Phép nghịch đảo và bài toán quỹ tích

Khóa luận tốt Trường đại học sư phạm hà nội 2 Khoa toán ********** đinh thị quỳnh liên phép nghịch đảo và bài toán quỹ tích Khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Hình học Hà nội – 2

Khóa luận tốt

Trường đại học sư phạm hà nội 2

Khoa toán

**********

đinh thị quỳnh liên

phép nghịch đảo và bài toán quỹ tích

Khóa luận tốt nghiệp đại học

Chuyên ngành: Hình học

Hà nội – 2009

Trường đại học sư phạm hà nội 2

Khoa toán

**********

đinh thị quỳnh liên

phép nghịch đảo

và bài toán quỹ tích

Khóa luận tốt nghiệp đại học

Chuyên ngành: Hình học

người hướng dẫn khoa học

GV đinh văn thủy

Hà nội – 2009

Lời cảm ơn

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khoá luận này, em đã nhận được

sự quan tâm, giúp đỡ về vật chất, tinh thần của các thầy giáo, cô giáo trong tổ Hìnhhọc nói riêng và trong khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 nói chung cùngvới sự hỗ trợ và giúp đỡ của các bạn sinh viên

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy giáo Đinh Văn Thuỷ, người

đã tận tình hướng dẫn em trong suốt thời gian qua để em hoàn thành được khóa luậnnày

Do trình độ và thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên những vấn đề mà emtrình bày trong khoá luận sẽ không tránh khỏi những thiếu xót Em kính mong nhậnđược sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo, các bạn sinh viên đểkhoá luận của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Sinh viên

Đinh Thị Quỳnh Liên

Lời cam đoan

Em xin cam đoan các vấn đề em trình bày trong khoá luận này là kết quả

nghiên cứu của riêng em dưới sự hướng dẫn trực tiếp của thầy Đinh Văn Thuỷ,

không trùng với tác giả khác

Nếu sai em hoàn toàn chịu trách nhiệm

Sinh viên

Đinh Thị Quỳnh Liên

Mục lục

Ph

ầ n 1:M ở đầ u 6

1.Lý do ch ọ n đề tài 6

2.M ụ c đ ích, nhi ệ m v ụ nghiên c ứ u 6

3.Đố i t ượ ng, ph ạ m vi nghiên c ứ u 7

4.Ph ươ ng pháp nghiên c ứ u 7

Ph ầ n 2: N ộ i dung 8

Ch ươ ng 1:Phép ngh ị ch đả o 8

1.1.Các đị nh ngh ĩ a 8

1.1.1.Không gian b ả o giác 8

1.1.2.Phép ngh ị ch đả o 8

1.2.Các tính ch ấ t 8

1.3.Các đị nh lý 9

1.4.Phép ngh ị ch đả o trong h ệ to ạ độ Đề các vuông góc 15

Ch ươ ng 2:Phép ngh ị ch đả o và bài toán qu ỹ tích 17

2.1.Bài toán qu ỹ tích 17

2.2.Gi ả i bài toán qu ỹ tích nh ờ phép ngh ị ch đả o 17

2.2.1.Ph ươ ng pháp chung 17

2.2.2 Các ví dụ minh hoạ 17

2.2.3 tập tự luyện 31 2.2.4 Hướng dẫn 34

K ế t lu ậ n 50

Phần 1: Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Hình học là môn học hấp dẫn thu hút nhiều học sinh yêu toán Việc giải cácbài tập, tìm ra nhiều cách giải, trong đó có những cách giải hay, độc đáo sẽ phát huytính sáng tạo và niềm say mê đối với môn học Mỗi bài tập hình học có thể giảibằng nhiều phương pháp khác nhau: phương pháp tổng hợp, phương pháp tọa độ,phương pháp vectơ và phương pháp biến hình

Trong nhiều trường hợp, phép biến hình là công cụ hữu hiệu cho phép giảihợp lý và ngắn gọn các bài toán của hình học như bài toán chứng minh, bài toán quỹtích, bài toán dựng hình và bài toán tính toán

Trong chương trình toán phổ thông, học sinh được học các phép biến hình:phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay, phép tịnh tiến, phép vị tự Phépnghịch đảo là phép biến hình không đưa vào chương trình phổ thông, chỉ được đềxuất khi luyện học sinh chuyên, bồi dưỡng học sinh giỏi Phép nghịch đảo vớinhững tính chất khác biệt của nó đưa đến hướng giải quyết mới trong một số lớp bàitoán của hình học

Để góp phần làm rõ tính ưu việt của việc sử dụng phép biến hình vào giải cácbài toán của hình học, tôi đi sâu nghiên cứu về lý thuyết phép biến hình và ứngdụng của phép biến hình để giải quyết các bài toán hình học

Trong khuôn khổ một khoá luận tốt nghiệp, do thời gian nghiên cứu có hạnnên tôi chỉ tập trung khai thác ứng dụng của phép nghịch đảo trong việc giải các bàitoán quỹ tích

Đó chính là lý do tôi lựa chọn đề tài: phép nghịch đảo và bài toán quỹ tích

2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu các kiến thức cơ bản của phép nghịch đảo và ứng dụng của nótrong việc giải bài toán quỹ tích

- Xây dựng hệ thống ví dụ minh hoạ và bài tập tự luyện thể hiện việc sử dụngphương pháp biến hình vào giải bài toán quỹ tích.

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: phép nghịch đảo

- Phạm vi nghiên cứu: ứng dụng phép nghịch đảo trong việc giải bài toán quỹtích trong mặt phẳng và không gian

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sách giáo trình, bài giảng chuyên đề và các tài liệu tham khảo có liên quan

bổ sung phần tử (điểm vô cực) gọi là không gian

bảo

giác Bn .

Trong không gian bảo giác Bn, mỗi đường thẳng hay mặt phẳng đều

đi qua điểm 

1.1.2 Phép nghịch đảo

Trong không gian bảo giác cho điểm O cố định và số thực k 0

Phépbiến

Nếu M,O,N không thẳng hàng M ', N' lần lượt là ảnh của M, N qua

n  O,k thì tứ giác MM ' N' N là tứ giác nội tiếp

điểm bất động là siêu cầu tâm O, bán

kính (gọi là siêu cầu nghịch đảo).

Nếu phương tích nghịch đảo k < 0 thì phép nghịch đảo n

Phép nghịch đảo biến siêu phẳng không đi qua cực nghịch đảo thành siêu cầu

đi qua cực nghịch đảo và biến siêu cầu đi qua cực nghịch đảo thành siêu phẳngkhông đi qua cực nghịch đảo

Chứng minh:

Ta chứng minh trong

E 2 .Việc chứng minh trong E 3 hoàn toàn tương tự.+ Phép nghịch đảo biến đường thẳng

không đi qua cực nghịch đảo thành

đường tròn đi qua cực nghịch đảo

Giả sử trong E 2 cho phép nghịch đảo

Ngược lại lấy điểm N' bất kỳ trên đường tròn đường kính OH' ,

 N' , tương tự như trên ta có:

và  C' 

là đường tròn đường kính A ' B' Ta chứng minh

  C'  đều có A, B là ảnh của A ', B' qua phép nghịch đảo n

Giả sử cho phép nghịch đảo n (O,k)  k

 0  ,

 C là đường tròn nghịch đảo

minh có hai đường tròn  C1

 ,

 C2 trực giao với  C .Gọi  C' là đường tròn bất kỳ qua M và M '

Khóa luận tốt

nghiệp Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

OA.OB OA.OB

AB OA.OB

Nếu qua phép nghịch đảo

N (O,k) , siêu cầu  C1  

 C'  Nếu hai điểm A, A ' là hai

k MA

tại đó chúng có tiếp tuyến thì các tiếp tuyến này đối xứng với nhau qua trung trực của đoạn thẳng AA '

Chứng minh bổ đề:

Ta lấy trên  C và  C' hai điểm tương ứng M, MH' ìknhhá g1ần.4A

và A ' sao cho khoảng cách OM không bị triệt tiêu khi M tiến dần tới A Khi

 là đường tròn ngoại tiếp tứ giác  AA ' M ' M , ở vị trí A, A ' ,  K

lần lượt tiếp xúc với  C ,  C'  Khi đó các tiếp tuyến At, A ' t ' đồng thời là tiếp

Hình 1.5

Theo bổ đề trên, các tiếp tuyến At của  C và A ' t ' của

 C' 

đối xứng

nhau qua trung trực của AA ' , các tiếp tuyến Au của  S và A ' u' của  S' 

đối xứng nhau qua trung trực của AA '

1.3.7 Định lý 7

Tích của hai phép nghịch đảo cùng cực N (O,k) và N '(O,k ') là phép vị tựtâm O, tỉ số k'

.kChứng minh:

 'on

Chương 2:Phép nghịch đảo và bài toán quỹ tích

2.1 Bài toán quỹ tích

Bài toán quỹ tích là bài toán tìm quỹ tích (hay tập hợp) những điểm có tínhchất α cho trước Quỹ tích này rất đa dạng: có thể là tập rỗng, tập hữu hạn điểmhoặc vô hạn điểm

Thông thường, để giải bài toán quỹ tích ta cần tiến hành theo 2 bước sau: Bước 1 (phần thuận): Chứng minh những điểm có tính chất α thuộc hình (H)

Bước 2 (phần đảo): Chứng minh mọi điểm thuộc hình (H) đều có tính chất

α

2.2 Giải bài toán quỹ tích nhờ phép nghịch đảo

2.2.1 Phương pháp chung

Để tìm tập hợp những điểm M có tính chất α ta chọn phép nghịch đảo thíchhợp biến mỗi điểm M có tính chất α thành điểm M' có tính chất α' và quỹ tíchnhững điểm M' phải tìm được dễ dàng Từ đó suy ra quỹ tích của những điểm M cótính chất α là ảnh của quỹ tích những điểm M' có tính chất α' qua phép nghịch đảo

đã chọn ở trên (Do tính chất đối hợp của phép nghịch đảo)

2.2.2 Các ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1:

Cho đường tròn (O) Hai dây cung AA', BB' vuông góc với nhau tại P cốđịnh trong vòng tròn (C) là đường tròn qua P tiếp xúc với (O) tại A (C') làđường tròn qua P tiếp xúc với (O) tại A' Tìm quỹ tích giao điểm thứ hai của(C) và (C')

Giải

Cách 1: Dùng phép biến hình

Gọi I là giao điểm thứ hai của (C) và (C') , Ax, A'y lần lượt là tiếp tuyến

Xét phép nghịch đảo N cực P , phương tích k  PP

O Khi đó ta có:

N (P,

k) biến (C) thành A'y , (C') thành Ax .

 N biến giao điểm I của (C) và (C') thành M là giao điểm của

Ax và A'y Mà M là cực của đường thẳng AA' đối với đường tròn (O) ,

PAA'

M nằm trên đường thẳng đối cực p của điểm P đối với (O)

Suy ra tập hợp điểm I là ảnh của đường thẳng p qua phép nghịch đảo cực P ,

trùng với O Hình 2.1Vậy, tập hợp điểm I là đường tròn đường kính OP

Cách 2: Không dùng phép biến hình

Thuận:

Gọi I là giao điểm thứ hai của (C) và (C’), M là giao điểm của các tiếp tuyến

Ax, A’y của (O), K OP sao cho PO.PK=PA.PA'

 Ta có: I, P, M thẳng hàng

Thật vậy: PI là trục đẳng phương của (C) và (C’),

thuộc đường tròn đường

Trên đường thẳng IP lấy điểm M sao cho

Bằng cách: + Kẻ qua P dây cung BB' ,

+ Dựng IBB',

O

+ Đường thẳng IP cắt IBB'tại giao điểm thứ 2 là

OM

Theo cách dựng điểm M thì PI.PM PB.PB'

P thuộc trục đẳng phương AA' của (O)

Như vậy mặc dù phép nghịch đảo không được đưa vào chương trình toánphổ thông nhưng nếu ta có một số hiểu biết về nó thì cũng có tác dụng tốt trong việcgiải toán hình học, chẳng hạn, ta có thêm một cách dự đoán quỹ tích cần tìm gópphần giải quyết một khâu quan trọng trong việc giải bài toán quỹ tích

Ví dụ 2:

Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng và d là trung trực của AB Một đườngtròn thay đổi qua A, B cắt d tại D, E Các đường thẳng CD, CE cắt (O) tạiđiểm thứ hai lần lượt là D', E' Tìm quỹ tích D', E'



Nhận xét:

Ta thấy PC

C là điểm cố định cho trước

Quỹ tích D, E là trung trực của đoạn thẳng AB

Vậy, ảnh của đường thẳng d qua phép nghịch đảo trên đường tròn đi qua  C và

trực giao với (O) .

Gọi J là giao điểm của AC với (CD'E') thì (ABJC)= 1

Vậy, quỹ tích D', E' là đường tròn đường kính CJ , với J là điểm trên AC sao

Ví dụ 3

Cho (O) và điểm A cố định nằm ngoài (O) Các cát tuyến thay đổi AMN vàAPQ cắt (O) tại M, N, P, Q Giả sử giao điểm thứ hai của các cặp đường tròn(AMP) và (ANQ), (AMQ) và (ANP) thứ

cặp điểm tương ứng với nhau

Khi đó:

(AMP) và (ANQ) lần lượt biến thành các đường thẳng NQ và MP

Gọi I là giao điểm của MP và NQ thì I và B là hai điểm

tưHơìnnghứn2g.v3ới nhau trong phép nghịch đảo đã chọn.

Mặt khác, ta có A và I là hai điểm liên hợp với nhau đối với đường tròn (O)

Tập hợp điểm I là đường đối cực d của điểm A đối với đường tròn (O)

Tập hợp điểm B là ảnh của d qua phép nghịch đảo n (A,k)

(AMQ) ,(ANP) qua phép nghịch đảo n (A,k) lần lượt biến thành các đường thẳng

NP, MQ

Gọi J là giao điểm của NP và MQ thì J và C là hai điểm tương ứng với nhau trong phép nghịch đảo n (A,k)

Mặt khác, A và J là hai điểm liên hợp đối với đường tròn (O)

Tập hợp J là đường đối cực của điểm A đối với đường tròn (O)

Tập hợp C là ảnh của đường thẳng d qua n (A,k) là đường tròn đường kính OA

Ví dụ 4:

Cho (O), gọi  C  ,

 C'  là hai đường tròn đi qua tâm O và trực giao vớinhau và cùng tiếp xúc với (O), cắt nhau tại giao điểm thứ hai là I.Tìm quỹ tích I khi

 C 



thay đổi

Gọi R là bán kính của (O) Chọn phép

nghịch đảo cực là O, phương tích k = -R2, khi

đó (O) có ảnh là chính nó,

 C  ,

 C' 

lần lượt biến thành các đường thẳng t1, t2

Do tính chất bảo tồn góc giữa hai đường

cong của phép nghịch đảo t1, t2 là

hai tiếp tuyến của

Khóa luận tốt

nghiệpđường thẳng BM1, BM2 Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

b Tìm tập hợp các điểm Q là giao điểm thứ hai của M1M2 và N1N2

Giải

a, Ta có:

23

Ví dụ 6

Cho (O) và hai điểm A,B cố định trên nó Giả sử điểm M di động trên (O).Gọi (C1), (C2) thứ tự là các đường tròn qua M tiếp xúc với AB lần lượt tại A và B.Gọi M' là giao điểm thứ hai của (C1) và (C2)

P

P

P

I thuộc trục đẳng phương của (C1) và (C2)

M 'và M là hai điểm tương ứng với nhau

Theo đề bài, tập hợp các điểm M là

R

AB2

4 RAB

4

Mặt khác A, B cũng là hai điểm tương ứng trong phép nghịch đảo

điểm M d và cùng tiếp xúc với (O) và ( O') Tìm quĩ tích giao điểm thứ hai của hai đường tròn đó.

(O) (O')MA 2 k

Qua N , đường tròn (O) và ( O') biến thành chính nó, các đường trònqua M, tiếp xúc với (O) và ( O') biến thành các tiếp tuyến chung của (O) và (O') là c và c' Vậy, với mỗi điểm M d, có hai đường tròn qua M, tiếp xúcvới cả (O) và ( O')

là ảnh của hai tiếp tuyến chung c và c'

của hai đường tròn

(O) và ( O') qua phép nghịch đảo N

 Quỹ tích giao điểm thứ hai của (I)

và ( I')

Gọi N' là giao điểm của 2 tiếp

tuyến chung c và c' của (O) và ( O' ), và

Cho (C) là đường tròn tâm O bán kính R và I là điểm cố định sao choOI=2R Gọi (C1) và (C2) là hai đường tròn thay đổi qua I, tiếp xúc với (C) và trựcgiao với nhau Gọi M là giao điểm thứ hai của (C1) và (C2).

Tìm quĩ tích M

Giải

Xét phép nghịch đảo N cực I, phương tích k 

p

I (O ) OI 2 R2 3R2

Khi đó, (O,R) có ảnh là chính nó qua phép nghịch đảo N

Gọi P, Q lần lượt là tiếp điểm của (C1), (C2) với (O,R), P' , Q' thứ tự là ảnh của P,

Q qua phép nghịch đảo N , P' x, Q' y là các tiếp tuyến của (O,R) tại P' , Q'

Khi đó :

Do (C1) và (C2) trực giao với nhau, theo tính

chất bảo tồn góc giữa hai đường cong của phép

nghịch đảo thì P'x Q'y

Gọi M' là giao điểm của P'x và Q'y thì

M', M là hai điểm tương ứng với nhau trong phép

nghịch đảo đã chọn và tứ giác OP' M ' Q' là

(C3) có tâm J được xác định bởi: IJ= 3 IO, J là giao điểm của IO kéo dài và (C), có

Xét phép nghịch đảo N cực O , phương tích k h2

thì :

M ' f(M)

Vì M(P) M' thuộc mặt cầu (W) là ảnh của mặt phẳng (P) qua phép nghịch đảo

N với (W) là mặt cầu đường kính OH

Mặt khác, M thuộc mặt cầu đi qua O và đường tròn (S) nên M' thuộc vào mặt phẳng ( P' ) là ảnh của mặt cầu đó qua phép nghịch đảo đã chọn

Vậy, tập hợp điểm M' là một đường tròn được xác định bởi giao tuyến của mặt phẳng ( P' ) và mặt cầu (W)

Ta đã biết siêu cầu (S) có ảnh là chính nó trong phép nghịch đảo N có cực

O, phương tích k nếu phương tích nghịch đảo k bằng phương tích của cực nghịchđảo O đối với siêu cầu (S): k 

PO (S).Vận dụng điều này để giải quyết bài toán

2

những điểm M' sao cho

M(x,y,z) (P) và

gọi M ' x',y',z'là ảnh của M qua phép nghịch đảo

cực A,phương tích -1 thì ta có:

x'

=

y'

độ cũng nằm trên mặt cầu này

Vậy, tập hợp những điểm M' là mặt cầu có tâm I là điểm đối xứng của tâm

K của hình hộp ABCD.A ' B'C' D' qua mặt phẳng ( A' B'C' D' ) và đi qua A'

2.2.3 tập tự

luyện Bài 1:

Cho  O,

R 

và ( O',R' ) trực giao cắt nhau tại hai điểm A, B Giả sử P, Q

thứ tự là ảnh của điểm M nằm trên đường thẳng AB qua

N '(O',R'2 ) Tìm quỹ tích P, Q khi M thay đổi

N  O, R2 và