Toán tử dương trong không gian banach và ứng dụng

PHẠM THỊ TIẾNTOÁN TỬ DƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2017... TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2PHẠM THỊ TIẾN TOÁN TỬ DƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN BANAC

PHẠM THỊ TIẾN

TOÁN TỬ DƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM THỊ TIẾN

TOÁN TỬ DƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN NĂNG TÂM

HÀ NỘI, 2017

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm giảng viên khoa Toán TrườngĐại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoànthành luận văn này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy côgiáo trong khoa Toán, các thầy cô phòng Sau đại học và các thầy cô củaTrường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quátrình học tập tại Trường

Nhân dịp này em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn

bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình họctập và thực hiện luận văn tốt nghiệp

Hà Nội, tháng 8 năm 2017

Phạm Thị Tiến

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tíchvới đề tài "Toán tử dương trong không gian Banach và ứng dụng"được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm vànhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác.Trong khi nghiên cứu và viết luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựucủa các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Tôi cũng xin cam đoan các thông tin trích dẫn trong luận văn đã đượcchỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 8 năm 2017

Phạm Thị Tiến

gian Banach 57

ii

supX f Cận trên đúng của f trên X

l1 Không gian các dãy hội tụ về 0

infX f Cận dưới đúng của f trên X

conv(Ω) Bao lồi đóng của Ω

iX(F, Ω) Chỉ số điểm cố định của F trên Ω

Lp(I, m) Không gian các hàm p-khả tích Lesbesgue trên I với hàm

Lời mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết các toán tử dương đóng vai trò quan trọng trong nhiều chủ

đề của Giải tích hàm Những phương pháp dựa vào lý thuyết này rấthiệu quả, chính xác và có nhiều ứng dụng rộng rãi (xem [3] và những tàiliệu dẫn trong đó)

Trong những năm qua việc nghiên cứu các tính chất và ứng dụngcủa toán tử dương đã được quan tâm nhiều Vì vậy, sau khi học đượccác kiến thức về Toán giải tích, với mong muốn tìm hiểu sâu hơn vềcác kiến thức đã học và ứng dụng của chúng, dưới sự hướng dẫn củaPGS.TS Nguyễn Năng Tâm tôi đã chọn đề tài nghiên cứu “Toán tửdương trong không gian Banach và ứng dụng” để thực hiện luậnvăn của mình

Luận văn gồm ba chương:

Chương 1 "Một số kiến thức chuẩn bị" trình bày một số kiến thức cơbản về Không gian Banach, Nón và thứ tự bộ phận

Chương 2 "Toán tử dương" trình bày một số khái niệm và tính chấtcủa toán tử dương tuyến tính, sự nén nón và toán tử mở rộng

Chương 3 "Một số ứng dụng" đưa ra các bài toán giá trị biên chophương trình vi phân cấp 2, phương trình tích phân Hammerstein trênnửa đường thẳng,bài toán giá trị biên cho phương trình vi phân trongkhông gian Banach

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về toán tử dương và ứng dụng của toán tử dương trongkhông gian Banach

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu một cách hệ thống về lý thuyết toán tử dương và ứng dụngcủa toán tử dương trong không gian Banach

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Toán tử dương và ứng dụng của toán tử dương trong không gianBanach

5 Phương pháp nghiên cứu

Tìm hiểu các tài liệu, sách, báo liên quan đến kết quả đã có về toán

tử dương trong khôn gian Banach Tổng hợp kiến thức và trình bày mộtcách hệ thống

6 Dự kiến đóng góp của đề tài

Hệ thống các kiến thức về một số tính chất và ứng dụng của toán tửdương trong không gian Banach để góp phần làm phong phú hơn cáckết quả, sự hiểu biết về toán tử dương trong không gian Banach

Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chếnên khi làm luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót Tácgiả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy

cô và bạn đọc

Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một số khái niệm cơ bản sẽ cần đến trong cácchương sau

1.1 Không gian Banach

Mục đích của phần này là ta nhắc lại một số khái niệm về không gianBanach Chủ yếu được lấy từ [1]

Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyếntính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc

P = C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, ký hiệu là k·k vàđọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây:

1) (∀x ∈ X)kxk ≥ 0, kxk = 0 ⇐⇒ x = θ (ký hiệu phần tử không là θ);2) (∀x ∈ X)(∀α ∈ P )kαxk = |α|kxk;

3) (∀x, y ∈ X)kx + yk ≤ kxk + kyk

Số kxk gọi là chuẩn của vectơ x Ta cũng ký hiệu khôn gian định chuẩn

là X Các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề của chuẩn

Định nghĩa 1.1.2 Dãy điểm (xn) của không gian định chuẩn X gọi làhội tụ đến điểm x ∈ X, nếu limn→∞kxn− xk = 0 Ký hiệu

lim

n→∞xn = x hay xn −→ x khi n −→ ∞

Định nghĩa 1.1.3 Dãy điểm (xn) trong không gian định chuẩn X gọi

là dãy cơ bản, nếu

1.2 Nón và thứ tự bộ phận

Mục đích của phần này là cung cấp một vài thông tin về nón và thứ tự

bộ phận trong không gian Banach

Định nghĩa 1.2.1 ([3], tr.9) Một tập P khác rỗng, P 6= {θ}, của khônggian Banach thực E gọi là một nón nếu P là đóng, lồi và

i) λx ∈ P với mọi x ∈ P và λ ≥ 0,

ii) Nếu x, −x ∈ P thì x = θ

Rõ ràng, P + P ⊂ P Nó được biết đến rằng mỗi nón sinh ra mộtquan hệ thứ tự trong E như sau: Với x, y ∈ E và P là nón trong E tanói rằng

Định nghĩa 1.2.2 ([3], tr.10) Một nón P được gọi là chuẩn nếu tồn tại

γ > 0 sao cho nếu θ  x  y, thì kxk ≤ γkyk

Số γ nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên được gọi là hằng số chuẩn của

P Hiển nhiên, γ ≥ 1

Nói cách khác, một nón là chuẩn nếu chuẩn trong E là nửa đơn điệu.Khái niệm khác về nón chuẩn là rất hữu ích và sẽ thường xuyên được sửdụng sau này là:

Bổ đề 1.2.1 ([3], tr.10) Một nón P là chuẩn nếu và chỉ nếu tồn tạimột số δ > 0 sao cho với mọi x, y ∈ P

kx + yk ≥ δkxk

Chứng minh Giả sử rằng P là nón chuẩn Lấy x, y ∈ P Từ

θ  x  x + y,

theo chuẩn của P ta có

kx + yk ≥ 1

γkxk

Bây giờ ta giả sử rằng tồn tại δ > 0 sao cho

kx + yk ≥ δkxkvới mọi x, y ∈ P Nếu θ  x  y thì y − x ∈ P Kết quả là

kyk = kx + y − xk ≥ δkxk,Điều đó có nghĩa rằng P là chuẩn

Bây giờ đã sẽ đưa ra một vài ví dụ về nón chuẩn

Ví dụ 1.2.1 Trong không gian Banach C[a; b] tất cả các hàm liên tụctrên [a; b] với chuẩn

x  y nếu và chỉ nếu x(t) ≤ y(t) trên [a; b]

Do đó, nếu 0  x  y thì kxk ≤ kyk Rõ ràng P là nón pháp với hằng

số pháp γ = 1

Ví dụ sau đây chỉ ra một nón không phải là nón pháp

Ví dụ 1.2.2 Xét không gian Banach C1[0; 1] của các hàm khả vi liêntục trên [0; 1] với chuẩn

Đặt xn(t) = sin nπt + 1 và yn(t) ≡ 2 trên [0; 1] Khi đó

0  xn  yn, kxnk = 2 + nπ và kynk = 2với mọi n ∈ N Ở kết quả 2 + nπ ≤ 2γ với mọi n ∈ N, điều này dẫn đến

P không là nón pháp

Bổ đề 1.2.2 ([3], tr.12) Cho P là nón trong E Khi đó, với u ∈ P \ {θ}tồn tại số thực dương σ(u) sao cho

kx + uk ≥ σ(u)kxk với mọi x ∈ P

Chứng minh Cố định u ∈ P \ {θ} Giả sử phản chứng rằng với n ∈ Ntồn tại xn ∈ P sao cho

với mọi k ∈ N, điều đó là vô lý

Dễ dàng chỉ ra σ(u) ≤ 1(xem [3], tr.12) Vì vậy, để chính xác, ta cóthể xác định σ(u) như là số thực dương lớn nhất thỏa mãn bổ đề 1.2.2

Hệ quả 1.2.1 ([3],tr.13) Cho P là nón trong E và u ∈ P \ {θ} Nếuσ(u) > 0 thỏa mãn

kx + uk ≥ σ(u)kxkvới mọi x ∈ P , thì với mọi λ > 0 có

kx + λuk ≥ σ(u)kxk

cố định u(t) ≡ 1 trên [0; 1] Khi đó σ(u) = 1

Tiếp theo, ta sẽ đề cập tới lớp quan trọng khác của nón

Định nghĩa 1.2.3 ([3], tr.13) Nón P được gọi là nón khối nếu nó cóphần trong khác rỗng, tức là intP 6= ∅

Quan sát thấy nón P được xét ở ví dụ 1.2.1 là nón khối Nó có phầntrong là tập tất cả các hàm x(t) ∈ C[a; b] mà min[a;b]x(t) > 0 Kết luậntương tự cho hình nón trong ví dụ 1.2.2

Bổ đề 1.2.3 ([3], tr.13) Cho P là nón khối trong E và x0 ∈ intP Khi

đó với mỗi x ∈ E tồn tại β(x) > 0 thỏa mãn

−β(x)x0  x  β(x)x0.Chứng minh Từ x0 ∈ intP , tồn tại r > 0 thỏa B(x0, r) ⊂ P , ở đóB(x0, r) là hình cầu mở tâm tại x0 với bán kính r Cho x ∈ E \ {θ} Khiđó

x0 − r2kxkx, x0 +

r2kxkx ∈ B(x0, r).

Chứng minh Theo Bổ đề 1.2.3, với mỗi x ∈ E tồn tại β(x) > 0 thỏamãn β(x)x0 − x ∈ P Vì thế

x0 − xβ(x) ∈ P

Từ đó, ta có điều phải chứng minh

Định nghĩa 1.2.4 ([3], tr.14) Nón P được gọi là nón sinh, nếu E =

P − P , ở đó

P − P = {x ∈ E : x = u − v, u, v ∈ P }

Bây giờ ta sẽ nghiên cứu sự liên hệ giữa nón khối và nón sinh

Bổ đề 1.2.4 ([3],tr.14) Nếu P là nón khối thì P là nón sinh

Chứng minh Cho x0 ∈ intP Khi đó tồn tại r > 0 thỏa mãn B(x0, r) ⊂

P Như trong bổ đề 1.2.3 ta có

x0 − r2kxkx, x0 +

r2kxkx ∈ B(x0, r)với mọi x ∈ E \ {θ} Nhưng

u = kxk

r



x0 + r2kxkx



Khi đó u, v ∈ P và x = u − v, vì x ∈ P − P Quan sát thấy θ ∈ P − P

Do đó E = P − P , chứng minh kết thúc

Từ bổ đề trên, các hình nón được xét trong ví dụ 1.2.1 và 1.2.2 làsinh.Đặc biệt, với mọi x ∈ C[a; b] ta có x = u − v, ở đó

u(t) = max{x(t), 0}, v(t) = max{−x(t), 0}, t ∈ [a; b]

Ta kết thúc phần này với ví dụ về nón sinh với phần trong khác rỗng

Ví dụ 1.2.4 Cho c0 là không gian Banach tất cả các dãy số thực

x = {xi} hội tụ về không với chuẩn

là nón trong c0 Ta thấy rằng với x ∈ c0 có thể biểu diễn ở dạng x = u−v,

ở đó

ui = max{xi, o}, vi = max{−xi, 0}, i ∈ N

Do đó, P là nón sinh Ta sẽ chỉ ra rằng P là nón khối Với x = {xi} ∈ P

Từ limi→∞xi = 0, ta có

∀r > 0, ∃i0 ∈ N, ∀i > i0

xi − r 2

i , i > i0.Khi đó, y = {yi} ∈ c0 và

Toán tử dương

2.1 Toán tử dương tuyến tính

Trong mục này ta sẽ nghiên cứu các tính chất bán kính phổ của toán tửtuyến tính bị chặn Đặc biệt ta sẽ quan tâm tới ước lượng của bán kínhphổ và bán kính phổ địa phương với tổng và hợp thành của các toán tửtác động trong không gian Banach được sắp thứ tự bộ phận

Định nghĩa 2.1.1 ([3], tr.16) Cho P là nón trong E và A : E → E làtoán tử tuyến tính Ta nói rằng A là toán tử dương nếu A(P ) ⊂ P

Dễ dàng thấy rằng từ định nghĩa trên A(P ) ⊂ P tương đương với Ađơn điệu tăng, tức là, nếu x  y thì Ax  Ay

Định nghĩa 2.1.2 ([3], tr.16) Cho P là nón trong E và u0 ∈ P \ {θ}.Toán tử tuyến tính dương A gọi là u0-bị chặn trên nếu với mọi x ∈ Pđều có B(x) > 0 thỏa mãn Ax  B(x)u0

Chứng minh của kết quả dứơi đây tương tự như trong Bổ đề 1.2.3

Bổ đề 2.1.1 ([3], tr.16) Giả sử P là nón khối trong E, u0 ∈ intP và

A là toán tử dương bị chặn Khi đó A là u0- bị chặn trên

Ta kí hiệu L(E) là không gian Banach tất cả các toán tử tuyến tính

Nhận xét Bán kính phổ có thể được định nghĩa theo cách khác Cho

E là không gian Banach phức và A ∈ L(E) Kí hiệu σ(A) là mật độphổ của A Khi đó số

được gọi là bán kính phổ của A Với không gian Banach thực r(A) = r( ˜A)theo định nghĩa, trong đó ˜A là kí hiệu cho phức hóa của A Nhắc lại rằngphức hóa ˜E của không gian Banach thực E được xác định như khônggian phức gồm tất cả các cặp (x;y), biểu thị bởi x + iy, x, y ∈ E Phépcộng và phép nhân vô hướng được xác định một cách tự nhiên Chuẩnk.kE˜ trong ˜E được cho bởi

kx + iykE˜ = max

[0;2π] k(cos t)x + (sin t)yk

Bằng cách phức hóa A ∈ L(E) ta nhận được ˜A ∈ L( ˜E) xác định bởi

˜A(x + iy) = Ax + iAy, x, y ∈ E

Dễ dàng chỉ ra k ˜AkE˜ = kAk Mật độ phổ của A được xác định như sau:σ(A) = σ( ˜A) Có thể chỉ ra rằng

lim

n→∞k An kn1 = max {|λ| : λ ∈ σ(A)}

Chứng minh đẳng thức trên có thể được tìm thấy, (xem [3] trang 18).Trong nghiên cứu của ta chỉ xét tới không gian Banach thực và sử dụngcông thức (2) là chủ yếu.

Từ (2) ta nhận ngay được các công thức dưới đây của r(A):

a) r(A) ≤ kAk,

b) r(λA) = |λ|r(A) với mọi λ ∈ R,

c) r(Ak) = [r(A)]k với mọi k ∈ N

Trong trường hợp tổng quát, không dễ dàng tìm kiếm r(A) bởi (2)

do đó, để tính r(A) ta thường sử dụng về khái niệm bán kính phổ địaphương của toán tử tuyến tính bị chặn

Định nghĩa 2.1.4 ([3], tr.18) Cho A ∈ L(E) và x ∈ E Số

r(A, x) = lim

gọi là bán kính phổ địa phương của A tại x

Dễ dàng xác nhận được r(A, x) ≤ r(A) với mọi x ∈ E Ta hãy chỉ rarằng giới hạn

lim

n→∞kAnxkn1

có thể không tồn tại Không giống như dãy {kAnk} , dãy {kAnxk} với

x cố định thuộc E, trong trường hợp tổng quát, không nhân con

lim

n→∞(ak 0

n)

1 k0n = e−1

Do đó dãy a1k

k là phân kỳ Với x = {xk}, xác định bởi

xk = ak − ak+1,

Anx = (xn+1, xn+2, xn+3, ),và

và r(A, x) Đầu tiên ta nhắc lại kết quả sau đây, (xem [3],tr.19)

Định lý 2.1.1 ([3], tr.19) Cho A ∈ L(E) Nếu tồn tại a ≥ 0 thỏa mãnr(A, x) ≤ a với mọi x ∈ E, Khi đó r(A) ≤ a

Chứng minh Giả sử

lim

n→∞sup|Anxk1n ≤ a với mọi x ∈ E

Do đó với mỗi ε > 0 tùy ý và mỗi x ∈ E có 1 số δ(x) ≥ 1 thỏa mãn vớimọi n ∈ N

k(a + ε)−nAnxk ≤ δ(x)

Theo định lý Banach - Steinhaus tồn tại δ ≥ 1 thỏa mãn

k(a + ε)−nAnk ≤ δ với mọi n ∈ N

Điều này cho thấy

lim

n→∞supkAnkn1 ≤ a + ε

Do chuỗi kAnkn1 hội tụ, ta nhận được r(A) ≤ a + ε , vì ε > 0 tùy ý,suy ra điều phải chứng minh

Trong [3],tr.20, Danẽs đã đạt được sự cải thiện của định lý 2.1.1 Cụthể, ông chứng minh rằng tập các phần tử x ∈ E với r(A, x) = r(A) làtập thuộc phạm trù thứ hai trong E Trong trường hợp đặc biệt,

Các chứng minh của (5) cùng được đưa ra trong [3],tr.20 Trong đó,F¨orster và Nagy thu được mở rộng sau đây của (5) cho các toán tử dươngtương ứng với nón sinh

Định lý 2.1.2 ([3],tr.20) Nếu P là nón sinh trong E và A ∈ L(E) làtoán tử dương thì

r(A) = max{r(A, x) : x ∈ P }

Chứng minh Theo (5) , ta có x0 ∈ E thỏa mãn r(A, x0) = r(A) Từ P

là nón sinh, tồn tại u0, v0 ∈ P thỏa mãn x0 = u0 = v0 Do đó

kAnx0k1n = kAn(u0 − v0)kn1 ≤ 2n1 maxkAn

u0kn1, kAnv0k1n

với mọi n ∈ N Vì vậy

r(a, x0) ≤ max{r(A, u0), r(A, v0)} ≤ r(A),suy ra r(A) = max{r(A, x) : x ∈ P }

Bây giờ ta đưa ra 2 điều kiện đủ để r(A, x) = r(A) Các kết quả thảoluận nói về toán tử tuyến tính dương bị chặn

Định lý 2.1.3 ([3] trang 21) Cho nón P là nón sinh và nón pháp trong

E, u0 ∈ P \ {θ} và A ∈ L(E) là toán tử dương u0- bị chặn trên Thìr(A, u0) = r(A)

Chứng minh Rõ ràng r(A, u0) ≤ r(A) Vì vậy ta cần chỉ ra r(A) ≤r(A, u0) Lấy u ∈ P Khi đó tồn tại số β(u) > 0 thỏa mãn

Au ≤ β(u)u0

Vì A là toán tử dương và tăng, ta đạt được

Anu ≤ β(u)An−1u0

với mọi n ∈ N Từ giả thiết, P là nón pháp, vì thế

kAnuk ≤ γβ(u)kAn−1u0kvới mọi n ∈ N Từ đó, ta nhận được r(A, u) ≤ r(A, u0) với mỗi u ∈ P Theo định lý 2.1.2,

r(A) = max{r(A, u) : u ∈ P } ≤ r(A, u0),vậy chứng minh được hoàn thành

Điều đáng nói là định lý 2.1.3 cũng có thể được suy ra trực tiếp từđịnh lý 2.1.1 Như ta thấy, từ các giả thiết của định lý 2.1.3 nó cho thấyrằng r(A, u) ≤ r(A, u0) với mỗi u ∈ P Cho x ∈ E Vì P là nón sinh,nên tồn tại u, v ∈ P sao cho x = u − v Như trong chứng minh của định

lý 2.1.2 ta nhận

r(A, x) ≤ max{r(A, u), r(A, v)}

Như vậy r(A, x) ≤ r(A, u0) với mỗi x ∈ E Theo định lý 2.1.1,

r(A) ≤ r(A, u0) và có khẳng định của định lý 2.1.3

Định lý 2.1.4 ([3],tr.22) Cho P là nón khối và nón pháp trong E và

A ∈ L(E) là toán tử dương Thì với mỗi x ∈ intP

r(A, x) = r(A)

Chứng minh Từ x ∈ intP Theo bổ đề 2.1.1, A là x- bị chặn trên Từ

bổ đề 1.2.4 ta thấy P là nón sinh Theo định lý 2.1.3, r(A, x) = r(A)Bây giờ ta đi dự đoán bán kính phổ của tổng và tích của các toán tửtuyến tính bị chặn Trong chuyên khảo (xem [3] trang 23), định lý kinhđiển được đưa ra như sau

Định lý 2.1.5 ([3], tr.22) Nếu A, B ∈ L(E) và AB = BA thì

và

Chứng minh Vì A và B là giao hoán nên ta có (AB)n = AnBn với mỗi

i

+ 1 + max

0≤i≤K−1

 tq

i

Ví dụ trên cho thấy điều kiện AB = BA trong định lý 2.1.5 và 2.1.6

là cần thiết Tuy nhiên các giả thiết của giao hoán có thể làm yếu đi nếu

A và B là các toán tử dương Bây giờ ta bàn đến 1 vài kết quả của loạinày Nó dễ kiểm tra rằng r(AB) = r(BA) với A, B là các phần tử của L(E) Vì thế trong các ước tính dưới đây, r(AB) là duy nhất

Định lý 2.1.7 ([3],tr.24) Cho P là nón pháp và sinh trong E và A, B ∈ L(E) là các toán tử dương Nếu BAx  ABx với mỗi x ∈ P thì bất đẳngthức (6) và (7) là đúng

Chứng minh Từ giả thiết ta thấy

(AB)nx  AnBnxvới mọi x ∈ P và n ∈ N Vì P là nón pháp, nên

k(AB)nxk ≤ γkAnk.kBnk.kxk

Suy ra

r(AB, x) ≤ r(A)r(B)với mỗi x ∈ P Theo định lý 2.1.2, (6) là đúng Để chứng minh (7), taquan sát



AiBn−ixvới mỗi n ∈ N và x ∈ P Vì P là nón pháp, ta được

tử dương Giả sử rằng tồn tại x0 ∈ P thỏa mãn r(A + B, x0) = r(A + B)và

BAjBkx0  AjBk+1x0với j = 1, 2, , k = 0, 1, Khi đó (7) là đúng

Chứng minh Theo giả thiết ta nhận được với mọi n ∈ N



kAik.kBn−ik.kx0k

Tương tự như trong chứng minh của định lý 2.1.5 ta được

r(A + B, x0) ≤ r(A) + r(B),theo đó ta nhận được (7)

Nhận xét Với toán tử A và B được xét trong ví dụ 2.1.2 giả thiếtcủa định lý 2.1.8 không được thỏa mãn Thật vậy, giả sử P là nón trongkhông gian Euclide R2 Để A(P ) ⊂ P, B(P ) ⊂ P và x0 = (x01, x02) ∈ P Khi đó

Bây giờ ta bàn đến trường hợp tổng quát của định lý 2.1.6 với toán

tử dương Vì r(AB, x) có thể khác so với r(BA, x), nên ta sẽ dự đoán

cả hai

Định lý 2.1.9 ([3],tr.26) Giả sử P là nón pháp trong E và A, B ∈ L(E)

là các toán tử dương Nếu ABx  BAx với mỗi x ∈ P , thì

r(A + B, x) ≤ r(A, x) + r(B),r(AB, x) ≤ r(A, x)r(B) và r(BA, x) ≤ r(A, x)r(B)

với mỗi x ∈ P

Chứng minh tương tự định lý 2.1.7, vì vậy ta có thể bỏ qua nó Nó

là giả thiết để biết liệu r(B) có thể được thay thế bằng r(B, x) Trongtrường hợp r(B, x) < r(B), nghĩa là, liệu có thể có được ước tính tốthơn cho r(A + B, x), r(AB, x) và r(BA, x) Ta sẽ trình bày hai kết quảcủa loại này

Định lý 2.1.10 ([3],tr.27) Cho P là nón pháp trong E và A, B ∈ L(E)

là các toán tử dương Giả sử A là u0- bị chặn trên và

với i = 1, 2, và j = 0, 1, 2, Khi đó

r(A + B, u0) ≤ r(A, u0) + r(B, u0) (11)và

r(AB, u0) ≤ r(A, u0)r(B, u0) và r(BA, u0) ≤ r(A, u0)r(B, u0) (12)Chứng minh Phương pháp để chứng minh định lý này được sử dụngtrong [1] trang 27 Vì A là u0- bị chặn trên và dương, với mỗi x ∈ P tồntại β(x) > 0 thỏa mãn

0  Anx  β(x)An−1u0với mọi n ∈ N Vì thế

kAnxk ≤ γβ(x)kAn−1u0ktrong đó nhận được

Như vậy, r(A, u0) ≤ r(A, u) mà (13) cho ta

ABv  δAδBvvà

ABu0  δAδBv

Như vậy,

(AB)nu0  (δAδB)nvvới mọi n ∈ N Khi đó,

k(AB)nu0k ≤ γ(δAδB)nkvk,

khi đó nhận được

r(AB, u0) ≤ δAδB.Các bất đẳng thức cuối cùng chỉ ra rằng

r(AB, u0) ≤ r(A, u0)r(B, u0)

Một cách tương tự ta có thể nhận thấy

(BA)nu0  (δAδB)nvvới mọi n ∈ N Vì thế

r(BA, u0) ≤ r(A, u0)r(B, u0)

Chứng minh được kết thúc

Định lý 2.1.11 ([3],tr.29) Cho P là nón pháp trong E và A, B ∈ L(E)

là các toán tử dương Giả sử rằng với u0 ∈ P thì (10) được thỏa mãn và

Bu0  r(B, u0)u0.Khi đó các bất đẳng thức (11) và (12) đúng

Chứng minh Từ giả thiết,

Biu0  [r(B, u0)]iu0với mọi i ∈ N Vì thế, với

Ví dụ 2.1.3 Xét không gian Banach c0 và tập

27 Quan sát rằng trong trường hợp này ta có r(A) = 1 vàr(B) = 2

Cuối cùng ta đưa ra định lý điểm cố định cho toán tử phi tuyến màthỏa mãn điều kiện Lipschitz tổng quát đối với toán tử tuyến tính bịchặn có bán kính phổ nhỏ hơn 1

Định lý 2.1.12 ([3],tr.30) Cho E là không gian Banach với quan hệ 2ngôi ”  ” và ánh xạ m : E → E Giả sử rằng

(i) Quan hệ  là bắc cầu,

(ii) θ  m(x) và km(x)k = kxk với mọi x ∈ E ,

(iii) Chuẩn k.k trong E là đơn điệu, nghĩa là với x, y ∈ E nếu 0  x  ythì kxk ≤ kyk

Hơn nữa, toán tử F : E → E, A : E → E với các tính chất dưới đây:(iv) A ∈ L(E), r(A) < 1 và A là tăng với , nghĩa là, nếu 0  x  y thì

Ax  Ay,

(v) m(F x − F y)  Am(x − y)với mọi x, y ∈ E

Thì F có điểm cố định x∗ ∈ E Hơn nữa, với x ∈ E,

lim

x→∞Fnx = x∗

Chứng minh Từ (i), (iv) và (v) ta nhận được với mọi x, y ∈ E

r(A) = inf

n∈NkAnk1n < 1,tồn tại n0 ∈ N thỏa mãn kAn0k < 1 Do Fn0 là co ngặt trong E Theonguyên lý Banach về ánh xạ co, Fn0 có điểm cố định x∗ ∈ E Rõ ràng

x∗ là điểm cố định của F trong E Thật vậy, từ Fn0x∗ = x∗ , ta có

Fn0 +1x∗ = F x∗ Vì thế Fn0(F x∗) = F (x∗), mà rõ ràng F x∗ = x∗ Giả sửrằng tồn tại y∗ ∈ E, y∗ 6= x∗, thỏa mãn F y∗ = y∗ Thì Fn0y∗ = y∗ , đó

là vô lý Vì vậy x∗ là điểm cố định của F trong E Hơn nữa, r(A) < 1 ,hiển nhiên với x ∈ E chuỗi

Nhận xét Trong các áp dụng của định lý 2.1.12 được trình bày trongchương 3, quan hệ  trùng với một quan hệ thứ tự ứng với một nóntrong E

2.2 Nén nón và toán tử mở rộng

Phần này dành để chỉ ra sự tồn tại của điểm cố định trong nón quacác phần tử dương trong không gian Banach được sắp thứ tự Nhưtrong trường hợp của toán tử tuyến tính ta nói rằng toán tử phi tuyến

F : E → E là dương nếu nó bất biến với nón P ⊂ E (xem định nghĩa2.1.1) Các kết quả được biết đến rộng rãi nhất về sự tồn tại của điểm cốđịnh của nón là định lý Kranoselski về mở rộng nón và nén nón Trongphần này ta sẽ giới thiệu cải tiến của nó cho toán tử hoàn toàn liên tục,tập co ngặt và ánh xạ ngưng Ta bắt đầu nhắc lại một số định nghĩa vàthông tin cơ bản từ lý thuyết chỉ số điểm cố định của hình nón

Định nghĩa 2.2.1 ([3], tr.33) Ta nói rằng toán tử F : D → E, D ⊂ E

là toán tử hoàn toàn liên tục nếu nó biến tập con bị chặn của E thànhtập tiền compact

Định nghĩa 2.2.2 ([3], tr.33) Cho B là họ tất cả các tập con của E

Độ đo Kuratowski không compact α(Ω) của tập Ω ∈ B được xác địnhnhư là cận dưới đúng của số ε > 0 thỏa mãn Ω có phủ hữu hạn của cáctập có đường kính ε, đó là

co nếu nó liên tục và ánh xạ tập bị chặn của D thành tập con trong E

và tồn tại k ≥ 0 sao cho α(F (S)) ≤ kα(S) với mọi tập con S bị chặncủa D k-tập co gọi là tập co ngặt nếu k < 1

Dễ thấy, với toán tử hoàn toàn liên tục là 0- co, tức là co ngặt với

Ω là tập bị chặn và mở tương đối của X Khi đó, với mỗi toán tử ngưng

F : Ω → X mà không có điểm cố định trên ∂Ω , tồn tại duy nhất một

số nguyên iX(F, Ω) thỏa mãn các điều kiện sau:

(a) Nếu F x ≡ x0 với mọi x ∈ Ω và một vài điểm cố định x0 ∈ Ω, thì

iX(F, Ω) = 1,

(b) iX(F, Ω) = iX(F, Ω1) + iX(F, Ω2) ở đó Ω1 và Ω2 là hai tập mở vớinhau của Ω sao cho F không có điểm cố định trên Ω \ (Ω1 ∪ Ω2),

(c) iX(H(t, ), Ω) là độc lập của t ∈ [0, 1], trong đó H : [0, 1] × Ω → X

là ngưng và H(t, x) 6= x với (t, x) ∈ [0, 1] × ∂Ω,

(d) Nếu X0 là tập con đóng và lồi của X và F (Ω) ⊂ X0 thì iX(F, Ω) =

iX0(F, Ω ∩ X0)

Số iX(F, Ω) là chỉ số điểm cố định của F trên Ω

Định lý 2.2.2 ([3],tr.35) Với giả thiết của định lý 2.2.1 ta có:

(e) Nếu Ω0 là tập mở của Ω sao cho F không có điểm cố định trong

Trong phần tiếp theo, với mục đích của ta, ta sẽ lấy X = P, P là nóntrong E Ta cũng đề cập tới 2 hệ quả quan trọng của định lý 2.2.1 và2.2.2

Bổ đề 2.2.1 ([3],tr.35) Cho Ω là tập bị chặn của E và P là nón trong

E Cho θ ∈ Ω và F : P ∩ Ω → P là toán tử ngưng Giả sử rằng F x 6= µxvới mọi x ∈ P ∩ ∂Ω và µ ≥ 1 Thì iP(F, P ∩ Ω) = 1

Bổ đề 2.2.2 ([3],tr.36) Cho Ω là tập bị chặn của E và P là nón trong

E Giả sử F1 : P ∩ Ω → P và F2 : P ∩ ∂Ω → P là toán tử hoàn toànliên tục thỏa mãn

inf

x∈P ∩∂ΩkF2xk > 0và

x − F1x 6= tF2xvới mọi x ∈ P ∩ ∂Ω và t ≥ 0 Thì iP(F1, P ∩ Ω) = 0

Tiếp theo, trong ba hệ quả của bổ đề 2.2.2, Ω biểu thị tập mở và bịchặn, P là nón trong E

Hệ quả 2.2.1 ([3],tr.36) Nếu F : P ∩Ω → P là hoàn toàn liên tục vàtồn tại u0 ∈ P \ {θ} sao cho

x − F x 6= tu0với mọi x ∈ P ∩ ∂Ω và t ≥ 0 , khi đó

iP(F, P ∩ Ω) = 0

Chứng minh Đặt F1x = F x với x ∈ P ∩ Ω và F2x = u0 + F x với

x ∈ P ∩ ∂Ω Thì F1 và F2 là hoàn toàn liên tục Hơn nữa, ta có

lim

x→∞(u0 + F xn) = 0,và

lim

x→∞F xn = −u0,điều này là vô lý, vì dãy F xn ∩ P, P đóng và −u0 ∈ P Theo bổ đề/2.2.2, iP(F, P ∩ Ω) = 0

Hệ quả 2.2.3 ([3],tr.37) Cho F : P ∩ Ω → P là hoàn toàn liên tục.Nếu F x 6= µx với mọi x ∈ P ∩ ∂Ω và µ ∈ (0, 1]và

inf

x∈P ∩∂ΩkF xk > 0,khi đó

iP(F, P ∩ Ω) = 0Chứng minh Đặt F1x = F x với x ∈ P ∩ Ω và F2x = F x với x ∈ P ∩ ∂Ω Khi đó

inf

x∈P ∩∂ΩkF2xk > 0

Giả sử tồn tại x0 ∈ P ∩ ∂Ω và t0 ≥ 0 sao cho

x0 − F x0 = t0F x0.Suy ra

F x0 = (1 + t0)−1x0.Đặt µ0 = (1 + t0)−1 Thì µ0 ∈ (0, 1] và F x0 = µ0x0, mâu thuẫn giả thiếtcủa ta Áp dụng bổ đề 2.2.2, chứng minh kết thúc

Bây giờ ta chuyển qua một vài định lý về điểm cố định cho các toán

tử dương ngưng hoặc mở rộng một nón trong không gian Banach Đầutiên ta nhắc lại Định lý Krasnoselski:

Định lý 2.2.3 ([3], tr.38) Cho P là một nón trong E và F : P → P làtoán tử hoàn toàn liên tục với F (θ) = θ Giả sử tồn tại r, R, 0 < r < R,thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

(i) F x  x với x ∈ P, 0 < kxk < r và (1 + ε)x  F x với mọi ε > 0 và

Định lý 2.2.4 ([3],tr.38) Cho Ω1 và Ω2 là các tập bị chặn trong E saocho θ ∈ Ω1 và Ω1 ⊂ Ω2 Giả sử rẳng F : P ∩ (Ω2 \ Ω1) → P là toán tửhoàn toàn liên tục thỏa mãn hoặc :

(i)kF xk ≤ kxk với x ∈ P ∩ ∂Ω1 và kxk ≤ kF xk với x ∈ P ∩ ∂Ω2

hoặc

(ii)kxk ≤ kF xk với x ∈ P ∩ ∂Ω1 và kF xk ≤ kxk với x ∈ P ∩ ∂Ω1 với

x ∈ P ∩ ∂Ω2

Thì F có điểm cố định trong P ∩ (Ω2 \ Ω1)

Chứng minh Theo định lý Dugundji mở rộng (xem [1] tr.39), F có thể

mở rộng thành toán tử hoàn toàn liên tục (cùng kí hiệu là F ) trên P

Ta có thể giả sử F không có điểm cố định trên (P ∩ ∂Ω1) ∪ (P ∩ ∂Ω2).Giả sử (i) được thỏa mãn Vì kF xk ≤ kxk với mọi x ∈ P ∩ ∂Ω1, ta có

F x 6= µx với mọi x ∈ P ∩ ∂Ω1 và µ ≥ 1 Thật vậy, giả sử có điều ngượclại, tức tồn tại x0 ∈ P ∩ ∂Ω1 và µ0 > 1 sao cho F x0 = µ0x0 Thì

kF x0k = µ0kx0k > kx0k,mâu thuẫn (i) Do vậy, theo bổ đề 2.2.1, iP(F, P ∩ Ω1) = 1 Từ (i) cũngsuy ra được

mâu thuẫn với (i) Vì thế F x 6= µx với mọi x ∈ P ∩ ∂Ω2 và µ ∈ (0, 1] vàtheo hệ quả 2.2.3, iP(F, P ∩ Ω2) = 0 Từ các tính phụ của điểm cố định

ta nhận được

iP(F, P ∩ (Ω2 \ Ω1)) = iP(F, P ∩ Ω2) − iP(F, P ∩ Ω1) = −1

Vì thế, theo quan điểm của tính chất nghiệm của chỉ số điểm cố định,

F có điểm cố định trong P ∩ (Ω2 \ Ω1) Chứng minh (ii) tương tự

Rõ ràng là mỗi giả thiết chuẩn của định lý 2.2.4 có thể được thaybằng điều kiện cho bởi quan hệ đã cho bằng P (xem [1] tr.39) Cụ thể,

Khi đó F có điểm cố định x trong P với r ≤ kxk ≤ R

Định lý dưới đây là kết quả mở rộng của định lý 2.2.5

Định lý 2.2.6 ([3],tr.40) Cho P là nón trong không gian Banach E và

r1, r2 > 0, r1 6= r2, R = max{r1, r2}, r = min{r1, r2} Cho F : PR → P làtoán tử hoàn toàn liên tục sao cho:

(i) kF xk ≤ kxk với x ∈ P, kxk = r1,

(ii) Tồn tại u0 ∈ P \ {θ} để F x  x với x ∈ P (u0) và kxk = r2

Khi đó F có ít nhất một điểm cố định x∗ ∈ P với r ≤ kx∗k ≤ R