Tài liệu Giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

Sơ lược đặc điểm tình hình đơn vị - Tình hình đơn vị: Trường đóng trên địa bàn nông thôn của huyện Phú Tân tỉnh An Giang, cơ sở vật chất phục vụ giảng dạy còn hạn chế, đa số các gia đì

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO AN GIANG TRƯỜNG THCS&THPT PHÚ TÂN

Họ và tên: Lê Thiện Mỹ

Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: THCS&THPT Phú Tân Chuyên ngành: Sư phạm Toán

2018 - 2019

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO AN GIANG TRƯỜNG THCS&THPT PHÚ TÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “ GIẢI BÀI

TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC BẰNG PHUONG PHÁP HÌNH HỌC”

Họ và tên: Lê Thiện Mỹ

Chức vụ: giáo viên Chuyên ngành: Toán Đơn vị: THCS&THPT Phú Tân

II.2.1 Một số kí hiệu chuyển từ số phức sang hệ tọa độ Oxy 9

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

THCS&THPT Trung học cơ sở và Trung học phổ thông

TN THPT Tốt nghiệp Trung học phổ thông

BÁO CÁO KẾT QUẢ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

A PHẦN MỞ ĐẦU

I Sơ lược lý lịch tác giả

- Họ và tên: LÊ THIỆN MỸ

- Ngày tháng năm sinh: 1985

- Đơn vị công tác: THCS&THPT Phú Tân

- Chức vụ hiện nay: giáo viên bộ môn

- Trình độ chuyên môn: đại học sư phạm Toán

- Lĩnh vực công tác: giáo dục

II Sơ lược đặc điểm tình hình đơn vị

- Tình hình đơn vị: Trường đóng trên địa bàn nông thôn của huyện Phú Tân tỉnh An Giang,

cơ sở vật chất phục vụ giảng dạy còn hạn chế, đa số các gia đình đi làm ăn xa ít quan tâm đến việc học của học sinh, một bộ phận học sinh có hoàn cảnh khó khăn ảnh hưởng đến việc học tập

- Thuận lợi: Được sự quan tâm chỉ đạo của BGH nhà trường, sự giúp đỡ, chia sẻ kinh nghiệm

của đồng nghiệp trong công tác giảng dạy, đa số học sinh yêu thích học toán

- Khó khăn: Học sinh thuộc địa bàn nông thôn kinh tế còn khó khăn nên việc quan tâm đầu

tư cho học sinh của gia đình còn hạn chế Hơn nữa trình độ tuyển sinh đầu vào của trường khá thấp nên rất khó khăn cho việc giảng dạy nâng cao để học sinh đỗ vào các trường Đại học tốp đầu của cả nước

- Tên đề tài: “Giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học”

- Lĩnh vực: “Phương pháp dạy học toán”

III Mục đích yêu cầu của đề tài

III.1 Thực trạng ban đầu trước khi áp dụng sáng kiến

Trong các lĩnh vực của Toán học thì số phức ra đời khá muộn kể từ thế kỉ XVI sau khi các nhà toán học nghiên cứu về phương trình đại số Tuy sinh sau nhưng số phức có nhiều đóng góp cho các ngành toán học như: đại số, lượng giác, hình học

Ở trường phổ thông thì học sinh chỉ được tiếp xúc số phức ở cuối chương trình giải tích lớp 12 Số phức là một nội dung khá mới mẻ, thời lượng không nhiều, học sinh chỉ biết được các kiến thức cơ bản của số phức, hơn nữa bài toán cực trị số phức là bài toán tương đối khó đặc biệt với hình thức thi trắc nghiệm học sinh không có nhiều thời gian để tư duy tìm lời giải Từ đó dẫn đến việc ôn tập TN THPT Quốc gia gặp khó khăn

III.2 Sự cần thiết áp dụng sáng kiến

Để làm tốt bài toán trên trong kì thi TN THPT Quốc gia học sinh phải tìm ra cách giải

nhanh chóng, chính xác trong khoảng thời gian ngắn Vì vậy sáng kiến “giải bài toán cực trị

số phức bằng phương pháp hình học” đưa ra cách giải ngắn gọn trực quan học sinh chỉ cần

vẽ hình áp dụng các tính chất cơ bản của hình học sẽ có ngay đáp số Sáng kiến này đáp ứng được yêu cầu chính xác nhanh chóng không đòi hỏi tư duy quá nhiều trong việc giải bài thi trắc nghiệm

III.3 Nội dung sáng kiến

III.3.1 Tiến trình thực hiện

 Nghiên cứu tài liệu có liên quan đến số phức, các nội dung thi TN THPT Quốc gia môn Toán có liên quan đến cực trị số phức

 Hướng dẫn học sinh áp dụng sáng kiến giải các bài tập trắc nghiệm cực trị số phức

 Tiến hành kiểm tra đánh giá mức độ tiếp thu của học sinh

 Điều chỉnh sáng kiến, phương pháp giảng dạy

III.3.2 Thời gian thực hiện

Sáng kiến kinh nghiệm được áp dụng trong học kì 2 năm học 2017 – 2018 tại trường THCS&THPT Phú Tân

III.3.3 Biện pháp tổ chức

 Nghiên cứu lý thuyết hoàn chỉnh sáng kiến

 Áp dụng giảng dạy thực tế trên lớp

 Đưa ra phương pháp để học sinh áp dụng giải bài tập

 Sửa bài làm của học sinh đối chiếu với các phương pháp giải khác

 Tìm ra ưu điểm và khuyết điểm của phương pháp

 Điều chỉnh sáng kiến, phương pháp giảng dạy

 Kiểm tra mức độ tiếp thu của học sinh

B PHẦN NỘI DUNG Chương I CƠ SỞ LÝ THUYẾT I.1 CÁC KHÁI NIỆM

I.1.1 Định nghĩa số phức

Mỗi biểu thức dạng a bi, trong đó a b, ,i2 1 được gọi là một số phức

Đối với số phức z a bi, ta nói alà phần thực, blà phần ảo của z

Tập hợp các số phức kí hiệu là

Chú ý:

 Mỗi số thực ađược coi là một số phức với phần ảo bằng 0: a a 0i

 Như vậy ta có

 Số phức bi với b được gọi là số thuần ảo ( hoặc số ảo)

 Số 0 được gọi là số vừa thực vừa ảo; số i được gọi là đơn vị ảo

I.1.2 Số phức bằng nhau

Hai số phức là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo tương ứng của chúng bằng nhau:

 Số phức đối của z kí hiệu là z và z a bi

 Số phức liên hợp của z kí hiệu là z và z a bi

I.1.4 Biểu diễn hình học của số phức

Điểm M a b( ; )trong một hệ trục tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm

biểu diễn số phức z a bi 

I.1.5 Môđun của số phức

Giả sử số phức z a bi được biểu diễn bởi M a b( ; ) trên mặt phẳng tọa độ Độ dài của vectơ OM được gọi là môđun của số phức z và kí hiệu là | |z

Vậy: | | |z OM | hay | |z a2 b2

Nhận xét: | | |z z| | |z

I.2 CÁC PHÉP TOÁN

I.2.1 Phép cộng và phép trừ

Phép cộng và phép trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng, trừ hai đa thức

I.2.2 Phép nhân

Phép nhân hai số phức được thực hiện theo quy tắc nhân đa thức rồi thay i2 1 trong kết quả nhận được

I.2.3 Phép chia hai số phức

 Tính chất 8: |z1 z2 | |z1 | |z2 | dấu “=” xảy ra z1 kz2 với k 0

 Tính chất 9: |z1 z2 | |z1 | |z2| dấu “=” xảy ra z1 kz2 với k 0

CHƯƠNG II GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP

HÌNH HỌC II.1 Một số phương pháp giải bài toán cực trị số phức

Có nhiều phương pháp để giải bài toán cực trị số phức ở đây tôi xin trình bày một số phương pháp quen thuộc như: phương pháp khảo sát hàm số, phương pháp lượng giác, phương pháp sử dụng bất đẳng thức Sau đây chúng ta xét một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1 (Phương pháp sử dụng bất đẳng thức) Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 4 Gọi ,

M m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z 2 i Tính S M2 m2

A Smin  5 B Smin  3 2 C Smin 3 2 D Smin 3 5

Lời giải Gọi z x yi x y, Ta có:

z 2 4i z 2i x 2 2 y 4 2 x2 y 2 2 y 4 x

S z 2i x2 y 2 2 x2 6 x 2 2x2 12x 36

 Nhận xét: các phương pháp trên giải quyết bài toán cực trị số phức khá hiệu quả

Tuy nhiên nó đòi hỏi người học phải có vốn kiến thức rộng và sự tư duy nhạy bén, việc phát hiện ra lời giải trong vòng khoảng 8 phút là tương đối khó khăn Vì vậy để giúp học sinh phát hiện nhanh cách giải và đáp số trong bài toán trắc nghiệm tôi xin đề cập đến phương pháp hình học được trình bày ở phần II.2 dưới đây, học sinh chỉ cần áp dụng các tính chất hình học quen thuộc và vẽ hình trên giấy kẻ ô sẽ dự đoán ngay được đáp số trong

bài toán trắc nghiệm

Các bước áp dụng phương pháp hình học trong bài toán cực trị số phức

 Đặt M M z từ điều kiện của bài toán ta tìm tập hợp biểu diễn các số phức z thông thường các tập hợp đó là: đường thẳng, đường tròn, elip

 Từ biểu thức P chứa mô-đun số phức cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ta biểu thị sang các yếu tố hình học tương ứng thông thường P là tổng độ dài các đoạn thẳng, tổng bình phương độ dài các đoạn thẳng, khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

Từ đó ta chuyển một bài toán số phức sang bài toán hình học

 Vẽ hình biểu diễn tập hợp các số phức z, biểu diễn biểu thức P trên hệ trục tọa độ

Oxy áp dụng các tính chất hình học cơ bản như: AB BC AC A B C, , , tính chất đường trung tuyến, tính chất tam giác vuông suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P

II.2.2 Các bài toán thường gặp

Bài toán 1 Cho số phức z0 và tập hợp các số phức z thỏa điều kiện z z1 z z2

Từ đó ta có cách giải như sau:

Đặt z x yi x y, điều kiện z z1 z z2 ta viết phương trình đường thẳng

Lời giải

Đặt z x yi x y, M M z M x y;

Ta có: z 1 2i z 3 4i x 12 y 2 2 x 3 2 y 4 2 2x 3y 5 0

Vậy tập hợp các số phức z là đường thẳng : x2 3y 5 0

Nhận xét: vẽ hình trên giấy kẻ ô dự đoán

S

Lời giải

Đặt z x yi x y, M M z M x y;

Vậy tập hợp các số phức z là đường thẳng : x 4y 6 0

Bài toán 2 Cho số phức z thỏa z z0 R 0 với z0 a bi a b, cho trước

a Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của z z1 với z1 cho trước

b Tìm số phức z để z z1 đạt giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất

Nhận xét

 Với M M z I, I z0 ,A A z1 z z0 IM z, z1 AM

 z z0 R IM R suy ra M thuộc đường tròn C tâm I bán kính R

Ví dụ 7 Cho số phức z thỏa mãn z 3 2i 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của S z 1 i.

A Smin 5 B Smin 7 C Smin 3 D Smin 2

H(1.4;-0.8) A(-1;1)

Nhận xét: vẽ hình trên giấy kẻ ô dự đoán: 4 2 1 3 2 7

Bài toán 3 Cho số phức z thỏa z z1 z z2 k k 0

a Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của z

M M làm tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng k 2a, z OM

 Do chương trình lớp 10 chỉ học elip có 2 tiêu điểm F1 c;0 ,F c2 ;0 nên thường giả thiết là z c z c k c 0,k 0 M E nhận F1 c;0 ,F c2 ;0 làm tiêu điểm

Bài toán 4 Cho số phức z thỏa z z1 z z2 với z z1; 2 là các số phức cho trước

a Tìm giá trị nhỏ nhất của S z z3 z z4 với z z3; 4 là các số phức cho trước

b Tìm số phức z để S z z3 z z4 đạt giá trị nhỏ nhất

Nhận xét

 Với M M z M, 1 M z1 1 ,M2 M z2 2 điều kiện z z1 z z2 suy ra M

là đường trung trực của M M1 2

 Với A A z3 ,B B z4 z z3 AM z, z4 BM

 Khi đó bài toán trở thành

Cho đường thẳng và hai điểm A B, cố định Tìm M để S AM BMđạt giá trị nhỏ nhất Tính Smin

Trường hợp 1: nếu A B, khác phía so với khi đó M :AM BM AB suy ra

min min

S AM BM AB khi đó A B M, , thẳng hàng hay M AB

Trường hợp 2: nếu A B, nằm cùng phía so với gọi A là điểm đối xứng của A qua

 Điều kiện z z1 z z2 viết phương đường thẳng

 Thay A A z3 ,B B z4 vào xét xem A B, cùng phía hay khác phía so với

 Nếu A B, cùng phía so với :

M

o Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với Khi đó d I thì I là trung điểm AA , từ tọa độ A I, ta tìm được tọa độ A

Kiểm tra dự đoán: ThayA vào 2 2 8 1 11 0. , thayB vào 2 3 8. . 2 11 0suy ra A B, cùng phía so với Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với suy ra

Nhận xét: vẽ hình trên giấy kẻ ô ta thấy A B, khác phía với dự đoán

 Với M M z M, 1 M z1 1 ,M2 M z2 2 điều kiện z z1 z z2 suy ra M

là đường trung trực của M M1 2

Với A A z3 ,B B z4 , gọi I là trung điểm AB Khi đó

của I trên Vậy

2 2

Nhận xét: Bằng cách thể hiện trên giấy kẻ ô ta dự đoán

Nhận xét: Vẽ hình trên giấy kẻ ô ta có thể dự đoán được 1 2 3 2

2 max

 Giải hệ C và AB vô nghiệm

 Tìm tọa độ trung điểm H của AB



2 2

2

2 min

AB

S IH R ;

2 2

2

2 max

AB

S IH R

 Tìm z ta viết phương trình đường thẳng IH Giải hệ phương trình gồm phương trình

IH và C suy ra nghiệm hệ x y; thử lại chọn M phù hợp yêu cầu bài toán

Ví dụ áp dụng

Ví dụ 15 Cho số phức z thỏa z 5 Đặt S z 8 6i2 z 4 10i2 tính P Smin S max

A P 532 B P 20 C P 564 D P 282.

Lời giải

5 ,

gọi H là trung điểm AB suy ra H 6 8;

Nhận xét: vẽ hình trên giấy kẻ ô dự đoán Smin M M1 3 4; ,Smax M M2 3; 4

gọi H là trung điểm AB suy ra H 1 7;

Nhận xét: vẽ hình trên giấy kẻ ô dự đoán Smin M M1 3 4; P a b 1

Kiểm tra dự đoán: đường thẳng IH:3x 2y 17 0

Ví dụ 17: (Câu 46 – Đề minh họa THPT Quốc Gia 2018)

Nhận xét: bài toán trên chỉ cần vẽ hình trên giấy kẻ ô ta sẽ đoán ngay được đáp số

Đường thẳng d qua I và vuông góc với AB d x: 2y 2 0

Ví dụ 18: Xét số phức z thỏa mãn z 2 2i 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Nhận xét: vẽ hình trên giấy kẻ ô ta thấy AB C Pmin AB 17

Kiểm tra: MA MB AB 17 Đẳng thức xảy ra khi M AB C với

Tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và đường tròn C là nghiệm của hệ với 1 y 5

I

B O

A

1

Bài toán 7 Cho hai số phức z z1; 2 thỏa z1 z0 R R 0 ;z2 z3 z2 z4

với z z z0, ,3 4 là các số phức cho trước Tìm giá trị nhỏ nhất của S z1 z2

Tìm giá trị nhỏ nhất của MN với M C N,

Trường hợp 1 C dựa vào hình vẽ ta thấy:

 Với M M z1 ,I I z0 điều kiện z z0 R R 0

suy ra M thuộc đường tròn

B O

A

N

Câu 2 Tìm giá trị nhỏ nhất củaz , biết rằng số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 i 1

A.Smax 2 5 B. Smax 3 2 C. Smax 5 2 D. Smax 6

Câu 5 Xét các số phức z a bi a b, thỏa mãn z 5 3i z 1 5i Tính a b khi

III Hiệu quả đạt được

Sau khi áp dụng phương pháp hình học vào giảng dạy các bài toán cực trị số phức lớp 12C5 đa số các học sinh khá giỏi đều tiếp thu và áp dụng tốt Tuy nhiên các học sinh trung bình áp dụng tương đối khó khăn Cụ thể kết quả như sau:

Bài toán khảo sát

Câu 1 Cho số phức z thỏa z 3i   z 2 i số phức z có mô đun bé nhất là:

I

B O

A

M' M

SII{N !i;i bni tu61 .! ni si thtc biq furdq phnp hi,h noc

Khuydidiam

D6ildi hoc sinh lrnns binh.hua nim vihs cic (inh chit hi.n hoc phans nen lp dung

o'op "0i'htr l ;T r il ts d rc o l o nI d oM-",, ortr d.o' r

" d q l\i

lim bri dri rdn giiy kh6ng c6 6 hec siirl sd sip kh6 khan khi dr.r dorn k6r qud

\i \'y0a lin .or o.l tl u 1 -i.'' ning.o d 10 I \ -e| e I i u o \r' I a \:

r 1! ror uo,orcnott "\*dadiJ' JddxP;.

Trcnr c6ne rec 6n L!! thi I.IIIT Qu6c Gia ddi h6i gieo vien drlhg 16? phii c6 nhihe

ptudg lbrp gini toan hid! qnd nha.h chdnC da huoB din hoc sinh linr ti,t biLi lhi than chioo.o'h; -1 o dC g.h clor drc drr dr no ach no,nh.no C ct._t \ O da\ sJns ki6n da dm E phrp Cini quy6r bdi loin cuc tri s6 phnc m6t crdh k]1n 6t dep riDs tiau chi

nhanh ch6ng, chinhxnc, ir lu dnt.lloc sinnchicin vE hnfi vd ip duns cac tinh.hit.d bdn

cna hinn hoc phi.g da doin ii6! 6n bii totn.

S6ng tjdn c6 lG dnqc ep dung dng di tons viqc d0, Iac torn d cec tuong rmT.

SAng kidn E tii Iicu lnam khio cho giio liCn day an UF thi THP] Qu60 Cia vA noc

I r ciri doen nu' dug ba! rlo lddunest l;Lt.

X,ic nhin cin rtotu r!,ip dto'gsdhg kii

lrl

@>

Tài liệu tham khảo

[1] Bộ Giáo Dục và Đào Tạo - “Giải Tích 12 Nâng Cao”, NXBGD - 2012

[2] Đoàn Quỳnh - “Ứng dụng số phức trong hình học phẳng”, NXBGD - 2008

[3] Nguyễn Văn Mậu - Trần Nam Dũng - Nguyễn Đăng Phất - Nguyễn Thủy Thanh -

“ Chuyên đề chọn lọc - Số Phức và Áp Dụng”, NXBGD - 2009

[4] Bộ Giáo dục và Đào tạo – “Tạp chí Toán học và tuổi trẻ”, NXBGD

[5] Tài liệu internet