Modul lồi và cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach

Các khái ni¾m modul loi modulus of convexity,đ¾c trưng loi Characteristic of convexity đưoc xuat hi¾n, đã thu hútnhieu nhà toán hoc nghiên cúu ve quan h¾ giua modul loi, đ¾c trưng loi và

LèI CÁM ƠN

Lu¾n văn này đưoc thnc hi¾n và hoàn thành dưói sn hưóng dan t¾ntình cna Tien sĩ Hà Đúc Vưong, ngưòi thay đã hưóng dan và truyen chotác giá nhung kinh nghi¾m quí báu trong hoc t¾p và nghiên cúu khoahoc Thay luôn đ®ng viên và khích l¾ đe tác giá vươn lên trong hoc t¾p

và vưot qua nhung khó khăn trong quá trình hoàn thành lu¾n văn Tácgiá xin bày tó lòng kính trong, lòng biet ơn chân thành và sâu sac nhatđoi vói thay

Tác giá xin chân thành cám ơn Ban Giám hi¾u Trưòng Đai hoc Sưpham Hà N®i 2, Phòng Sau đai hoc, Khoa Toán và To Giái tích cùngvói các quý thay cô đã tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá ket thúctot đep chương trình cao hoc và hoàn thành lu¾n văn tot nghi¾p

Tác giá xin bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thân đã đ®ng viên

và tao đieu ki¾n đe tác giá hoàn thành lu¾n văn này

Hà N®i, ngày 20 tháng 6 năm 2011

Tác giá

Đo Đúc Anh

LèI CAM ĐOAN

Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i 2 dưói

sn hưóng dan cna Tien sĩ Hà ĐúcVưong

Trong quá trình nghiên cúu và hoàn thành lu¾n văn, tôi đã ke thùanhung thành quá khoa hoc cna các nhà khoa hoc vói sn trân trong vàbiet ơn

Hà N®i, ngày 20 tháng 6 năm 2011

Tác giá

Đo Đúc Anh

Mnc lnc

Chương 1 Kien th N c chuan b% 4

1.1 Không gian Banac h 4

1.1.1 Không gian metric 4

1.1.2 Không gian đ%nh chuan 14

1.1.3 Không gian Banach 19

1.2 Không gian Hilbert 23

1.2.1 Không gian tích vô hưóng 23

1.2.2 Không gian Hilbert 26

Chương 2 Không gian Banach loi đeu 30 2.1 Tính loi cna hình cau đơn v% trong không gian Banach 30

2.2 Modul loi và đ¾c trưng loi cna không gian Banach 34

Chương 3 Modul loi và cau trúc chuan tac cúa không gian Banach 42 3.1 Cau trúc c huan tac 42

3.2 Modul loi và cau trúc chuan tac cna không gian Banach 46 Ket lu¾n 51

Tài li¾u tham kháo 52

Rk Không gian thnc k chieu

C[a;b] T¾p tat cá các hàm so thnc liên tuc trên [a, b]

"." Chuan

∅ T¾p hop rong

Q Ket thúc chúng minh

Mé ĐAU

1 Lý do chon đe tài

Năm 1936 Clarkson đã đ¾t nen móng cho m®t hưóng nghiên cúu ratquan trong trong Giái tích toán hoc đó là "Hình hoc các không gianBanach" Đây là công cu quan trong đe giái quyet nhieu van đe trongkhoa hoc ky thu¾t Đ¾c bi¾t là công cu không the thieu trong lĩnh vncnghiên cúu ve điem bat đ®ng cna lóp ánh xa không giãn

Năm 1948, Brodskii và Milman đã đưa ra các khái ni¾m điem đưòngkính (diametral point) và xây dnng khái ni¾m t¾p hop có cau trúc chuantac (normal structure) Các khái ni¾m modul loi (modulus of convexity),đ¾c trưng loi (Characteristic of convexity) đưoc xuat hi¾n, đã thu hútnhieu nhà toán hoc nghiên cúu ve quan h¾ giua modul loi, đ¾c trưng loi

và cau trúc chuan tac cna không gian Banach như: Bynum, Day, James,Goebel, Kirk

Vói mong muon đưoc tìm hieu sâu hơn ve moi quan h¾ giua modulloi, đ¾c trưng loi và cau trúc chuan tac cna không gian Banach, đưoc sngiúp đõ, hưóng dan t¾n tình cna Tien sĩ Hà Đúc Vưong tôi manh danchon đe tài nghiên cúu :

“Modul loi và cau trúc chuan tac cúa không gian Banach”

2 Mnc đích nghiên cNu

Muc đích nghiên cúu cna đe tài là xây dnng m®t bài tong quan vemodul loi, đ¾c trưng loi và cau trúc chuan tac cna không gian Banach.Công trình nghiên cúu dna trên ket quá cna 2 chương:

Chương 5: "Scaling the convexity of the unit ball";

Chương 6: "The modulus of convexity and normal structure" trongcuon sách “Topics in metric fixed point theory” cna tác giá K Goebel và

W A Kirk xuat bán tai My năm 1990

3 Nhi¾m vn nghiên cNu

Vói muc đích ó trên, nhi¾m vu nghiên cúu là:

- Nghiên cúu tính loi cna hình cau đơn v% trong không gian Banach

- Nghiên cúu moi quan h¾ giua modul loi và đ¾c trưng loi cna khônggian Banach

- Nghiên cúu cau trúc chuan tac cna không gian Banach

- Nghiên cúu moi quan h¾ giua modul loi và cau trúc chuan tac cnakhông gian Banach

4 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

Đoi tưong nghiên cúu là modul loi, đ¾c trưng loi và cau trúc chuantac cna không gian Banach

5 Phương pháp nghiên cNu

- D%ch, đoc, nghiên cúu tài li¾u

- Phân tích, tong hop kien thúc, v¾n dung cho muc đích nghiên cúu

6 Đóng góp mái

Đây là bài tong quan ve modul loi, đ¾c trưng loi và cau trúc chuantac cna không gian Banach Giúp ngưòi đoc hieu đưoc moi quan h¾ giuamodul loi và đ¾c trưng loi cna không gian Banach, moi quan h¾ giuamodul loi và cau trúc chuan tac cna không gian Banach

Chương 1 Kien thNc chuan b%

Không gian metric, không gian Banach và không gian Hilbert là cáckhông gian quan trong trong Giái tích hàm Trong chương này chúngtôi se trình bày m®t so khái ni¾m cơ bán ve không gian metric, khônggian Banach, không gian Hilbert, m®t so tính chat quan trong và các

ví du minh hoa ve các không gian này

1.1.1 Không gian metric

Đ%nh nghĩa 1.1.1 [4] Không gian metric là m®t t¾p hop X ƒ= ∅ cùng vói m®t ánh xa d tù X vào t¾p so thnc R, thóa mãn các đieu ki¾n sau đây:

1) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y, vói ∀x, y ∈ X;

2) d(x, y) = d(y, x), vói ∀x, y ∈ X;

3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), vói ∀x, y, z

∈ X Ánh xa d đưoc goi là metric trên X.

Không gian metric đưoc ký hi¾u là (X, d).

Ví dn 1.1.1 Vói hai véctơ bat kỳ x = (x1, x2, , xk ), y = (y1, y2, , yk)

thu®c không gian véctơ thnc k chieu R k (k là so nguyên dương nào đó)

đ¾t:

‚ k

j=1

aj bj ≤

, j= i

j=1

k

2

j

− j=1

Ví dn 1.1.2 Cho t¾p X ƒ= ∅ Vói hai phan tú bat kỳ x, y ∈ X ta

Hien nhiên, h¾ thúc (1.3) xác đ%nh m®t ánh xa tù X vào t¾p so thnc

R Ta kiem tra h¾ thúc (1.3) thóa mãn các tiên đe ve metric

Th¾t v¾y:

Vói hai phan tú x, y ∈ X, hien nhiên d(x, y) ≥ 0

Neu x = y thì theo (1.3), ta có d(x, y) = 0

Neu d(x, y) = 0, nhưng x ƒ= y thì d(x, y) = 1 đieu này trái

vói giá thiet

Vì v¾y d(x, y) = 0 ⇔ x = y Do đó (1.3) thóa mãn tiên đe 1 ve

metric Vói hai phan tú x, y ∈ X.

gian metric ròi rac

Nh¾n xét 1.1.1.

Trên cùng m®t t¾p hop có the xác đ%nh nhung metric khác nhau Ví

du trên cùng t¾p hop Rk, ngoài metric Eukleides, có the xác đ%nh cácmetric sau đây

Vói hai phan tú bat kỳ x = (x1, x2, , xk ), y = (y1, y2, , yk) thu®c Rk

Các h¾ thúc trên cũng là các metric trên Rk

Đ%nh nghĩa 1.1.2 [4] Cho không gian metric (X, d), dãy {x n} ∈

X và điem x0 ∈ X Dãy {xn} đưoc goi là h®i tn tói điem x0 trong X khi n → ∞, neu vói moi ε > 0, ∃n0 ∈ N ∗ , vói moi n ≥ n0 ta có d(xn, x0) < ε Ký hi¾u:

lim

n→∞ x n = x0 hay x n → x0, khi n → ∞.

Điem x0 goi là giói han cúa dãy {x n } trong X.

Ví dn 1.1.3 Sn h®i tu cna m®t dãy điem trong không gian Eukleides

Rk là sn h®i tu theo toa đ®

Th¾t v¾y, giá sú dãy điem x (n) = (x (n) , x (n) , , x (n) ), n = 1, 2,

h®i

1 2 k

tu tói điem x = (x1, x2, , xk) trong Rk

Theo đ%nh nghĩa, vói moi ε > 0, ∃n0 ∈ N ∗, vói moi n ≥ n0 sao cho:

‚ k

,x (n),

j

h®i tu tói so thnc x j khi n → ∞ Sn h®i tu đó đưoc goi là sn h®i tu theo

(x (n) − xj )2 < ε, ∀n ≥ n0.

V¾y dãy điem đã cho h®i tu theo metric Eukleides cna không gian Rk

Đ%nh nghĩa 1.1.3 [4] Cho không gian metric (X, d) Dãy {x n} ⊂ X goi là dãy Cauchy, neu vói moi ε > 0, ton tai n0 ∈ N ∗ sao cho, ∀m,

Đ%nh nghĩa 1.1.4 [4] Không gian metric (X, d) goi là đay đú, neu

moi dãy Cauchy trong X đeu h®i tn tói m®t điem thu®c X.

Ví dn 1.1.4 Không gian l2 là không gian các dãy so khá tong b¾c hai.

l2 là không gian đay đn

Th¾t v¾y, giá sú x (n) = (x (n) , x (n) , , x (n) ), n = 1, 2, là dãy

Cauchy tùy

1 2 k

ý trong không gian l2

Theo đ%nh nghĩa dãy Cauchy, vói ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N ∗ , ∀m, n ≥ n0.

‚ ∞

thúc này khi m → ∞ ta đưoc:

‚ p

Do đó dãy x = (xk ) ∈ l2, các bat đang thúc (1.9) chúng tó dãyCauchy

x (n) h®i tu tói x ∈ l2 trong không gian l2

Vì v¾y không gian l2 là không gian đay đn

Ví dn 1.1.5 Cho X là t¾p tat cá các hàm so x(t) liên tuc trên

không gian R1 sao cho x(t) = 0 ngoài m®t đoan nào đó (đoan này

phu thu®c tùng hàm so x(t)) Vói hai hàm so bat kỳ x(t) ∈ X, y(t)

∈ X, ta đ¾t

d(x, y) = max |x(t) − y(t)|

t∈R1Khi đó (X, d) là m®t không gian metric không đay

∞

Do x = x(t), y = y(t) liên tuc trên không gian R1 nên x(t), y(t)

liên tuc trên 6x∪6y, mà 6x∪6y là t¾p đóng và b% ch¾n nên ta có: x(t)

−y(t)

liên tuc trên 6x ∪ 6y và ∃ max |x(t) − y(t)| =

max

|x(t) − y(t)|

R 1V¾y d xác đ%nh

Bây giò ta kiem tra các tiên đe ve metric

Vói moi x = x(t) ∈ X, y = y(t) ∈ X

V¾y tiên đe 2 thóa mãn.

Vói moi x = x(t) ∈ X, y = y(t) ∈ X, z = z(t) ∈ X, ta có:

Tiep theo ta chí ra (X, d) là không gian không đay đn

Th¾t v¾y vói moi n ∈ N ∗ ta chon

xn (t) =

t2 + 1 − n2 +1

De thay xn (t) là m®t hàm thu®c X vói moi n ∈ N ∗ Hơn nua {xn} ⊂ X

là m®t dãy Cauchy Th¾t v¾y ta có:

, . − n<|t|≤n+p

(n +

p)2

.

+ 1

2 + 1

(n +

p)2 + 1

n2 + 1 (n + p)2 + 1Cho n → ∞ ta có d(x n , x n+p ) → 0, vói p ∈ N ∗

V¾y {xn} là dãy Cauchy trong X M¾t khác ta lai có: Vói x0

nên x0 ∈/ X.

V¾y (X, d) là m®t không gian metric nhưng không đay đn.

1.1.2 Không gian đ%nh chuan

Đ%nh nghĩa 1.1.5 [1] Ta goi không gian tuyen tính đ%nh chuan (hay

không gian đ%nh chuan) là m®t không gian tuyen tính X trên trưòng K(thnc ho¾c phúc) cùng vói m®t ánh xa tù X vào t¾p so thnc R, ký hi¾u

là "." và đoc là chuan, thóa mãn các tiên đe sau:

1) "x" = 0 ⇔ x = θ (θ là phan tú 0 trong X), vói moi x ∈ X;

2) "x + y" ≤ "x" + "y", vói ∀x, y ∈ X;

Khi đó d là m®t metric trên X Như v¾y moi không gian đ%nh chuan

đeu là không gian metric

Ví dn 1.1.6 Ck là m®t không gian đ%nh chuan vói chuan

‚ k

"x + y" = |xi + y i|2

i=1

‚ k

,

i=1

|xi|2

,

V¾y Ck là m®t không gian đ%nh chuan.

Đ%nh nghĩa 1.1.6 [1] Dãy {xn} cúa không gian đ%nh chuan X goi là h®i tn tói điem x X, neu lim

1) Neu dãy {xn} h®i tu tói x, thì dãy chuan {"xn"} h®i tu tói

"x" Hay nói cách khác, chuan "." là m®t hàm giá tr% thnc liên tuc theo

bien x.

2) Neu dãy {xn} h®i tu tói x, dãy {yn} h®i tu tói y trong không

gian đ%nh chuan X, dãy so {αn} h®i tu tói so α, thì:

xn + y n → x + y khi n → ∞, αnxn → αx khi n → ∞.

Đ%nh nghĩa 1.1.7 [1] Dãy {x n } cúa không gian đ%nh chuan X goi là dãy Cauchy, neu lim

m,n→∞ "x m − x n " = 0.

Đ%nh nghĩa 1.1.8 [3] Giá sú X là m®t không gian tuyen tính, "."1 và

"."2 là hai chuan xác đ%nh trên X, τ1 và τ2 là các tô pô trên X gây nên bói các chuan "."1 và "."2.

a) Chuan "."1 đưoc goi là manh hơn chuan "."2, neu τ1 ≥ τ2

b) Các chuan "."1 và "."2 đưoc goi là tương đương vói nhau, neu

τ1 = τ2.

∈

Đ%nh lý 1.1.1 [3] Chuan "."1 manh hơn chuan "."2 khi và chs khi

2 "x"1

2

Tù đó suy ra "x"2

≤ r "x"1 Vói x = 0, bat đang thúc này van đúng.

b) Đieu ki¾n đn: Giá sú "."2 ≤ c "."1 đúng Lay A là t¾p mó đoi

Nh¾n xét 1.1.4.

"."1 và "."2 tương đương khi và chí khi ton tai 0 < α ≤ β sao cho:

α "."1 ≤ "."2 ≤ β "."1

1.1.3 Không gian Banach

Đ%nh nghĩa 1.1.9 [1] Không gian đ%nh chuan X đưoc goi là không gian Banach neu moi dãy Cauchy trong X đeu h®i tn ve m®t điem trong X.

Ví dn 1.1.7 C[a;b], không gian các hàm so liên tuc trên đoan [a; b]

là m®t không gian Banach vói chuan

Vói moi x, y ∈ C [a;b], ta có:

"x + y" = max |x(t) + y(t)|

V¾y C[a;b] là m®t không gian đ%nh chuan

Giá sú {xn} là m®t dãy Cauchy trong không gian C [a;b]

Theo đ%nh nghĩa dãy Cauchy: ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N ∗ , ∀m, n ≥ n0, ta có:

"xn − xm" < ε.

ε , ∀n ≥ n0.

Vì x0(t) là các hàm liên tuc trên [a;b] nên ton tai δ > 0 sao cho:

Ta có x(t) liên tuc tai t0.Vì t0 là bat kỳ thu®c [a; b] nên x(t) liên

tuc trên [a; b] V¾y x(t) ∈ C[a;b]

Do đó C[a;b] là m®t không gian Banach

Nh¾n xét 1.1.5.

Đ%nh nghĩa 1.1.9 có the phát bieu như sau:

Không gian đ%nh chuan đay đn là không gian Banach

Ví dn 1.1.8 Giá sú E = C[0;1] là không gian đ%nh chuan các hàm liên tuc trên [0; 1] vói chuan

Hàm f (x) không liên tuc trên [0; 1] và do đó không thu®c

C[0;1] Vì the dãy{gn} không h®i tu trong C[0;1]

Do đó E không là không gian Banach.

Đ%nh lý 1.1.2 [5] Không gian đ%nh chuan X là không gian Banach khi

và chs khi trong không gian X moi chuoi h®i tn tuy¾t đoi đeu h®i tn Chúng minh.

Giá sú {x n } là m®t dãy Cauchy gom nhung phan tú cna X Khi đó,

vói moi so tn nhiên n, ton tai m®t so tn nhiên k n sao cho vói moi l ≥

kn và vói moi m ≥ kn, ta đeu có:

2n , ∀n ∈ N.

xk1 + (x k2 − xk1 ) + (x k3 − xk2 ) + (1.12)

h®i tu tuy¾t đoi.Theo giá thiet, tù đó suy ra rang chuoi (1.12) h®i tu.Tong riêng thú n cna chuoi (1.12) là xk n Goi x0 là tong cna chuoi(1.12) Khi đó

lim

n→∞ xk n = x0.

Dãy Cauchy {xn} có dãy con xk n h®i tu V¾y X là m®t không gian

Banach

1.2.1 Không gian tích vô hưáng

Đ%nh nghĩa 1.2.1 [3] C¾p (H, <, >) trong đó H là m®t không

gian tuyen tính (thnc ho¾c phúc) và

<, >: H × H −→ K

(x, y) −→< x, y >

là m®t hàm so (thnc ho¾c phúc), đưoc goi là m®t tích vô hưóng trong H neu các đieu ki¾n sau đưoc thoá mãn:

1) < y, x >=< x, y >, vói moi x, y ∈ H (Kí hi¾u < x, y

> là so phúc liên hop cúa so phúc < x, y >).

2) < x + y, z >=< x, z > + < y, z >, vói moi x, y, z ∈ H 3) < λx, y >= λ < x, y >, vói moi x, y ∈ H, λ ∈ K.

4)< x, x >≥ 0 vói moi x ∈ H, < x, x >= 0 ⇔ x = θ, (vói θ

là véctơ không trong H).

So < x, y > goi là tích vô hưóng cna hai phan tú x và y Tù đ

%nh nghĩa cna không gian tích vô hưóng suy ra

< x, λy >= λ < x, y > và < x, y + z >=< x, y > + <

x, z >,

¸ b

g(t).f (t)d(t) a

¸ b

g(t).f (t)d(t) a

¸ b

f (t).g(t)d(t) a

¸ b

= λ f (t).g(t)d(t) a

= λ < f, g >

V¾y < λf, g >= λ < f, g >, tiên đe 3 thóa

V¾y < f, f >≥ 0, ∀f (t) ∈ C [a;b], tiên đe 4 thóa mãn

Như v¾y C[a;b] là không gian tích vô hưóng, vói tích vô hưóng đưocđ%nh nghĩa

< f, g

>=

¸ b

f (t).g(t)d(t), vói ∀f (t), g(t) ∈ C [a;b] a

Đ%nh lý 1.2.1 [3] Neu (H, <, >) là m®t không gian tích vô hưóng thì

|< x, y >|2 ≤< x, x >< y, y >, vói ∀x, y ∈ H.

Bat đang thúc trên goi là bat đang thúc Schwarz.

Chúng minh.

Vói y = 0 bat đang thúc hien nhiên

đúng Giá sú y ƒ= 0,vói moi λ, λ ∈ K,

là không gian Hilbert.

Đ%nh lý 1.2.2 [3] Neu (H, <, >) là m®t không gian tích vô hưóng

Tù đieu ki¾n 4 cna đ%nh nghĩa ta suy ra, neu ||x|| = 0 thì x = 0

Tù đieu ki¾n 1 và 2 suy ra

Không gian tích vô hưóng là m®t không gian đ%nh chuan

1.2.2 Không gian Hilbert