Tài liệu Phương pháp giải bài toán về số phức

LỜI GIỚI THIỆU Số Phức là vấn đề lớn trong toán học hiện đại và được trình bày trong chương trình sách giáo khoa lớp 12.. Xuất phát từ tầm quan trọng của nội dung và đáp ứng cách thức t

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 LỜI GIỚI THIỆU

Số Phức là vấn đề lớn trong toán học hiện đại và được trình bày trong chương trình sách giáo khoa lớp 12 Tuy nhiên do thời lượng phân phối ít nên học sinh chỉ tiếp cận với nội dung căn bản mà chưa được mở rộng và khai thác một cách chuyên sâu, đặc biệt hơn nữa đây lại là phần chính trong các kỳ thi lớn của các em học sinh chuẩn bị thi để bước vào các trường đại học

Xuất phát từ tầm quan trọng của nội dung và đáp ứng cách thức thi trắc nghiệm được áp dụng trong kì thi THPTQG, để học sinh có thể dễ dàng và tự tin hơn khi gặp một số bài toán liên quan đến số phức

Đề tài cung cấp cho học sinh một tài liệu chuyên sâu, bổ ích và thiết thực Đề tài được viết dựa trên một tư tưởng hoàn toàn mới mẻ, khoa học phù hợp với sự thay đổi của Giáo dục

Trong bản sáng kiến kinh nghiệm này nội dung chính tác giả đi sâu vào các dạng toán về số phức cơ bản và nâng cao, đặc biệt là cách sử dụng MTCT để giải quyết các bài toán trắc nghiệm, khai thác cách giải quyết vận dụng trong dạng toán liên quan đến số phức Nội dung được trình bày có tính sư phạm sáng tạo, tận dụng đầy đủ các thế mạnh của phương pháp giải toán, các bài tập được sắp xếp theo mức

độ tăng dần Hy vọng sẽ phù hợp các em học sinh phổ thông

4 CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN

Nguyễn Thị Hồng Phương – Phó Hiệu trưởng trường THPT Trần Phú - Thành phố Vĩnh Yên - Tỉnh Vĩnh Phúc

5 LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

tai lieu, document1 of 66.

6 NGÀY BẮT ĐẦU ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

Tháng 3 năm 2018 áp dụng cho lớp 12 niên khóa 2015 – 2018 trường THPT Trần Phú

7 MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN

Nội dung đề tài: Đề tài gồm hai chương CHƯƠNGI: CƠ SỞ LÝ LUẬN- CÁC DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC

Trong chương này

Tác giả trình bày lý thuyết cơ bản về số phức Với cách phát biểu các tính chất để giúp giáo viên và học sinh có tư duy và hướng suy nghĩ để làm các bài tập vận dụng được vào các bài toán;

Các ví dụ điển hình và phương pháp giải:

Dạng 1: Các phép toán trên trường số phức Dạng 2: Giải phương trình bậc hai trên tập số phức Dạng 3 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z Dạng 4.( Chương trình nâng cao) Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng

CHƯƠNG II: PHÂN TÍCH CÁC SAI LẦM TRONG GIẢI TOÁN VỀ SỐ PHỨC

Trong chương này

- Tác giả trình bày các sai lầm học sinh thường mắc phải và hướng khắc phục

- Các dạng bài toán trắc nghiệm khách quan có đáp án và các dạng bài tập tự luận có hướng dẫn

Thông qua các bài tập được xây dựng và chọn lọc từ các đề thi thử THPTQG, với các hướng dẫn và cách trình bày chi tiết sẽ giúp giáo viên và học sinh có hướng tiếp cận với các dạng toán này trong các đề thi, có thể có những hướng giải tốt và giải được các bài toán loại này

tai lieu, document2 of 66.

luan van, khoa luan 2 of 66.

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN- CÁC DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC

a gọi là phần thực của z, kí hiệu a Rez

b gọi là phần ảo của z, kí hiệu bimz Tập hợp các số phức kí hiệu là C

2 Các phép toán trên số phức:

+) Cho z1  a1 b i z1, 2 a2b i2 +) z1 z2 a1 a2  b1 b i2

a b gọi là môđun của z Kí hiệu 2 2

2 Dạng lượng giác của số phức

tai lieu, document3 of 66.

(*) Gọi là dạng lượng giác của số phức z, gọi là một acgumen của z

Nhận xét: Nếu là một acgumen của z thì k2 cũng một acgumen của z + Nhân và chia số phức dạng lượng giác

III Các dạng bài tập và ví dụ điển hình

1 Dạng 1: Các phép toán trên trường số phức

Ví dụ 2 Cho z1  3 i z, 2   2 i Tính z1z z1 2

tai lieu, document4 of 66.

luan van, khoa luan 4 of 66.

Ví dụ 3 (Bài 4.3 BT giải tích 12 nâng cao) tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau:

z a bi a b ¡ Rồi xây dựng hệ 2 ẩn a,b và giải Lúc này máy tính chỉ hỗ trợ các

Vậy phần ảo của z bằng -10

tai lieu, document5 of 66.

tai lieu, document6 of 66.

luan van, khoa luan 6 of 66.

Chú ý: Cách tìm căn bậc hai của số phức (Dành cho chương trình SGK nâng cao 12)

Ví dụ 9: (ví dụ SGK giải tích 12 cơ bản trang 140) Giải phương trình sau trên tập

Hướng dẫn HS: Làm bằng máy tính cầm tay( 570 ES plus II)

+ Mode 5 1 ( Chọn chức năng giải phương trình bậc hai )

Hướng dẫn HS: Làm bằng máy tính cầm tay( 570 ES plus II)

+ Mode 5 1 ( Chọn chức năng giải phương trình bậc hai ) + Nhập a=1, b=4,c=7 kết quả: z1    2 3 ,i z2    2 3i

+ Tìm w

Mode 2 Nhập biểu thức:w    2( 2 3 ) ( 2i    3 )i  kết quả: w   6 3i

Ví dụ 11 (Chương trình nâng cao) Tìm các căn bậc hai của số phức z  5 12i

Lời giải: Giả sử a+bi (a; bR) là căn bậc hai của z

 Vậy z có hai căn bậc hai là 3+2i và -3-2i

Ví dụ 12: (Chương trình nâng cao) Tìm các căn bậc hai của số phức

 Vậy z có hai căn bậc hai là 4 6 5 , i  4 6 5i

Ví dụ 13 (chương trình nâng cao) Giải phương trình: 2

tai lieu, document8 of 66.

luan van, khoa luan 8 of 66.

3 2

Vậy (1) có 3 nghiệm là –i, -3, -1+i

Ví dụ 15 Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình:

3 Dạng 3 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z

Cách giải: Giả sử z =a b+ i; thay vào giả thiết, tìm được một hệ thức nào đó đối với

a và b Từ đó suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z

Ví dụ 16 ( Bài 16b sgk giải tích 12 cơ bản trang 148) Tìm tập hợp các điểm biểu

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là hình tròn tâm tại (0;1), bán kính 1

Ví dụ 17 Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho u z 2 3i

tai lieu, document9 of 66.

phức z là đường tròn tâm I( 1; 1)   , bán kính là bằng 5, khuyết 2 điểm (0;1) và 3)

(-2;-Ví dụ 18 Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z, biết z thỏa mãn: 2 3 1(*)

3x-y-4 Dạng 3x-y-4.( Chương trình nâng cao) Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng

Ví dụ 19 Viết số phức sau dạng lương giác: z 3 i

Lời giải: 2 3 2 os sin 2 os sin

tai lieu, document10 of 66.

luan van, khoa luan 10 of 66.

CHƯƠNG II: CÁC SAI LẦM THƯỜNG GẶP VÀ HƯỚNG KHẮC PHỤC

I Những sai lầm thường gặp và hướng khắc phục

1 Học sinh không học các kiến thức cơ bản mà chỉ phụ thuộc vào máy tính cầm tay Nên các bài toán số phức có lũy thừa lơn hơn bậc 3 hoặc các phép toán khai căn bậc 2 máy tính không làm được vì vậy dẫn đến việc lúng túng trong định hướng giải

Ví dụ1: Cho phương trình trên trường số phức: 2

z  z 

Gọi z 1 , z 2 là hai nghiệm của phương trình tìm: w=2z 1 + ( z 2 )12

Lời giải Hướng dẫn HS: Làm bằng máy tính cầm tay( 570 ES plus II)

+ Mode 5 1 ( Chọn chức năng giải phương trình bậc hai ) + Nhập a=1, b=4,c=7 kết quả: z1    2 3 ,i z2    2 3i

+ Tìm w Mode 2

Vậy x=-5-2i, x=5-2i

Khắc phục: Lời giải trên tưởng đúng nhưng là sai do học sinh nhầm kí hiệu

Phân tích Ví dụ 17.( Bài 16b sgk giải tích 12 cơ bản trang 148)

Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn bất đẳng thức z i 1

Lời giải: Giả sử z a ib a b( , R), khi đó 2  2

tai lieu, document12 of 66.

luan van, khoa luan 12 of 66.

Câu 9 Cho hai số phức z1 3 i z, 2  2 i Giá trị của biểu thức z1z z1 2 là:

z 2

z 2

z 2

Câu 28 Tìm hai số phức biết rằng tổng của chúng bằng 4 - i và tích của chúng bằng

5(1 - i) Đáp số của bài toán là:

tai lieu, document14 of 66.

luan van, khoa luan 14 of 66.

Câu 36 Cho số phức z thỏa z   1 i 2 Chọn phát biểu đúng:

A Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng

B Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường Parabol

C Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có bán kính bằng 2

D Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có bán kính bằng 4

Câu 37 Cho số phức z thỏa 2   z 1 i Chọn phát biểu đúng:

A Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng

B Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường Parabol

C Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn

D Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường Elip

Câu 38 Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện

C Một đoạn thẳng D Một hình vuông

Câu 40 Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z2

là số thuần thực là

A Trục hoành (trừ gốc tọa độ O) B trục tung (trừ gốc tọa độ O)

C Đường thẳn y = x (trừ gốc tọa độ O) D Đường thẳn y = -x (trừ gốc tọa độ O)







i z

z

z  z   z (1)

Bài tập tự luận dạng 3

Bài 12 Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn:

tai lieu, document16 of 66.

luan van, khoa luan 16 of 66.

Bài 14 Tìm acgumen của z 2 32i

Bài 15.Biết z  1 i 3 Tìm dạng đại số của 2012

z

Bài 16 Cho z1 1 i; z2 2 32i Tìm dạng đại số của z20.z15

Bài 17.Tìm acgumen của 2 sin os

Bài 19 Viết số phức sau có dạng lượng giác: z = 2-2i

III Hướng dẫn giải

1 Bài tập trắc nghiệm

11-C 12-A 13-B 14-D 15-C 16-A 17-B 18-C 19-B 20-A

21-D 22-C 23-A 24-D 25-A 26-B 27-C 28-C 29-A 30-D

31-A 32-A 33-A 34-D 35-A 36-D 37-A 38-B 39-B 40-B

2 Bài tập tự luận Bài 1 Thức hiện phép tính:

Thay vào giả thiết ta giải được a=-2; b=5

tai lieu, document17 of 66.

tai lieu, document18 of 66.

luan van, khoa luan 18 of 66.

Không mất tính tổng quát ta gọi 4 nghiệm của (1) là

1 2 3 4

1 2 1 1

z z

z

z  z   z (1)

Lời giải:

Nhận xét z = 0 không là nghiệm của phương trình (1) vậy z 0

Chia hai vế PT (1) cho z2 ta được : ( 0

2

1 )

1 ( )

z

 Khi đó

2 1

2 2

z z

z

z Phương trình (2) có dạng : 2 5

0 2

2

9 9 2

5 4

3 1

9 6 8 16 ) 3 1 (  i    i  ii  i

tai lieu, document20 of 66.

luan van, khoa luan 20 of 66.

- Về khả năng áp dụng của sáng kiến:

Đề tài này đã được áp dụng cho niên khóa 2015-2018 trường THPT Trần Phú đang tiếp tục được áp dụng cho lớp 12 trường THPT Trần Phú trong chương trình ôn thi THPT

8 NHỮNG THÔNG TIN CẦN BẢO MẬT

Tài liệu này có thể giúp học sinh và giáo viên làm tài liệu tham khảo có thể sử dụng rộng rãi trong luyện thi THPT Quốc gia

9 CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

Sáng kiến có thể áp dụng rộng rãi đối với tất cả các đối tượng học sinh ôn thi THPT Quốc gia

10 ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

Tài liệu này dùng để dạy chuyên đề phần số phức cho giáo viên dạy lớp 12 ôn thi THPT quốc gia

DANH SÁCH GIÁO VIÊN ÁP DỤNG TRONG DẠY HỌC PHẦN SỐ PHỨC

STT HỌ TÊN CHỮ KÝ

1 Đỗ Thị Thanh Huyền

2 Nguyễn Thị Mai Phương

3 Nguyễn Thị Thu Hồi

4 Trương Minh Hùng

5 Phan Trọng Vĩ

6 Trần Hùng Quân

7 Trần Thị Minh Thảo

8 Quách Thị Phương Thúy

9 Nguyễn Thị Thu Hương

10 Chu Thị Thúy Liễu

11 Nguyễn Thị Thanh

12 Nguyễn Thị Kim Dung

13 Dương Công Huân

Vĩnh Yên, ngày 28 tháng 02 năm 2020

tai lieu, document22 of 66.

luan van, khoa luan 22 of 66.