Luận văn sư phạm Các định lí giới hạn và ứng dụng

Ch ng minh.

HÀ N I - 2010

L I C M N

đ c s quan tâm giúp đ t n tình c a các th y cô trong t Toán ng d ng nói

v i s h tr c a các các b n sinh viên

ng i đã t n tình h ng d n em trong su t th i gian qua đ em hoàn thành

đ c khoá lu n này

Sinh viên

L i Th Thanh Hu

L I CAM OAN

Khoá lu n c a em đ c hoàn thành d i s h ng d n c a th y Tr n

M nh Ti n cùng v i s c g ng c a b n thân em Trong quá trình nghiên c u

M U

Các nhà toán h c Pháp th k 17 nh Pierre de Fermat (1601 – 1665),

b i nh ng l i gi i cho các bài toán trong các trò ch i ng u nhiên Cu i th k

ng i kh i x ng c a lí thuy t xác su t v i nh ng nghiên c u v lu t y u s

l n đ i v i dãy phép th đ c l p Pierre Simon Laplace (1749 – 1827), nhà

đ nh lí gi i h n trung tâm Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), nhà toán h c

v đ i c a c có các đóng góp l n đ i v i xác su t th ng kê: Ph ng pháp

su t v i h tiên đ xác su t hi n đ i mà ông đ a ra vào đ u nh ng n m 1930

c ng nh các nhà toán h c l i l c đ ng đ i trên l nh v c “lý thuy t xác

su t”

r ng rãi trong nhi u nghành khoa h c k thu t, khoa h c xã h i và nhân v n

c bi t nó g n li n v i khoa h c Th ng kê, m t khoa h c v các ph ng

D i s h ng d n t n tình c a GVC.ThS Tr n M nh Ti n cùng v i

h ng thú tìm hi u v “Lí thuy t xác su t” em đã l a ch n đ tài “Các đ nh lí

gi i h n và ng d ng” đ hoàn thành khoá lu n t t nghi p c a mình

Lu n v n c a em trình bày m t s nghiên c u v lu t s l n, đ nh lí

gi i h n trung tâm, đ nh lí gi i h n Moivre_Laplace, đ nh lí gi i h n Laplace

đ a ph ng, đ nh lí Poisson là nh ng đ nh lí gi i h n quan tr ng nh t c a lí

thuy t xác su t và có nhi u ng d ng trong th c ti n

V i khoá lu n này, em mong r ng nó s là m t tài li u b ích cho

nh ng ai quan tâm t i v n đ này

Hà N i, tháng 5 n m 2010

Sinh viên

L i Th Thanh Hu

CH NG 1

KI N TH C CHU N B

1.1 H i t

1.1.1 M t s đ nh ngh a

trên không gian xác su t ,A, P

nh lí 1.2 Cho dãy bi n ng u nhiên  Xn n1 h i t h u ch c ch n đ n

bi n ng u nhiên X khi và ch khi v i   b0 t kì,

Ch ng minh

t

  X ,n 1,2,

Xsup

n k

n n

1.2 Hàm đ c tr ng

nh ngh a 1.4 Hàm đ c tr ng c a bi n ng u nhiên X là kì v ng toán c a bi n ng u nhiên ph c e , itx  2 

it it

x n

X

x

x n

it e

12

Ch ng minh

CH NG 2 CÁC NH Lệ GI I H N VÀ NG D NG

n

XnP

n k

k n

k

1

1 1

n

XnP

n k

k n

k

1

1 1

Xn

p n

2 2

12

nn



21n

p n

n   

Nh v y trung bình s h c c a các k t qu đo s sai l ch r t ít so v i giá tr

th c c a đ i l ng v t lí và đi u đó x y ra v i xác su t g n nh b ng 1

iii ) Lu t s l n còn lƠ c s cho m t ph ng pháp đ c áp d ng

r ng rƣi trong th ng kê: đó lƠ ph ng pháp m u

Th c ch t c a nó là d a vào m t m u ng u nhiên khá nh có th k t

lu n v toàn b t p h p t ng quát c a các đ i t ng đ c nghiên c u

Ch ng h n đ đánh giá n ng su t cây tr ng c a m t vùng nào đó ng i

Xn

i) nh lí gi i h n trung tơm đ c ng d ng trong bài toán c

l ng giá tr trung bình c a t ng th t giá tr trung bình m u

t ng th Ta ph i tìm cách c l ng  t m t m u ng u nhiên Gi s ta l y

m u có kích th c n

G i Xi là giá tr đo đ c cá th th i trong m u, vì m u ch n ng u nhiên

n

X

X

X 1   n

b x p x phân b chu n v i kì v ng  và ph ng sai

XP

XP

n đ nh xác su t này b ng 1 ta có

 

nhay

nnn

b b

112

nX

;nX





1 đ c g i là đ tin c y c a c l ng kho ng, thông th ng đ tin

c y 1 đ c ch n theo yêu c u cho tr c khá l n 0,9; 0,95; 0,99;…

Ví d 2.3 Tr ng l ng trung bình c a m t lo i táo là  (ch a bi t) v i đ

l ch tiêu chu n là 12g M t m u ng u nhiên g m 400 qu táo có tr ng l ng

L i gi i

  1 0025 0975  197 197

21

400

12400

12

,,

,,

XX

b b

b b

1

400

12971400

12971

,X,

X

.,X

,X

(đo 9 ng) T kinh nghi m ngh nghi p ng i ta c ng bi t r ng s c b n đó

L i gi i

4500 5375 5288899

1

,

  1 0025 0975  197 197

2

nX

;nX

b b

b b

300971895288

,

;,

.,,

;.,,

0 89, 269 88

16 1,6923

ch n nuôi m i v i hi v ng là bò s t ng tr ng nhanh h n Sau th i gian áp

d ng th ng i ta l y ng u nhiên 50 con bò tr c khi xu t chu ng đem cân và tính đ c tr ng l ng trung bình c a chúng là 390 kg

V y v i m c ý ngh a  0,01 có th cho r ng tr ng l ng trung bình

c a bò tr c khi xu t chu ng đã t ng lên hay không? Gi thi t tr ng l ng

c a bò là bi n ng u nhiên phân ph i chu n v i đ l ch chu n là 35,2 kg

T c là khi áp d ng ch đ ch n nuôi m i thì tr ng l ng trung bình c a bò

tr c khi xu t chu ng đã t ng lên

iii) nh lí gi i h n trung tâm đ c s d ng tính xác su t đ U r i n

đi m thu đ c  X n m trong kho ng 88,104 

L i gi i

Ta có th coi nh

192 1

i i

i X

n i

Ví d 2.8 M t kí túc xá có 650 sinh viên Xác su t đ m t sinh viên đ n xem

b) C n chu n b bao nhiêu gh đ v i xác su t 0,99 ta có th đ m b o đ gh

L i gi i

Nh v y X có phân ph i nh th c B(650; 0,7)

Khi đó

  439    650

650 0

454,5

2,32611,68

Xét bài toán ki m đ nh gi thuy t H: p0,12 v i đ i thuy t K: 0,12

Ví d 2.10 Gieo m t con xúc x c cân đ i và đ ng ch t 12000 l n Tìm xác

su t đ cho s l n xu t hi n m t m t n t phía trên con xúc x c g m gi a

1900 và 2150

Ví d 2.11 Trong kho có 100 lô hàng, m i lô có 90 s n ph m t t và 10 s n

ph m x u, v i m i lô ng i ta ki m tra ng u nhiên 5 s n ph m ( l y có hoàn

l i) Tính xác su t đ t ng s s n ph m x u trong 100 lô hàng n m trong

2 2

12

 

n n n

Khi n khá l n và pn khá bé thì phân b nh th c v i tham s n p, n có

r t l n Do đó s l i X trong m t trang sách có phân ph i x p x phân ph i

0,9 2

0,6 3

p  Ng i ta x p đinh c vào t ng h p, m i h p 100 chi c

b) C n ph i x p ít nh t bao nhiêu đinh c trong m i h p đ t l h p ch a 100 đinh c t t t i thi u là 85%

b) Gi s m i h p ch a 100 k đinh c, trong đó k là s nguyên d ng

00,02 0,98

k

i n i

BÀI T P ÁP D NG

ph m Xác su t đ m t s n ph m đ c s n xu t thu c lo i ph ph m là 0,025

10

,x,

,x,xx

f

t T25  X1 X2   X25

S d ng đ nh lí gi i h n trung tâm tính P T 25 30

chu n không v t quá 5 Tìm xác su t đ đ l ch tuy t đ i c a trung bình

c ng các bi n trên so v i trung bình c ng các kì v ng c a chúng không v t

quá 0,2

Bài 5 Cho bi n ng u nhiên X~Bn200;p0,2 Tìm xác su t đ

X nh n giá tr trong kho ng 40;50 

Bài 6 Dãy các bi n ng u nhiên đ c l p X ii 1,2,  có b ng phân

14

H i có th áp d ng đ c lu t s l n c a Chebyshev đ i v i dãy các bi n ng u

nhiên nói trên không?

K T LU N

đ nh lí gi i h n trung tâm, đ nh lí gi i h n Moivre_ Laplace, đ nh lí gi i h n

“lí thuy t xác su t” và có nhi u ng d ng trong th c ti n

ng d ng nói riêng và trong khoa Toán tr ng i h c s ph m Hà N i 2 nói

Ti n, ng i đã t n tình h ng d n em trong su t th i gian qua đ em hoàn