Luận văn sư phạm Các định lí giới hạn và ứng dụng

Lời cam đoanKhóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầygiáo Trần Minh Tước, cùng với sự cố gắng của bản thân trong quátrình nghiên cứu và thực hiện khóa luận, em có tham

Lời cảm ơn

Lời đầu tiên của khóa luận này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tớithầy giáo hướng dẫn T.s Trần Minh Tước Thầy đã giao đề tài và tậntình hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành khóa luận này Nhândịp này em xin gửi lời cảm ơn tới toàn bộ các thầy cô giáo trong khoaToán đã giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học tậptại khoa

Đồng thời em xin cảm ơn các bạn trong lớp K35 CN Toán, khoaToán đã nhiệt tình giúp đỡ em trong quá trình học tập tại lớp

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Đỗ Thị Minh Thu

Lời cam đoan

Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầygiáo Trần Minh Tước, cùng với sự cố gắng của bản thân trong quátrình nghiên cứu và thực hiện khóa luận, em có tham khảo một số tácgiả(đã nêu trong mục tài liệu tham khảo)

Em xin cam đoan đây những kết quả trong khóa luận là kết quảnghiên cứu của bản thân, không trùng với kết quả của các tác giả khác.Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Đỗ Thị Minh Thu

1 Các định lí giới hạn 6

1.1 Các dạng hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên 6

1.1.1 Hội tụ theo xác suất 6

1.1.2 Hội tụ theo bình phương trung bình 7

1.1.3 Hội tụ theo phân bố 7

1.1.4 Hội tụ hầu chắc chắn 9

1.2 Một số bất đẳng thức 10

1.2.1 Bất đẳng thức Chebyshev 10

1.2.2 Bất đẳng thức Kolmogorov 11

1.3 Hàm đặc trưng 13

1.3.1 Định nghĩa hàm đặc trưng 13

1.3.2 Tính chất của hàm đặc trưng 14

1.4 Luật số lớn 15

1.4.1 Định nghĩa hàm đối xứng 15

1.4.2 Luật số lớn dạng yếu 15

1.4.3 Luật mạnh số lớn 20

1.5 Định lí giới hạn trung tâm 23

1.5.1 Định lí Poisson 23

1.5.2 Định lí giới hạn địa phương 24

1.5.3 Định lí giới hạn Moivre-Laplace 25

1.5.4 Định lí giới hạn trung tâm 26

2 Ứng dụng của các định lí giới hạn 28 2.1 Ứng dụng của luật số lớn 28

2.1.1 Bài toán 1 28

2.1.2 Bài toán 2 28

2.1.3 Bài toán 3 29

2.2 Ứng dụng của định lí giới hạn 30

2.2.1 Bài toán 1 30

2.2.2 Bài toán 2 31

2.2.3 Bài toán 3 32

2.2.4 Bài toán 4 33

2.2.5 Bài toán 5 34

2.2.6 Bài toán 6 35

2.2.7 Bài toán 7 35

2.2.8 Bài toán 8 37

2.2.9 Bài toán 9 38

Lời nói đầu

Xác suất là một bộ phận của toán học nghiên cứu về các hiệntượng ngẫu nhiên Lý thuyết xác suất nhằm tìm ra những quy luậttrong những hiện tượng tưởng chừng không có quy luật này; và nóđược ra đời đầu tiên ở nước Pháp vào nửa cuối thế kỷ 17

Vào năm 1933, Kolmogorov cho ra đời cuốn sách "Foundation ofthe Theory of Probability" thì giới Toán học mới công nhận Xác suất

là một lĩnh vực toán học chặt chẽ Các định lí giới hạn là một trongnhững thành tựu quan trọng nhất của Xác suất

Với vấn đề là " Các định lí giới hạn và ứng dụng" khóa luậnnày được trình bày theo bố cục:

Chương 1: Các định lí giới hạn

Chương 2: Ứng dụng của các định lí giới hạn

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nêncác vấn đề trong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâu sắc và khôngthể tránh khỏi có những sai sót trong cách trình bày Mong được sựgóp ý xây dựng của thầy cô và các bạn Em xin chân thành cả ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Đỗ Thị Minh Thu

Các định lí giới hạn

1.1 Các dạng hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên

Giả sử (X1, X2, , Xn)là dãy các biến ngẫu nhiên (b.n.n) cùng xácđịnh trên không gian xác suất cố định (Ω, F, P )

1.1.1 Hội tụ theo xác suất

Định nghĩa 1.1.1 Dãy (Xn)n ≥1 các b.n.n cùng xác định trên khônggian xác suất (Ω, F, P ) được gọi là hội tụ theo xác suất đến b.n.n Xkhi n → ∞ nếu ∀ε > 0 thì

Định nghĩa 1.1.2 Ta nói dãy (Xn)n ≥1 các b.n.n hội tụ theo bìnhphương trung bình tới b.n.n X nếu

lim

n →∞(E|Xn− X|2) = 0

Như vậy khi Xn hội tụ tới X theo nghĩa bình phương trung bình thìkhoảng cách giữa Xn và X lấy " trung bình" sẽ nhỏ tùy ý khi n khálớn

Ví dụ 1.1.2 Cho Xn là b.n.n rời rạc được xác định như sau:

Định nghĩa 1.1.3 Cho (Xn)n ≥1 là dãy các b.n.n và X là một b.n.nkhác Ta định nghĩa sự hội tụ theo phân bố của (Xn)n ≥1 tới X như sau:

1 Trường hợp (Xn)n ≥1 và X là các b.n.n rời rạc nhận giá trị trêntập đếm được K={c1, c2, }.

(Xn)n ≥1 được gọi là hội tụ phân bố tới X nếu ∀ci ∈ K

lim

n →∞P (Xn = ci) = P (X = ci)

Như vậy, nếu n khá lớn thì có thể xấp xỉ P( Xn = c) bởi P(X = c)

2 Trường hợp (Xn)n ≥1 là dãy b.n.n bất kì (liên tục hoặc rời rạc), X

n →∞P {Xn < x} (2)

Như vậy dãy Xn hội tụ tới X theo phân bố.

Tuy nhiên Xn không hội tụ tới X theo xác suất Thật vậy

Suy ra P (X > a) ≤ EX

a Bây giờ giả sử X là b.n.n liên tục có hàm mật độ f (x)

X nhận giá trị sai lệch so với kì vọng EX không quáε, từ đó lí giải cácsai số trong đo lường vật lí

Định nghĩa 1.3.1 Hàm sốϕX(t) := EeitX = Ecos(tX)+i.Esin(tX),

với t ∈ R được gọi là hàm đặc trưng của b.n.n X

−[(−√Z

2)−2 it

√ 2

= +∞∫

−∞

1

√2π.e

eitX 1.eitX 2 eitX n)

= EeitX1.EeitX2 EeitXn

1.4 Luật số lớn

1.4.1 Định nghĩa hàm đối xứng

Định nghĩa 1.4.1 Hàm n biến f (x1, x2, , xn) được gọi là hàm đốixứng nếu f (x1, x2, , xn) = f (xσ 1, xσ 2, , xσ n) với mọi σ là hoán vịcủa {1, 2, , n}

1.4.2 Luật số lớn dạng yếu

Định nghĩa 1.4.2 Luật yếu số lớn

Cho dãy b.n.n (Xn)n ≥1 Nếu tồn tại dãy số {an}n ≥1 và hàm đốixứng Xn = fn(X1, X2, , Xn) thỏa mãn với mỗi ε > 0 cho trước có

1n

1n

= 1

Chứng minh Từ giả thiết ta có D =

(

1n

1n

1n

1n

lim

n →∞P (

X

n − p

< ε

)

= 1

Chứng minh Gọi Xk là b.n.n thỏa mãn:

Xk = 0 nếu lần thử thứ k biến cố A không xảy ra

Xk = 1 nếu lần thử thứ k biến cố A xảy ra

Khi đó

n →∞P ( ... nghiệp với đề tài " ;Các định lí giới hạn

và ứng dụng& #34; , em nghiên cứu nội dung chủ yếu sau:

1 Các định lí giới hạn

2 Ứng dụng định lí giới hạn vào giải số tốn.Ngồi nỗ lực... data-page="27">

Ứng dụng định lí giới hạn< /h2>

2.1 Ứng dụng luật số lớn

2.1.1 Bài toán

Thu nhập hàng năm dân cư thành phố X 2000 USD

độ lệch chuẩn 320 USD Hãy xác định. .. npn Xấp

xỉ tốt n > 50 pn < 0,

1.5.2 Định lí giới hạn địa phương

Định lí 1.5.2 Giả sử X b.n.n có phân phối nhị thức với tham số(n, p)