Toán tử Compact trong không gian Banach

Vói mong muon đ ocư tìm hieu sâu h nơ ve b® môn này, d óiư góc đ® m®t sinh viên sưpham Toán và trong pham vi cúa m®t khóa lu¾n tot nghi¾p cùng vói sn giúp đõ cúa thay giáo – Th.S Hoàng N

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

Ngưèi hưéng dan khoa hoc Th.s HOÀNG NGOC TUAN

Hà N®i - 2013

LèI CÃM ƠN

Đe hoàn thành đ ocư khóa lu¾n này, tr ócư het em xin bày tó lòngbiet nơ sâu sac đen các thay cô giáo trong to Giái tích, khoa Toán, tr òngưĐai hoc sư pham Hà N®i 2 đã đ®ng viên, giúp đõ em trong suot quátrình làm khóa lu¾n

Đ¾c bi¾t, em xin chân thành cám nơ thay giáo h óngư dan – Th.S Hoàng Ngoc Tuan đã tao đieu ki¾n tot nhat và chí báo t¾n tình đe em có

the hoàn thành khóa lu¾n tot nghi¾p này

Do thòi gian và kien thúc có han nên nhung van đe trình bày trongkhóa lu¾n không tránh khói nhung thieu sót Vì v¾y, em rat mongnh¾n đ ocư nhung ý kien đóng góp cúa các thay cô và các ban

Em xin chân thành cám ơn !

Hà N®i, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Nguyen Th% Hong Uyen

LèI CAM ĐOAN

Khóa lu¾n này là ket quá cúa bán thân em trong quá trình hoc t¾p

và nghiên cúu Bên canh đó em đ ocư sn quan tâm cúa các thay cô giáotrong khoa Toán, đ¾c bi¾t là sn h óngư dan t¾n tình cúa Th.S Hoàng Ngoc Tuan Đây là đe tài đ®c l¾p không trùng l¾p vói đe tài cúa các tác

Sinh viên

Nguyen Th% Hong Uyen

Mnc lnc

Mé

đau 1

Chương 1 Kien thNc chuan b% 3

1.1 Không gian Metric 3

1.2 Không gian đ%nh c huan 4

1.3 Không gian Hilbert 8

Chương 2 T oán tN com pact tr ong không gian Banach 12

2.1 Đ%nh lý Sc hauder v à Đ%nh lý tha y phiên Fredholm 12

2.2 L ý thuyet pho 21

2.3 T oán tú tn liên hop 29

K et lu¾n 42

T ài li¾u tham kháo 43

Me ĐAU

1 Lý do chon đe tài

Lý thuyet hàm và giái tích hàm có tam quan trong đ¾c bi¾t đoi vóitoán hoc cơ bán và toán hoc úng dnng N®i dung cúa nó rat phong phú,

đa dang Do kien thúc trên lóp vói l ongư thòi gian eo hep nên khó có the

đi sâu nghiên cúu m®t van đe nào đó cúa giái tích hàm Vói mong muon

đ ocư tìm hieu sâu h nơ ve b® môn này, d óiư góc đ® m®t sinh viên sưpham Toán và trong pham vi cúa m®t khóa lu¾n tot nghi¾p cùng vói

sn giúp đõ cúa thay giáo – Th.S Hoàng Ngoc Tuan em xin manh dan trìnhbày nhung kien thúc cúa mình ve đe tài “Toán tN compact trong không gian Banach”.

2 Mnc đích nghiên cNu

Mnc đích nghiên cúu cúa bài khóa lu¾n này là tìm hieu ve toán túcom- pact trong không gian Banach

3 Đoi tưeng pham vi nghiên cNu

Nghiên cúu ve toán tú compact trong không gian Banach bao gomcác đ%nh nghĩa và tính chat cúa nó

4 Phương pháp nghiên cNu

Nghiên cúu tài li¾u tham kháo Tong hop, phân tích, h¾ thong lai cáckhái ni¾m, tính chat

5

5 Cau trúc khóa lu¾n

Ngoài mnc lnc, phan mó đau, ket lu¾n và tài li¾u tham kháo, khóa lu¾n gom 2 chương:

Chươ 1: Kien thúc chuan b%.ng

Chươ 2: Toán tú compact trong không gian Banach.ng

Hà N®i, tháng 05 năm 2013

Sinh viên Nguyen Th% Hong Uyen

CHƯƠNG 1

Kien thNc chuan b%

1.1 Không gian Metric

Đ%nh nghĩa 1.1 Ta goi là không gian metric m®t t¾p hop X ƒ=

Không gian metric đ oc ư kí hi¾u là M = (X, d).

Đ%nh nghĩa 1.2 Cho không gian metric M = (X, d), dãy điem (x n ) ⊂

X, điem x0 ∈ X Dãy điem (x n ) goi là h®i tn tói điem x0 trong không gian Mkhi n → ∞ neu (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N ∗ )(∀n ≥ n0) d(x n , x0) < ε, kí hi¾u :

lim x n = x0 hay x n x0(n ∞).

n→∞

Điem x0 còn goi là giói han cúa dãy (x n ) trong không gian M.

Đ%nh nghĩa 1.3 Cho không gian metric M = (X, d) Ta goi là lân c¾n

cúa điem x ∈ X trong không gian M moi hình cau mó tâm x, bán kính r >

0 nào đay.

Đ%nh nghĩa 1.4 Cho không gian metric M = (X, d) và t¾p A ⊂ X T¾p

A

goi là t¾p mó trong không gian M, neu moi điem thu®c A đeu là điem trong

cúa A, hay nói cách khác, neu điem x ∈ A thì ton tai m®t lân c¾n cúa x bao

hàm trong A.

T¾p A goi là t¾p đóng trong không gian M, neu moi điem không thu®c A đeu là điem ngoài cúa A, hay nói cách khác, neu điem x ∈/ A thì ton tai m®t lân c¾n cúa x không chúa điem nào thu®c t¾p A.

Đ%nh nghĩa 1.5 Cho không gian metric M = (X, d) T¾p K ⊂ X goi là

t¾p compact trong không gian M, neu moi dãy vô han các phan tú thu®c

K đeu chúa dãy con h®i tn tói phan tú thu®c t¾p K T¾p K goi là t¾p compact t ươ đoi trong không gian M, neu moi dãy vô han các phan tú ng thu®c K đeu chúa dãy con h®i tn (tói phan tú thu®c X).

Đ%nh nghĩa 1.6 Cho không gian metric M = (X, d) Không gian M goi

là không gian compact, neu t¾p X là t¾p compact trong M.

Đ%nh lý 1.1 (Azela - Ascoli) Cho X là m®t không gian metric compact và

Y là m®t không gian metric Khi đó m®t t¾p hop con F cúa C(X,Y ) là compact khi và chí khi nó liên tnc đong b¾c, b% ch¾n tùng điem và đóng Trong đó C(X,Y ) là không gian metric vói phan tú là tat cá các hàm liên tnc tù X tói Y và metric đ oc ư xác đ%nh bói công thúc:

1.2 Không gian đ%nh chuan

Đ%nh nghĩa 1.7 Cho X là không gian vectơ trên tr òng ư K (K=R ho¾c C) Ánh xa "." : X → R đ oc ư goi là chuan trên X neu

(i) "x" ≥ 0 vói moi x ∈ X ;

(ii) ["x" = 0 khi và chí khi x = 0;

(iii) "λx" = |λ | "x" vói moi x ∈ X vói moi λ ∈ K;

M®t không gian vectơ vói m®t chuan (X,".") đ oc ư goi là không gian tuyen tính đ%nh chuan (hay là m®t không gian đ%nh chuan).

Đ%nh lý 1.2 Cho (X,".") Đ¾t d(x, y) = "x − y" ∀x, y ∈ X Khi đó, d

là metric trên X.

Tù đ%nh lý trên suy ra m®t không gian đ%nh chuan có the tró thành không gian metric (vói metric đ%nh nghĩa như trong đ%nh lý) Do đó nhung khái ni¾m và tính chat đã có trong không gian metric thì cũng có trong không gian đ%nh chuan.

M®t không gian Banach là m®t không gian tuyen tính đ%nh chuan

(X,".")

là đú trong metric chính tac đ oc ư xác đ%nh bói d(x, y) = "x − y" vói x, y

∈ X.

M¾nh đe 1.1 Cho Y là không gian con cúa không gian Banach X Y là

m®t không gian Banach khi và chí khi Y là đóng trong X.

Đ%nh nghĩa 1.8 Cho p ∈ [1,∞) Không gian

A n

đ oc ư xác đ%nh không gian vectơ K n n – chieu, vói chuan kí hi¾u vói x = (x1, , x n ) ∈ A n

M¾nh đe 1.2 (Riesz) Cho X là m®t không gian đ%nh chuan Neu Y là

m®t không gian con đóng thnc sn cúa X thì vói moi ε > 0 ton tai x ∈

S X := {x ∈ X : "x" = 1} sao cho dist(x,Y ) ≥ 1 − ε

Đ%nh lý 1.3 Cho X là m®t không gian đ%nh chuan X là huu han chieu

khi và chí khi hình cau đ n ơ v% B X cúa X là compact.

p

p

Đ%nh nghĩa 1.9 Cho hai không gian tuyen tính X và Y trên tr òng ư K (K

là tr òng ư so thnc R ho¾c tr òng ư so phúc C) M®t ánh xa T : X → Y đ oc ư goi

là tuyen tính, neu

(i) ∀x, xr ∈ X : T (x + xr ) = Tx + T xr ;

(ii) ∀x ∈ X, ∀λ ∈ K : T λx = λ T x.

Ta th òng ư goi ánh xa tuyen tính là toán tú tuyen tính Khi Y = K thì toán tú

T th òng ư goi là phiem hàm tuyen tính.

Đ%nh nghĩa 1.10 Cho X, Y là không gian đ%nh chuan, và cho T là m®t

ánh xa tuyen tính tù X vào Y T đ oc ư goi là toán tú tuyen tính b% ch¾n neu T (B X ) b% ch¾n trong Y

Ta xác đ%nh chuan cúa T là: "T " = sup {"T (x)" Y ; x ∈ B X }.

Kí hi¾u B(X,Y ) là không gian cúa các toán tú tuyen tính tù X vào Y

Trong tr òng ư hop X = Y , ta đ¾t B(X ) = B(X, X ).

Đ%nh lý 1.4 Cho T : X → Y là toán tú tuyen tính ánh xa không gian đ

%nh chuan X vào không gian đ%nh chuan Y Khi đó, T liên tnc khi và chí khi T b% ch¾n.

Do đó, ta dùng các thu¾t ngu liên tnc và b% ch¾n thay the cho nhau khi nói ve các toán tú tuyen tính.

Đ%nh lý 1.5 Cho Y là không gian con cúa không gian Banach X Neu

dim(Y ) = n, thì ton tai m®t phép chieu P cúa X vào Y sao cho "P" ≤ n

Đ%nh nghĩa 1.11 Cho X, Y là không gian Banach và T ∈ B(X,Y ) –

không gian các toán tú tuyen tính liên tnc tù T : X → Y Ta đ%nh nghĩa toán tú đoi ngau (hay đ oc ư goi là liên hop) T ∗ ∈ B(Y ∗ , X ∗ ) vói f ∈

Đ%nh nghĩa 1.12 M®t không gian con Y cúa không gian Banach X đ oc ư goi là bù đ oc ư trong X neu ton tai m®t phép chieu tuyen tính b% ch¾n cúa X lên Y

M¾nh đe 1.5 Cho Y là không gian con đóng cúa không gian Banach Y là

bù đ oc ư trong X khi và chí khi ton tai phan bù tôpô cúa Y trong X.

Đ%nh nghĩa 1.13 Dãy {x n } trong không gian Banach X goi là :

(i) B% ch¾n d ói ư neu inf "x n " > 0

(ii) B% ch¾n trên neu sup "x n " < ∞

(iii) Chuan hóa neu "x n " = 1 vói moi n.

Đ%nh nghĩa 1.14 Cho không gian tuyen tính X và "."1, "."2 là hai chuan trên X Hai chuan "."1 và "."2 đ oc ư goi là t ươ đ ng ươ neu ton tai hai ng

so d ươ α, β sao cho: ng

1 T¾p E ⊂ X đ oc ư goi là trù m¾t trong X neu E = X.

2 Không gian đ%nh chuan X goi là không gian tách đ oc ư neu ton tai m®t t¾p đem đ oc, ư trù m¾t trong X.

Đ%nh lý 1.7 (Hahn - Banach) Cho X là m®t không gian vectơ và p là

m®t hàm giá tr% thnc trên X thóa mãn:∀x, y ∈ X, ∀a, b ∈ C, |a| + |b|

= 1

⇒ p(ax + by) ≤ |a| p(x) + |b| p(y).

Lay λ là m®t phiem hàm tuyen tính trên không gian con Y cúa X và giá sú λ thóa mãn ∀x ∈ Y, |λ (x)| ≤ p(x) Khi đó, ton tai m®t phiem hàm tuyen tính ϕ trên X sao cho: ∀x ∈ X, |ϕ(x)| ≤ p(x) và ∀x ∈ Y, ϕ(x) = λ

(x).

n ∞

Đ%nh lý 1.8 (Nguyên lí b% ch¾n đeu) Cho X là m®t không gian Banach và

Đ%nh lý 1.9 (Nguyên lí ánh xa mó) Cho T : X → Y là m®t toán tú tuyen

tính b% ch¾n tù không gian Banach X lên không gian Banach Y Khi đó:

T (U ) = {T (x) : x ∈ U} là t¾p mó trong Y khi U là t¾p mó trong X.

Đ%nh lý 1.10 (Nguyên lí ánh xa ng oc) ư M®t song ánh liên tnc T : X → Y ánh xa không gian Banach X lên không gian Banach Y có song ánh ng oc ư

1.3 Không gian Hilbert

Đ%nh nghĩa 1.16 Cho không gian tuyen tính X trên tr òng ư F Ta goi là tích vô h óng ư trên không gian X moi ánh xa tù tích Đecác X × X vào F, kí hi¾u (., ) thóa mãn tiên đe:

1

(i) (∀x, y ∈ X ) (y, x) = (x, y);

Neu x ∈ X, ta đ¾t "x" = ,(x, x) thì công thúc này xác đ%nh m®t chuan

trên X.

Đ%nh nghĩa 1.17 Cho A là toán tú tuyen tính b% ch¾n ánh xa không

gian Hilbert X và không gian Hilbert Y Toán tú B ánh xa không gian

Y vào không gian X goi là toán tú liên hop vói toán tú A neu:

(Ax, y) = (x, By), ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y.

Toán tú liên hop B th òng ư kí hi¾u là A ∗

Đ%nh nghĩa 1.18 Ta goi m®t t¾p H ƒ=

0/

gom nhung phan tú x, y, z, nào

đó là không gian Hilbert neu t¾p H thóa mãn các đieu ki¾n:

(i) H là không gian tuyen tính trên tr òng ư F

(ii) H đ oc ư trang b% m®t tích vô h óng ư

(iii) H là không gian Banach vói chuan "x" = ,(x, x), x ∈ H.

Ta goi moi không gian tuyen tính con đóng cúa không gian Hilbert là không gian Hilbert con cúa không gian Hilbert H.

Đ%nh nghĩa 1.19 Cho F là không gian con cúa không gian Hilbert H.

T¾p hop F ⊥ = {h ∈ H; h⊥F} đ oc ư goi là phan bù trnc giao cúa F trong H.

Đ%nh lý 1.11 Cho F là không gian con cúa không gian Hilbert H Neu F

là đóng thì F + F ⊥ = H Do đó, T : F ⊕ F ⊥ → H đ oc ư đ%nh nghĩa bói T

(x, y)

= x + y là m®t phép đang cau cúa F ⊕ F ⊥ lên H.

Đ%nh nghĩa 1.20 Cho H là không gian Hilbert và S ⊂ H S đ oc ư goi là t¾p hop trnc chuan neu (s1, s2) = 0 vói bat kì s1 ƒ= s2 ∈ S và (s, s) =

1 vói moi s ∈ S.

T¾p hop trnc chuan lón nhat trong H đ oc ư goi là m®t cơ só trnc chuan cúa H.

Đ%nh lý 1.12 Moi không gian Hilbert đeu có m®t cơ só trnc chuan.

Đ%nh lý 1.13 Moi không gian Hilbert H vô han chieu tách đ oc ư đeu có m®t cơ só trnc chuan {e i ∞ .

H n ơ nua, neu {e i ∞ là m®t cơ só trnc chuan cúa H, thì vói moi x ∈ H

(ii) Neu {e i } i=1 là m®t cơ só trnc chuan cúa H, thì "x"

(Bat đang thúc Parseval)

= ∑ |(x, e i )|

i=1

(iii)Neu bat đang thúc Parserval luôn đúng vói moi x ∈ H thì {e i ∞

là m®t cơ só trnc chuan cúa H (iv) Neu span({e i }∞ ) = H, thì {e i ∞ là m®t cơ só trnc chuan cúa H.

M¾nh đe 1.7 Cho X, Y là không gian Banach và T ∈ B(X,Y ) Neu có δ

> 0

sao cho "T (x)" ≥ δ "x" vói moi x ∈ X, thì T (X ) là đóng trong Y

H n ơ nua, T là m®t phép đang cau tù X vào Y

M¾nh đe 1.8 Cho Y là không gian con đóng cúa không gian Banach X.

Ví dn

} i=1} i=1

} i=1

} i=1

i=1 }

1 L p (E) là không gian Hilbert khi p = 2 và tích vô h óngư đ ocư xác đ

2 p = 2 thì A p là không gian Hilbert vói tích vô h óngư

((a n ), (b n )) = ∞

∑ a n b n

n=1

p ƒ= 2 thì L p (E) không là không gian Hilbert.

Đ%nh nghĩa 1.21 Cho {x n } là m®t dãy trong không gian Hilbert H

(i) {x n } là dãy trnc giao neu (x n , x m ) = 0 khi m ƒ= n

(ii) {x n } là dãy trnc chuan neu (x m , x n ) = δ mn , nghĩa là, {x n } trnc giao

và "x" = 1 vói moi n

(iii) {x n } là cơ só cúa H neu ∀x ∈ H đeu có the viet x =

cách chon các vô h óng ư c n là duy nhat

∞

∑

n=1

c n x n vói

(iv) Dãy {x n } cơ só trnc chuan neu nó vùa là dãy trnc chuan vùa là

cơ só Trong tr òng ư hop này, sn bieu dien duy nhat cúa x ∈ H theo cơ só này là x = ∑ (x, x n ) x n

Đ%nh lý 1.15 Không gian Hilbert H có cơ só trnc chuan khi và chí khi

không gian đó là tách đ oc ư

Đ%nh nghĩa 1.22 Cho S là toán tú tuyen tính b% ch¾n ánh xa không

gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y Toán tú S ∗ ánh xa không gian

Y vào không gian X goi là toán tú liên hop cúa toán tú S neu:

(Sx, y) = (x, S ∗ y) , ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y.

m= 1

CHƯƠNG 2

Toán tN compact trong

không gian Banach

2.1 Đ%nh lý Schauder và Đ%nh lý thay phiên

T ∈ B(X,Y ) đ oc ư goi là m®t toán tú có hang huu han ho¾c m®t toán tú huu

han chieu neu dim(T (x)) < ∞.

Bói F(X,Y ) ta kí hi¾u không gian cúa tat cá các toán tú huu han chieu tù X

vào Y vói chuan đ oc ư tao thành tù B(X,Y ).

Neu f ∈ S X∗ và f không đat đ oc ư chuan cúa nó trên B X thì

f (B X ) = (-1,1) Do đó ta có f ∈ κ(X ,R), nh ng ư f (B X ) không phái

là compact Bói v¾y, bao đóng T (B X ) trong đ%nh nghĩa cúa toán tú compact không the bó đ oc.ư

M¾nh đe 2.1 Cho X, Y là không gian Banach Khi đó F(X,Y ) là không

gian con cúa κ(X,Y ) κ(X,Y ) là không gian con đóng cúa B(X,Y ), và

đó là m®t không gian Banach.

Chúng minh Vì (T1 + T2)(X ) ⊂ T1(X ) + T2(X ), F(X,Y ) là không

gian con

cúa B(X,Y ) Neu T là m®t toán tú có hang huu han, thì T (B X ) là t¾p

hop b% ch¾n trong không gian đóng huu han chieu T (X ), và do đó T (B X ) là compact

Đoi vói T1, T2 ta có

(αT1 + β T2)(B X ) ⊂ αT1(B X ) + β T2(B X ) ⊂ αT1(B X ) + β T2(B X )

và neu T i compact, ve phái là t¾p hop compact (M¾nh đe 1.3) Do đó,

κ (X,Y )

là không gian con cúa B(X,Y ) Ta se chúng tó nó là đóng.

Xét T n ∈ κ(X,Y ) sao cho lim(T n ) = T trong κ(X,Y ) Đe chúng tó rang T là toán tú compact, cho ε > 0, ta tìm m®t ε - l ói ư huu han vói T (B X ) Đau tiên, chú ý rang T n T trong B(X,Y ) có nghĩa là lim (T n (x))

đoi vói x ∈ B X Do đó, ton tai n0 sao cho "T n (x) −T (x)" < ε/2 đe x ∈ B X

và

n ≥ n0 Vì T n0 (B X ) b% ch¾n hoàn toàn trong Y nên ε/2 – l óiư huu han

F trong T n0 (B X ) Ta có ε huu han trong T (B X ) Th¾t v¾y, cho x ∈ B X ,

ta tìm đ ocư y ∈ F sao cho T n0 (x) −y < ε/2 Khi đó "T (x) − y" ≤

T (x) − T n0 (x) +

T n0 (x) −y < ε Bói v¾y, T là toán tú compact.

Chú ý rang neu X là vô han chieu, thì không có phép đang cau tù X vào Y là toán tú compact theo Đ%nh lý 1.3 Đ¾c bi¾t, toán tú đong nhat

I X trong không gian Banach vô han chieu X không bao giò là compact.

Bo đe 2.1 Cho X, Y là không gian Banach và T , T1, T2 ∈ B(X,Y ) Neu lim(T n (x)) = T (x) vói moi x ∈ X, thì vói moi t¾p hop compact K

trong X ta có T n (x) → T (x) đeu trên K.

Chúng minh Ng oc ư lai, giá sú có m®t t¾p hop compact K trong X , ε >

0, m®t dãy con cúa {Tn } (kí hi¾u {T n }) và x n ∈ K sao cho "T n (x n ) −T

→

(x n )" ≥ ε Vì {x n } ⊂ K nên ta giá sú x n → x vói x ∈ K Theo nguyên lí b

% ch¾n đeu

ta có M = sup{"T ", "T1" , "T2" , } < ∞ Do đó

"(T n −T )(x n )" ≤ "(T n −T )(x)" + "(T n −T )(x n − x)"

≤ "(T n −T )(x n )" + "T n −T"."x n − x"

≤ "(T n −T )(x)" + 2M."x n − x" → 0,

mâu thuan vói "T n (x n ) −T (x n )" ≥ ε.

Đ%nh nghĩa 2.2 Cho X là m®t không gian tuyen tính đ%nh chuan vô han

chieu M®t dãy {e i }∞ trong X đ oc ư goi là m®t cơ só Schauder cúa X neu vói moi x ∈ X thì ton tai dãy vô h óng ư (a i)∞ đ oc ư goi là toa đ® cúa x sao cho x

Chúng minh Giá sú P n là phép chieu chính tac đ ocư liên ket vói cơ só

Schauder {e i } Vói moi x ∈ X , ta có lim(P n (x)) = x = I X (x), khi đó

I X là toán tú đong nhat trong X Cho T ∈ κ(X ), ta thay rang có có các toán tú huu han chieu P n ◦ T h®i tn đen T trong B(X ) Tiep theo, ta phái

chúng tó rang (P n − I X )(T (x)) h®i tn đeu đen 0 trong B X ; túc là, (P n

− I X ) h®i tn đeu đen 0

trong T (B X ) Đieu này đ oc ư suy ra tù Bo đe 2.1 vì T (B X ) là compact.Không phái moi không gian đeu có tính chat này Vì không gian cúa

toán tú compact là đóng nên ta có F(X,Y ) ⊂ κ(X,Y ) vói X , Y là các không gian Banach Không gian Banach Y đ ocư goi là có tính chat xap

xí (A.P) neu trong moi không gian Banach X ta có F(X,Y ) = κ(X,Y ).

M®t thay đoi nhó trong chúng minh đ%nh lí tr ócư chúng tó rang c0 và

Chúng minh Đau tiên, ta chúng tó rang t¾p các toán tú m®t chieu là

t¾p hop con trong κ(X ) Chon m®t t¾p hop trù m¾t đem đ oc ư { f i }

trong X ∗ và m®t t¾p hop trù m¾t đem đ ocư {x n } trong X Khi đó dãy

các toán tú T i,n : x ›→ f i (x)x n là trù m¾t trong t¾p hop các toán tú m®t

chieu trên X

Th¾t v¾y, giá sú T là m®t toán tú m®t chieu không tam th òngư trên

X có dang T (x) = f (x) e, khi đó f ∈ X ∗ , e ∈ X Cho ε > 0, chon f i

sao cho " f − f i " ≤ ε/"e" và x n sao cho "e − x n " < ε/(" f " + ε/"e").

< 2ε.

Vì không gian sinh bói các toán tú m®t chieu là F(X ), không gian này

là tách đ oc.ư Tù K(X ) = F(X ) ta có κ(X ) là tách đ oc.ư

Ta đã có B(A2) là không tách đ ocư (M¾nh đe 1.4)

M¾nh đe 2.4 Cho X, Y là không gian Banach và T ∈ κ(X,Y ) Neu x n w

x, x n ∈ B X T a có T (x n ) → T (x) bói tính w - w - liên tnc cúa T

Tuy nhiên, T (B X ) là không gian compact trong tôpô chuan, nên tôpô yeu

là yeu h nơ và Hausdorff; tù đó hai tôpô này trùng nhau trên T (B X )

Do đó, T (x n ) → T (x).

→

→

t ,

1] Th¾tv¾y, ta cũng

chúng tó rang T (B L2 ) b% ch¾n

[0, 1] × [0, 1], sao cho

1 1

Vói n ∈ N, xác đ%nh m®t toán tú compact T n : L2[0, 1] → L2[0, 1] là

Đ%nh lý 2.1 (Schauder) Cho X, Y là không gian Banach và T ∈ B(X,Y ).

T ∗ ∈ κ(Y ∗ , X ∗ ) khi và chí khi T ∈ κ(X,Y ).

Chúng minh Giá sú T ∈ κ(X,Y ) Ta phái chúng tó rang T ∗ (B Y ∗ ) là

hoàn toàn b% ch¾n trong X ∗ Lay { f n } ⊂ B Y ∗ là m®t dãy tùy ý

Xét f n han che trên T (B X ), là compact trong Y Khi đó { f n } b%

ch¾n đeu và liên tnc Theo đ%nh lý Azela-Ascoli, t¾p các hàm là han

che cúa f n trên T (B X ) hoàn toàn b% ch¾n trong C(T (B X )) Do đó có m®t dãy con f nk sao cho sup | f nk (T (x)) − f nl (T (x))| → 0 khi k, l → ∞.

Do đó T ∗ ( f nk ) là Cauchy trong X ∗ và T ∗ (B Y ∗ ) là compact

Đe chúng minh chieu ng ocư l ai, ta có T ∗∗ | X = T Theo p han tr óc,ư

T ∗ ∈ κ(Y ∗ , X ∗ ) kéo theo T ∗∗ (B X∗∗ ) là compact Vì T ∗∗ (B X ) là

t¾p hop con đóng cúa T ∗∗ (B X ∗∗ ), ta có T ∗∗ (B X ) là compact trong

X ∗∗ và vì v¾y là compact trong X Do đó T ∈ κ(X,Y ).

Bo đe 2.2 Cho X là không gian Banach Lay T ∈ B(X ); kí hi¾u S = I X

−T và Y = S(X ) Neu Y là không gian con đóng thnc sn cúa X, thì vói moi ε > 0 có x0 ∈ B X nên dist(T (x0), T (Y )) > 1 − ε.

Chúng minh Theo Bo đe Riesz (M¾nh đe 1.2), vì x0 ∈ S X nên

dist (x0,Y ) > 1 − ε Ta có S(x0) ∈ Y và T (Y ) = (I X − S)(Y ) ⊂ Y.

Suy ra

dist (T (x0), T (Y )) ≥ dist(T (x0) + S(x0), Y ) = dist(x0,Y ) > 1

− ε.

Đ%nh lý 2.2 Cho X là không gian Banach Giá sú T ∈ κ(X ) và λ ƒ=

0 The thì Ker(λ I X − T ) là huu han chieu, và (λ I X − T )(X ) đóng và

có đoi chieu huu han.

Chúng minh Giá sú λ = 1 Lay N λ = Ker(I X − T ) Vói moi x ∈ N λ , ta

có T (x) = x, do đó T | N

λ là m®t phép đang cau vào và cũng là compact,

v¾y N λ là huu han chieu

Theo Đ%nh lý 1.4 và M¾nh đe 1.5, ton tai m®t không gian con đóng

X1 cúa X sao cho X = N λ ⊕ X1 Kí hi¾u S = I X − T , S1 = S| X1 , và chú

ý rang S(X ) = S(X1) = S1(X1) Vì Ker(S1) = N λ ∩ X1 = {0}, ta có S1 làánh

xa 1 - 1 Ta se chúng tó inf

x∈S X1 "S1(x)" > 0.

Ng ocư lai, giá sú có x n ∈ S X1 sao cho "S1(x)" → 0 Vì T là compact, ta

có the giá sú T (x n ) → y The thì x n = (S1 + T )(x n ) → y Cho nên,"y"

= 1 và h nơ nua S1(x n ) → S1(y), vì v¾y S1(y) = 0 Mâu thuan vói S1 làánh xa 1 – 1

Do đó, ton tai c > 0 sao cho "S1(x)" ≥ c"x" vói moi x ∈ X1, tù M¾nh

đe 1.7, S1(X1) = S(X ) là đóng.

Bây giò ta se chúng tó rang S(X ) có đoi chieu huu han Vói k ∈

N0 xác đ%nh S k sao cho S0 = I X , S1 = S, S k+1 = S ◦ S k Cho N k =

Ker(Sk ) Vì S k = (I X −T ) k = I X − T k vói toán tú compact T k tùy ý

(lũy thùa cúa T lai là nhung toán tú compact), ta có dim(N k ) < ∞ vói

"T (y n ) −T (y m )" ≥

1

vói n ƒ= m, mâu thuan vói tính compact cúa T

2

Tươ tn, ton tai m sao cho Nng m = N m+1 Th¾t v¾y, neu x ∈ N k (túc là

M n = M n r , vói bat kì n r ≥ n và N m = N m r vói bat kì m r ≥ m.

Cuoi cùng, đ¾t p = max{n, m} thì có X = N p ⊕ M p Vói x ∈ X tùy ý,

ta có S p (x) ∈ M p Tuy nhiên, S p (M p ) = S p (S p (X )) = S 2p (X ) = S p (x)

= M p Cho nên, ton tai y ∈ M p sao cho S p (y) = S p (x), vì v¾y S p (y −

x ) = 0 Do đó y − x ∈ N p và x = (x − y) + y Vì X = N p ⊕ M p nên đoi

chieu cúa M p (M1 ⊃ M p) là huu han

Đ%nh nghĩa 2.3 Cho không gian Banach X, Y M®t toán tú T ∈

B (X,Y ) đ oc ư goi là toán tú Fredholm neu Ker(T ) là huu han chieu và

T (x) có đoi chieu huu han So i(T ) = dim(Ker(T )) − co dim(T (X ))

đ oc ư goi là chí so cúa T

Như chúng minh Đ%nh lý 2.2, neu T là m®t toán tú Fredholm, ta có the viet X = Ker(T ) ⊕ X1 và T | X1 là phép đang cau cúa X1 lên T (X ) Tù

Đ%nh lý 2.10, ta có m¾nh đe sau đây

M¾nh đe 2.5 Cho không gian Banach X và T ∈ κ(X ) The thì λ I X − T

là toán tú Fredholm vói moi λ ƒ= 0.

Fredholm vói i(T ) = k.

Đ%nh lý 2.3 (Thay phiên Fredholm) Cho không gian Banach X, và cho

T ∈ κ(X ) và λ ƒ= 0 Khi đó ph ươ trình T (x) − λx = y có nghi¾m ng vói moi y ∈ X khi và chí khi ph ươ trình T (x) − λx = 0 chí có nghi¾m ng tam th òng ư x = 0.

Nói cách khác, Ker(λ I X − T ) = {0} khi và chí khi (λ X X − T )(X )

= X Th¾t ra, có m®t ket quá tong quát h n ơ Neu T là toán tú compact trên X và

λ ƒ= 0, thì i (λ I X −T ) = 0 ([5]).

Ta có vói S ∈ B(X ), co dim(S(X )) = dim(Ker(S ∗)) neu chúng đeu huu han

Chúng minh Ta giá sú λ = 1; kí hi¾u S = I X − T Neu T (x) − x = 0

chí có nghi¾m tam th òngư x = 0, thì N λ = Ker(S) = {0} và do đó S là m®t phép đang cau vào theo Đ%nh lý 2.2 Ta phái chúng tó rang S là

đang cau lên

Đ¾t M k = S k (X ) vói k = 0, 1, Trong Đ%nh lý 2.2, ta đã chúng minh ton tai n sao cho M m = M n vói moi m ≥ n Ta đ¾t M1 = M0 =

X Trong tr òngư hop khác, cho m là so nguyên cnc tieu sao cho M m−1 ƒ=

M m = M m+1 Chon u ∈ M m−1 \M m Khi đó S(u) ∈ M m = M m+1 Do đó, có

v ∈ M m sao cho S(v) = S(u) và u ƒ= v vì u ∈/ M m Cho nên S(u − v) =

0 và u ƒ= v, mâu thuan vói Ker(S) = {0}

Bây giò giá sú ánh xa S tù X lên X Xác đ%nh N k = Ker(S k ) vói k ∈

N Ta phái chúng tó N1 = Ker(S) = {0} Rõ ràng, N k ⊂ N k+1 vói moi

k Giá sú ng ocư lai có x1 ƒ= 0 sao cho x1 ∈ N1 Bang phép quy nap, ta se

xây dnng m®t dãy x k sao cho S(x k+1) = x k và x k ∈ N k \N k−1 Tù đó cóđieu phái chúng

minh vì đã biet tù chúng minh cúa Đ%nh lý 2.2 là N m = N m+1 vói m tùy ý Giá sú x1, , x k đã đ ocư xác đ%nh Vì S là lên, ton tai x k+1 sao cho

đ oc ư goi là khá ngh%ch neu T là m®t phép đang cau tù X lên Y

T ∈ B(X,Y ) là khá ngh%ch khi và chí khi có m®t toán tú tuyen tính

b% ch¾n T −1 ∈ B(Y, X ) sao cho T −1 T = I X (ánh xa đong nhat trong

X ) và TT −1 = I Y Theo đ%nh lí ánh xa mó, đieu này tươ đng ươ vóing

T là ánh xa

1 – 1 và lên.

Do đó, T ∈ B(X,Y ) là khá ngh%ch khi và chí khi T ∗ là khá ngh%ch,

và (T ∗)−1 = (T −1)∗ Tươ tn, neu T ∈ B(X,Y ), và S ∈ B(Y, Z) là kháng

T k , ó đó chuoi h®i tn tuy¾t đoi

∞ ∞ ∞

Chúng minh Đau tiên, ta có ∑

k= 0

T k

≤

∑

k= 0