Các định lí giới hạn và ứng dụng khóa luận tốt nghiệp

LOI CAM ON Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khoá luận này, em đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ tận tình của các thầy cô trong tổ Toán ứng dụng nói riêng và trong khoa Toán trường

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

EKER đe đeđ Re

LAI THI THANH HUE

CAC DINH Li GIOI HAN VA UNG DUNG

KHOA LUAN TOT NGHIEP DAI HOC

Khoá luận tốt nghiệp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

EKER đe đeđ Re

LAI THI THANH HUE

CAC DINH Li GIOI HAN VA UNG DUNG

KHOA LUAN TOT NGHIEP DAI HOC

LOI CAM ON

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khoá luận này, em đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ tận tình của các thầy cô trong tổ Toán ứng dụng nói riêng và trong khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 nói chung cùng

với sự hỗ trợ của các các bạn sinh viên

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy Trần Mạnh Tiến, người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt thời gian qua để em hoàn thành

được khoá luận này

Do trình độ và thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên những vấn đề mà

em trình bày trong khoá luận này sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Em kính mong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và

các bạn sinh viên để khoá luận của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Khoá luận tốt nghiệp

LỜI CAM ĐOAN

Khoá luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy Trần

Mạnh Tiến cùng với sự cô gắng của bản thân em Trong quá trình nghiên cứu

và thực hiện khoá luận em có tham khảo tài liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục Tài liệu tham khảo)

Em xin cam đoan những kết quả trong khoá luận là kết quả nghiên cứu của bản thân, không trùng với kết quả của tác giả khác

Nêu sai em xin chịu trách nhiệm!

2.2.2 Ứng dụng của định lí giới hạn trung tâm 22

2.3.2 Ứng dụng của định lí giới hạn Moivre_Laplace 31

2.4 Định lí giới hạn Laplace dia phuong 37

Khoá luận tốt nghiệp

MỞ ĐÀU

Các nhà toán học Pháp thế ki 17 như Pierre de Fermat (1601 — 1665),

Blaise Pascal (1623 — 1662) đã đặt nền móng đầu tiên cho lí thuyết xác suất

bởi những lời giải cho các bài toán trong các trò chơi ngẫu nhiên Cuối thế kỉ

17, James Bernoulli (1654 — 1705), nha toán học Thụy Sĩ, được xem như

người khởi xướng của lí thuyết xác suất với những nghiên cứu về luật yếu số

lớn đối với dãy phép thử độc lập Pierre Simon Laplace (1749 — 1827), nhà

toán học Pháp có nhiều cống hiến cho xác suất thống kê trong lĩnh vực các

định lí giới hạn trung tâm Carl Friedrich Gauss (1777 — 1855), nhà toán học

vĩ đại của Đức có các đóng góp lớn đối với xác suất thông kê: Phương pháp bình phương cực tiểu và luật phân phối chuẩn Andrei Kolmogrov (1903 — 1987), nhà toán học lỗi lạc của Nga, người cách mạng hoá cho lí thuyết xác suất với hệ tiên đề xác suất hiện đại mà ông đưa ra vào đầu những năm 1930 Không thể kế hết những tên tuổi của những nhà toán học tiên phong cũng như các nhà toán học lỗi lạc đương đại trên lĩnh vực “jý thuyết xác suất”

Ngày nay, “Jÿ (huyết xác suất” đã trở thành một nghành toán học lớn trong nền toán học thế giới Người ta biết đến “jí thuyét xác suất” không chỉ

vì nó là một nghành toán học chặt chẽ về lí thuyết mà nó còn có ứng dụng

rộng rãi trong nhiều nghành khoa học kĩ thuật, khoa học xã hội và nhân văn

Đặc biệt nó gắn liền với khoa học Thống kê, một khoa học về các phương

pháp thu thập, tổ chức và phân tích các dữ liệu, thông tin định lượng

Dưới sự hướng dẫn tận tình của GVC.ThS Trần Mạnh Tiến cùng với hứng thú tìm hiểu vé “Li thuyét xác suất” em đã lựa chọn đề tài “Các định lí giới hạn và ứng dụng” đề hoàn thành khoá luận tốt nghiệp của mình

Luận văn của em trình bày một số nghiên cứu về luật số lớn, định lí

giới hạn trung tâm, dinh li gidi han Moivre Laplace, dinh li gidi han Laplace địa phương, định lí Poisson là những định lí giới hạn quan trọng nhất của lí thuyết xác suất và có nhiều ứng dụng trong thực tiễn

Với khoá luận này, em mong rằng nó sẽ là một tài liệu bổ ích cho

những ai quan tâm tới vấn đề này

Hà Nội, tháng 5 năm 2010

Sinh viên Lại Thị Thanh Huệ

Khoá luận tốt nghiệp

Cho dãy biến ngẫu nhiên (X,),„, và biến ngẫu nhiên X cùng xác định

trên không gian xác suất (Q,A,P)

Định nghĩa I.I Hội tụ theo xác suất

Day bién ngẫu nhiên X,,X, được gọi là hội tụ theo xác suất tới biến

ngdu nhién X , ki hiéu X,—2>X néu Ve>0:

lim P{|X,-X|>e}=0 (1.1)

Hodc twong duong, néu Ve>0:

Dinh nghia 1.2 H6i tu hau chac chan

Dãy biến ngẫu nhiên X,,X, được gọi là hội tụ hầu chắc chắn tới biên ngau nhién X , ki hiéu X,—“>X néu

Định nghĩa I.3 Hội tụ theo phân phối

Dãy biến ngẫu nhiên X,,X, được gọi là hội tụ theo phân phối tới

biến ngẫu nhiên X, kí hiệu X,——>X nếu

lim F, (x)=F (x), Vx tap liên tuc cua F(x) (1.4) nghĩa là: nếu x là điểm liên tục của hàm phân phối F(x) của X thi

1.1.2 Quan hệ giữa các dạng hội tụ

Dinh lí I1 Cho dãy biến ngẫu nhiên (X,)„, là đấy giảm và X,—>X, khi đó X,—**©—yX

Chứng mình

Dat Y,=X,-X

Vì (X,)„, là dãy giảm và X, hội tụ theo xác suất, X,——›X nên Y, cũng là

dãy giảm và Y,——0

Ta đi chứng minh Y,—**“—›0 bằng phản chứng

Giả sử Y, không hội tụ hầu chắc chắn tới 0

Tức là 1>0, và biến cổ AeA sao cho:

P(A)>6>0 và supY,(ø)>e£, n tuỳ ý, @eA

Điều này mâu thuẫn với giả thiết Ÿ,—”—›0

Suy ra điều giả sử sai.†

Định lí 1.2 Cho dãy biến ngẫu nhiên (X, )„, hội tụ hậu chắc chắn đến

biến ngẫu nhiên X khi và chỉ khi với e >0 bất kì,

Khoá luận tốt nghiệp

Chứng mình

Zn= sup|X ¢(@)- X(o),n =12,

k>n

suy ra đấy (Z,), là dãy giảm ( khi n càng bé) về 0

Khi đó X,—*“—>X khi và chỉ khi Z,—**—>0

Nhưng (Z,), là dấy giảm, nên Z„—**›0 tương đương với Z,——>0 hay

tương đương với:

ii) Gid su xER va F(x) lién tuc, Ve>0 ta có

Khoá luận tốt nghiệp

1.2 Hàm đặc trưng

Định nghĩa L4 Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X là kì vọng

toán của biến ngẫu nhiên phúc e*, ( =—1) và được kí hiệu là ø, (f) Tức là

Ø(P)= Ele] =E(cosix)+iE(sinrx)

Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có hàm phân phối xác suất p, thì

9% (t)=de™ p, = >;(cosx,)p,+¡Ð(sinfx,) p,

Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất F(x) thì

9, (t) =f el F (x)de= | (costx) F (x)dx-+i | (sinex) f (x)dx

iw) F(x)_ xác định một cách duy nhất hàm đặc trưng Øy (t)

v) Nếu X,„X, X„ là các biến ngẫu nhiên độc lập thì

vi) Néu ton tai EIx thì hàm đặc trưng Ø; (t) cũng tôn tại đạo hàm đến bậc

k tại mọi điểm t

Hệ quả Nếu tôn tại E|XỈ thì ø, (t) sẽ có khai triển Taylor như sau

Dx ()=Lemjrtm, + + ĐT tố[£)

trong dom, =E[ X'],i=Lk

vii) Nếu {F,(x)} là day hàm phân phối xác suất và {@,(t)} la day các đặc trưng tương ứng thì điều kiện can và đủ để {F,(x)} hội tụ yếu (tức là hội tụ

tại các điểm F„(x) liên tục ) tới hàm phân phối xác suất F(x)_ là {ø,(t)} hội

tụ tại mọi t đến hàm đặc trưng {p(t} tuong ung voi F(x)

1.2.2 Hàm đặc trưng của một số biến ngẫu nhiên thường gặp

Vi dụ I.I Cho biến ngẫu nhiên X ~ B(n,p) Tim 9, (t)

Lời giái Theo định nghĩa của quy luật Bứn, p)

Khoá luận tốt nghiệp

Khoá luận tốt nghiệp

Chứng mình

Ta chứng minh cho trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời rac, trường

hợp X là biến ngẫu nhiên liên tục được chứng minh tương tự

Giả sử X là biến ngẫu nhiên rời rạc với các giá trỊ có thể có là X;;Ä;, „X„ VỚI

các xác suất tương Ứng p, p; J„

Giả thiết |x,— EX|<£ với ¡=l,k, và |x,— EX|>£ với i=k+l,n

Vì các biến cố để thực hiện các bất đăng thức |X - EX|<£ và |X -EX|>e

đối lập nhau, do đó

Vì X là biến ngẫu nhiên rời rạc nên

DX =(x,-EXY p,+ +(%,-EX) Pt (%a-

P[|X ~EX|<kø]>I~

Từ đó ta có

P[EX -kơ< X <EX +ko]> 1-5 20,95

suyra &”>20 hay k>5

Vậy k>5 thì X nhận giá trị từ EX—-ko dén EX+ko với xác suất không

Khoá luận tốt nghiệp

CHƯƠNG 2 CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG

1 n 1 n P3|— > X, -— LEX; |2 6+ 0 (n>) (2.2)

Định lí 2.1 Nếu (X, )„, là họ biển ngẫu nhiên độc lập, có các kì vọng

toán hữu hạn và các phương sai đều bị chặn bởi hằng số C (Dx, <C,i=In) thì nó tuân theo luật số lớn

Chứng mình Xét biến ngẫu nhiên X' là trung bình số học của các biến ngẫu nhiên nói trên

X= X,+X,+ +X,

n Tìm kì vọng và phương sai của X

lim P(X -EX|<e)>4im(1-— E> )=I

mà xác suất của một biến cô không thê lớn hơn 1, do đó

lim P(/X -EX|<e)=I

Vậy định lí được chứng minh

Bản chất của định lí Chebyshew

Định lí Chebyshev chứng minh sự hội tụ theo xác suất của trung bình

số học của một số lớn các biến ngẫu nhiên về trung bình số học của các kì

vọng tương ứng

Nói cách khác nó chứng tỏ sự ôn định của trung bình số học của một số lớn các biến ngẫu nhiên xung quanh trung bình số học của các kì vọng toán của các biến ngẫu nhiên ấy

Khoá luận tốt nghiệp

Từ bảng phân phối ta thấy họ {X,„ø >1} không cùng phân phối Nhưng ta tính

được EX,=0, DX, = 2a" Vn >1 Suy ra DX, bị chặn đều

Vậy theo định lí Chebyshev ta có

ly X,—0 (n>)

Nia

Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 2.2 Cho họ biến ngẫu nhiên độc lập {X,„ø>I} có phân phối được xác n?

dinh nhu sau

n i=l

Chứng mình

Do họ {X,.n >I} độc lập, cùng phân phối, có EX,= u,¡ =l,n và các

phương sai cũng bị chặn trên (DX, <Cj¡ =1n), nén theo dinh li Chebyshev

thì họ đó tuân theo luật số lớn, đo đó:

1S x, 25.0

Nia

Hệ quả 2.2 (Định lí Bernoulli) Nếu S„ là số thành công trong npháp

thir Bernoulli, voi xác suất thành công p.(0 <p< 1) thi

Khoá luận tốt nghiệp

Ta có ø là số phép thử đã tiến hành, ø(A) là số phép thử có A xuất

n(A)

n hiện, tỉ số được gọi là tần suất của A

Gọi 4, là số lần suất hiện A ở phép thử thứ & thì họ {4,,& >I} là họ

độc lập các biến ngẫu nhiên cùng có phân phối rời rạc với các giá tri 0,1 với các xác suất tương ứng l— P(A) và P(A) chưa biết

( mà ta chưa biết)

ca A

Như vậy nêu tôn tại tim (A) thi gidi han nay la P (A) no

ii) Luật số lớn chính là cơ sở cho phương pháp đo lường trong vật

Để xác định giá trị của một đại lượng vật lí nào đó ta thường tiễn hành

đo n lần và lấy trung bình số học của các kết quả đo làm giá trị thực của đại lượng cần đo

Thật vậy giả sử xem kết quả của n lần đo là các biến ngẫu nhiên X,,X,, X, Déi voi các biến ngẫu nhiên này có thể áp dụng hệ quá 2.1, vi chúng độc lập với nhau, có kì vọng toán EX, = //¿ chính là giá trị thực của đại

lượng vật lí đó, các phương sai đều bị chặn trên bởi ø” là độ chính xác của

thiết bị đo ( thiết bị đo càng chính xác thì ø? càng nhỏ)

Khoá luận tốt nghiệp

Thực chất của nó là dựa vào một mẫu ngẫu nhiên khá nhỏ có thê kết

luận về toàn bộ tập hợp tông quát của các đối tượng được nghiên cứu

Chẳng hạn để đánh giá năng suất cây trồng của một vùng nào đó người

ta không cần phải điều tra trên toàn bộ diện tích của vùng đó mà chỉ cần dựa vào kết quả thu hoạch của một mẫu ngẫu nhiên khá nhỏ mà vẫn đưa ra được các kết luận đủ chính xác về năng suất cây trồng của vùng đó

2.2 Định lí giới hạn trung tâm

2.2.1 Dinh lí 2.2 Cho X,.X, là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối, với u= EX,„ơ? =DX, tôn tại hữu hạn

Chứng mình

Từ tính chất vii) cua ham đặc trưng ta có: Sự hội tụ của các hàm đặc

trưng cho phép suy ra sự hội tụ theo phân phối

U,=Ä.=#

o suy ra

Km

Lại Thị Thanh Huệ 25 K32_CN Toán

Khoá luận tốt nghiệp

Vậy ta có điều phải chứng minh

2.2.2 Úng dụng của định lí giới hạn trung tâm

Ù Định lí giới hạn trung tâm được ứng dụng trong bài toán ước lượng giá trị trung bình của tổng thể từ giá trị trung bình mẫu

Xét tập hợp gồm N cá thể, và một đặc tính định lượng X nào đó của

mỗi cá thể đó Gọi x; là giá trị ứng với cá thể thứ ¡ Khi đó giá trị trung bình

Gọi X; là giá trị đo được ở cá thé thứ ¡ trong mẫu, vì mẫu chọn ngẫu nhiên

nên các X; là các biến ngẫu nhiên và các biến ngẫu nhiên này độc lập cùng phân phối, EX; = /, DX; =ơ” Trung bình mẫu là

Xịi+ +Xp

n

X=

Theo định lí giới hạn trung tâm, khi 0 đủ lớn thì X¡ + + X„ có phân bố xấp

xỉ phân bố chuẩn với kì vọng ø/z và phương sai nơ” Do đó X sẽ có phân

bô xâp xỉ phân bô chuân với kì vọng / và phương sai ——

n Khi đó ta xét

1— ø được gọi là độ tin cậy của ước lượng khoảng, thông thường độ tin

cậy I— ø được chọn theo yêu cầu cho trước khá lớn 0,9; 0,95; 0,90;

Lại Thị Thanh Huệ 27 K32_CN Toán

Khoá luận tốt nghiệp

Vi du 2.3 Trọng lượng trung bình của một loại táo là / (chưa biết) với độ

lệch tiêu chuẩn là 12g Một mẫu ngẫu nhiên gồm 400 quả táo có trọng lượng trung bình 80,3g, với độ tin cậy 95% ước lượng khoảng cho //

Voi gia thiét X =80,3 ta thu duge 7912< <§81,48

Ví dụ 2.4 Do sttc bền chịu lực của một loại ống công nghiệp người ta thu được bộ số liệu sau

(đo 9 ống) Từ kinh nghiệm nghề nghiệp người ta cũng biết rằng sức bền đó

có phân phối chuân với độ lệch chuẩn ø =300 Hãy xây dựng khoảng tin cậy 95% cho sức bền trung bình của loại ống trên

i X -6, =;X +4, — Ø % Oo

[Fa Grea)

&(6,)=1- 5 =1-0,025=0,975= Ø(I97)—= Ø, = I,97

Vậy khoảng tin cậy cần tìm có dạng

(5289 — 197.5 ;528889 + 59)

= (5052,89;5484,89) ii) Dinh li giới hạn trung tâm được ứng dụng trong thống kê: giải bài toán kiểm định giả thuyết về giá trị trung bình

Giả sử (X,,X„ X„) là mẫu ngẫu nhiên rút từ biến ngẫu nhiên X có

EX = và DX =ơ) (nếu X không chuẩn thì z>30)

Xét bài toán kiểm định giả thuyết sau

Giả thuyết H: = “4

Đối thuyết K: > tụ Với mức ý nghĩa z và ơ? đã biết

Ta tiên hành các bước sau:

Nếu „< u(a) thi ta chap nhan H

Cơ sở lí luận của qui tắc trên là dựa vào định lí giới hạn trung tâm

Néu X ~N ( 11,0") hoặc không phải chuẩn nhưng ø >30 thì với giả thuyết H