Các định lí giới hạn và ứng dụng

LỜI CẢM ƠN Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khoá luận này, em đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ tận tình của các thầy cô trong tổ Toán ứng dụng nói riêng và trong khoa Toán trường

HÀ NỘI - 2010

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khoá luận này, em đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ tận tình của các thầy cô trong tổ Toán ứng dụng nói riêng và trong khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 nói chung cùng với sự hỗ trợ của các các bạn sinh viên

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy Trần Mạnh Tiến,

người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt thời gian qua để em hoàn thành được khoá luận này

Do trình độ và thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên những vấn đề mà

em trình bày trong khoá luận này sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Em kính mong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khoá luận của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Sinh viên

Lại Thị Thanh Huệ

LỜI CAM ĐOAN

Khoá luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy Trần Mạnh Tiến cùng với sự cố gắng của bản thân em Trong quá trình nghiên cứu

và thực hiện khoá luận em có tham khảo tài liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục Tài liệu tham khảo)

Em xin cam đoan những kết quả trong khoá luận là kết quả nghiên cứu của bản thân, không trùng với kết quả của tác giả khác

Nếu sai em xin chịu trách nhiệm!

Sinh viên

Lại Thị Thanh Huệ

MỞ ĐẦU

Các nhà toán học Pháp thế kỉ 17 như Pierre de Fermat (1601 – 1665), Blaise Pascal (1623 – 1662) đã đặt nền móng đầu tiên cho lí thuyết xác suất bởi những lời giải cho các bài toán trong các trò chơi ngẫu nhiên Cuối thế kỉ

17, James Bernoulli (1654 – 1705), nhà toán học Thụy Sĩ, được xem như người khởi xướng của lí thuyết xác suất với những nghiên cứu về luật yếu số lớn đối với dãy phép thử độc lập Pierre Simon Laplace (1749 – 1827), nhà toán học Pháp có nhiều cống hiến cho xác suất thống kê trong lĩnh vực các định lí giới hạn trung tâm Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), nhà toán học

vĩ đại của Đức có các đóng góp lớn đối với xác suất thống kê: Phương pháp bình phương cực tiểu và luật phân phối chuẩn Andrei Kolmogrov (1903 – 1987), nhà toán học lỗi lạc của Nga, người cách mạng hoá cho lí thuyết xác suất với hệ tiên đề xác suất hiện đại mà ông đưa ra vào đầu những năm 1930

Không thể kể hết những tên tuổi của những nhà toán học tiên phong

cũng như các nhà toán học lỗi lạc đương đại trên lĩnh vực “lý thuyết xác suất”

Ngày nay, “lý thuyết xác suất” đã trở thành một nghành toán học lớn trong nền toán học thế giới Người ta biết đến “lí thuyết xác suất” không chỉ

vì nó là một nghành toán học chặt chẽ về lí thuyết mà nó còn có ứng dụng rộng rãi trong nhiều nghành khoa học kĩ thuật, khoa học xã hội và nhân văn Đặc biệt nó gắn liền với khoa học Thống kê, một khoa học về các phương pháp thu thập, tổ chức và phân tích các dữ liệu, thông tin định lượng

Dưới sự hướng dẫn tận tình của GVC.ThS Trần Mạnh Tiến cùng với

hứng thú tìm hiểu về “Lí thuyết xác suất” em đã lựa chọn đề tài “Các định lí giới hạn và ứng dụng” để hoàn thành khoá luận tốt nghiệp của mình

Luận văn của em trình bày một số nghiên cứu về luật số lớn, định lí giới hạn trung tâm, định lí giới hạn Moivre_Laplace, định lí giới hạn Laplace địa phương, định lí Poisson là những định lí giới hạn quan trọng nhất của lí thuyết xác suất và có nhiều ứng dụng trong thực tiễn

Với khoá luận này, em mong rằng nó sẽ là một tài liệu bổ ích cho những ai quan tâm tới vấn đề này

Hà Nội, tháng 5 năm 2010

Sinh viên

Lại Thị Thanh Huệ

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Hội tụ

1.1.1 Một số định nghĩa

Cho dãy biến ngẫu nhiên  X n n1 và biến ngẫu nhiên X cùng xác định trên không gian xác suất ,A, P

Định nghĩa 1.1 Hội tụ theo xác suất

Dãy biến ngẫu nhiên X X1, 2, được gọi là hội tụ theo xác suất tới biến ngẫu nhiên X , kí hiệu p

n

X  X nếu   0: lim  n  0

n P X X 

    (1.1) Hoặc tương đương, nếu   0:

lim  n  1

n P X X 

    (1.2)

Định nghĩa 1.2 Hội tụ hầu chắc chắn

Dãy biến ngẫu nhiên X X1, 2, được gọi là hội tụ hầu chắc chắn tới biến ngẫu nhiên X , kí hiệu h c c .

n

X  X nếu  : lim n     1

n

   (1.3)

Định nghĩa 1.3 Hội tụ theo phân phối

Dãy biến ngẫu nhiên X X1, 2, được gọi là hội tụ theo phân phối tới biến ngẫu nhiên X , kí hiệu d

n

X  X nếu lim n   ,

n F x F x x

    tập liên tục của F x( ) (1.4) nghĩa là: nếu x là điểm liên tục của hàm phân phối F x( ) của X thì

lim n

n P X x P X x

    (1.5)

1.1.2 Quan hệ giữa các dạng hội tụ

Định lí 1.1 Cho dãy biến ngẫu nhiên  X n n1 là dãy giảm và p

Y   bằng phản chứng

Giả sử Y n không hội tụ hầu chắc chắn tới 0

Tức là   0, và biến cố AA sao cho:

Định lí 1.2 Cho dãy biến ngẫu nhiên  X n n1 hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X khi và chỉ khi với  0 bất kì,

Chứng minh Đặt

  X , n 1 , 2 ,

X sup

n k

0

h c c n

Z   tương đương với p 0

n

Z   hay tương đương với:

n

X  X khi và chỉ khi p

n

X  X ii) Nếu p

n

X  X 

ii) Giả sử x R và F x liên tục,     0 ta có

X   x  X nx X,   x  X nx X,  x  suy ra

            

n n

iv) F x( ) xác định một cách duy nhất hàm đặc trưng X  t

v) Nếu X X1, 2, ,X n là các biến ngẫu nhiên độc lập thì

vi) Nếu tồn tại E Xk thì hàm đặc trưng X  t cũng tồn tại đạo hàm đến bậc

k tại mọi điểm t

Hệ quả Nếu tồn tại E Xk thì X  t sẽ có khai triển Taylor như sau

tụ tại mọi t đến hàm đặc trưng  t  tương ứng với F x( )

1.2.2 Hàm đặc trưng của một số biến ngẫu nhiên thường gặp

Ví dụ 1.1 Cho biến ngẫu nhiên X ~ ( , ) B n p Tìm X t

n

itx itx

it it

x n

X

x

x n

t E e e e

x e e

12

  2

DX

P X EX    (1.9) Thay (1.9) vào   ta được

CHƯƠNG 2 CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG

n

X n P

n k

k n

k

1

1 1

 (2.1) Hoặc tương đương nếu  0:

n

X n P

n k

k n

k

1

1 1

X n

p n

Định lí Chebyshev chứng minh sự hội tụ theo xác suất của trung bình

số học của một số lớn các biến ngẫu nhiên về trung bình số học của các kì vọng tương ứng

Nói cách khác nó chứng tỏ sự ổn định của trung bình số học của một số lớn các biến ngẫu nhiên xung quanh trung bình số học của các kì vọng toán của các biến ngẫu nhiên ấy

12

n n



21

n

   

Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 2.2 Cho họ biến ngẫu nhiên độc lập X n n, 1 có phân phối được xác

p n

p n

2.1.3 Ứng dụng của Luật số lớn

i) Luật số lớn là cơ sở để đƣa ra định nghĩa thống kê về xác suất

Giả sử tiến hành n phép thử độc lập, như nhau và theo dõi sự xuất hiện biến cố A có liên quan

Ta có n là số phép thử đã tiến hành, n A là số phép thử có   A xuất hiện, tỉ số n A 

n được gọi là tần suất của A

Gọi k là số lần suất hiện A ở phép thử thứ k thì họ k,k1 là họ độc lập các biến ngẫu nhiên cùng có phân phối rời rạc với các giá trị 0,1 với các xác suất tương ứng 1 P A   và P A chưa biết  

 thì giới hạn này là P A  

ii) Luật số lớn chính là cơ sở cho phương pháp đo lường trong vật

lí

Để xác định giá trị của một đại lượng vật lí nào đó ta thường tiến hành

đo n lần và lấy trung bình số học của các kết quả đo làm giá trị thực của đại lượng cần đo

Thật vậy giả sử xem kết quả của n lần đo là các biến ngẫu nhiên

1, 2, , n

X X X Đối với các biến ngẫu nhiên này có thể áp dụng hệ quả 2.1, vì chúng độc lập với nhau, có kì vọng toán EXi  chính là giá trị thực của đại lượng vật lí đó, các phương sai đều bị chặn trên bởi 2 là độ chính xác của thiết bị đo ( thiết bị đo càng chính xác thì 2 càng nhỏ)

Do đó theo hệ quả 2.1 ta có

1 2

Như vậy trung bình số học của các kết quả đo sẽ sai lệch rất ít so với giá trị thực của đại lượng vật lí và điều đó xảy ra với xác suất gần như bằng 1

iii) Luật số lớn còn là cơ sở cho một phương pháp được áp dụng rộng rãi trong thống kê: đó là phương pháp mẫu

Thực chất của nó là dựa vào một mẫu ngẫu nhiên khá nhỏ có thể kết luận về toàn bộ tập hợp tổng quát của các đối tượng được nghiên cứu

Chẳng hạn để đánh giá năng suất cây trồng của một vùng nào đó người

ta không cần phải điều tra trên toàn bộ diện tích của vùng đó mà chỉ cần dựa vào kết quả thu hoạch của một mẫu ngẫu nhiên khá nhỏ mà vẫn đưa ra được các kết luận đủ chính xác về năng suất cây trồng của vùng đó

2.2 Định lí giới hạn trung tâm

2.2.1 Định lí 2.2 Cho X X1, 2, là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối, với 2

X n

X



suy ra

t t

Vậy ta có điều phải chứng minh

2.2.2 Ứng dụng của định lí giới hạn trung tâm

i) Định lí giới hạn trung tâm đƣợc ứng dụng trong bài toán ƣớc

lƣợng giá trị trung bình của tổng thể từ giá trị trung bình mẫu

Xét tập hợp gồm N cá thể, và một đặc tính định lượng X nào đó của mỗi cá thể đó Gọi x i là giá trị ứng với cá thể thứ i Khi đó giá trị trung bình của tổng thể là

N

x

Gọi X i là giá trị đo được ở cá thể thứ i trong mẫu, vì mẫu chọn ngẫu nhiên nên các X i là các biến ngẫu nhiên và các biến ngẫu nhiên này độc lập cùng phân phối, EX i , DX i 2 Trung bình mẫu là

n

X

X

Theo định lí giới hạn trung tâm, khi n đủ lớn thìX1   X n có phân bố xấp

xỉ phân bố chuẩn với kì vọng n và phương sai n2 Do đó X sẽ có phân

bố xấp xỉ phân bố chuẩn với kì vọng  và phương sai

X P

X P

Ấn định xác suất này bằng 1 ta có

 

n hay

n n n

b b

112

Vậy ước lượng khoảng của  là

n X

; n X

Ví dụ 2.3 Trọng lượng trung bình của một loại táo là  (chưa biết) với độ lệch tiêu chuẩn là 12g Một mẫu ngẫu nhiên gồm 400 quả táo có trọng lượng trung bình 80,3g, với độ tin cậy 95% ước lượng khoảng cho 

Lời giải

Theo lí luận ở trên ta có

21

400

12400

12

, ,

, ,

X X

b b

b b

1

400

12971400

12971

, X ,

X

, X

, X

Với giả thiết X 80,3 ta thu được 79,1281,48

Ví dụ 2.4 Đo sức bền chịu lực của một loại ống công nghiệp người ta thu

được bộ số liệu sau

4500 6500 5000 5200 4800 4900 5125 6200 5375

(đo 9 ống) Từ kinh nghiệm nghề nghiệp người ta cũng biết rằng sức bền đó

có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn  300 Hãy xây dựng khoảng tin cậy 95% cho sức bền trung bình của loại ống trên

Lời giải

Tính trung bình mẫu của sức bền chịu lực

4500 5375 5288899

1

,

Lí luận như ở trên ta có khoảng tin cậy cần tìm có dạng

  1 0025 0975  197 197

2

n X

; n X

b b

b b

300971895288

,

; ,

, ,

; , ,

ii) Định lí giới hạn trung tâm đƣợc ứng dụng trong thống kê: giải

bài toán kiểm định giả thuyết về giá trị trung bình

Giả sử X X1, 2, ,X n là mẫu ngẫu nhiên rút từ biến ngẫu nhiên X có

EX  và DX 2 ( nếu X không chuẩn thì n30)

Xét bài toán kiểm định giả thuyết sau

Giả thuyết H:   0

Đối thuyết K:   0

Với mức ý nghĩa  và 2 đã biết

Ta tiến hành các bước sau:

- Xuất phát từ mẫu đã cho tính X và X 0

0 89, 269 88

16 1,6923

Ví dụ 2.6 Trong năm trước trọng lượng trung bình trước khi xuất chuồng của

bò ở một trại chăn nuôi là 375 kg Năm nay người ta áp dụng thử một chế độ chăn nuôi mới với hi vọng là bò sẽ tăng trọng nhanh hơn Sau thời gian áp dụng thử người ta lấy ngẫu nhiên 50 con bò trước khi xuất chuồng đem cân và tính được trọng lượng trung bình của chúng là 390 kg

Vậy với mức ý nghĩa  0,01 có thể cho rằng trọng lượng trung bình của bò trước khi xuất chuồng đã tăng lên hay không? Giả thiết trọng lượng của bò là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn là 35,2 kg

Lời giải

Gọi X là trọng lượng của bò trước khi xuất chuồng

Theo giả thiết X phân phối chuẩn với  35,2

Vậy trọng lượng xuất chuồng trung bình là 

Xét bài toán kiểm định giả thuyết H: 375 với đối thuyết K  375 với mức ý nghĩa  0,01

Theo giả thiết n50, X 390, 35, 2, 0,01

Suy ra ta bác bỏ giả thiết H

Vậy trọng lượng trung bình của bò trước khi xuất chuồng khi áp dụng chế độ chăn nuôi mới lớn hơn 375

Tức là khi áp dụng chế độ chăn nuôi mới thì trọng lượng trung bình của bò trước khi xuất chuồng đã tăng lên

iii) Định lí giới hạn trung tâm đƣợc sử dụng tính xác suất để U rơi n

Từ định định lí giới hạn trung tâm ta có

 

2

2

12

Với Y Y1, , ,2 Y là các biến n ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối B 1,p

Khi đó với mỗi i i, 1,n ta có EY i  p DY; i  p1 p

suy ra  Y n n1 thỏa mãn các điều kiện của định lí giới hạn trung tâm

n i

Kí hiệu X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kì vọng ~ np

và phương sai 2 npq Khi n đủ lớn ta có

Ví dụ 2.8 Một kí túc xá có 650 sinh viên Xác suất để một sinh viên đến xem

phim tại câu lạc bộ vào tối thứ bảy là 0,7

a) Tính xác suất để số sinh viên đi xem phim vào tối thứ bảy ít hơn 440

b) Cần chuẩn bị bao nhiêu ghế để với xác suất 0,99 ta có thể đảm bảo đủ ghế cho người đến xem?

Lời giải

a) Gọi X là số sinh viên đến xem phim

Như là một xấp xỉ ban đầu ta coi rằng mỗi sinh viên quyết định đi xem phim

Như vậy X có phân phối nhị thức B(650; 0,7)

Khi đó

650 0

2,326136,5

454,5

2,32611,68

481,7

P X k

P X k P X k

P X k k

Ví dụ 2.9 Một nhà xã hội học cho rằng 12% số dân của thành phố ưa thích

một bộ phim A mới chiếu trên tivi Để khẳng định này, ông ta chọn một mẫu ngẫu nhiên gồm 500 người để hỏi ý kiến và thấy 75 người trả lời ưa thích bộ phim đó

a) Tính xác suất để trong một mẫu ngẫu nhiên gồm 500 người, số người ưa thích bộ phim ít nhất là 75 người nếu giả thiết p12% là đúng

b) Giả thiết của nhà xã hội học có đáng tin cậy không, với mức ý nghĩa là 0,05?

Lời giải

a) Gọi X là số người ưa thích bộ phim

Khi đó X có phân phối nhị thức B(500; 0,12)nếu giả thiết p  0,12đúng Khi đó X có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn X~ ~ N np npq ,  và ta có:

ta lại thấy nó xảy ra ở mẫu quan sát của ta Mâu thuẫn này chứng tỏ giả thiết

Xét bài toán kiểm định giả thuyết H: p0,12 với đối thuyết K:

ii) Định lí giới hạn Moivre_Laplace đƣợc ứng dụng để tính xác suất

để m rơi vào khoảng từ m đến 0 m 1

Vì định lí giới hạn Moivre_Laplace là trường hợp riêng của định lí giới

hạn trung tâm, vì vậy nó cũng được ứng dụng để tính xác suất để m rơi vào khoảng từ m đến 0 m , và do i) nên ta có 1

Ví dụ 2.10 Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất 12000 lần Tìm xác

suất để cho số lần xuất hiện mặt một nốt ở phía trên con xúc xắc gồm giữa

1900 và 2150

Lời giải

Gọi X là tổng số lần xuất hiện mặt một nốt

Khi đó X có phân phối nhị thức n12000 và 1

P  X     



Ví dụ 2.11 Trong kho có 100 lô hàng, mỗi lô có 90 sản phẩm tốt và 10 sản

phẩm xấu, với mỗi lô người ta kiểm tra ngẫu nhiên 5 sản phẩm ( lấy có hoàn lại) Tính xác suất để tổng số sản phẩm xấu trong 100 lô hàng nằm trong khoảng từ 50 đến 70

2.4 Định lí giới hạn Laplace địa phương

2.4.1 Định lí 2.4 Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức với tham số ( , )n p

  , c  0 là hằng số và  

2

212

2.4.1 Ứng dụng của định lí giới hạn Laplace địa phương

Định lí giới hạn Laplace địa phương được ứng dụng để xấp xỉ phân phối nhị thức bởi phân phối chuẩn

Ví dụ 2.12 Giả sử tỉ lệ dân cư mắc bệnh A trong vùng là 15%

a) Chọn ngẫu nhiên một nhóm 420 người.Viết công thức tính xác suất để trong nhóm có đúng 65 người mắc bệnh A

b) Tính xấp xỉ xác suất đó bằmg định lí giới hạn Laplace địa phương

Lời giải

a) Gọi X là số người mắc bệnh A trong nhóm

X có phân phối nhị thức với tham số n  420, p  0,15

0,1366.0,384640,05254

Ví dụ 2.13 Một cầu thủ ném bóng 450 lần vào rổ với xác suất ném trúng rổ

của mỗi lần ném là 0,82 Tìm xác suất để cầu thủ đó đã ném trúng 350 lần

Lời giải

Gọi X là số lần ném trúng vào rổ của cầu thủ

Khi đó X có phân phối nhị thức với tham số n450 và p0,82