Luận văn sư phạm Phương trình vi phân đối số lệnh trong không gian Banach - Công thức biến thiên

Một trong những lý do mà các nhà toán học trên thế giới mở rộng và phát triển hướng nghiên cứu này là những ứng dụng quan trọng của các phương trình vi phân đối số lệch trong nhiều lĩnh

Trang 1

Trần Trí Dũng

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐỐI SỐ LỆCH TRONG KHÔNG GIAN BANACH CÔNG THỨC BIẾN THIÊN HẰNG SỐ VÀ

DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2005

Trang 2

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐỐI SỐ LỆCH TRONG KHÔNG GIAN BANACH CÔNG THỨC BIẾN THIÊN HẰNG SỐ VÀ

DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN.

Chuyên ngành : Toán giải tích

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS TS LÊ HOÀN HÓA

Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2005

Trang 3

1.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ CHO CHƯƠNG II .1

1.2 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ CHO CHƯƠNG III 3

CHƯƠNG II: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐỐI SỐ LỆCH, KHÔNG TỰ ĐỘNG : CÔNG THỨC BIẾN THIÊN HẰNG SỐ – DÁNG ĐIỆU

TIỆM CẬN 6

2.1 GIỚI THIỆU 6

2.2 PHẦN CHUẨN BỊ .7

2.3 CHUỖI DYSON – PHILLIPS VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM TRONG TRƯỜNG HỢP THUẦN NHẤT 11

2.4 TRƯỜNG HỢP KHÔNG THUẦN NHẤT: CÔNG THỨC BIẾN THIÊN HẰNG SỐ VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN 21

CHƯƠNG III : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐỐI SỐ LỆCH NỬA TUYẾN TÍNH – SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM- TÍNH COMPẮC LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM 38

3.1 GIỚI THIỆU .38

3.2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM 39

3.3 TÍNH COMPẮC VÀ LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM .44

KẾT LUẬN 50

TÀI LIỆU THAM KHẢO 52

Trang 4

Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu các phương trình vi phân đối số lệch trong không gian Banach ngày càng được nhiều tác giả quan tâm Một trong những lý do mà các nhà toán học trên thế giới mở rộng và phát triển hướng nghiên cứu này là những ứng dụng quan trọng của các phương trình vi phân đối số lệch trong nhiều lĩnh vực khác nhau như : Sinh học , Vật lý học, Sinh lý học , Kinh tế học

Những tài liệu, báo cáo và các bài báo nghiên cứu về các phương trình vi phân đối số lệch trong không gian Banach cho thấy rằng việc nghiên cứu có thể đi theo nhiều hướng khác nhau

Luận văn này xét đến lớp các phương trình vi phân đối số lệch tiến hóa (là một mô hình toán học liên hệ mật thiết đến lý thuyết tiến hóa của Sinh vật học) Nội dung luận văn được chia làm ba chương :

CHƯƠNG I : KIẾN THỨC CƠ BẢN

Trong chương này, chúng tôi sẽ đưa ra các kiến thức chuẩn bị cho hai chương sau Các khái niệm, định nghĩa và định lý trong chương này sẽ được sử dụng trong toàn bộ luận văn

CHƯƠNG II : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐỐI SỐ LỆCH KHÔNG TỰ ĐỘNG: CÔNG THỨC BIẾN THIÊN HẰNG SỐ - DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN

Trang 5

tự động(1.1) mà chúng tôi muốn nghiên cứu Ở phần thứ hai, chúng tôi đưa ra thêm một số khái niệm, kết quả sử dụng riêng cho chương II Trên

cơ sở đó, ở phần thứ ba chúng tôi nghiên cứu chuỗi Dyson-Phillips và dùng

chúng để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm trong trường hợp phương trình vi phân đối số lệch không tự động(1.1) ở dạng thuần nhất Ở phần cuối cùng của chương này, chúng tôi sẽ chỉ ra rằng nghiệm của

phương trình vi phân đối số lệch không tự động(1.1) trong trường hợp

không thuần nhất được xác định bởi một công thức biến thiên hằng số; từ

đó chúng tôi thu được một số kết quả về dáng điệu tiệm cận của nghiệm CHƯƠNG III : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐỐI SỐ LỆCH NỬA TUYẾN TÍNH : SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM - TÍNH COMPẮC VÀ LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM

Trong chương này chúng tôi chia nội dung làm ba phần Phần đầu là phần giới thiệu dạng phương trình vi phân đối số lệch nửa tuyến tính (I) là dạng mở rộng của phương trình (1.1) đã xét ở chương II Ở phần thứ hai, với những giả thiết ban đầu thích hợp, chúng tôi chỉ ra sự tồn tại và duy nhất nghiệm của (I)(theo nghĩa nghiệm mạnh) Trong phần cuối cùng của chương III, sử dụng các kỹ thuật tương tự như của các tác giả trong tài

Trang 6

Dù được thực hiện rất nghiêm túc và kỹ lưỡng nhưng chắc chắn bản luận văn này không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy tôi rất mong nhận được sự góp ý phê bình của các Quý Thầy cô và các bạn bè đồng nghiệp

Cuối cùng cho tôi được gửi lời biết ơn sâu sắc đến PGS TS Lê Hoàn Hóa, người Thầy đã tận tình dìu dắt, hướng dẫn tôi từ lúc tôi mới bước chân vào giảng đường đại học cho đến ngày hôm nay Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các Quý Thầy cô trong Hội đồng bảo vệ luận văn đã dành nhiều thời gian để đọc bản luận văn này và cho tôi nhiều ý kiến đóng góp quý báu Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các Quý Thầy cô phòng

KHCN - SĐH trường Đại Học Sư Phạm TPHCM đã giúp đỡ tôi hoàn tất các thủ tục bảo vệ luận văn Cuối cùng, tôi xin cảm ơn tất cả bạn bè đồng nghiệp - những người luôn đứng đằng sau để động viên, cổ vũ cho mỗi bước đi của tôi trên đường đời

Thành phố Hồ Chí Minh , tháng 8 năm 2005

Trang 7

Người thực hiện : Trần Trí Dũng Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ CHO CHƯƠNG II :

• Định nghĩa 1 :

Một họ các toán tử tuyến tính liên tục { }T t( ) t≥0 xác định trên một không gian

Banach X được gọi là một nửa nhóm liên tục mạnh nếu :

i) T s t( + =) T s T t t s( ) ( ), , ≥0 ;

iii) Với mỗi x X∈ , T(.)x là liên tục trên [0, )∞

Ngoài ra, nếu t T t( )là liên tục theo tôpô của hội tụ đều thì ta gọi họ

{ }T t( ) t≥0 là một nửa nhóm liên tục đều

• Định nghĩa 2 :

Cho { }T t( ) t≥0 là một nửa nhóm liên tục mạnh xác định trên X

định toán tử A trên D(A) như sau :

Trang 8

Ta gọi toán tử A xác định như trên là toán tử sinh cực vi ( hay ngắn gọn hơn là

toán tử sinh) của nửa nhóm { }T t( ) t≥0

Khi đó, ta có các kết quả sau đây :

i) D(A) là trù mật trong X và A là toán tử tuyến tính đóng trên D(A)

ii) Nửa nhóm liên tục mạnh { }T t( ) t≥0 có một toán tử sinh là bị chặn khi và chỉ

khi { }T t( ) t≥0 là một nửa nhóm liên tục đều

Định lý sau đây cho ta một đặc trưng của toán tử sinh của một nửa nhóm liên tục

mạnh :

• Định lý 1 (Hille-Yosida-Phillips) :

Cho A là một toán tử tuyến tính đóng với miền xác định trù mật Khi đó A là

toán tử sinh của một nửa nhóm liên tục mạnh nếu và chỉ nếu tồn tại các số

thực và M ω sao cho với λ ω> , ta có λ ρ∈ (A) và

trong đó R( , ) (λ A = λI A− ) (− 1 λ ρ∈ ( )).A

Ngoài ra, chúng tôi còn sử dụng kết quả sau đây trong luận văn :

• Định lý 2 :

Cho { }T t( ) t≥0 là một nửa nhóm liên tục mạnh xác định trên X và A là toán tử

sinh tương ứng Khi đó ta có kết quả sau :

Trang 9

1.2 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ CHO CHƯƠNG III :

• Điều kiện A :

Cho X là không gian tôpô lồi địa phương và P là họ nửa chuẩn tách trên X

với mọi ε >0, tồn tại r∈Z+ và δ >0 sao cho : với x, y ∈D , P

Cho X là không gian lồi địa phương và P là một họ nửa chuẩn tách trên X

mãn điều kiện (A) trên tập hợp Ω ⊂X Khi đó toán tử (I U− )− 1 được xác định

với a ∈Ω thì (I U− )− 1liên tục đều trên Ω

•Định lý B :

Cho X là không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy và P là họ nửa chuẩn tách

Trang 10

p U x U y− ≤kp x y− ∀x y X∈ iii) Có phần tử x0∈X thỏa tính chất : với mọi p P∈ , tồn tại r ∈ *

vàλ∈[0,1)(r và λ phụ thuộc p) sao cho :

p U x U y− ≤λp x y− ∀x y X∈ iv) G hoàn toàn liên tục và ( ( ))p G A < ∞ mỗi khi ( )p A < ∞

Khi đó tồn tại một tập lồi, mở, bị chặn D trong X sao cho U + G có điểm bất

động trong D Ngoài ra, nếu có thêm giả thiết U liên tục đều trên X thì ta có

thêm (I U G D− )− 1 ( )⊂D

•Định lý C (Krasnoselskii-Perov) :

Cho (E,|.|) là không gian Banach thực, D là tập mở bị chặn trong E và

:

T D→E là ánh xạ compắc Giả sử 0 (∉ − ∂I T D) và deg(I T D− , ,0) 0≠

Giả sử thêm T thỏa mãn điều kiện :

Với mọi ε >0, có ánh xạ compắc Tε sao cho: ( )T x T x− ε( ) < ∀ ∈ε x D

đồng thời với h : h ≤ε, phương trình x T x= ε( )+h có nhiều nhất một nghiệm

trong D Khi đó tập các điểm bất động của T là khác rỗng, compắc và liên

thông

Trang 11

Đặt C(S) là không gian Frechet các ánh xạ liên tục từ S vào E Khi đó, tập

( )

A C S⊂ là compắc tương đối nếu và chỉ nếu với mọi n ∈ *, A đẳng liên tục

trên Sn và tập A n ={ ( )/x s x A s S∈ , ∈ n} compắc tương đối trong E

•Định lý E :

Khi đó, với mỗiε >0, tồn tại :f Dε →Y lipschitz địa phương sao cho :

f x − f xε ≤ ∀ ∈ε x D và ( )f Dε ⊂cof D( ) (coA là bao lồi của A)

• Định lý F (định lý Schauder):

cho f(C) là tập compắc tương đối Khi đó f có điểm bất động trong C

*********************************************************

Trang 12

CHƯƠNG II:

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐỐI SỐ LỆCH, KHÔNG TỰ ĐỘNG:

CÔNG THỨC BIẾN THIÊN HẰNG SỐ - DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN

evolution family) ( ( , ))V t s t s≥ ≥0 trên một không gian Banach E, { }L t( ) t≥0 là họ các

toán tử tuyến tính liên tục từ Cr vào E

Trong trường hợp tự động ( A(t) = A , L(t) = L), nhiều tác giả đã nghiên cứu phương

trình (1.1) với các kỹ thuật khác nhau, chẳng hạn trong [4,9,14,17,27,28,29] từ tài

liệu tham khảo [1] của luận văn

A.Rhandi gần đây đã chỉ ra trong [22](tài liệu tham khảo [1]) rằng nghiệm của

(1.1) trong trường hợp f ≡ 0 được cho dưới dạng chuỗi DYSON-PHILLIPS.Trong

các bài báo [10,12]( tài liệu tham khảo [1]), các tác giả đã chứng minh được rằng

nghiệm của (1.1) khi f không đồng nhất là hàm không có thể được xác định bởi

“Công thức biến thiên hằng số” và với công thức này ta có thể nghiên cứu dáng

điệu tiệm cận các nghiệm của phương trình(1.1) Gần đây, các tác giả trong [13]

Trang 13

của tài liệu tham khảo [1] đã nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các nghiệm (1.1)

trên R bằng cách sử dụng công cụ nửa nhóm tiến hóa và phương trình đặc trưng Ở

trong [26], R.Schnaubelt đã chỉ ra công thức biến thiên hằng số thứ nhất cho (1.1)

cũng bằng cách sử dụng các ý tưởng trên nửa nhóm tiến hóa

Mục đích của chúng tôi trong luận văn là mở rộng các kết quả của [10,12,19,22]

sang dạng đầy đủ của (1.1) như phần trên Nói một cách chính xác hơn, chúng tôi

sẽ chỉ ra trong chương này sự tồn tại của nghiệm yếu (“mild solutions”), biểu diễn

những nghiệm đó dưới dạng các họ tiến hóa và sử dụng chúng để nghiên cứu dáng

điệu tiệm cận các nghiệm

2.2 PHẦN CHUẨN BỊ :

Trong phần này chúng tôi sẽ đưa ra một số định nghĩa và kí hiệu được sử dụng ở

phần sau

Cho X là một không gian Banach, ta kí hiệu L(X) là không gian các ánh xạ tuyến

tính liên tục trên X

ĐỊNH NGHĨA 2.2.1 :

Họ các toán tử U :=( ( , ))U t s t s≥ ≥0 trong L(X) được gọi là họ tiến hóa liên tục

(1) U(t,s) = U(t,r).U(r,s) và U(s,s) = Id với mọi t ≥ r ≥ s ≥ 0

Trang 14

Một họ tiến hóa U :=( ( , ))U t s t s≥ ≥0 được gọi là có tính chất “exponential

bị chặn tại mỗi x∈X và nếu tồn tại các hằng số δ >0, N N= ( ) 1 sao cho :δ ≥

(1) P(t).U(t,s) = U(t,s).P(s) ;

là thu hẹp của U(t,s) trên ImQ(s) ;

+

gian con đóng các hàm bị chặn và liên tục đều của không gian trên được kí hiệu là

H(f) := { f( + t) : t ∈ R+}

Trang 15

(2) Một hàm f∈BC( , )R+ X được gọi là “ asymptotically almost periodic” nếu

invariant” và M f∈ε với mọi f∈ε và M∈L(X)

Trong [5] (từ tài liệu [1] của luận văn này), ta biết rằng các lớp hàm sau đây là các

+ Không gian C0(R+, )X các hàm liên tục và triệt tiêu ở vô cực

Trước khi kết thúc phần này, chúng tôi cần bổ đề cơ bản sau đây :

BỔ ĐỀ 2.1 :

Cho (U(t,s))t s≥ ≥0 là một họ tiến hóa bị chặn trên X,ε là không gian con đóng

Giả sử ánh xạ t U t s s x( + , ) thuộc vềε với mọi x∈X vàs≥0 Khi đó ta có

Trang 16

Khi đó ta có ánh xạ g Us∗g là tuyến tính liên tục từ L( , )R+ X vào

Mặt khác theo giả thiết ta có ánh xạ

(t,s)∈{(t,s)∈R2+: t s}≥ U(t,s) là liên tục mạnh nên Us∗g liên tục trênR+

Vậy Us∗g∈BC( , )R+ X

ánh xạ trên suy từ kết quả Us∗ ≤g M g L1

Để chứng minh phần còn lại của bổ đề, trước hết ta xét h = 1[ , ]a b ⊗x với

0≤ ≤a b x X, ∈ , trong đó 1[ , ]a b ⊗x(t) = x , t [a,b]

Trang 17

Us∗h( + b)∈ε

Nếu h là hàm đơn giản trên L1( , )R+ X thì do kết quả vừa chứng minh

ở trên cùng với tính tuyến tính của tích phân ta có ngay Us∗h∈ε

Nếu h∈L1( , )R+ X thì do tập các hàm đơn giản trên L1( , )R+ X là trù mật trong

n

liên tục nên U hs∗ n →U hs∗ Cuối cùng, doε đóng nên U hs∗ ∈ε

Bổ đề được chứng minh

2.3 CHUỖI DYSON – PHILLIPS VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA

NGHIỆM TRONG TRƯỜNG HỢP (1.1) Ở DẠNG THUẦN NHẤT :

Cho (A(t), D(A(t)))t 0≥ là một họ ổn định, sinh ra một họ tiến hóa (V(t,s))t s≥ ≥0 trên

Trang 18

được rất nhiều tác giả nghiên cứu gần đây, chẳng hạn trong [10,13,20,26] (trong[1]

của luận văn) Trong các bài báo này, các tác giả đã chỉ ra sự tồn tại và duy nhất

nghiệm yếu cho bài toán (3.1) ở trên theo nghĩa đó là một hàm liên tục x thỏa mãn :

x : [s-r, )∞ →E

t s

và họ nghiệm (x )t là họ tiến hóa trên C r

Trong phần này, bằng một con đường khác, chúng tôi sẽ chỉ ra sự tồn tại nghiệm

yếu của (3.1) Chính xác hơn, chúng tôi sẽ chỉ ra rằng họ nghiệm của (3.1) sẽ được

biểu diễn dưới dạng chuỗi Dyson-Phillips và thỏa mãn một công thức biến thiên

hằng số Sử dụng công thức biến thiên hằng số đó, chúng tôi sẽ chỉ ra nghiệm yếu

của (3.1) có cùng dáng điệu tiệm cận với ánh xạ

+

t V(t+s,s)x , s 0 , x E (t≥ ∈ ∈ R )

Trong các bài báo [12,26] (trong[1] của luận văn) , chúng ta biết rằng họ nghiệm

tiến hóa của phương trình không dừng (L(t) ≡ 0) được cho bởi :

Công thức ( )∗ ở trên sẽ được chúng tôi sử dụng nhiều lần trong các phần sau

Phần tiếp theo chúng tôi cần bổ đề sau :

BỔ ĐỀ 2.2 :

Trang 19

s

eλ

→∞∫tồn tại đều trên C r theo các tập compact của {(t,s) : t s 0≥ ≥ }, trong đó

Với λ λ≥ 0 >max( ,0)ω (ω là hằng số đánh giá của họ {V(t,s)}) và

0 s t T≤ ≤ ≤ ( T là hằng số chọn trước) ta đặt :

s

Với τ∈ −[ ,0] và + t sr τ ≥ , ta có :

τ σ λ λ σ σ λ λ σ σ

+

− +

Trang 20

Trang 21

Hệ quả là ta có :

Từ bổ đề trên ta có thể định nghĩa họ các toán tử (Un(t,s))n≥0 như sau :

{(t,s) : 0≤ ≤ ≤s t T}(T chọn trước) và (U (t,s))L t s 0≥ ≥ là một họ tiến hóa trên Cr

Hơn nữa, ta còn có công thức biến thiên hằng số sau đây :

(ii) Với mỗi ϕ∈C và s 0r ≥ , hàm xác định bởi :

Trang 22

là nghiệm yếu duy nhất của phương trình (3.1) và xt =U (t,s) , 0 s tL ϕ ≤ ≤

n 2

(t-s) n

Trang 23

0

U (t,s)

n≥

liên tục của (U (t,s))L t s 0≥ ≥ có được nhờ bổ đề (2.2) và tính hội tụ đều của

chuỗi theo phần chứng minh trên Mặt khác ta có :

Vậy (i) được chứng minh

(ii) Từ công thức (3.3) ta có :

Trang 24

Từ đây ta có x(t,s,ϕ) xác định bởi công thức (3.4) thỏa mãn xt =U (t,s)L ϕ, do

đó theo định nghĩa (3.2) x là nghiệm yếu duy nhất của (3.1) Định lý hoàn toàn

được chứng minh

Ở phần tiếp theo, chúng tôi sẽ xem xét tính bền vững (robustness) của dáng điệu

tiệm cận các nghiệm của phương trình (1.2) Cụ thể hơn, chúng tôi giả sử “quỹ

đóng thuần nhất ε nào đó của không gian BUC( , E)R+ và giả sử rằng có các hằng

số q, so thỏa mãn điều kiện (3.6) sau đây :

0

0 < q < 1 và s 0(3.6)

Trang 25

x(t+s,s, ) = V(t+s,s) (0) + V(t+s,ϕ ϕ ∫ σ +s)L(σ +s)U ( +s,s) dσ ϕ σ

Theo bổ đề (2.1) và theo giả thiết, ta cần phải chỉ ra rằng

1

hằng số (3.3) ta có:

Trang 26

Với 0 s s≤ ≤ 0, 0 t, C≤ ϕ∈ r, ta có thể viết

Vì s+s0 ≥s0 nên áp dụng bước trên ta suy ra t U (t+s +s,s) (0)L 0 ϕ thuộcε

Trang 27

Định lý được chứng minh

2.4 TRƯỜNG HỢP KHÔNG THUẦN NHẤT : CÔNG THỨC BIẾN THIÊN

HẰNG SỐ VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN

Chúng ta nghiên cứu phương trình vi phân không thuần nhất sau :

* (A( ),D(A( )))t t t≥0 là họ các toán tử sinh ổn định, sinh ra một họ tiến hóa liên tục

mạnh (V( , ))t s t s≥ ≥0 trên một không gian Banach E và họ tiến hóa này thỏa mãn :

Một hàm liên tục :x =x s(., , ) :[ , )ϕ − ∞ →r E được gọi là một nghiệm yếu

(“mild solution”) của phương trình (4.1) nếu :

( )

t s

Trang 28

Sự tồn tại nghiệm “mild” của (4.1) đã được nghiên cứu gần đây bởi nhiều tác giả

(chẳng hạn xem [13, 26] từ tài liệu [1] của luận văn) Mục đích của chúng tôi trong

phần này là chỉ ra nghiệm của (4.1) có thể biểu diễn bởi một công thức biến thiên

hằng số Để đạt được mục đích này, trước hết chúng tôi cần các bổ đề sau :

loc s

Định dạng
Số trang	57
Dung lượng	374,55 KB