Số phức, hàm biến phức ứng dụng trong toán học phổ thông

Tôixincamđoan,dướisựhướngdẫncủaThS.PhùngĐứcThắng,khóaluậntốtnghiệ pđạih ọc“Sốphức,hàmbiếnphứcv à ứngdụngtrongtoánphổthông”đượchoànthành theonhận thứcvấnđềcủariêng tôi,khôngtrùngvớibấtk ì

MỤCLỤC

Lờinóiđầu……… ……….

…… Chương1.Mộtsốkiếnthứcchẩnbị……….………

…

1.Địnhnghĩasốphức……… …….6

2 Cácdạngbiểudiếnsốphức……… 6

2.1 Biểudiễnsốphứcdướidạngcặp…… ……… …6

2.2 Biểudiễnsốphứcdướidạngđạisố……… … 7

2.3 Dạnglượnggiácvàdạngmũcủasốphức……… …9

2.4 BiểudiễnsốphứctrênmặtcầuRiemann……… 10

Chương2.Phươngtrình hàmvớibiếnđổiphântuyếntính…… ….

1.Mộtsốtínhchấtcủahàmphântuyếntính………

… 142 Đẳngcấuphântuyếntính………

…16 3 Phươngtrìnhhàmsinhbởiphântuyếntính……… ….26

4 Sốphứcvàlờigiảiphươngtrìnhsaiphân……… 30

Chương3.ứngdụngsốphứctronglượnggiác…….………

1.Tínhtoánvàbiểudiễnmộtsốbiểuthức 35

2.Chứngminhcácthứclượnggiác …… ….…

… 40Kếtluận………

.… Tàiliệuthamkhảo…… ……….

……… …

Emxinchânthànhcảmơncá c thầy,c ô giáotrongkhoaToánTrườngĐạiHọcSưPhạmHàNội2đãdạydỗ,truyềnđạtkiếnthứcđểemcóthểhoànthànhkhóahọcvàthựchiệnkh

óaluậntốtnghiệpcủamình.Đặcbiệt,emxinbàytỏbiếtơ n sâusắctớiThS.PhùngĐứcT hắng,ngườiđãdịnhhướngđềtàivàtậntìnhchỉbảo,

giúpđỡemhoànthànhtốtkhóaluậnnày

Dothờigianvàkiếnthứccóhạnnênkhóaluậnkhôngtránhkhỏinhữnghạnc h ếvàcòncóthiếuxótnhấtđịnh.Emxinchânthànhcảmơnvàtiếpthunhữngýkiếnđónggópcủacácthầygiáo,côgiáovàcácbạnsinhviên

HàNội,

tháng5năm2012Sinhviên

NGUYỄNTHỊPHƯƠNG

Tôixincamđoan,dướisựhướngdẫncủaThS.PhùngĐứcThắng,khóaluậntốtnghiệ

pđạih ọc“Sốphức,hàmbiếnphứcv à ứngdụngtrongtoánphổthông”đượchoànthành

theonhận thứcvấnđềcủariêng tôi,khôngtrùngvớibấtk ì khóaluậnnàokhác

Trongquátrìnht h ựchiệnv à nghiênc ứukhóal u ận,tôiđãkếthừanhữngthànhtựucủacácnhàkhoahọcvớisựtrântrọngvàbiếtơn!

HàNội,

tháng5năm2012Sinhviên

NGUYỄNTHỊPHƯƠNG

xa2b2 0Cóthểxemlànghiệmhìnhthứccủaphươngtrìnhxa2b2

0

thứcdạng

Vềsaubiểu

ab 1,b0xuấthiệntrongquátrìnhgiảiphươngtrìnhbậchaiv àbậcbađượcgọil à đạilượng“ảo”v àsauđóđượcGaussgọil à s ố phứcvàthườngđượckíhiệulàabi,trongđókíhiệu

đượcL.Eulergọilàđơnvị“ảo”.Quyướ

c:

i21ThuậtngữsốphứcđượcdùngđầutiênbởiK.Gauss(năm1831).VàothếkỉXVII–

XVIIInhiềunhàtoánhọckháccũngđãnghiêncứucáctínhchấtcủađạilượngảo(sốphức)vàkhảosátứngdụngcủachúng

thuđượcbằngphépghépđạisốchonghiệmic ủ a phươngtrình

x2

10SốphứcxuấthiệnvàothếkỉXIXdonhucầupháttriểncủatoánhọcvềgiảinhữngphươngtrìnhđạisố.Từkhirađời,sốphứcđãthúcđẩytoánhọctiếnlênmạnhmẽvàgiảiquyếtđượcnhiềuvấnđềcủakhoahọcvàkĩthuật.Đốivớihọcsinhbậctrunghọcphổthôngthìsốphứclànộidungcònmớimẻ,vớithờilượngkhôngnhiều,họcsinhchỉnhữngkiếnthứcrấtcơbản

củasốphức,việckhaithácc á c ứngdụngcủasốphứccònhạnchế.Vìvậytôichọnđềtài:“s

ốphức,hàmbiếnphứcvàứngdụngtrongtoánphổthông”.

Chương1 MỘTSỐKIẾN THỨCCHUẨNBỊ

Chosốphức zabi.Sốphứ

cabi gọilàsốphứcliênhợpcủa z.Kíhiệuz.

sốphứcnếutrêntậphợpcáccặpđóquanhệbằngnhau,phépcộngvàphépnhânđƣợcđƣavàotheocácđịnhnghĩa(tiênđề)sauđây:

iii) Phép nhân trong tập số phức:

a;bc;dacbd;adbcvàcặpacbd;adbcđƣợcgọilàtíchcủacáccặpa;bvàc;d

iv) Sốthựctrongtậpsốphức:Cặpa;0đƣợcđồngnhấtvớisốthực a,nghĩalà

 Nhưvậytậphợpsốphứclậpthànhmộttrường.

2.2 Biểudiễnsốphứcdướidạngđạisố

Mọisốphứca;bđềubiểudiễndướidạng

a;ba;00;ba;0b;0

0;1abi,

trongđócặp0;1 đƣợckíhiệubởichữi.Từtiênđềiii)suyrằng

i20;10;10.01.1;0.11.01;01

Rezarcos ,Imzbrsin 

Biểu thức (1.4) đƣợc gọi là dạng lƣợng giác hay dạng cực củasố

phứcza

bi Argumen  Arg zl à hàmthựcđatrịcủabiếnphức zvà0đốivớizđãcho,cácgiátrịcủahàmsaikhácnhaumộtbộinguyêncủa2.H à m

Phépnângsốphức zabir

cosisin  lênlũythừabậcn đốivớisố

Từcôngthức(1.6)suyrằngcănbậcn c ủ a sốphứccóđúngn g i á trị.

 Giảsửzlàđiểmtùyý.Nối

điểmzvớicựcbắcPbằngđoạnthẳng,đoạnthẳngnàycắtmặtcầuStại

điểm A

z Vàngƣợclại,giảsửA S làđiểmtùyýcủamặtcầu.Khiđótia

PAs ẽ cắtmặtphẳngphứctạiđiểmz.Hiểnnhiênđólàmộtphéptươngứngđơntrịmột–

một

Định nghĩa1.3.Phéptươngứng

hiệulà)đ ư ợ c gọilàmặtphẳngphứcmởrộngvàk í hiệul à □.Nhƣ

vậy,

Phépchiếunổi: □ S\Pcóthểtháctriểnvào thành

*: S

Bằngcáchđặt

* ,zvà

 P0;0;1

Dođó,mộtcách tựnhiêntacóthể

chorằngztươngứngvới“cựcb ắ c ” P

củamặtcầuS vàmọiđiểmtrênmặtcầuS c ó thểxemnhư làmôtảđiểmtương

ứngcủamặtphẳng □.MặtcầuS đượcgọilàmặtcầusốphứcRiemann.

Chương2 Phươngtrình hàmvớibiếnđổiphântuyếntính

Trongchươngnàychúngtôiđikhảosátlớpcácphươngtrìnhhàm

vớiacgumenbiếnđổisinhbởihàmphântuyếntínhthựcdạng

f  x af xbtrongđó

Trongtrườnghợpkhi 

0 thìphươngtrình(2.2)cóhainghiệmphứcliênhợp

z  i    

1,2

tiếptheo,tachỉracáchđặtẩnphụđểđưaphươngtrìnhđạisốtổngquátsinhbởih à m phântuyếntính xdạng

Trongđótx .Rõràngphươngtrình(2.4)códạng(2.1).

Trườnghợpđặcbiệtkhi0thìphươngtrình(2.4)códạngđơngiản

azbĐólàmộthàmnguyên.

đó

c c

ântuyếntínhvớinhau D*được gọilànhữngmiềnđẳng

Địnhlý2.3.Tậphợpmọiđẳngcấuphântuyếntínhlậpthànhmộtnhóm

vớiphéptoánlậphàmhợp,nghĩalà

1) Hợp(tích)cácđẳngcấuphântuyếntínhlàđẳngcấuphântuyếntính.

2) Ánhxạngược củađẳngcấuphântuyếntínhlàđẳngcấuphântuyếntính.

Chứngminh

Khẳngđịnh2)làhiểnnhiên Tachứngminh1).Giảsử

Dođó

1

2R 22

Tiếptheotaxétbatrườnghợpsau

đólà nửamặtphẳng.

0 làđiểmtrongcủaD v àdođóD l àtậphợpmở.

2 ChứngminhD làtậphợpliênthông.VìB làtậpliênthôngnêntừđịnhlý2.1suyrarằngD l àtậphợpliênthông.

NhƣvậyD l àtậphợpmởliênthông,nghĩalàD l àmộtmiền

Đathứcbậchaiởvếtráichỉcóbanghiệmkhácnhauz1x2z3khimọihệsốcủa nó đều bằng 0, tức là

Vìcácđiểmcủatrụcthựccóảnhnằmtrênđườngtrònđơnvị,tứclà 

1khi

(i) Phươngtrình xxcóhainghiệmthựcphânbiệt.

(ii) Phươngtrình xxcó1nghiệmkép(thực)

(iii) Phươngtrình khôngcónghiệmthực

Tachuyểnbàitoántổngquát2 1 vềbàitoántổngquátsinhbởihàmbậcnhấtquenbiếtmàcáchgiảiđãbiết

Bàitoántổngquát2.2.Xácđịnhhàmsố fx thỏamãnđiềukiệnsau

Từkếtquảkhảosát củaphầntrước,tachỉcầnxétcácphươngtrìnhhàmsinhbởi

 xcódạng

 x m

xy ,m0

30cónghiệm(thực)kép x1.Sửdụngphépbiếnđổi

1,

1

t 2x t1Vậy (2.14)c ó dạng

f1 1



3f1

kiệnbanđầu.Khiđómọigiátrịcủa đềucóthểtínhđượcdựavàocôngthứctruyhồi vàcácđiềukiệnbanđầu.

a00;ak0làcáchằngsốthì(2.19)đượcgọilà

phươngtrìnhsaiphântuyếntínhvớicáchệsốhằngsố.Phươngtrình

a0y nka1y nk1

ak y n0

(2.20)

gọilàphươngtrìnhsaiphântuyếntínhthuầnnhấtứngvớiphươngtrình(2.19)

a0y nka1y nk1 

Chương3 Ứngdụngsốphức tronglượnggiác

10.

15 5 3 1 3 5sin5

32

32

1 25cos13 isin135  25cos4 isin45;

 3   1

i3 1 ,0

 3   1

i3 1 .2

Tính chất3.1.Đốivớimọiđathứclượnggiác

x 2m1x21

 x

 x1 x m1



Chuyểnquagiớihạnkhi x1, tađƣợc

 cosnxisinnx

1cosxisinxcosxisinx2

cosxisinxn1cosxi sinxn1 11cosxi

S ,s u y ra 4S a pa

Từđósuyra

KẾTLUẬN

Trênđâylàtoànbộkhóaluận“sốphức,hàmbiếnphứcvàứngdụngtrongtoánp h ổ thông”.Khóaluậnđãtrìnhbày

1 Mộtsốvấnđềcơbảnvềsốphứcvàcácdạngtrìnhbàycủasốphức

2 Mộtsốtínhchấtcủahàmphântuyếntính,đăngcấuphântuyếntính,phươngtrìnhhàmsinhbởiphântuyếntínhvàlờigiảiphươngtrìnhsaiphân

3 Mộtsốứngdụngcủasốphứctronglượnggiácnhưtínhtoánvàbiểudiễnsốphức,tổngvàtíchsinhbởicácđathứclượnggiác

1 NguyễnVănMậu–Chuyênđềchọnlọcsốphứcvàápdụng–NXBGD

2 NguyễnĐịnh,NguyễnHoàng–Hàmsố,biếnsốphức-NXBGD

3 NguyễnThủyThanh–Cởsởlýthuyếthàmbiếnphức–NXBĐHQGHàNội