Một số kết quả về điểm bất động của hàm chỉnh trong không gian Banach và ứng dụng_2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2DƯƠNG MỸ NGỌC MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA HÀM CHỈNH HÌNH TRONG KHÔNG GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nộ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

DƯƠNG MỸ NGỌC

MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA HÀM CHỈNH HÌNH TRONG KHÔNG

GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – Năm 2018

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

DƯƠNG MỸ NGỌC

MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA HÀM CHỈNH HÌNH TRONG KHÔNG

GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Mã số: 60 46 01 02

Chuyên ngành: Toán Giải tích

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN VĂN HÀO

Hà Nội, năm 2018

LỜI CẢM ƠN

Luận văn thạc sĩ Toán học chuyên ngành Toán giải tích được hoànthành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Nhân dịp này, em xinbày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các cán bộ phòng Sau đại học, cácgiảng viên chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư Phạm HàNội 2 đã tổ chức và giảng dạy để em hoàn thành khóa học

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới TS NguyễnVăn Hào, người đã định hướng chọn đề tài và cũng là người đã luôntận tình hướng dẫn, chỉ bảo, giúp đỡ, động viên em trong suốt quátrình nghiên cứu và hoàn thành luận văn này

Xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn ủng hộ và tạo điềukiện tốt nhất để em có thể tập trung nghiên cứu và hoàn thành luậnvăn Mặc dù đã cố gắng rất nhiều nhưng luận văn không tránh khỏinhững thiếu sót Kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của cácnhà khoa học, của quý thầy cô và của bạn bè, đồng nghiệp để luậnvăn của em được hoàn thiện hơn

Em xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, tháng 6 năm 2018

Tác giả

Dương Mỹ Ngọc

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hàoluận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Một số kếtquả về điểm bất động của hàm chỉnh hình trong không gianBanach và ứng dụng” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thântác giả

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừanhững thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2018

Tác giả

Dương Mỹ Ngọc

Mục lục

1.1 Không gian metric 4

1.1.1 Một số khái niệm 4

1.1.2 Sự hội tụ trong không gian metric 7

1.2 Không gian Banach 11

1.2.1 Một số khái niệm 11

1.2.2 Một số ví dụ 12

2 HÀM CHỈNH HÌNH TRONG KHÔNG GIAN BA-NACH 15 2.1 Ánh xạ đa tuyến tính trên không gian Banach 15

2.2 Đa thức trên không gian Banach 27

2.3 Chuỗi lũy thừa trong không gian Banach 31

2.4 Hàm chỉnh hình 36

CỦA HÀM CHỈNH HÌNH TRONG KHÔNG GIAN

3.1 Một số định lý điểm bất động của hàm chỉnh hình 41

3.2 Một số ứng dụng của định lý điểm bất động trong không gian Banach 47

3.2.1 Ảnh số tuyến tính 47

3.2.2 Ảnh số chỉnh hình 48

3.2.3 Định lý duy nhất của Cartan 54

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết điểm bất động là một trong những chuyên ngành giải tíchhàm trong lĩnh vực Toán học Lý thuyết này được hình thành từ nhữngnăm đầu của thế kỷ XX Ngay từ những năm đầu của sự hình thành

và phát triển, lý thuyết này đã đem lại nhiều ứng dụng thực tế, ta

có thể kể đến những vấn đề này như: lý thuyết tối ưu, lý thuyết tròchơi và trong nhiều lĩnh vực khác của vật lý Khởi đầu của lý thuyếtnày được bắt nguồn từ “Nguyên lí điểm bất động Brouwer” vào năm

1912 Nguồn gốc của kết quả này, ta có thể tham khảo trong tài liệu[6] được dịch sang ngôn ngữ tiếng việt như sau

Định lý(Điểm bất động Brouwer) Một ánh xạ liên tục f từ hình cầuđóng đơn vị trong không gian Rn vào chính nó có điểm bất động duynhất, tức là tồn tại duy nhất x ∈ Rn sao cho f (x) = x”

Đến năm 1922, giới toán học mới nhận được kết quả mang tính độtphá trong lĩnh vực này từ công trình của nhà toán học Banach Quaviệc xây dựng không gian metric, ông đã đạt được một kết quả mangtính kinh điển nay được gọi là “Nguyên lý ánh xạ co Banach” Trongtài liệu tham khảo [2] nguyên lý này được trình bày như sau “Ánh xạ

co từ không gian metric đầy vào chính nó có điểm bất động duy nhất”.Tiếp theo, ta có thể kể đến một số kết quả trong lĩnh vực này sangmột số lớp không gian khác như của các nhà toán học A Tarski [20],

E Rakotch [19] và cho tới nay lý thuyết này vẫn đang được quan tâm

để đưa ra được nhiều các ứng dụng trong các vấn đề thực tiễn khác.Với mong muốn tìm hiểu về lý thuyết điểm bất động của hàm chỉnhhình trong không gian Banach và dưới sự định hướng của TS NguyễnVăn Hào, em đã chọn đề tài “Một số kết quả về điểm bất độngcủa hàm chỉnh hình trong không gian Banach và ứng dụng”

để hoàn thành luận văn tốt Thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về hàm chỉnh hình trong không gian Banach Nghiên cứu

về một số kết quả về điểm bất động của hàm chỉnh hình trong khônggian Banach

3 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu về hàm chỉnh hình trong không gian Bnaach và một sốkết quả về điểm bất động trong không gian này và một số ứng dụng

4 Phương pháp nghiên cứu

Tra cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp và xin ý kiến định hướng củathầy hướng dẫn

5 Dự kiến đóng góp của đề tài

Luận văn được hoàn thành trên cơ sở chính với sự trình bày các vấn

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong toàn bộ luận văn ta thống nhất sử dụng các ký hiệu sau: K đểchỉ trường các số thực hoặc trường các số phức C; N để chỉ tập hợptất cả các số tự nhiên; N∗ để chỉ tập hợp các số nguyên dương

Định nghĩa 1.1.1 Cho tập hợp bất kỳ X 6= ∅ Một metric haykhoảng cách trên X là ánh xạ d : X × X → R thoả mãn ba tiên đềsau:

(i) d(x, y) > 0; với mọi x, y ∈ X; d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y.(ii) d(x, y) = d(y, x); với mọi x, y ∈ X (tiên đề đối xứng)

(iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z); với mọi x, y, z ∈ X (bất đẳngthức tam giác)

Tập hợp X cùng với metric d xác định trên đó được gọi là một không

gian metric, ký hiệu là (X, d) Phần tử x ∈ X được gọi là điểm củakhông gian Ta cũng ký hiệu không gian metric chỉ bởi X khi metric

d đã được xác định rõ Cho không gian metric (X, d) và M là một tậpcon khác ∅ của X Khi đó, nếu (M, d) cũng là một không gian metricthì ta gọi nó là không gian metric con của không gian metric

Ví dụ 1.1.2 Trên không gian R xét ánh xạ d : R × R → R được xácđịnh bởi công thức

d(x, y) = |x − y| Khi đó, ta dễ dàng kiểm tra được (X, d) là một không gian metric

Ví dụ 1.1.3 Xét không gian Rn = (x1, x2, , xn) : xi ∈, i = 1, n

Ta xác định khoảng cách giữa hai phần tử x = (x1, x2, , xn) và

y = (y1, y2, , yn) trong không gian này theo công thức

d(x, y) =

q(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + + (xn− yn)2

Việc kiểm tra các tiên đề (i) và (ii) là không khó khăn Việc quan trọnghơn cả là kiểm tra tiên đề (iii) Để làm được việc này, ta xét các phần

tử tuỳ ý x = (x1, x2, , xn); y = (y1, y2, , yn); z = (z1, z2, , zn)

thuộc không gian Rn Ta có các đánh giá thông thường như sau

d2(x, z) =

nX

i=1(xi− zi)2

=

nX

i=1(xi− yi + yi − zi)2

≤

nX

i=1(|xi − yi| + |yi− zi|)2

≤

nX

i=1(xi − yi)2 + 2

nX

i=1

|xi− yi| |yi− zi| +

nX

i=1(yi − zi)2

≤

nX

i=1(xi − yi)2 + 2

vuut

nX

i=1(xi − yi)2

nX

i=1(yi − zi)2 +

nX

i=1(yi− zi)2

=





vuut

nX

i=1(xi − yi)2 +

vuut

nX

i=1(yi − zi)2



2

= (d(x, y) + d(y, z))2

Từ đó, ta suy ra

d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)

Khoảng cách d xác định trên Rn theo công thức đã cho, được gọi

là khoảng cách Euclide hay metric Euclide Không gian Rn cùng vớimetric Euclide cũng được ký hiệu bởi Rn

(X, d) được gọi là không gian metric rời rạc.

1.1.2 Sự hội tụ trong không gian metric

Định nghĩa 1.1.5 Dãy điểm {xk}∞k=1 trong không gian metric Xđược gọi là hội tụ đến điểm x ∈ X nếu lim

k→∞d(xk, x) = 0 Khi đó,chúng ta viết

limk→∞xk = x hoặc xk → x ; k → ∞

Định lý 1.1.6 Trong không gian metric, một dãy hội tụ chỉ có mộtgiới hạn duy nhất

Chứng minh Giả sử lim

k→∞xk = x và lim

k→∞xk = y Khi đó, theo bất đẳngthức tam giác, chúng ta có

nX

nX

x(k)i − x(0)i

< ε; với mỗi i = 1, n

Như vậy lim

k→∞xk = x0 Ngược lại, giả sử lim

k→∞xk = x0 Khi đó, với mọi

ε > 0 tồn tại Ki; i = 1, n để với mọi k ≥ Ki ta có

nX

i=1



x(k)i − x(0)i 2 <

vuut

nX

i=1

ε

√n

2

= ε

Nghĩa là

limk→∞

vuut

nX

toạ độ.

Định nghĩa 1.1.9 (Dãy Cauchy) Cho (X, d) là một không gianmetric Ta nói dãy {xn}∞n=1 ⊂ X là dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0 tồntại số nguyên dương N sao cho với mọi m, n ≥ N ta có

d(xn, xm) < ε

Lưu ý Điều dễ dàng thấy rằng mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy.Tuy nhiên, dãy Cauchy chưa chắc đã hội tụ Ta có thể chỉ ra điều nàyqua ví dụ đơn giản sau: Xét không gian là khoảng (0, 1) với metricgiữa hai phần tử x và y được xác định bởi khoảng cách thông thường

d(x, y) = |x − y|

Trên không gian này ta dễ dàng thấy rằng dãy xn = n1 là dãyCauchy Tuy nhiên dãy không hôị tụ trong không gian này Từ đó,

ta đưa ra khái niệm sau

Định nghĩa 1.1.10 (Không gian metric đầy) Không gian metric Xđược gọi là đầy nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ

Kết quả được đánh giá quan trọng nhất trong lý thuyết trên khônggian metric phải được kể đến là định lý ánh xạ co Banach Trước khitrình bày định lý này chúng tôi giới thiệu khái niệm về ánh xạ co.Định nghĩa 1.1.11 Cho hai không gian metric M1 = (X, d1) và

M2 = (Y, d2) Ánh xạ A từ không gian M1 vào không gian M2 được

gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số thực α mà 0 ≤ α < 1 sao cho

Định lý 1.1.12 (Nguyên lý ánh xạ co Banach) Mọi ánh xạ co A từkhông gian metric đầy M + (X, d) vào chính nó đều có điểm bất động

k=1d(xn+k, xn+k−1) ≤ d(Ax0, x0)

pX

của ánh xạ A ta có đánh giá sau

d(A¯x, ¯x) ≤ d(A¯x, xn) + d(xn, ¯x) = d(A¯x, Axn−1) + d(xn, ¯x)

≤ αd(¯x, xn−1) + d(xn, ¯x);

với mọi n = 1, 2, 3, Cho n → ∞ ta được d(A¯x, ¯x) = 0 hay A¯x = ¯x.Điều đó có nghĩa là ¯x là điểm bất động của ánh xạ A Để chứng minhđiểm bất động trên là duy nhất, ta giả sử rằng còn điểm ¯y ∈ X cũng

là điểm bất động của ánh xạ A Khi đó, ta có đánh giá sau

d(¯x, ¯y) = d(A¯x, A¯y) ≤ αd(¯x, ¯y)

Định nghĩa 1.2.1 Cho không gian vector X trên trường K Ánh xạ

k k : X → K được gọi là một chuẩn trên X nếu với mọi x, y ∈ X vàmọi λ ∈ K thỏa mãn ba tiên đề sau

(i) kxk ≥ 0; kxk = 0 khi và chỉ khi x = 0;

(ii) kλxk = |λ| kxk ;(iii) kx + yk ≤ kxk + kyk Không gian vector X trên đó xác định một chuẩn được gọi là khônggian tuyến tính định chuẩn hay gọi ngắn gọn không gian định chuẩn

Ta cũng thường ký hiệu không gian định chuẩn bởi X Trên khônggian tuyến tính định chuẩn ta có thể xác định một khoảng cách theocông thức

d(x, y) = kx − yk ; với mọi x, y ∈ X

Ta dễ dàng kiểm tra khoảng cách d được xác định như trên thoả mãncác tiên đề về khoảng cách và nó được gọi là metric sinh bởi chuẩn đãcho

Nếu không gian định chuẩn X đầy theo nghĩa metric này, ta nói X làmột không gian Banach Tính đầy được hiểu theo nghĩa nếu dãy {xn}các phần tử của X sao cho

limm,n→∞kxm − xnk = 0

Khi đó, tồn tại một phần tử x trong X sao cho

limn→∞kx − xnk = 0

1.2.2 Một số ví dụ

Ví dụ 1.2.2 Không gian R với chuẩn của phần tử x được xác địnhbởi kxk = |x| Theo Định lý Cauchy, không gian R với chuẩn này làkhông gian Banach

Ví dụ 1.2.3 Ký hiệu C[a, b] là không gian các hàm thực liên tục trênđoạn hữu hạn [a, b] Bởi vì mọi hàm f liên tục trên một đoạn là bịchặn nên ta có thể xác định chuẩn của hàm này như sau

kf k = sup {|f (x)| : x ∈ [a, b]} ;

với mọi f ∈ C[a, b] Dễ thấy rằng f 7→ kf k xác định như trên là mộtchuẩn trên không gian C[a, b] Như vậy C[a, b] là một không gian địnhchuẩn

Sự hội tụ trong C[a, b] đối với chuẩn này chính là sự hội tụ đều củadãy hàm thực Ta sẽ kiểm tra lại C[a, b] là một không gian Banach,nghĩa là mọi dãy Cauchy trong đó đều hội tụ Giả sử {fn} là một dãyCauchy trong C[a, b] Khi đó, với mọi ε > 0 tồn tại số nguyên dương

n0 sao cho với mọi n, m ≥ n0 ta có

|fn(x) − fm(x)| < ε; với mọi x ∈ [a, b] (1.1)

Như vậy, dãy {fn(x)} là một dãy Cauchy trên R Bởi vì R là khônggian định chuẩn đầy nên tồn tại giới hạn

f (x) = lim

n→∞fn(x); với mọi x ∈ [a, b]

Ta sẽ chỉ ra rằng f ∈ C[a, b], nghĩa là f liên tục trên đoạn [a, b] và

fn → f trong C[a, b] Trong biểu thức (1.1) bằng cách cố định phần

tử x ∈ [a, b] và với mỗi n ≥ n0 cho m → ∞ ta được

|fn(x) − f (x)| < ε; với mọi x ∈ [a, b] (1.2)

Bởi vì fn0 liên tục tại x0 nên tồn tại số δ > 0 sao cho

|fn0(x) − fn0(x0)| < ε;

với |x − x0| < δ và với mọi x ∈ [a, b]

Từ biểu thức (1.2) ta có đánh giá sau

|f (x) − f (x0)| ≤ |f (x) − fn0(x)|+|fn0(x) − fn0(x0)|+|fn0(x0) − f (x0)|

Ta suy ra

|f (x) − f (x0)| < 3ε;

với mọi |x − x0| < δ và mọi x ∈ [a, b]

Như vậy, hàm f là liên tục Cũng từ biểu thức (1.2) suy ra dãy{fn(x)}∞n=1 hội tụ đến f trong C[a, b] Như vậy C[a, b] là không gianBanach

Ví dụ 1.2.4 Không gian vector thực Rn là không gian định chuẩnvới chuẩn Euclide được xác định trên đó như sau

và nó chính là khoảng cách hay metric Euclide

Chương 2

HÀM CHỈNH HÌNH TRONG

KHÔNG GIAN BANACH

Để chuẩn bị cho việc trình bày một số kết quả về điểm bất động củahàm chỉnh hình trên không gian Banach, trước hết xin được giới thiệumột số khái niệm về hàm chỉnh hình trên không gian này

2.1 Ánh xạ đa tuyến tính trên không gian Banach

Định nghĩa 2.1.1 Cho E và F là hai không gian Banach trên cùngtrường K và m là một số nguyên dương Một ánh xạ L : Em → Fđược gọi là m− tuyến tính nếu nó tuyến tính theo từng biến, mỗi khi

cố định các biến còn lại Ký hiệu La(mE; F ) là tập hợp tất cả các ánh

xạ m− tuyến tính từ Em vào F và ta đặt

L(mE; F ) := {f ∈ La(mE; F )}

và f liên tục Với mỗi ánh xạ m− tuyến tính A ∈ La(mE; F ) từ E vào

F , ta định nghĩa

kAk = sup

kA(x1, , xm)k : xj ∈ E, max

1≤j≤mkxjk ≤ 1



Khi m = 1 thì ta viết La(1E; F ) = La(E; F ) và L(1E; F ) = L(E; F )

Khi F = K ta viết La(mE; K) = La(mE) và L(mE; K) = L(mE).Cuối cùng khi m = 1 và F = K thì ta thường viết La(E) = E∗ vàL(E) = E0

Mệnh đề 2.1.2 Với mỗi A ∈ La(mE, F ) các điều kiện sau là tương

j kxjk ≤ 1 màA(xk1, xk2, , xkm) ≥ km với mọi k = 1, 2, 3, Khi đó, ta thấy rằng

maxj

xkj

kvà

A xk 1

j=1[A(a1, , aj−1, xj, , xm) − A(a1, , aj, xj+1, xm)]

≤

mX

j=1kA(a1, , aj−1, xj − aj, aj+1, , am)k

≤

mX

j=1kAk cm−1kxj − ajk → 0

không gian L(mE; F ) Cho {Aj} là một dãy Cauchy trong L(mE; F ).Khi đó, với mỗi phần tử (x1, x2, , xm) thuộc Em ta có đánh giá

kAj(x1, , xm) − Ak(x1, , xm)k ≤ kAj − Akk kx1k kxmk (2.1)

Do đó {Aj(x1, x2, , xm)}j là một dãy Cauchy trong F Bởi vì F là

không gian Banach nên tồn tại giới hạn

A(x1, x2, , xm) = lim

j→∞Aj(x1, x2, , xm) (2.2)

Từ đó, ta thiết lập được ánh xạ

A : Em → F(x1, x2, , xm) 7→ lim

gian đầy đủ

Mệnh đề 2.1.4 Tồn tại một đẳng cấu chính tắc giữa các không gianvector La(m+nE; F ) và La(mE; L(nE; F )) Đẳng cấu này cảm sinh một

phép đẳng cự giữa hai không gian L(m+nE; F ) và L(mE; L(nE; F ))

Chứng minh Ta dễ dàng kiểm tra rằng ánh xạ tự nhiên

A ∈ La(m+nE; F ) → ˜A ∈ La(mE; La(nE; F ))

được xác định bởi

˜A(x1, x2, , xm)(y1, y2, , yn) = A(x1, x2, , xm, y1, y2, , yn)

với mọi x1, x2, , xm ∈ E và σ ∈ Sm.

Ký hiệu Lsa(mE; F ) = {A ∈ La(mE; F )} với A là đối xứng Không

gian vector này chính là không gian con của không gian La(mE; F )

Tương tự như trên ta ký hiệu Lsa(nE; F ) là không gian vector con của

La(mE; F ) gồm tất cả các phần tử A ∈ La(mE; F ) là thay phiên hoặc

Để cần thiết cho việc trình bày các kết quả sau này, chúng tôi xingiới thiệu kết quả sau và chứng minh chi tiết có thể tham khảo trong[17, proposition 1.6 ]

Mệnh đề 2.1.6 Với mỗi ánh xạ A ∈ La(mE; F ), ta định nghĩa As và

(i) Ánh xạ A → As là một phép chiếu từ La(mE; F ) vào Lsa(mE; F )

thỏa mãn kAak ≤ kAk với mọi A ∈ La(mE; F ) Ánh xạ này cảm sinhmột phép chiếu liên tục từ L(mE; F ) lên Ls(mE; F )

(ii) Ánh xạ A → Aa là một phép chiếu từ La(mE; F ) vào Laa(mE; F )

thỏa mãn kAak ≤ kAk với mọi A ∈ La(mE; F ) Ánh xạ này cảm sinhmột phép chiếu liên tục từ L(mE; F ) lên La(mE; F )

Để đơn giản việc trình bày, ta sử dụng một số ký hiệu vắn tắt như sau

La(0E; F ) = Lsa(0E; F ) = Laa(0E; F )

= L(0E; F ) = Ls(0E; F ) = La(0E; F ) = F

là các không gian Banach

Với mỗi n ∈ N và mỗi đa chỉ số α = (α1, α2, , αn) ∈ Nn0, ta đặt

|α| = α1 + α2 + + αn; α! = α1!α2! αn!

Định nghĩa 2.1.7 Cho A ∈ La(mE; F ) Khi đó với mỗi (x1, x2, , xn) ∈

En và mỗi α = (α1, α2, , αn) ∈ Nn0 với |α| = m ta định nghĩa

Định lý 2.1.8 (Công thức Leibniz) Cho ánh xạ A ∈ Lsa(mE; F ) Khi

đó, với mọi x1, x2, , xn ∈ E ta có công thức

m + 1 Thật vậy, nếu A ∈ Lsa(m+1E; F ) thì ta có thể viết

A(x1 + x2 + + xn)m+1 = A(x1, x2, , xn)(x1, x2, , xn)m

Áp dụng giả thiết quy nạp cho ánh xạ

A(x1 + x2 + + xn) ∈ Lsa(mE; F )

ta suy ra ngay điều phải chứng minh

Hệ quả 2.1.9 Cho A ∈ Lsa(mE; F ) Khi đó, với mọi x, y ∈ E ta có

công thức nhị thức Newton

A(x + y)m =

mX

j=0

 mj

Bởi vì

X

εj=±1

ε21ε22 ε2m = 2m

nên ta suy ra ngay điều phải chứng minh

Ta có thể tạo ra các dạng đa tuyến tính tổng quát từ các dạng tuyếntính theo nghĩa sau Cho các dạng tuyến tính ϕ1, ϕ2, , ϕn ∈ E∗, tađịnh nghĩa ánh xạ đa tuyến tính tổng quát A ∈ La(mE; F ) được xác

định bởi công thức

A(x1, x2, , xm) = ϕ1(x1)ϕ2(x2) ϕm(xm)

với mọi x1, x2, , xm ∈ E Ý tưởng này được khái quát hóa qua kháiniệm sau

Định nghĩa 2.1.11 Cho trước A ∈ La(mE) và B ∈ La(nE), tích ten

xơ của chúng A ⊗ B ∈ La(m+nE) được định nghĩa bởi

với mỗi A ∈ La(EN, FN) ta thừa nhận sự phân tích duy nhất của dạng

A = A0+ A00, trong đó A0 là C− tuyến tính và A00 không là C− tuyếntính Ánh xạ A0 và A00 được đưa ra bởi công thức

với mọi x ∈ E Nếu A liên tục thì A0 và A00 cũng liên tục

Định nghĩa 2.1.13 Cho E và F là các không gian Banach và p, q ∈ Nvới p + q ≥ 1 Khi đó, ta sẽ biểu thị La(pqE; F ) là không gian con của

trong đó, phần gạch ngang là phức liên hợp thuộc về La(pqE)

Nếu E và F là các không gian Banach phức thì La(mE; F ) ⊂ La(moE; F )

với mọi m ∈ N

Định lý 2.1.15 Cho E và F là các không gian Banach phức Khi đó(i) La(mER; FR) là tổng trực tiếp đại số của không gian con La(pqE; F )

với p + q = m Hơn nữa, La(moE; F ) = La(mE; F )

(ii) L(mER; FR) là tổng trực tiếp topo của không gian con L(pqE; F )

với p + q = m Hơn nữa, L(moE; F ) = L(mE; F )

Chứng minh Bằng phép quy nạp trên m Định lý hiển nhiên đúng với

m = 0 và từ Mệnh đề 2.1.11 định lý luôn đúng với m = 1 Giả sử định

lý đúng với m ≥ 1 đã biết, ta chứng minh nó đúng với m + 1 Từ giảthiết quy nạp, ta có phép chiếu

k=0

vk(Ax)

Vì vậy

vk ◦ A ∈ La ER; La(m−k,kE; F )
với mỗi k = 0, , m Trong trường hợp m = 1, với mỗi k = 0, , m,

ta có phép chiếu

ukj : La ER; La(m−k,kE; F )
→ La(1−j,jE; La(m−k,kE; F ))

với j = 0, 1 sao cho uk0 + uk1 là đồng nhất thức Vì vậy

vk ◦ A = uk0(vk ◦ A) + uk1(vk ◦ A)

Do đó

A =

mX

k=0

vk ◦ A =

mX

k=0

1X

j=0

ukj(vk ◦ A) =

m+1X

trong đó j 6= k, ta kết luận rằng mỗi wq là một phép chiếu Do đó, ta

có thể nói rằng La(m+1ER; FR) là tổng trực tiếp đại số của các không

gian con La(p,qE; F ) với p + q = m + 1 Bây giờ, từ w0(A) = u00(v0◦ A),

từ giả thiết quy nạp và từ trường hợp m = 1 thì w0(A) ∈ La(m+1E; F )

Từ đó ta thấy rằng

La(m+1,0E; F ) = La(m+1E; F )

Do đó khẳng định (ii) được chứng minh

Phần này dành cho việc nghiên cứu đa thức trong không gian Banach

Đa thức này sẽ được sự dụng để xác định chuỗi lũy thừa và xác địnhánh xạ chỉnh hình

Định nghĩa 2.2.1 Ánh xạ P : E → F được gọi là đa thức thuầnnhất nếu tồn tại A ∈ La(mE; F ) sao cho P (x) = Ax với mọi x ∈ E Ta

có định nghĩa Pa(mE; F ) là không gian vector của tất cả các đa thức

thuần nhất m từ E vào F Ta sẽ trình bày P (mE; F ) là không gian con

của tất cả các phần tử liên tục của Pa(mE; F ) Với mỗi P ∈ Pa(mE; F )

ta có tập

kP k = sup {kP (x)k : x ∈ E, kxk ≤ 1} Khi F = K thì ta có thể viết Pa(mE; K) = Pa(mE) và P (mE; K) =

P (mE)

Định lý 2.2.2 Với mỗi A ∈ La(mE; F ), giả sử ˆA ∈ Pa(mE; F ) được

m

HÀM CHỈNH HÌNH TRONG< /h3>

KHƠNG GIAN BANACH< /h3>

Để chuẩn bị cho việc trình bày số kết điểm bất động củahàm chỉnh hình khơng gian Banach, trước hết xin giới thiệumột số khái... ∞ ta d(A¯x, ¯x) = hay A¯x = ¯x.Điều có nghĩa ¯x điểm bất động ánh xạ A Để chứng minhđiểm bất động nhất, ta giả sử điểm ¯y ∈ X

là điểm bất động ánh xạ A Khi đó, ta có đánh giá sau

d(¯x,... khái niệm hàm chỉnh hình khơng gian

2.1 Ánh xạ đa tuyến tính khơng gian Banach< /h3>

Định nghĩa 2.1.1 Cho E F hai không gian Banach cùngtrường K m số nguyên dương Một ánh xạ