Tôpô yếu trong không gian Banach

LèI CAM ĐOANQua quá trình nghiên cúu khóa lu¾n: “ Tôpô yeu trong không gian Ba-nach” đã giúp em tìm hieu sâu h nơ ve b® môn Giái tích.. Ket quá cúa đe tài “ Tô pô yeu trong không gian Ba

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

KHOA TOÁN

LÊ TH± THU HIEN

TÔPÔ YEU TRONG

KHÔNG GIAN

BANACH

KHÓA LU¾N T6T NGHIfiP ĐAI

H6CChuyên ngành: Giái tích

Ngưèi hưéng dan khoa

hoc Th.S HOÀNG NGOC

TUAN

Hà N®i - 2013

LèI CÃM ƠN

Em xin bày tó lòng biet nơ sâu sac tói Th.S Hoàng Ngoc Tuan - Ng òiưthay đã trnc tiep t¾n tình h óngư dan và giúp đõ em hoàn thành bài khoálu¾n cúa mình Đong thòi em xin chân thành cám nơ các thay cô trong

to Giái tích và các thay cô trong khoa Toán - Tr òngư Đai hoc Sư pham

Hà N®i 2, Ban chú nhi¾m khoa Toán đã tao đieu ki¾n cho em hoànthành tot bài khoá lu¾n này

Do thòi gian và kien thúc có han và cũng là lan đau nghiên cúu khoahoc cho nên không tránh khói nhung han che, thieu sót nhat đ%nh Vìv¾y, em rat mong nh¾n đ ocư nhung ý kien đóng góp cúa các thay cô vàcác ban sinh viên

Em xin chân thành cám ơn !

Hà N®i, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Lê Th% Thu Hien

LèI CAM ĐOAN

Qua quá trình nghiên cúu khóa lu¾n: “ Tôpô yeu trong không gian

Ba-nach” đã giúp em tìm hieu sâu h nơ ve b® môn Giái tích Qua đó cũnggiúp em b ócư đau làm quen vói phươ pháp nghiên cúu khoa hoc ng

Trong khi nghiên cúu hoàn thành bán khoá lu¾n này em đã thamkháo m®t so tài li¾u đã ghi trong phan tài li¾u tham kháo

Em xin cam đoan khóa lu¾n đ ocư hoàn thành do sn co gang, no lnctìm hieu, nghiên cúu cúa bán thân em cùng vói sn h óngư dan chí báo cúathay giáo - Th.S Hoàng Ngoc Tuan Ket quá cúa đe tài “ Tô pô yeu trong không gian Banach” không có sn trùng l¾p vói ket quá cúa các đe tài

khác

Hà N®i, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Lê Th% Thu Hien

Mnc lnc

Mé

đau 1

Chương 1 Kien thNc chuan b% 3

1.1 Không gian tôpô 3

1.1.1 Kien thúc mó đau ve không gian tôpô 3

1.1.2 Không gian compact 5

1.2 Không gian đ%nh c huan 6

1.2.1 Kien thúc mó đau ve không gian đ%nh c huan 6

1.2.2 T oán tú tuyen tính b% c h¾n 8

1.2.3 Nguy ên lí b% c h¾n đeu Banac h - S teinhaus 9

1.2.4 Không gian liên hop 10

Chương 2 T ôpô y eu tr ong không gian Banach 12

2.1 T ôpô y eu v à tôpô yeu* 12

2.2 Cau trúc cnc biên 31

K et lu¾n 45

T ài li¾u tham kháo 46

LèI Me ĐAU

1 Lí do chon đe tài

Giái tích hàm là m®t ngành toán hoc đ ocư xây dnng vào khoáng núađau the kí XX nh ngư hi¾n nay hau như đ ocư xem như là m®t ngànhtoán hoc co đien N®i dung cúa nó là sn hop nhat cúa nhung lí thuyettong quát xuat phát tù vi¾c mó r®ng m®t so khái ni¾m và ket quá cúaGiái tích, Đai so, Phươ trình vi phân .ng

Trong quá trình phát trien tù đó đen nay, Giái tích hàm đã tích lũy

đ ocư m®t n®i dung het súc phong phú Nhung phươ pháp và ket quángrat mau mnc cúa giái tích hàm đã xâm nh¾p vào tat cá các ngành toánhoc có liên quan và có sú dnng đen nhung công cn cúa Giái tích Ngoài

ra, nó còn có nhung úng dnng trong v¾t lí lí thuyet và trong m®t so lĩnhvnc khoa hoc khác

Sn xâm nh¾p ay m®t m¾t mó ra nhung chân tròi r®ng lón cho cácngành toán hoc nói trên, m¾t khác nó còn đòi hói ngành Giái tích hàmphái đúc ket nhung ket quá cúa nhung ngành toán hoc riêng re đe trongchùng mnc nào đó đe ra nhung mau toán hoc tong quát và trìu t ong.ưVói mong muon đ ocư nghiên cúu và tìm hieu sâu h n ơ ve b® môngiái tích hàm em đã chon đe tài: “Tôpô yeu trong không gian Banach”.

Nghiên cúu đe tài này chúng ta có cơ h®i tìm hieu sâu h nơ ve tôpô, m®tn®i dung khá quen thu®c và bao hàm nhieu tính chat đ¾c tr ngư vàtong quát cúa giái tích hàm

2 Mnc đích nghiên cNu

Nghiên cúu lí thuyet ve tô pô yeu trong không gian Banach đe thay

đ ocư

các tính chat cúa nó.

3 Đoi tưeng và nhi¾m vn nghiên cNu

Các kien thúc liên quan đen tô pô yeu và tô pô yeu*

4.Phương pháp nghiên cNu

Sú dnng ket hop các phươ pháp nghiên cúu: nghiên cúu lí lu¾n, ngnghiên cúu tài li¾u tham kháo, phân tích, tong hop, so sánh,

5 Pham vi nghiên cNu

Nghiên cúu các kien thúc liên quan đen tô pô yeu trong không gianBanach

6 Cau trúc khóa lu¾n

Ngoài mnc lnc, phan mó đau, ket lu¾n và tài li¾u tham kháo, khóa lu¾n gom hai chương:

Chươ 1: Kien thúc chuan b%.ng

Chươ 2: Tôpô yeu trong không gian banach.ng

Chương 1

Kien thNc chuan b%

1.1 Không gian tôpô

1.1.1 Kien thNc mé đau ve không gian tôpô

Đ%nh nghĩa 1.1 Cho X là m®t t¾p bat kỳ Ta nói m®t ho τ nhung t¾p

con cúa X là m®t tôpô (hay xác đ%nh m®t cau trúc tôpô) trên X neu: (i) Hai t¾p φ và X đeu thu®c ho τ.

(ii) τ kín đoi vói phép giao huu han, túc là: giao cúa m®t so huu han t¾p thu®c ho τ thì cũng thu®c ho đó.

(iii) τ kín đoi vói phép hop bat kỳ, túc là: hop cúa m®t so bat kỳ (huu han hay vô han) t¾p thu®c ho τ thì cũng thu®c ho đó.

M®t t¾p X , cùng vói m®t tôpô τ trên X , goi là không gian tôpô (X, τ)(hay đ n ơ gián không gian tôpô X ).

Đ%nh nghĩa 1.2 Cho X là m®t không gian tôpô và x ∈ X T¾p con V cúa

X

đ oc ư goi là m®t lân c¾n cúa điem x neu ton tai t¾p mó G sao cho x ∈ G

⊂ V.

Neu lân c¾n V cúa x là t¾p mó thì V đ oc ư goi là lân c¾n cúa x.

Moi lân c¾n cúa X đeu chúa m®t lân c¾n mó.

Đ%nh nghĩa 1.3 Cho không gian tôpô X t¾p con A và điem x ∈ X.

• Điem x goi là điem trong cúa A neu có m®t lân c¾n V sao cho V ⊂ A.

• Điem x goi là điem ngoài cúa A neu có m®t lân c¾n V sao cho

V ∩A = ∅.

• Điem x goi là điem biên cúa A neu moi lân c¾n V cúa x đeu có

V ∩A ƒ= ∅ và V ∩ (X\A) ƒ= ∅.

T¾p tat cá các điem biên cúa A goi là biên cúa A Kí hi¾u: ∂ A.

• Ta goi phan trong cúa A là hop tat cá các t¾p mó chúa trong A Kí hi¾u: A o

Tù đ%nh nghĩa ta có: A o là t¾p mó lón nhat chúa trong A A ⊂ B thì

Đ%nh nghĩa 1.5 Không gian tôpô X goi là tách đ oc ư neu ton tai t¾p hop

M ⊂ X đem đ oc ư và trù m¾t trong X.

Đ%nh nghĩa 1.6 Cho X là không gian tôpô thóa mãn vói moi c¾p các

điem khác nhau x1, x2 ∈ X đeu có hai lân c¾n V1,V2 cúa x1, x2 sao cho V1

∩V2 = ∅ Khi đó, X đ oc ư goi là không gian tách (hay không gian Hausdorff), và tôpô cúa nó cũng goi là tôpô tách (hay tôpô Hausdorff).

1.1.2 Không gian compact

Đ%nh nghĩa 1.7 (T¾p compact)

Cho X là m®t không gian tôpô T¾p con A ⊆ X goi là compact( trong X) neu vói moi phú mó cúa A đeu có m®t phú con huu han Đieu này có nghĩa là neu D i là các t¾p con mó cúa X vói moi i ∈ I và A ⊆ S D i có m®t t¾p hop

i∈I

huu han I0 ⊆ I sao cho S

i∈I0

D i ⊇ A.

Chú ý: Ãnh cúa m®t t¾p compact qua ánh xa liên tnc là m®t t¾p compact.

Đ%nh nghĩa 1.8 (Không gian compact)

Không gian X đ oc ư goi là không gian compact neu X là m®t t¾p

compact trong X Túc là neu D i là mó trong X vói moi i ∈ I và S D i = X

1.2 Không gian đ%nh chuan

1.2.1 Kien thNc mé đau ve không gian đ%nh chuan

Đ%nh nghĩa 1.9 Cho X là không gian vectơ trên tr òng ư K ( K = R ho¾c

K = C ) Ánh xa "·" : X → R đ oc ư goi là chuan trên X neu:

(i) "x" ≥ 0 vói moi x ∈ X;

(ii) "x" = 0 khi và chí khi x = 0;

(iii) "λx" = |λ | "x" vói moi x ∈ Xvà λ ∈ K;

(iv) "x + y" ≤ "x" + "y"vói moi x, y ∈ X( bat đang thúc tam giác).

Không gian vectơ vói chuan (X,".") đ ocư goi là không gian tuyen tính đ%nh chuan (ho¾c đ nơ gián là không gian đ%nh chuan)

Ví dn: Không gian C [0,1] bieu th% không gian vectơ cúa tat cá các hàm

vô h óngư có giá tr% liên tnc trên [0, 1], cho bói chuan

" f "∞ = sup {| f (t)| ; t ∈ [0, 1]} = max {| f (t)| ; t ∈ [0, 1]}

Chúng ta de dàng kiem tra đ ocư C [0, 1] là không gian đ%nh chuan.

Đ%nh nghĩa 1.10 Không gian đ%nh chuan X goi là không gian Banach,

neu moi dãy cơ bán trong X đeu h®i tn.

M¾nh đe 1.1 Cho X là không gian đ%nh chuan Ta đ¾t

d (x, y) = "x − y", ∀x, y ∈ X (∗) Khi đó d là m®t metric trên X

Nh¾n xét: Nhò M¾nh đe 1.1, moi không gian đ%nh chuan đeu có the

tró

thành không gian metric vói metric (*) Do đó moi khái ni¾m, m¾nh đe

đã đúng trong không gian metric đeu đúng trong không gian đ%nh chuan.Nguyên lý pham trù Baire đã đ ocư phát bieu trong không gian

metric, sau đây ta se phát bieu lai trong không gian đ%nh chuan

Đ%nh nghĩa 1.11 Cho không gian đ%nh chuan X T¾p E ⊂ X goi là

không đâu trù m¾t trong không gian X, neu hình cau bat kỳ B ⊂ X đeu chúa m®t hình cau B1 sao cho B1 ∩E = ∅.

Đ%nh nghĩa 1.12 Cho không gian đ%nh chuan X T¾p F ⊂ X goi là

t¾p pham trù thú nhat, neu t¾p F là hop đem đ oc ư nhung t¾p không đâu trù m¾t trong không gian X T¾p con cúa X không là t¾p pham trù thú nhat thì goi là t¾p pham trù thú hai.

M¾nh đe 1.2 Moi không gian Banach là t¾p pham trù thú hai.

Đ%nh nghĩa 1.13 T¾p Y ƒ= ∅ goi là không gian đ%nh chuan con cúa

không gian đ%nh chuan X, neu Y là không gian tuyen tính con cúa không gian Xvà chuan xác đ%nh trên Y là chuan xác đ%nh trên X Neu Y đong thòi là t¾p đóng trong không gian X, thì Y goi là không gian đ%nh chuan con đóng cúa không gian X.

Đ%nh nghĩa 1.14 Cho X = (X,".") là m®t không gian Banach, M ⊂ X

Khi đó:

• B X = {x ∈ X : "x" ≤ 1 kí hi¾u hình cau đ n ơ v% đóng cúa X.

• S X = {x ∈ X : "x" = 1} kí hi¾u hình cau đ n ơ v% cúa X.

• Bao tuyen tính ( ho¾c khoáng) cúa M đ oc ư kí hi¾u bói span

(M); nghĩa là giao cúa tat cá các không gian con tuyen tính cúa X

chúa M T ươ đ ng ươ ng, khoáng (M) là không gian con nhó nhat ( theo nghĩa bao hàm) cúa X chúa M T ươ tn, span (M) là viet ng tat cho bao loi đóng tuyen tính cúa M.

• Bao loi cúa Mđ oc ư kí hi¾u bói conv (M); nghĩa là giao cúa tat cá các t¾p loi chúa M và conv (M) là kí hi¾u bao loi đóng cúa M.

Đ%nh nghĩa 1.15 Cho X là không gian Banach T¾p A ⊂ X đ oc ư goi là loi neu:

∀x, y ∈ A, ∀ λ ∈ R : 0 ≤ λ ≤ 1 ⇒ λx + (1 −λ )y ∈ A

Đ%nh nghĩa 1.16 Cho X là không gian Banach, t¾p A ⊂ X Đoan noi x, y

đ oc ư đ%nh nghĩa như sau:

[x,y] = {z ∈ A : z = λx + (1 −λ )y, 0 ≤ λ ≤ 1}

1.2.2 Toán tN tuyen tính b% ch¾n

Đ%nh nghĩa 1.17 Cho hai không gian tuyen tính X và Y trên tr òng ư P(P = R ho¾c P = C) Ánh xa A tù không gian X vào không gian Y goi là tuyen tính, neu ánh xa A thóa mãn các đieu ki¾n:

(i) (∀x, x r ∈ X ) A(x + x r ) = Ax + Ax;

(ii) (∀x ∈ X ) (∀α ∈ P) Aαx = αAx.

Ta th òng ư goi ánh xa tuyen tính là toán tú tuyen tính và khi Y = P thì toán tú tuyen tính goi là phiem hàm tuyen tính.

Đ%nh nghĩa 1.18 Cho hai không gian đ%nh chuan X và Y Toán tú tuyen

tính A tù không gian X vào không gian Y goi là b% ch¾n, neu ton tai hang

so C > 0 sao cho:

"Ax" ≤ C "x", ∀x ∈ X

Ta kí hi¾u B(X,Y ) là t¾p hop tat cá các toán tú tuyen tính b% ch¾n

tù không gian đ%nh chuan X vào không gian đ%nh chuan Y Neu X = Y ,đ¾t B(X ) = B(X, X ).

Đ%nh lý 1.2 Cho A là toán tú tuyen tính tù không gian đ%nh chuan X

vào không gian đ%nh chuan Y Khi đó, ba m¾nh đe sau t ươ đ ng ươ ng: (i) A liên tnc;

(ii) A liên tnc tai điem x0 nào đó thu®c X;

(iii) A b% ch¾n.

Đ%nh lý 1.3 Cho hai không gian đ%nh chuan X và Y Neu Y là không

gian Banach, thì B(X,Y ) là không gian Banach.

1.2.3 Nguyên lí b% ch¾n đeu Banach - Steinhaus

Đ%nh nghĩa 1.19 Cho ho (A t )t∈T gom các toán tú tuyen tính A t tù không gian đ%nh chuan X vào không gian đ%nh chuan Y , trong đó T là t¾p chí

so có lnc l ong ư nào đay Ho (A t )t∈T goi là b% ch¾n tùng điem, neu vói moi x ∈ X

t¾p (A t x)t ∈T b% ch¾n Ho (A t )t∈T goi là b% ch¾n đeu, neu t¾p ("A t ") t∈T b%

ch¾n.

Đ%nh lý 1.4 (Nguyên lí b% ch¾n đeu Banach- Steinhaus)

Neu ho (A t )t∈T các toán tú tuyen tính liên tnc tù không gian Banach X

vào không gian đ%nh chuan Y b% ch¾n tùng điem, thì ho đó b% ch¾n đeu.

1.2.4 Không gian liên hep

Đ%nh nghĩa 1.20 Cho không gian đ%nh chuan X trên tr òng ư K (K = R ho¾c K = C) Ta goi không gian I(X, K) các phiem hàm tuyen tính liên tnc trên không gian X là không gian liên hop (hay không gian đoi ngau) cúa không gian X và kí hi¾u là X ∗

Như v¾y, không gian liên hop X ∗ cúa không gian đ%nh chuan X là

không gian Banach

Không gian liên hop cúa không gian X ∗ goi là không gian liên hop thú

hai cúa không gian đ%nh chuan X , kí hi¾u là X ∗∗, các không gian liên

hop thú ba X ∗∗∗ không gian liên hop thú tư X ∗∗∗∗, cúa không gian

đ%nh chuan X đ ocư đ%nh nghĩa tươ tn.ng

Đ%nh lý 1.5 ( Hahn, Banach)

Cho C là m®t t¾p loi đóng trong không gian Banach X Neu x0 ∈/ C thì ton tai f ∈ X ∗ sao cho Re( f (x0)) > sup {Re( f (x)) : x ∈ C}.

H¾ quá 1.1 Cho X là m®t không gian Banach thnc

(i) Cho C là m®t t¾p loi mó trong X Neu x0 ∈/ C thì ton tai f ∈ X ∗ và λ

∈ R

sao cho f (x0) = λ và f (x) < λ vói moi x

∈ C.

(ii) Cho A, B là các t¾p loi ròi nhau trong X Neu A là mó, thì ton tai f ∈

X ∗

và λ ∈ R sao cho f (a) < λ vói moi a ∈ A và f (b) ≥ λ vói moi b

∈ B.

Đ%nh lý 1.6 Cho X là không gian tuyen tính đ%nh chuan Ta nói rang X là

tách đ oc ư neu ton tai m®t dãy {x i ∞ trong X mà trù m¾t trong X.

M¾nh đe 1.4 Cho X là m®t không gian Banach Neu X ∗ là tách đ oc, ư thì

X là tách đ oc ư

M¾nh đe 1.5 Ta có:

(i) Neu p ∈ [0, ∞], thì không gian l p là tách đ oc ư

(ii) Các không gian C và C0 là tách đ oc ư

(iii) Không gian l∞ là không tách đ oc ư

M¾nh đe 1.6 Không gian C ∗ [ 0,1] là không tách đ oc ư

}

2.1 Tôpô yeu và tôpô yeu*

Đ%nh nghĩa 2.1 Cho X là không gian đ%nh chuan Phép nhúng chính tac π

tù X vào X ∗∗ đ oc ư đ%nh nghĩa vói x ∈ X theo công thúc

π(x) : f ›→ f (x)

Chú ý rang π là toán tú tuyen tính Th¾t v¾y,

Cách dùng kí hi¾u tn nhiên này, vói x ∈ X ta th òngư viet x ∈ X ∗∗

thay vì viet π(x) ∈ X ∗∗ , và ta đong nhat X vói π(X ) ∈ X ∗∗ Đ¾c

bi¾t, x( f ) = x( f ) vói x ∈ X và f ∈ X ∗

Tính chat 2.1 Vói moi không gian đ%nh chuan X, đeu ton tai không gian

đú X˜ cúa nó, túc là, m®t không gian Banach X˜ sao cho X là t¾p con trù m¾t cúa X˜.

Đ%nh nghĩa 2.2 Cho X là m®t không gian đ%nh chuan.

Tôpô yeu (w-) trên X là tôpô sinh bói m®t cơ só gom các t¾p

X đ ocư sinh bói m®t cơ só gom các t¾p

O ∗ = { f ∈ X ∗ : |( f − f0)(x i )| < ε, i = 1, 2, , n}

Vói moi f0 ∈ X ∗ , x1, , x n ∈ X và ε > 0.

Trong tr òngư hop phúc, ta có the đ%nh nghĩa tươ đng ươ tôpô yeung

trên X chí dùng các hàm tù X R Tôpô yeu* trên không gian X ∗ cũng có the

đ ocư đ%nh nghĩa tươ đng ươ dùng |Re( f − fng 0)(x i )| trong sn mô tá

cơ só cúa chúng

Cho X là m®t không gian Banach thnc Kí hi¾u núa không gian cúa X

là t¾p mó yeu có dang {x ∈ X : f (x) < α} vói f ∈ X ∗ \{0} và α ∈ R

nào đó Giao huu han cúa các núa không gian tao thành m®t cơ só cúatôpô yeu

Chú ý rang tôpô yeu* và tôpô yeu là Hausdorff Th¾t v¾y, cho

tr ócư f ƒ= g trong không gian X ∗ ton tai x ∈ X và m®t vô h óngư α

sao cho f (x) > α > g(x) Các t¾p mó yeu* {h ∈ X ∗ : h(x) >

α} và

{h(x) ∈ X ∗ : h(x) < α} tách f và g Chúng minh tươ tn cho tr òngng ưhop

tôpô yeu, trong đó có sú dnng đ%nh lí Hahn-Banach Cũng chú ý rang

neu t¾p A ⊂ X là mó yeu (t ươ úng A ⊂ Xng ∗ là mó yeu*) thì t¾p x + A

là t¾p mó yeu (tươ úng mó yeu*) vói moi x ∈ X (tng ươ úng x ∈ Xng ∗).Hien nhiên moi t¾p mó yeu thì cũng mó theo chuan, vì v¾y tôpôchuan thì manh h nơ tôpô yeu Vì các t¾p hop xác đ%nh tôpô yeu* trênX* là trong so các t¾p xác đ%nh tôpô yeu trên X*, nên tôpô yeu manh

h nơ tôpô yeu* trên X* H nơ nua, A ⊂ X là compact yeu khi và chí khi

π(A) là compact yeu* trong X**.

Ta se kí hi¾u Mw và Mw∗ bao đóng trong các tôpô yeu t là ươ úng.ng

Ta cũng se kí hi¾u conv σ (M) là bao loi đóng σ cúa M.

Các tính chat cúa không gian tôpô tong quát không the lúc nào cũng

đ ocư dien tá qua các dãy Ta se dien tá ó đây nhung đ%nh nghĩa can phái

có và m®t vài van đe đ nơ gián ve l ói.ư

Đ%nh nghĩa 2.3 Kí hi¾u t¾p chí so I là m®t t¾p sap thú tn b® ph¾n

bat kì, nghĩa là, t¾p I vói m®t quan h¾ hai ngôi ≤ trên I thóa mãn vói moi α, β, γ ∈ I:

(1) α ≤ α;

(2) Neu α ≤ β và β ≤ γ thì α ≤ γ;

(3) Neu α ≤ β và β ≤ α thì α = β.

Chú ý rang ta không giá sú hai phan tú tùy ý cúa I là có quan h¾.

Đ%nh nghĩa 2.4 M®t l ói ư trong t¾p X khác rong là m®t ánh xa N tù t¾p chí so I vào X Thay vì viet N(α), ta th òng ư viet x α và kí hi¾u l ói ư là {x α } α∈I Cho {x α } α∈I là m®t l ói ư Cho J là m®t t¾p chí so và S : J → I là m®t ánh xa vói tính chat sau: cho tr óc ư α0 ∈ I, ton tai β0 ∈ J sao cho α0

≤ S(β ) vói

moi β0 ≤ β Khi đó l ói ư .x S(β ). đ oc ư goi là l ói ư con cúa l ói ư {x α } α∈I

Giá sú rang X là m®t không gian tôpô Ta se mô tá sn h®i tn cúa các

l óiư vùa đ%nh nghĩa trong X

Đ%nh nghĩa 2.5 Ta nói rang m®t l ói ư {x α } α∈I trong không gian tôpô X h®i tn đen điem x ∈ X neu moi lân c¾n U (x) cúa x đeu ton tai α0 ∈ I sao cho x α ∈ U (x) vói moi α0 ≤ α Khi đó ta nói rang x là giói han cúa {x α } α∈I và viet x i → x.

Ta nói rang x ∈ X là m®t điem tn cúa l ói ư {x α } α∈I neu vói moi lân c¾n

U (x) cúa x và α0 ∈ I đeu ton tai α ∈ I sao cho α0 ≤ α và x α ∈ U (x).

Chú ý rang neu x α → x, thì moi l ói ư con cúa {x α } cũng h®i tn đen

x

M®t l óiư h®i tn đen x khi và chí khi moi l ói ư con có x là m®t điem tn.

β∈

J

Tôpô cúa m®t không gian tôpô X có the đ ocư chí rõ bang vi¾c mô tá

sn h®i tn cúa các l ói.ư Do đó, tat cá các khái ni¾m thu®c tôpô có the đ ocư đ%nh

nghĩa bói thu¾t ngu l ói.ư Ví dn, cho tr ócư m®t t¾p con A cúa không gian tôpô X , bao đóng A cúa nó là bang vói t¾p tat cá các giói han cúa

các l óiư trong A Như v¾y, t¾p A là đóng khi và chí khi nó bao gom tat

cá các giói han cúa các l óiư h®i tn vói các phan tú trong A.

Ta đ aư vào m®t vài kí hi¾u thích hop cho sn h®i tn x n → x (ho¾c

lim(xn ) = x) nghĩa là sn h®i tn trong chuan trù khi bieu dien bang kí

ư tươ tn áp dnng cho sn h®i tn cúa các l ói.ng ư

Chú ý rang x n → x kéo theo x n −w x Tươ tn, trong không gianng

liên hop X ∗ ta có f f kéo theo f w∗ f Sn h®i tn yeu cúa các dãy là

đ nơ gián như sau:

M¾nh đe 2.1 Cho X là m®t không gian đ%nh chuan.

(i) Cho f , f , f , , X ∗ Khi đó f w∗ f khi và chí khi lim ( f (x)) = f

Trong tr òngư hop mô tá ó (i), ta nói rang f n h®i tn theo tùng điem

đen f trên X H n ơ nua nói chung, cho các ánh xa F, F n : X → Y và m®t

t¾p con G ⊂ X , ta nói rang F n → F theo tùng điem trên G neu F n (x) →

F (x) (h®i tn trong Y ) vói moi x ∈ G.

Chúng minh (i): Giá sú rang f n → f theo tùng điem trên X Neu O là m®t

t¾p mó trong tôpô yeu* chúa f , ton tai ε > 0 và x1, x2, , x m ∈ X sao cho

{g ∈ X ∗ : |(g − f )(x i )| < ε, i = 1, , m} ⊂ O

Vì f n (x i ) → f (x i ) vói moi i = 1, 2, , m, ton tai n0 sao cho

|( f n − f )(x i )| < ε vói n ≥ n0

Vì the, f n nam trong moi t¾p mó chúa f

M¾t khác, giá sú lim( f n ) = f trong tôpô yeu* và xét vói x X Cho

n

ε > 0, t¾p A = {g ∈ X ∗ : |(g − f )(x)| < ε} là mó yeu*, và như v¾y vói

n đú

lón ta có f n ∈ A, nghĩa là | f n (x) − f (x)| < ε.

(ii) Chúng minh tươ tn.ng

M¾nh đe 2.2 Neu m®t không gian đ%nh chuan X là huu han chieu, thì

tôpô yeu trong X trùng vói tôpô chuan trong X, và tôpô yeu* trong X ∗ trùng vói tôpô chuan trong X ∗

Chúng minh Ta chúng minh tính chat thú hai bang cách chí ra rang moi

t¾p mó trong X ∗ là mó yeu* Đe thay đ ocư đieu này, lay O ⊂ X ∗ là t¾p

mó Lay f0 ∈ O và ε > 0 đe sao cho f0 + εB X ∗ ⊂ O Cho {e1, e2, , e n }

Cho không gian vô han chieu X tôpô yeu* không trùng vói tôpô chuan

cúa X* Đe chúng minh tính chat thú hai này tr ócư tiên ta can bo đe sau

∈

Bo đe 2.1 Cho X là m®t không gian véc t , ơ và cho f , f1, f2, , f n là các

n

phiem hàm tuyen tính trên X

Neu tuyen tính cúa f1, , f n

T

i=1 f i −1 (0) ⊂ f −1 (0), thì f là m®t to

hop

Ta sú dnng tính chat d óiư đây tù đai so tuyen tính

Khang đ%nh: Cho E1, E2, E3 là các không gian véc t ,ơ và cho f : E1 →

E3 và g : E1 → E2 là các ánh xa tuyen tính Có m®t ánh xa tuyen tính h :

E2 → E3 mà f = h ◦ g khi và chí khi g −1 (0) ⊂ f −1(0)

Chúng minh Giá sú g −1 (0) ⊂ f −1 (0) Cách xác đ%nh h : g[E1 ] → E3

vói h(g(x)) = f (x) vói x ∈ E Đe kiem tra tính đong nhat, giá sú g(x1)

= g(x2) Khi đó(x1 − x2) ∈ g −1 (0) ⊂ f −1 (0), như v¾y f (x1) = f (x2)

Thác trien h đe đ oc ư m®t ánh xa tuyen tính trên E2, rõ ràng h(g) = f

Neu O ƒ= ∅ là mó yeu thì O không b% ch¾n.

Đ¾c bi¾t, tôpô yeu và tôpô chuan không trùng nhau

Chúng minh Ta có the giá sú rang 0 ∈ O Khi đó ton tai ε > 0,

f1, , f n ∈ X ∗ , sao cho {x; | f1(x)| < ε} ⊂ O Rõ ràng, t¾p

N = {x ∈ X : f i (x) = 0, i− 1, , n} = ∩ f −1(0)

i

đ ocư bao hàm trong O Ta khang đ%nh rang N ƒ= {0} Th¾t v¾y, giá sú

Vì the ta có the tìm 0 ƒ= x ∈ N Khi đó vói moi vô h óngư λ ta có λx

∈ N, do v¾y O bao gom m®t dãy qua x Vì v¾y O không the b% ch¾n

trong X

Đ%nh nghĩa 2.6 Cho X,Y là các không gian đ%nh chuan và F ⊂ B(X,Y ).

Ta nói rang F là b% ch¾n theo tùng điem neu sup {"T (x)" Y : T ∈ F} < ∞

vói moi x ∈ X.

Neu F b% ch¾n trong B(X,Y ) - nghĩa là, ton tai C > 0 sao cho "T " <

C vói moi T ∈ F – khi đó F là b% ch¾n theo tùng điem Th¾t v¾y, vói x

∈ X ta có "T (x)" Y ≤ "T " · "x" X ≤ C"x" X , như v¾y,

sup {"T (x)" Y : T ∈ F} ≤ C"x" X Đieu ng oc ư lai th òng ư đ oc ư goi là nguyên lí b% ch¾n đeu (Banach- Steinhaus).

x k → x ∈ X Cho tr óc ư T ∈ F, ta có "T (x k )" Y ≤ n, như v¾y "T (x)" Y ≤

n do tính liên tnc Đe thay rang N n là t¾p loi, lay x1, x2 ∈ N n và λ ∈

[0, 1] Khi đó, vói moi

ton tai n0 sao cho t¾p N n0 chúa m®t điem trong x0 Như v¾y, ton tai δ > 0

sao cho x0 + δ B X ⊂ N n0 Do tính đoi xúng cúa N n0 , ta có −x0 + δ B X ⊂ N n0

Neu b ∈ B X , theo tính loi cúa N n0 ta có b

(x0 + b) + 2 (−x0 + b) ∈ N n0

Do đó δ B X ⊂ N n0 Vì v¾y cho nên, cho tr ócư T ∈ F, vói moi x ∈ B X ta có

"T ( δ x)" y < n0; túc là, "T " ≤ δ n0 Đieu này có nghĩa sup "T " ≤ δ n0

∈ N} là b% ch¾n vói moi x ∈ X Theo Đ%nh lí Banach-Steinhaus, {T n } là b%

ch¾n trong B(X,Y ) Kí hi¾u C = liminf "T n " Khi đó

"T (x)" = lim "T n (x)" = liminf "T n (x)" ≤ liminf("x""T n ")

Đieu này chúng tó rang "T (x)" ≤ C "x"; nghĩa là, T là b% ch¾n và

"T " ≤ C.

∈

Đ%nh nghĩa 2.7 Cho X là m®t không gian Banach Ta nói rang t¾p M ⊂ X

là b% ch¾n yeu(w-) neu sup { | f (x)| : x ∈ M} < ∞ vói moi f ∈ X ∗ Ta nói rang t¾p M ⊂ X ∗ là b% ch¾n yeu* neu sup{| f (x)| : f ∈ M} < ∞

vói moi x ∈ X.

Đ%nh lý 2.2 (Banach - Steinhaus) Cho X là m®t không gian

Banach Neu M ⊂ X ∗ là b% ch¾n yeu* thì M là b% ch¾n Neu M ⊂ X là b

% ch¾n yeu thì M là b% ch¾n.

Chúng minh Neu M ⊂ X ∗ là b% ch¾n yeu*, thì M là b% ch¾n theo tùng điem trong B(X, K); do đó, theo Đ%nh lí 2.1, M là b% ch¾n trong B(X,

K ) = X ∗

Neu M ⊂ X là b% ch¾n yeu, thì π(M) là b% ch¾n theo tùng điem

trong B(X ∗ , K); do đó, theo Đ%nh lí 2.1 π(M) là b% ch¾n trong B(X ∗ ,

K ) = X ∗∗ Vì π là m®t phép đang cn, nên M là b% ch¾n trong X

Đ%nh lý 2.3 Cho X là m®t không gian Banach và F ∈ X ∗∗ Neu F là liên tnc

trong tôpô yeu*, thì ton tai x ∈ X sao cho F = π(x) (ho¾c ngan gon, F ∈ X).

L u ư ý rang theo đ%nh nghĩa cúa tôpô yeu*, moi π(x) ∈ X ∗∗ là liên tnc yeu*.

Chúng minh Neu F là liên tnc yeu* trên X ∗ , thì F là b% ch¾n bói m®t lân c¾n yeu* U nào đó cúa 0 trong X ∗ vói U

cúa π(x1), , π(x n ) V¾y F ∈ X

Sau đây ta se chúng minh thêm m®t so đ%nh lí tách Đe đ nơ gián, ta chí xét các không gian thnc

Đ%nh lý 2.4 Cho A, B là các t¾p con loi đóng ròi nhau cúa không gian

Ba- nach thnc X Neu A là compact yeu, thì ton tai f ∈ X ∗ sao cho

sup( f ) < inf ( f ).

Chúng minh Ton tai m®t lân c¾n yeu U cúa goc trong X sao cho

(U + A) ∩B = ∅ Th¾t v¾y, moi điem x ∈ A có the b% tách ra khói B bói f nào đó nhò Đ%nh lí 1.6, cho m®t lân c¾n mó yeu U x cúa 0sao cho

(x + U x ) ∩ B = ∅ Bói tính chat compact yeu, ta phú A bói huu han

các

t¾p mó, như v¾y thu đ ocư U

T¾p (A + U ) là mó vì là hop cúa các t¾p mó; do đó, (A + U ) −

B là m®t t¾p mó không chúa goc Sú dnng H¾ quá 1.1 cho t¾p này và

goc, ta tìm f ∈ X ∗ sao cho f (a + u − b) > 0 vói a ∈ A, b ∈ B và u ∈

U Vì v¾y f (a) > f (b) + sup( f ) vói a ∈ A, b ∈ B Vì U là lân

c¾n cúa 0, ta có

U

sup( f ) > 0 và sn phát bieu d ói ư đây

U

Đ%nh lý 2.5 Cho X là m®t không gian Banach thnc Neu A là t¾p loi

đóng yeu* trong X ∗ và f ∈ X ∗ \A,thì ton tai x ∈ X sao cho

f (x) > sup {g(x) : g ∈ A}

Chúng minh Vì A là đóng yeu*, ton tai m®t lân c¾n yeu* U cúa 0 sao cho

( f + U ) ∩ A = ∅ Ta có the giá sú rang U là m®t lân c¾n loi cúa 0 vói

U =

{y ∗ ∈ X ∗ : |y ∗ (x i )| < ε, i = 1, , n} vói nhung x1, x2, , x n ∈ X và ε

> 0

Theo tính đoi xúng cúa U , ta nh¾n đ oc ư f ∈/ A +U Vì A +U là

mó yeu*, nó là t¾p mó, cũng là t¾p loi, và vì v¾y theo H¾ quá 1.1 ton

tuyen tính trên X ∗ Lay y ∗ ∈ T x i −1 (0) Khi đó ty ∗ ∈ U vói moi t > 0

Moi t¾p loi đóng trong không gian Banach X là đóng yeu.

Bói v¾y, vói các t¾p loi, bao đóng theo chuan và các bao đóng yeu

f ∈ X ∗ sao cho f (x0) > sup { f (x) : x ∈ C} theo Đ%nh lí 1.6 Lay α ∈

R sao cho sup { f (x) : x ∈ C} < α < f (x0) Khi đó O = {x ∈ X : f (x)

> α} là t¾p mó yeu trong X Rõ ràng, x0 ∈ O và O ∩C = ∅ Đieu này

x n → x theo chuan (ví dn ei −w 0 trong C0 ho¾c A p , p > 1) Tuy nhiên, ta có

h¾ quá sau đây

H¾ quá 2.2 Cho X là m®t không gian Banach và x, x1, , x n ∈ X Neu

−→ x, thì ton tai to hop loi y k cúa {x n } sao cho y k → x.

Chúng minh Theo Đ%nh lí Tychonoff, không gian [−1, 1] B X cúa tat cá

các hàm thnc trên B X vói các giá tr% trong [−1, 1] là m®t không gian

tôpô com- pact trong tôpô theo điem (túc là tôpô sinh bói sn h®i tn cúa

dãy hàm) Xét t¾p B X ∗ |B X cúa tat cá các hàm f ∈ B X ∗ han che trên B X ,

t¾p này rõ ràng là t¾p con cúa [−1, 1] B X De dàng đe thay rang ánh xa

trên là m®t đong cau tù B(X ∗ , w∗ ) lên trên B X ∗ |B X trong tôpô theo

điem, vì the vói tính compact yeu* cúa B X ∗ chí can chúng minh rang B X ∗ |

B X là m®t t¾p con đóng theo tùng điem

→

x n

→

→