Phép đồng dạng của bài toán quỹ tích

Theoquan điểm của toán học hiện đại hình học nghiên cứu các tính chất của cáchình bất biến đối với nhóm biến hình nào đó của không gian hình học.. Với mục đích làm sáng tỏ hơn việc vận d

1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN



NGUYỄN THỊ HẢI HƯỜNG

PHÉP ĐỒNG DẠNG VỚI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên nghành: Hình học Người hướng dẫn khoa học ĐINH VĂN THUỶ

HÀ NỘI – 2012

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới thầy giáo Đinh Văn Thủy

đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này

Em cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn những ý kiến đóng góp quý báu củacác thầy cô trong khoa Toán, đặc biệt các thầy cô trong tổ Hình Học đã gópphần làm cho khóa luận thêm hoàn thiện

Trong quá trình nghiên cứu, với sự hạn chế về mặt thời gian cũng như

về mặt kiến thức của bản thân, khóa luận khó tránh khỏi những thiếu sót, kínhmong được sự chỉ bảo của các thầy cô cùng những ý kiến đóng góp của cácbạn sinh viên

Em xin chân thành cảm ơn!

Sinh viên

Nguyễn Thị Hải Hường

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận này hoàn thành do sự cố gắng, tìm hiểu,nghiên cứu của bản thân cùng với sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của thầy giáo

Đinh Văn Thủy cũng như các thầy cô trong tổ Hình Học khoa Toán trường

ĐHSP Hà Nội 2

Một lần nữa tôi xin cam đoan rằng khóa luận này chưa từng được công

bố tại bất kì khóa luận nào khác

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên

Nguyễn Thị Hải Hường

MỤC LỤC

Mở

đầu 5

Nội dung 7

Chương 1: Cơ sở lý luận 7

§1: Bổ túc về vấn đề định hướng 7

1 Mặt phẳng định hướng 7

2 Góc định hướng giữa hai tia 7

3 Góc định hướng giữa hai đường thẳng 7

4 Định hướng trong không gian 8

§2: Đại cương về phép biến hình trong E n (n=2, 3) 9

1 Phép biến hình và một số khái niệm liên quan 9

2 Phép biến hình afin 9

3 Phép biến hình đẳng cự 10

4 Phép vị tự 13

5 Phép đồng dạng 13

Chương 2: Ứng dụng phép đồng dạng để giải bài toán quỹ tích 16

§1: Bài toán quỹ tích 16

1 Định nghĩa 16

2 Chứng minh quỹ tích 16

3 Giới hạn quỹ tích và biện luận quỹ tích 16

§2: Ứng dụng phép đồng dạng để giải bài toán quỹ tích và ví dụ 17

1 Phương pháp chung 17

2 Phát triển bài toán quỹ tích nhờ phép đồng dạng 18

3 Ví dụ 18

§3: Một số bài toán luyện tập 36

Hướng dẫn 38

Kết luận 46

Tài liệu tham khảo 47

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Hình học là một môn học có vị trí quan trọng trong toán học Theoquan điểm của toán học hiện đại hình học nghiên cứu các tính chất của cáchình bất biến đối với nhóm biến hình nào đó của không gian hình học Họchình học giúp học sinh rèn luyện tư duy, nâng cao khả năng tưởng tượngkhông gian Tuy vậy trong trường phổ thông hình học chưa được quan tâmxứng đáng với vai trò của nó

Phép biến hình là nội dung khá quan trọng trong chương trình toán phổthông Đây là công cụ khá mạnh để giải các bài toán đồng thời còn nâng cao,phát triển năng lực trí tuệ chung cho học sinh Nhưng trên thực tế việc vậndụng phép biến hình vào giải toán trong mặt phẳng và trong không gian họcsinh mới chỉ làm quen bước đầu

Với mục đích làm sáng tỏ hơn việc vận dụng phép biến hình trong việc

giải toán tôi chọn đề tài : “ Phép đồng dạng với bài toán quỹ tích ”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu phép đồng dạng trong phẳng và trong không gian Ứngdụng giải bài toán quỹ tích trong phẳng và trong không gian

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Đối tượng: Phép đồng dạng, bài toán quỹ tích

Phạm vi nghiên cứu: Trong E2 và trong E3

4 Nhiệm vụ

Trình bày cơ sở lý thuyết

Nghiên cứu hệ thống kiến thức cơ bản về phép đồng dạng

Xây dựng hệ thống ví dụ và bài tập về ứng dụng phép đồng dạng giảibài bài toán quỹ tích.

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo và tài liệu có liên quan Tổng kết từ kinh nghiệm giải toán

2 Góc định hướng giữa hai tia

Định nghĩa

Trong mặt phẳng định hướng cho hai tia Ox và Oy, góc định hướnggiữa hai tia đầu là Ox, tia cuối là Oy được ký hiệu là (Ox, Oy) là góc thu đượckhi quay Ox xung quanh O tới trùng với Oy

Hệ thức Chales

Nếu trong mặt phẳng định hướng cho các tia OA1,…, OAn Khi đó: (OA1, OA2) + (OA2, OA3) +…+ (OAn-1, OAn) = (OA1, OAn) + K2ΠKZ

3 Góc định hướng giữa hai đường thẳng

Định nghĩa

Trong mặt phẳng được định hướng, cho hai đường thẳng a và b Nếua∩b = {O} thì mỗi đường thẳng bị O chia làm hai tia và ta định nghĩa: Gócđịnh hướng giữa hai đường thẳng a và b là góc định hướng giữa hai tia ai và bi

(i=1, 2) Kí hiệu: ( a , b )

4 Định hướng trong không gian

a) Không gian định hướng theo trục

Trong không gian cho trục a Khi đó xung quanh trục a có hai chiềuquay Đặt vặn nút chai theo trục a sao cho mũi của vặn nút chai chỉ hướngdương Chiều quay của vặn nút chai tiến theo chiều dương của a được gọi làchiều dương của không gian còn chiều ngược lại gọi là chiều âm của khônggian Khi đó không gian được gọi là định hướng theo trục a

b) Nhị diện định hướng

Cho nhị diện [α, a, β] Nhị diện định hướng có diện đầu α, diện cuối

β, [, ] là nhị diện thu được khi quay diện đầu α quanh a tới trùngdiện cuối β

c) Định hướng góc tam diện

Cho góc tam diện O.ABC đỉnh O Nếu nhìn từ O chiều quay từ A đến

B, từ B đến C là ngược chiều kim đồng hồ thì ta nói góc tam diện O.ABC cóhướng dương, ngược lại được gọi là góc tam diện có hướng âm

1 Phép biến hình và một số khái niệm liên quan

Định nghĩa

Một song ánh từ không gian En vào chính nó là một phép biến hình của

En Phép biến hình đảo ngược

Cho phép biến hình f: En En Khi đó ánh xạ ngược f-1 của

f cũng là một song ánh nên cũng là một phép biến hình của En Ta gọi phépbiến hình đó là phép biến hình đảo ngược của phép biến hình f

Phép biến hình tích

Cho f và g là hai phép biến hình của En Dễ thấy ánh xạ tích của f và g

cũng là một song ánh của En nên nó cũng là một phép biến hình của En Tagọi phép biến hình đó là phép biến hình tích của f và g

Điểm bất động, hình kép, hình bất động trong phép biến hình

Cho phép biến hình f: En En ta có:

Điểm MEn được gọi là điểm bất động của phép biến hình f nếu f(M)=M

Hình H được gọi là hình kép đối với phép biến hình f nếu f(H)= H.Hình H được gọi là hình bất động đối với phép biến hình f nếu mọi điểm của hình H đều bất động đối với f

b) Tính chất

Phép afin bảo tồn tính song song của đường thẳng

Phép afin bảo tồn sự bằng nhau của các đoạn thẳng định hướng

Phép afin biến vectơ tổng thành tổng các vectơ tương ứng

Phép afin bảo tồn tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng

c) Định lý về sự xác định phép afin

Trong E2, cho hai tam giác ABC và A’B’C’, khi đó tồn tại duy nhất một phép afin biến A, B, C tương ứng thành A’, B’, C’

Trong E3, cho hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’, khi đó tồn tại duy nhất

phép afin của E3 biến A, B, C, D tương ứng thành A’, B’, C’, D’

d) Khái niệm hai hình cùng chiều (ngược chiều)

Trong E2, hai tam giác ABC và A’B’C’ được gọi là cùng chiều (ngượcchiều) nếu trên đường tròn ngoại tiếp chúng, chiều quay từ A tới B, từ B tới

C, từ C tới A cùng chiều (ngược chiều) quay từ A’ tới B’, từ B’ tới C’, từ C’tới A’

Trong E3, hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’ được gọi là cùng chiều nếucác góc tam diện đỉnh A cạnh AB, AC, AD và đỉnh A’ cạnh A’B’, A’C’,A’D’ cùng chiều Trong trường hợp ngược lại hai tứ diện được gọi là ngượcchiều nhau

Trong E3, cho hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’ có cạnh tương ứng bằng

nhau, khi đó tồn tại duy nhất phép đẳng cự của E3 biến A, B, C, D thành A’,B’, C’, D’

d) Phân loại

Phép đẳng cự được gọi là phép dời hình nếu là phép afin loại 1

Phép đẳng cự được gọi là phép phản chiếu nếu là phép afin loại 2

Trong E cho vectơ a  Phép biến hình của E biến mỗi điểm M  M’

- Trong E2, cho điểm O cố định và góc định hướng 

Phép biến hình của E2 cho tương ứng với mỗi điểm M  M’ sao cho:

OM OM’



(OM , OM ') được gọi là phép quay quanh điểm O với góc quay  Kí hiệu: Q 

- Trong E3, cho trục a và góc định hướng  Phép biến hìnhbiến M  M’ xác định như sau: Qua M dựng mặt phẳng (P) vuông góc với a,cắt a tại O Định hướng mặt phẳng (P) sao cho chiều dương của không giantheo trục a sinh ra chiều dương trên mặt phẳng (P) thì M’ là ảnh của M quaphép

là phép dời hình, luôn có a là đường thẳng bất động.

4 Phép vị tự

a) Định nghĩa

Trong En cho điểm O cố định và một số k0 Phép biến hình của Encho

 

tương ứng mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho OM ' 

kOM được gọi là

bảo tồn phương của đường thẳng

Phép biến hình của không gian En (n=2, 3) biến mỗi điểm M thànhđiểm M’ sao cho với cặp điểm bất kỳ M, N và cặp ảnh tương ứng M’, N’ thìM’N’=kMN, trong đó k là một số dương xác định, được gọi là phép đồngdạng tỉ số k Kí hiệu: Zk

b) Các tính chất cơ bản

Phép đồng dạng bảo tồn tính thẳng hàng của ba điểm và thứ tự củachúng trên đường thẳng chứa ba điểm đó Cụ thể: Biến ba điểm A, B, C thẳnghàng theo thứ tự thành A’, B’, C’ thẳng hàng cũng theo thứ tự đó

Phép đồng dạng bảo tồn góc giữa hai đường cong trong E2

Phép đồng dạng biến đường trong thành đường tròn, biến mặt cầuthành mặt cầu có bán kính nhân lên với tỷ số đồng dạng

Phép đồng dạng là phép afin đặc biệt.

Định lý 2

Trong E3, tích một phép dời hình và một phép vị tự tỷ số k, hoặc theothứ tự ngược lại là một phép đồng dạng tỷ số k Phép đồng dạng là thuận haynghịch tùy theo k âm hay dương

Ngược lại, mọi phép đồng dạng tỷ số k trong E3 luôn có thể phân tíchthành tích của một phép dời hình và một phép vị tự mà tâm vị tự tùy ý, tỷ số

vị tự là k hoặc –k tùy theo phép đồng dạng là thuận hay nghịch

Hệ quả

Trong E2, tích của một phép vị tự và một phép dời hình là phép đồngdạng thuận Tích của một phép vị tự và một phép phản chiếu là phép đồngdạng nghịch

Một phép đồng dạng nghịch có thể phân tích thành tích của một phépphản chiếu và một phép vị tự có tâm là điểm bất động của phép phản chiếu và

Phép đồng dạng xác định bởi hai đơn hình ngược hướng gọi là phépđồng dạng nghịch.

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG PHÉP ĐỒNG DẠNG ĐỂ GIẢI

BÀI TOÁN QUỸ TÍCH

§1: BÀI TOÁN QUỸ TÍCH

+ K H: Tức mọi điểm có tính chất α đều nằm trên hình H (đảmbảo tính chất không thiếu của quỹ tích)

+ H K: Tức mọi điểm nằm trên hình H đều có tính chất α (đảmbảo tính chất không thừa của quỹ tích)

3 Giới hạn quỹ tích và biện luận quỹ tích

Trong khi chứng minh phần thuận của nhiều bài toán quỹ tích ta thườngtìm được môt hình H1 chứa tất cả các điểm M có tính chất α Nhưng do điềukiện hạn chế của bài toán, tập các điểm cần tìm là hình H lại chỉ là bộ phậnthực sự của hình H1 Khi đó ta cần tiến hành bước giới hạn quỹ tích nhằm loại

bỏ đi từ hình H1 những điểm có tính chất α nhưng không thỏa mãn điều kiệnbài toán để được hình H

Khi một số yếu tố của bài toán chưa được xác định hoàn toàn về vị trí,kích thước… hay trường hợp bài toán có tham số thì ta phải tiến hành biệnluận quỹ tích, tức cần phải đề cập đến tất cả các trường hợp có thể xảy ra củaquỹ tích.

§2: SỬ DỤNG PHÉP ĐỒNG DẠNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH

-1

phép đồng dạng ta suy ra được quỹ tích các điểm M là Zk

-1

(H) Ta xét ngayphép đồng dạng Zk

trên hình H nào đó

để suy ra quỹ tích của điểm M khi biết điểm M’ chạy

2 Phát triển bài toán quỹ tích nhờ phép đồng dạng

Từ bài toán quỹ tích tìm những điểm M có tính chất α đã giải được làquỹ tích (C) bằng phép biến hình f hoặc tích những phép biến hình, ta biếnđiểm M thành M’ rồi chuyển tính chất α của điểm M thành tính chất α’ củađiểm M’ sao cho M có tính chất α khi và chỉ khi M’ có tính chất α’ Lúc đó ta

sẽ được bài toán quỹ tích mới: Tìm quỹ tích những điểm M’ có tính chất α’

mà kết quả quỹ tích của những điểm M’ là f(C)

3 Ví dụ

Ví dụ 1

Cho một hình vuông ABCD Một đường thẳng ∆ đi qua A cắt đường thẳng CD ở E, đường thẳng ∆’ đi qua A vuông góc với ∆ cắt đường thẳng BC tại F Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng EF.

∆E

C

O

BI

2

22

Mặt khác, ta có E chạy trên đường thẳng CD nên I chạy trên ảnh của

đường thẳng CD qua phép đồng dạng Z(A, , -450

)

2

Suy ra tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng EF là ảnh của đường thẳng



B

Vậy tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng EF là đường thẳng BD

Ví dụ 2

Cho tam giác ABC và đường thẳng d quay xung quanh A cắt BC ở

M Gọi O, O’ thứ tự là tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM và ACM Tìm tập hợp trung điểm của đoạn OO’.

Vậy phép đồng dạng:

Z1=Z(A, -, k1) : B  O , C  O’, [BC]  [OO’]

Khi đó gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn BC và OO’ thì

(G0 là trọng tâm ∆ABC)

Khi đó tập hợp trọng tâm G của tam giác AOO’ là đường thẳng t’’

=Z3(t) ảnh của đường trung trực t của đoạn AB qua phép đồng dạng Z3





0

Ví dụ 3

Cho đường tròn tâm O và hai điểm B, C cố định nằm trên nó, A là một điểm di động trên (O) Gọi H là trực tâm tam giác ABC.

a) Tìm tập hợp trọng tâm tam giác AOH.

b) Tìm tập hợp giao điểm của đường phân giác góc A của tam giác ABC với đường thẳng OH.

Lời giải

A

G J

K O H

C

A' D

a) Kẻ đường kính AA’ của đường tròn (O) và gọi R là bán kính của đường tròn (O)

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các đoạn BC và AH

Dễ thấy tứ giác BHCA’ là hình bình hành

I là trung điểm của HA’

Gọi G là trọng tâm tam giác AOH.

Đó là đường tròn (O1, r1) bỏ đi hai điểm B1, C1 với O1=Z1(O), r1= 2 R ,

chính là phân giác của góc □HAO

Gọi K=AD HO

Theo tính chất đường phân giác ta có:

HK AH 2 OI

I Q'

I' l'

Với bài toán trên việc phát hiện ra phép đồng dạng Z1, Z2 và sử dụngtính chất phép đồng dạng biến đường tròn thành đường tròn đã giúp cho lờigiải của bài toán trở nên gọn gàng, dễ hiểu hơn

Ví dụ 4

Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng l, l’ cắt nhau tại O và một điểm M tùy ý Trên l, l’ lần lượt lấy các điểm P Q sao cho M là trung điểm của đoạn PQ Hạ PP’ l’, QQ” l Tìm tập hợp trung

điểm của đoạn P’Q’ khi M di động trên đường tròn ( C)=(I, R) không

qua O.

Lời giải

O

(C’) = Z((C)) = (I’, R’) trong đó I’ = Z(I), R’=Z(R)

Nhận xét

Với bài toán này mấu chốt là phát hiện ra phép đồng dạng nghịch

Z(O, d, k) với tỷ số k  OP '

OP

không phụ thuộc vào vị trí của P, Q trên l, l’

Yêu cầu bài toán là tìm tập hợp trung điểm M’ của đoạn P’Q’ khi M diđộng trên đường tròn (C) = (I, R) và tập hợp đó là đường tròn (C’) = Z((C))tức nó phụ thuộc vào tập hợp điểm M là hình gì Do vậy ta có thể thay đổigiả thiết bằng cách cho M di động trên đường thẳng a bất kỳ hoặc một hình(H) nào đó Khi đó tập hợp cần tìm là ảnh của những hình đó qua phép đồngdạng nghịch Z(O, d, k)

O d