

1.2.2 Bất đẳng thức Kolmogorov 11

1.3 Hàm đặc trưng 13

1.3.1 Định nghĩa hàm đặc trưng 13

1.3.2 Tính c hất của hàm đặc trưng 14

1.4 Luật số lớn 15

1.4.1 Định nghĩa hàm đối xứng 15

1.4.2 Luật số lớn dạng yếu 15

1.4.3 Luật mạnh số lớn 20

1.5 Định lí giới hạn trung tâm 23

1.5.1 Định lí Poisson 23

1.5.2 Định lí giới hạn địa phương 24

1.5.3 Định lí giới hạn Moivre-Laplace 25

1.5.4 Định lí giới hạn trung tâm 26

2 Ứng dụng của các định lí giới hạn 28 2.1 Ứng dụng của luật số lớn 28

2.1.1 Bài toán 1 28

2.1.2 Bài toán 2 28

2.1.3 Bài toán 3 29

2.2 Ứng dụng của định lí giới hạn 30

2.2.1 Bài toán 1 30

2.2.2 Bài toán 2 31

2.2.3 Bài toán 3 32

2.2.4 Bài toán 4 33

2.2.5 Bài toán 5 34

2.2.6 Bài toán 6 35

2.2.7 Bài toán 7 35

2.2.8 Bài toán 8 37

2.2.9 Bài toán 9 38

Lời nói đầu

Xác suất là một bộ phận của toán học nghiên cứu về các hiệntượng ngẫu nhiên Lý thuyết xác suất nhằm tìm ra những quy luậttrong những hiện tượng tưởng chừng không có quy luật này; và nóđược ra đời đầu tiên ở nước Pháp vào nửa cuối thế kỷ 17

Vào năm 1933, Kolmogorov cho ra đời cuốn sách "Foundation ofthe Theory of Probability" thì giới Toán học mới công nhận Xác suất

là một lĩnh vực toán học chặt chẽ Các định lí giới hạn là một trongnhững thành tựu quan trọng nhất của Xác suất

Với vấn đề là " Các định lí giới hạn và ứng dụng" khóa luận

này được trình bày theo bố cục:

Chương 1: Các định lí giới hạn

Chương 2: Ứng dụng của các định lí giới hạn

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạnnên các vấn đề trong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâu sắc vàkhông thể tránh khỏi có những sai sót trong cách trình bày Mongđược sự góp ý xây dựng của thầy cô và các bạn Em xin chân thành

cả ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Đỗ Thị Minh Thu

Chương 1

Các định lí giới hạn

1.1 Các dạng hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên

Giả sử (X1, X2, , X n) là dãy các biến ngẫu nhiên (b.n.n) cùng xác định trên không gian xác suất cố định (Ω, F, P ).

1.1.1 Hội tụ theo xác suất

Định nghĩa 1.1.1 Dãy (X n)n≥1 các b.n.n cùng xác định trên không gian xác suất (Ω, F, P ) được gọi là hội tụ theo xác suất đến b.n.n

⇒ X −→ X ⇔ ∀ε > 0 lim

Khoa Toán CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG

1.1.2 Hội tụ theo bình phương trung bình

Định nghĩa 1.1.2 Ta nói dãy (X n)n≥1 các b.n.n hội tụ theo bình phương trung bình tới b.n.n X nếu

lim (E |X n − X|2) = 0.

→∞

Như vậy khi X n hội tụ tới X theo nghĩa bình phương trung bình thì khoảng cách giữa X n và X lấy " trung bình" sẽ nhỏ tùy ý khi n khá lớn.

Ví dụ 1.1.2 Cho X n là b.n.n rời rạc được xác định như sau:

1.1.3 Hội tụ theo phân bố

Định nghĩa 1.1.3 Cho (X n)n≥1 là dãy các b.n.n và X là một b.n.n khác Ta định nghĩa sự hội tụ theo phân bố của (X n)n≥1 tới X như sau:

1 Trường hợp (X trên tập đếm được K={c n)n≥1 và X là các b.n.n rời rạc nhận giá trị 1, c2, }.

(X n)n≥1 được gọi là hội tụ phân bố tới X nếu ∀c i ∈ K

2 Trường hợp (X n)n≥1 là dãy b.n.n bất kì (liên tục hoặc rời rạc),

Như vậy dãy X n hội tụ tới X theo phân bố.

Tuy nhiên X n không hội tụ tới X theo xác suất Thật vậy Với n = 2m + 1:

X n (ω) −→ X(ω) với ω ∈/ A

Kí hiệu h.c.c

n −−→

X

Định lí 1.1.1 X h.c.c X khi và chỉ khi, với ε > 0 bất kì

P {sup |X k − X| > ε} −→ 0, n → ∞.

k≥n

Chứng minh Đặt Z n = sup |X k − X|

k≥n h.c.c h.c.c

Rõ ràng X n −−→ X ⇔ Z n −−→ 0.

Nhưng (Zn ) là dãy giảm nên Zn −−→ 0 tương đương với Z n −→ 0

Hay tương đương với P {sup |X k − X| > ε} −→ 0, n → ∞.

SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán 10

= aP (X > a).

X nhận giá trị sai lệch so với kì vọng EX không quá ε, từ đó lí giải các

sai số trong đo lường vật lí

SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán 11

1.2.2 Bất đẳng thức Kolmogorov

Định lí 1.2.2 a) G iả sử (X n)n≥1 là dãy b.n.n độc lập và EX k = 0,

SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán 12

≤ (c + ε)2 ∑ P (A k ) + D(S n) ∑ P (A k)

≤ P (A) [(c + ε)2 + D(Sn)] (1.2)

Từ (1.1) & (1.2) suy ra

D(S n) − ε2

−

= 1) − ε2 (c + ε)2 +

Định nghĩa 1.3.1 Hàm số φ X (t) := Ee itX = Ecos(tX)+i.Esin(tX),

với t ∈ R được gọi là hàm đặc trưng của b.n.n X.

• φ X (t) = ∑ cos(tx n ).p n + i ∑ sin(tx n ).p n nếu X là b.n.n rời rạc.

= ∫ √ .e− 2 +itZ+ 2.e

(t) = Ee

n i=1 = E e itX1 .e itX2 e itX n

= Ee itX1 .Ee itX2 Ee itX n

=

∏

φ X i (t).

i=1

1.4 Luật số lớn

1.4.1 Định nghĩa hàm đối xứng

Định nghĩa 1.4.1 Hàm n biến f (x1, x2, , x n ) được gọi là hàm

đối xứng nếu f (x1, x2, , x n) = f (xσ1 , x σ2 , , x σ n ) với mọi σ

là hoán vị

của {1, 2, , n}.

1.4.2 Luật số lớn dạng yếu

Định nghĩa 1.4.2 Luật yếu số lớn

Cho dãy b.n.n (X n)n≥1 Nếu tồn tại dãy số {a n } n≥1 và hàm đối

xứng X n = f n (X1, X2, , X n ) thỏa mãn với mỗi ε > 0 cho trước

có

lim

n→∞ P (|X n − a n | < ε) = 1 thì dãy {X n } được gọi là tuân theo luật số lớn dạng yếu với hàm f n đã

Định lí 1.4.1 Định lí Chebyshev

Nếu (X n)n≥1 là dãy các b.n.n độc lập từng đôi một, có phương sai hữu hạn và bị chặn bởi cùng một hằng số D(X k) ≤ c, ∀k thì với mọi

o > 0 cho trước, ta luôn có

(

lim P n→∞ 1 ∑ X

.n k=1

k

( 1

Chứng minh Từ giả thiết ta có D = ∑ n X k) = 1 ∑ n DX k

Vì DX k ≤ c với mọi k nên suy

.n k=1

Chứng minh Gọi Xk là b.n.n thỏa mãn:

X k = 0 nếu lần thử thứ k biến cố A không xảy ra

X k = 1 nếu lần thử thứ k biến cố A xảy ra

Khi đó

n

lim

P

n→∞ 1 ∑ X

.n k=1

n

∑

r k(bk+1 − b k) + b1r0 − b n r n k=1

k −→ → ∞ b

n k −−→ ∀ ∈ R

k=1

khi và chỉ khi E|X1| < +∞ và a = EX1

Chứng minh Giả sử E|X1| < +∞

n

n

Vì ∑∞

n=1

P (X ′′ ̸= 0) = ∑

∞ n=

1

P (|X1| > n)

Và do đó với xác suất 1 chỉ có một số hữu hạn các biến cố

{|X n | > n} xảy ra, suy ra

Định lí 1.5.1 Cho (X n ) là dãy các b.n.n có phân bố nhị thức, ở

đó với mỗi n, X n có phân vố nhị thức với tham số (n, p n ).

Giả sử rằng tồn tại giới hạn lim np n = λ Khi đó Xn hội tụ theo phân bố tới b.n.n X có phân bố Poisson với tham số λ.

Chứng minh Ta phải chứng minh với mỗi k = 0, 1, 2,

∑

X

n

Ta có P (Xn = k) = C k p k (1 − p n)n−k

n n

) (

1 n

k −

Như vậy với n khá lớn và pn khá bé thì phân bố nhị thức với

tham số (n, p n) có thể xấp xỉ bởi phân bố Poisson với tham số λ =

np n Xấp xỉ là tốt nhất khi n > 50 và pn < 0, 1.

1.5.2 Định lí giới hạn địa phương

Định lí 1.5.2 Giả sử X là b.n.n có phân phối nhị thức với tham số

√ npq

[(

√ npq

n→∞ P {S n < x} = P {Z < x}

ở đó Z là b.n.n có phân phối chuẩn tắc.

Nói cách khác S n hội tụ theo phân bố về Z.

<

√ npq

<

(

k1 − n.p

√ npq < Z <

k2 − np)

√ npq

k2 − np)

√ npq

= P (k1 < X˜ < k2)

Ta có thể nói: Phân bố nhị thức B(n, p) có thể xấp xỉ bởi phân bố chuẩn N (np, npq) Người ta thấy rằng xâp xỉ là tốt hơn khi np và

nq lớn hơn 5 hoặc npq > 20.

Ngoài ra vì ta đã xấp xỉ một phân bố rời rạc bằng một phân bố liêntục, nên ta cần một sự "hiệu chỉnh" để sai số giảm đi Cụ thể ta cóhiệu chỉnh sau:

Nếu k là số nguyên thì P (X ≥ k) được xấp xỉ bởi P

Khi đó với mọi x ∈ R

σ √ n

1

, ∀n ≥ 1

( 1

1! n 2! . n + 0. n φ

Chú thích: Nếu dãy (X{ n) được xác định như sau:

1 nếu biến cố A xảy ra ở lần gieo thứ n

(

U n − nµ

σ √ n

<

x −

n µ)

σ √ n

Với n lớn thì theo định lí giới hạn trung tâm

(

P S n

<

x − n µ) (

σ √

n ≈ P Z

<

x −

n µ)

σ √ n

Chương 2

Ứng dụng của các định lí giới hạn

2.1 Ứng dụng của luật số lớn

2.1.1 Bài toán 1

Thu nhập hàng năm của dân cư ở thành phố X là 2000 USD và

độ lệch chuẩn là 320 USD Hãy xác định khoảng thu nhập hàng nămxung quanh giá trị trung bình của ít nhất 95% dân cư thành phố X

Giải

Gọi X là thu nhập hàng năm của dân cư thành phố X thì X làb.n.n với quy luật phân phối xác suất chưa biết Nhưng có:

EX = 2000, σ = 320 do đó DX = σ2 = 3202 = 102400Theo BĐT Chebyshev ta có:

2.1.2 Bài toán 2

Một cửa hàng vải muốn ước lượng nhanh chóng số vải bán ra trongmột tháng của mình Số vải của mỗi khách hàng được làm tròn bởi sốnguyên m ngần nhất (ví dụ trong sổ ghi 195,6m thì làm tròn 196m)

27

Khoa Toán CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG

Kí hiệu Xi là sai số giữa số mét vải thực bán và số mét vải đã tínhtròn của khách hàng thứ i Với xác suất 0,99, hãy ước lượng sai số giữa

DS = ∑ DX i =

12

i=1 Theo BĐT Chebyshev xác suất để sai số vượt quá ε mét sẽ được

n

Khoa Toán CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG

Giả sử kết quả n lần đo là X1, X2, , X n.

Chúng là các b.n.n độc lập với nhau và có cùng phân bố

Kì vọng EXi = µ chính là giá trị thực của đại lượng vật lí đó.

DX1 = σ2 đặc trưng cho độ chính xác của phép đo (phụ thuộc vào thiết bị đo).

Sai số khi lấy trung bình cộng của n lần đo là:

Cho trước sai số được phép ε.

Bài toán đặt ra cần tiến hành bao nhiêu phép đo để với xác suất

0,99 sai số của trung bình cộng so với giá trị thực không vượt quá ε.

Từ đánh giá trên ta suy ra để:

 ∑n 

a) Có đúng 2 lỗi.b) Có ít nhất 2 lỗi.

Giải

Vì xác suất P để môt chữ bị lỗi là rất nhỏ và chữ số n trong mộttrang sách là lớn, do đó số lỗi X trong một trang sách có phân bố xấp

xỉ phân bố Poisson với tham số λ = np = số lỗi trung bình trong

một trang sách Vì cứ 500 trang có 300 lỗi nên số lỗi trung bình là300

a) Gọi X là số sinh viên đến xem phim Ta coi rằng số sinh viên

quyết định đi xem độc lập với nhau Như vậy X có phân bố nhị thứcB( 650; 0,7 )

Theo định lí Moivre-Laplace, X có phân bố xấp xỉ phân bố chuẩn

136, 5

√

2

Một con xúc xắc đối xứng được gieo 30 lần Tìm xác suất để tổng

số nốt xuất hiện lớn hơn 120

Giải

Gọi Xi là số nốt xuất hiện ở lần gieo thứ i , i = 1, 30

Khi đó X1, X2, , X30 là các b.n.n độc lập có cùng phân bố như sau:

X i 1 2 3 4 5 6

6

16

16

16

16

1635

12 = 87,5Thành thử P (T > 120) ( ≈ P (V > 120)

phân bố chuẩn, ta nên hiệu chỉnh trường hợp phân bố nhị thức để thuđược xấp xỉ tốt Cụ thể

2.2.4 Bài toán 4

Trong một khu phố có 180 hộ 2 người và 50 hộ 3 hoặc 4 người.Lượng nước sinh hoạt ở mỗi hộ ít người dùng một ngày là một b.n.n

có giá trị trung bình là 0,6 m3 và độ lệch tiêu chuẩn 0,04 m3 , còn

mỗi hộ nhiều người là một b.n.n có giá trị trung bình 1,9 m3 và độ

lệch tiêu chuẩn 0,14m3

Tìm xác suất để trong một ngày khu phố đó sử dụng hơn 205m3

nước

Giải

Gọi X1, , X180 là lượng nước dùng của các hộ ít người

Y1, , Y50 là lượng nước dùng của các hộ nhiều người

Xét mọi tập hợp (số lượng rất lớn) các cá thể mà chúng ta gọi làtổng thể (hay một dân số) Giả sử ta quan tâm tới một đặc tính địnhlượng X nào đó của mỗi cá thể trong tổng thể

Gọi xi là giá trị ứng với cá thể i

SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán 32

Khi đó giá trị trung bình của tổng thể là

− µ)2

Ở đó N là số lượng cá thể trong tổng thể Thông thường thì N rất

lớn, ta không thể đo được giá trị Xi cho tất cả cá thể và do đó không

biết được trung bình và phương sai của đặc tính X trên tổng thể

Ta phải tìm cách ước lượng µ từ một mẫu ngẫu nhiên

Giả sử ta lấy một mẫu có kích thước n

Gọi X i là giá trị đo được ở cá thể thứ i trong mẫu

Các Xi là các b.n.n vì mẫu của ta được chọn ngẫu nhiên.

Theo định lí giới hạn trung tâm khi n đủ lớn thì X1 + + Xn có

phân bố xấp xỉ phân bố chuẩn với kì vọng nµ và phương sai nσ2

Do đó, X sẽ có phân bố xấp xỉ phân bố chuẩn với kì vọng µ và

Trọng lượng trung bình của đàn ông một nước nào đó là 78,5kg với

độ lệch tiêu chuẩn 11,2kg Chọn ngẫu nhiên 20 người và X là trọng lượng trung bình mẫu Tìm xác suất để X lớn hơn 82kg.

Giải

X có phân bố xấp xỉ chuẩn với kì vọng 78,5 và phương sai

11, 2

Chọn một mẫu ngẫu nhiên 32 người từ dân tộc A với trung bình

mẫu X và một mẫu ngẫu nhiên 75 người từ dân tộc B với trung bình mẫu Y

Tính xác xuất để Y > X

Giải

X có trung bình 179 và độ lệch tiêu chuẩn

Y có trung bình 177 và độ lệch tiêu chuẩn

12

√ 328

Hỏi rằng loại phân mới này có tác dụng thực sự làm tăng sản lượngcủa cây hay không?

Mặc dù X > 1,82 nhưng rất có thể đây chỉ là " sai số mẫu" so với

giả trị trung bình của tổng thể

Nếu giả thiết rằng phân bón không có tác dụng thì X là b.n.n có

0, 34

kì vọng 1,82 và độ lệch tiêu chuẩn

750 = 0, 012Xác suất để nhận được một mẫu kích thước 750 có trung bình >1,86 là:

P (X ≥ 1, 86) = 1 −

Φ

(1

µ của tổng thể.

Một cách hợp lý, trung bình mẫu X được dùng làm ước lượng cho

µ.

Tính xác suất để sai số |X − µ| bé hơn ε

Ta đã biết với mẫu lớn thì X có phân bố xấp xỉ phân bố chuẩn với

= Φ(1, 96)

⇒ ε = 1, 96.σ

−