Phép nghịch đảo với bài toán quỹ tích

LỜI CẢM ƠN Trong quá trình nghiên cứu đề tài: " Phép nghịch đảo với bài toán quỹ tích" tôi đã nhận được sự giúp đỡ của các thầy cô trong Tổ bộ môn hình học trường ĐHSP Hà Nội 2.. Trong



Ngô thị thủy

PHẫP NGHỊCH ĐẢO VỚI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH

khóa luận tốt nghiệp đại học

Chuyờn ngành : Hỡnh học

Người hướng dẫn khoa học

GV Đinh văn thủy

Hà Nội - 2012

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình nghiên cứu đề tài: " Phép nghịch đảo với bài toán quỹ tích" tôi đã

nhận được sự giúp đỡ của các thầy cô trong Tổ bộ môn hình học trường ĐHSP Hà Nội 2 Tác giả khóa luận xin gửi tới các thầy cô lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất, đặc biệt là thầy giáo Đinh Văn Thủy người đã tận tình giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này

Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2012

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan các vấn đề tôi trình bày trong khóa luận là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của thầy Đinh Văn Thủy, không trùng với các tác giả khác

Nếu sai tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm

Ngô Thị Thủy

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọ đề tài 1

2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu .1

3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu .2

NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1: PHÉP NGHỊCH ĐẢO 3

1.1 Các định nghĩa 3

1.1.1 Không gian bảo giác 3

1.1.2 Phép nghịch đảo 3

1.2 Các tính chất 3

1.3 Các định lý 4

1.4 Phép nghịch đảo trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc 10

CHƯƠNG 2: PHÉP NGHỊCH ĐẢO VỚI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH 12

2.1 Bài toán quỹ tích 12

2.2 Phương pháp chung để giải bài toán quỹ tích 12

2.3 Các ví dụ minh họa 12

2.4 Bài tập tự luyện 27

2.5 Hướng dẫn 30

KẾT LUẬN 42

TÀI LIỆU THAM KHẢO 43

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hình học là môn học hấp dẫn thu hút nhiều học sinh yêu toán Việc giải các bài tập, tìm ra nhiều cách giải, trong đó có những cách giải hay, độc đáo sẽ phát huy tính sáng tạo và niềm say mê đối với môn học Mỗi bài tập hình học có thể giải bằng nhiều phương pháp khác nhau: phương pháp tổng hợp, phương pháp tọa độ, phương pháp vectơ và phương pháp biến hình Trong nhiều trường hợp, phép biến hình là công cụ hữu hiệu cho phép giải hợp lý và ngắn gọn các bài toán của hình học như bài toán chứng minh, bài toán quỹ tích, bài toán dựng hình và bài toán tính toán

Trong chương trình toán phổ thông, học sinh được học các phép biến hình: phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay, phép tịnh tiến, phép

vị tự Phép nghịch đảo là phép biến hình không đưa vào chương trình phổ thông, chỉ được đề xuất khi luyện học sinh chuyên, bồi dưỡng học sinh giỏi Phép nghịch đảo với những tính chất khác biệt của nó đưa đến hướng giải quyết mới trong một số lớp bài toán của hình học

Để góp phần làm rõ tính ưu việt của việc sử dụng phép nghịch đảo và giải các bài toán của hình học, tôi đi vào nghiên cứu lý thuyết phép nghịch đảo và ứng dụng của phép nghịch đảo để giải quyết các bài toán hình học Trong khuôn khổ một khóa luận tốt nghiệp, do thời gian nghiên cứu có hạn nên tôi chỉ tập trung khai thác ứng dụng của phép nghịch đảo trong việc giải các bài toán quỹ tích

Đó chính là lý do tôi lựa chọn đề tài: "phép nghịch đảo với bài toán

quỹ tích"

2.Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu các kiến thức cơ bản của phép nghịch đảo và ứng dụng của nó trong việc giải bài toán quỹ tích

- Xây dựng hệ thống ví dụ minh họa và bài tập tự luyện thể hiện việc sử

dụng phép nghịch đảo vào giải bài toán quỹ tích

3.Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: phép nghịch đảo

- Phạm vi nghiên cứu: ứng dụng của phép nghịch đảo trong việc giải bài toán quỹ tích trong mặt phẳng và không gian

4.Phương pháp nghiên cứu

-Nghiên cứu sách giáo trình, bài giảng chuyên đề và các tài liệu tham khảo có liên quan

NỘI DUNG CHƯƠNG 1: PHÉP NGHỊCH ĐẢO

1.1 Các định nghĩa

1.1.1 Không gian bảo giác

Không gian En ( n = 1, 2, 3) bổ sung phần tử  (điểm vô cực ) gọi là không gian bảo giác Bn

Trong không gian bảo giác B mỗi đường thẳng hay mặt phẳng đều đi nqua điểm 

1.1.2 Phép nghịch đảo

Trong không gian bảo giác Bn cho điểm O cố định và số thực k Phép

biến hình N : B  Bn sao cho:









thì N được gọi là phép nghịch đảo cực O , phương tích k

Kí hiệu N kO hoặc N (O,k)

Nếu M, O, N không thẳng hàng M', N' lần lượt là ảnh của M, N qua

N (O,k) thì tứ giác MM'N'N là tứ giác nội tiếp

1.2.3 Tính chất 3

Nếu phương tích nghịch đảo k > 0 thì phép nghịch đảo N (O,k) có tập

các điểm bất động là siêu cầu tâm O , bán kính k ( gọi là siêu cầu nghịch đảo)

Nếu phương tích nghịch đảo k  0 thì phép nghịch đảo N (O,k) không

Giả sử trong E2 cho phép nghịch đảo N (O,k) và d là đường thẳng nào

đó không đi qua O

Hạ OH  d, Hd, H'  N (H)

Xét M bất kỳ thuộc d và M'  N (M)

Khi đó OM.OM '  OH.OH '  k

 Tứ giác MM'N'H là tứ giác nội tiếp

 ( H'M', MM')  (H'H, MH)  90

Do OH' cố định  M' nằm trên đường tròn đường khính OH

Ngược lại, lấy điểm N' bất kỳ trên đường tròn đường kính OH',

N  N (N') , tương tự như trên ta có :

(N'H', NN')  ( NH, HH')  90  OH  HN

 N  d

Vậy N (d)  (OH')

+) Do tính chất: Phép nghịch đảo là phép biến hình đối hợp nên phép

nghịch đảo biến đường tròn đi qua cực nghịch đảo thành đường thẳng không

đi qua cực nghịch đảo

1.3.2 Định lý 2

Phép nghịch đảo biến siêu cầu không đi qua cực nghịch đảo thành siêu

cầu không đi qua cực nghịch đảo

Chứng minh:

Ta chứng minh trong E2

Giả sử cho phép nghịch đảo N (O,k) và (C) là đường tròn không đi

qua O (C) có tâm I, OI cắt (C) tại A,B

Gọi A', B' thứ tự là ảnh của A, B qua phép nghịch đảo N (O,k) và (C')

là đường tròn đường kính A'B' Ta chứng minh (C')  N (C)

+) M  (C), M'  N (M)

Nếu M  A hoặc B thì M' trùng A' hoặc B' tức M'  (A'B')

Nếu M  A, B thì ta có tứ giác AMM'A' là tứ giác nội tiếp

 AMO  AA 'M '

Tứ giác BMM'B' nội tiếp  A 'B'M '  BMM '

Do M  (C)  AMB  90 tức M'  (C') (1)

+) N'  (C') đều có A, B là ảnh của A', B' qua phép nghịch đảo N

 N  N (N') nằm trên đường tròn đường kính AB

Vậy N'  (C') đều có N(C) sao cho N (N) N' (2)

A'B'  k AB

OA.OB

+) Nếu A, B, O không thẳng hàng Khi đó ta có: ABB'A' là tứ giác nội tiếp

 OAB OB'A '

A 'B'

AB 

OA 'OB

A'B'OA '.AB

OB 

OA.OA '.ABOA.OB k

ABOA.OBNhận xét:

Nếu qua phép nghịch đảo N (O,k), siêu cầu (C1)(O1,R) biến thành siêu cầu (C2)(O2,R) thì:

O (C )Chứng minh:

Gọi AB là đường kính của (C ) mà O  AB và A', B' thứ tự là ảnh của 1

(OO R) OO R   

1

1

Rk

O (C )

1.3.5 Định lý 5

Điều kiện cần và đủ để 2 điểm M, N tương ứng với nhau trong phép

nghịch đảo N (O,k), (k  0) là có n siêu cầu đi qua M, N trực giao với siêu cầu

+) Điều kiện cần :

Giả sử cho phép nghịch đảo N (O,k) (k  0), (C) là đường tròn nghịch

đảo và M, M' là 2 điểm tương ứng với nhau trong phép nghịch đảo trên Ta phải chứng minh có hai đường tròn (C1), (C2) trực giao với (C)

Gọi (C') là đường tròn bất kỳ qua M và M'

 O thuộc trục đẳng phương MM' của (C ) và (1 C ) và OM.OM '  k 2

M, M' là hai điểm tương ứng với nhau qua phép nghịch đảo N (O,k)

Dễ thấy k  0 vì O là điểm nằm ngoài hai đường tròn (C ) và (1 C ) 2

Cho phép nghịch đảo N (O,k) biến đường cong (C) thành đường cong

(C') Nếu hai điểm A, A' là hai điểm tương ứng trên (C), (C') và tại đó chúng

có tiếp tuyến thì các tiếp tuyến này đối xứng với nhau qua trung trực của đoạn thẳng AA'

+) Chứng minh bổ đề:

Ta lấy trên (C) và (C')

hai điểm tương ứng M , M' khá

gần A và A' sao cho khoảng cách

OM không bị triệt tiêu khi M tiến

dần tới A Khi đó bốn điểm A, A',

M, M' luôn thuộc một đường tròn

Theo hệ thức

M'A'  k MA

OA.OMthì khi M tiến tới A thì M' tiến dần tới A' Do đó, các cát tuyến MA, M'A' của các đường cong (C), (C') đến trùng với các tiếp tuyến At, A't' của chúng ở

A, A'

Gọi (K) là đường tròn ngoại tiếp tứ giác AA'M'M, ở vị trí A, A' , (K) lần lượt tiếp xúc với (C) và (C') Khi đó các tiếp tuyến At, A't' đồng thời là tiếp tuyến của (K) tại A, A' nên các tiếp tuyến này đối xứng với nhau qua trung trực của đoạn thẳng AA'

Theo bổ đề trên, các tiếp

tuyến At của (C) và A't' của (C')

đối xứng nhau qua trung trực của AA', các tiếp tuyến Au của (S) và A'u' của (S') đối xứng nhau qua trung trực của AA'

Vậy (At,Au)  (A't',A'u')

1.3.7 Định lý 7

Tích của hai phép nghịch đảo cùng cực N (O,k) và N '(O,k') là phép vị

tự tâm O, tỉ số k '

k Chứng minh:

Xét phép nghịch đảo N (O,k) trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy có

gốc tọa độ trùng với cực của phép nghịch đảo

M(x,y) là điểm bất kỳ và M'(x',y') là ảnh của M qua phép nghịch đảo

đó Khi đó, theo định nghĩa ta có:

Xét phép nghịch đảo N (O,k) trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz có

gốc tọa độ trùng với cực của phép nghịch đảo

Điểm M = (x,y,z) bất kỳ Ta ký hiệu M' = (x',y',z') là ảnh của M qua

phép nghịch đảo N (O,k) Theo định nghĩa, ta có:

CHƯƠNG 2: PHÉP NGHỊCH ĐẢO VỚI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH 2.1 Bài toán quỹ tích

Bài toán quỹ tích là bài toán tìm quỹ tích (hay tập hợp) những điểm có tính chất cho trước Quỹ tích này rất đa dạng: có thể là tập rỗng, tập hữu hạn điểm hoặc vô hạn điểm

Thông thường, để giải bài toán quỹ tích ta cần tiến hành theo hai bước: Bước 1 (phần thuận): Chứng minh những điểm có tính chất  thuộc hình (H)

Bước 2 (phần đảo): Chứng minh mọi điểm thuộc hình (H) đều có tính chất 

2.2 Phương pháp chung để giải bài toán quỹ tích

Để tìm tập hợp những điểm M có tính chất  ta chọn phép nghịch đảo thích hợp biến mỗi điểm M có tính chất  thành điểm M’ có tính chất  ' và quỹ tích những điểm M’ phải tìm được dễ dàng Từ đó suy ra quỹ tích của những điểm M có tính chất  là ảnh của quỹ tích những điểm M’ có tính chất

Cho đường tròn (O) Hai dây cung AA’, BB’ vuông góc với nhau tại P

cố định trong vòng tròn (C) là đường tròn qua P tiếp xúc với (O) tại A (C') là đường tròn qua P tiếp xúc với (O) tại A’ Tìm quỹ tích giao điểm thứ hai của (C) và (C’)

Giải

Cách 1: Dùng phép biến hình

Gọi I là giao điểm thứ hai của (C) và (C’), Ax, A’y lần lượt là tiếp tuyến tại A, A’ của (O)

Xét phép nghịch đảo của N cực P, phương tích P P 

(O) Khi đó ta có: N (P,k) biến (C) thành A’y, (C’)

thành Ax

 N biến giao điểm I của (C)

và (C’) thành M là giao điểm của Ax

và A’y mà M là cực của đường thẳng

AA’ đối với đường tròn (O), PAA '

M nằm trên đường thẳng đối

cực p của điểm P đối với (O)

Suy ra tập hợp điểm I là ảnh của đường thẳng p qua phép nghịch đảo cực P, phương tích k = P P 

P, O là điểm cố định I thuộc đường tròn đường kính OP

Đảo lại:

Với I bất kỳ thuộc đường tròn đường kính OP Ta chứng minh tồn tại hai đường tròn qua P và tiếp xúc với (O) tại hai điểm A, A’ sao cho A, P, A’ thẳng hàng

Thật vậy:

Trên đường thẳng IP lấy điểm M sao cho PI.PM  P P 

(O)Bằng cách: + Kẻ qua P dây cung BB’

Theo cách dựng điểm M thì PI.PMPB.PB'

P thuộc trục đẳng phương AA’ của (O) và (OM) Hay A, P, A’ thẳng hàng

Vậy quỹ tích giao điểm thứ hai của (C) và (C’) là đường tròn đường kính OP

Nhận xét:

Ta thấy bài toán vẫn được giải nếu ta không sử dụng phép biến hình Tuy nhiên, ta sẽ gặp nhiều khó khăn trong quá trình giải bài toán nếu như ta không dự đoán trước được quỹ tích cần tìm Khó khăn này sẽ được khắc phục nếu ta dùng phép nghịch đảo để tìm quỹ tích đó

Như vậy mặc dù phép nghịch đảo không được đưa vào chương trình toán phổ thông nhưng nếu ta có một số hiểu biết về nó thì cũng có tác dụng tốt trong việc giải toán hình học, chẳng hạn, ta có thêm một cách dự đoán quỹ tích cần tìm góp phần giải quyết một khâu quan trọng trong việc giải bài toán quỹ tích

Do hình vẽ có nhiều đường tròn nên ta có thể sử dụng phép nghịch đảo

để đưa về hình vẽ đơn giản hơn

Gọi R là bán kính của (O)

Chọn phép nghịch đảo cực là O, phương

tích k = -R2, khi đó (O) có ảnh là chính nó,

(C), (C’) lần lượt biến thành các đường

thẳng t1, t2 Do tính chất bảo tồn góc giữa

hai đường cong của phép nghịch đảo

t1, t2 là hai tiếp tuyến của (O) và t1t2

Gọi K là giao điểm của t1 và t2 thì I và K là hai điểm tương ứng với nhau trong N (O,-R2)

Ta có: OKR 2  tập hợp K là đường tròn (O,R 2)

2 ROI.OK R OI

Ví dụ 3:

Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, d là trục đẳng

phương của (O) và (O’) Chứng minh rằng có hai đường tròn (I) và (I’) cùng

đi qua một điểm M  d và cùng tiếp xúc với (O) và (O’) Tìm quĩ tích giao

điểm thứ hai của hai đường tròn đó

Giải

Với mỗi điểm M  d, xét phép nghịch đảo N cực là điểm M, phương

tích kMA2 Vì d là trục đẳng phương của (O) và (O’), M  d

 P M 

(O)  P M  MA2 k

(O ')  

Qua N , đường tròn (O) và

(O’) biến thành chính nó, các đường

tròn qua M tiếp xúc với (O) và (O’)

biến thành các tiếp tuyến chung của

(O) và (O’) là c và c’ Vậy, với mỗi

điểm M  d, có hai đường tròn qua

M, tiếp xúc với cả (O) và (O’) là ảnh

của hai tiếp tuyến chung c và c’ của

hai đường tròn (O) và (O’) qua phép nghịch đảo N

+) Quỹ tích giao điểm thứ hai của (I) và (I’)

Gọi N’ là giao điểm của 2 tiếp tuyến chung c và c’ của (O) và (O’), và

N là ảnh của N’ qua phép nghịch đảo N đã chọn , tức ta có:

Theo (1): ANN '90  Tập hợp điểm N là đường tròn đường kính AN'

Ví dụ 4:

Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng và d là trung trực của AB Một đường tròn thay đổi qua A, B cắt d tại D, E Các đường thẳng CD, CE cắt (O) tại điểm thứ hai lần lượt là D’, E’.Tìm quỹ tích D’, E’

Nhận xét

Ta thấy P C  CD.CD' CE.CE ' CA.CB

C là điểm cố định cho trước

CA.CB là số không đổi và khác 0

Quỹ tích D, E là trung trực của đoạn thẳng AB

Do đó nếu ta chọn phép nghịch đảo N (C,k) với kCA.CB thì D’, E’ lần lượt là ảnh của D, E qua phép nghịch đảo đó tức là quỹ tích các điểm D’, E’ là ảnh của đường thẳng d qua phép nghịch đảo đã chọn

Giải

Ta có:

CA.CBCD.CD'CE.CE 'k P PM PM1 2  PA.PBk

Xét phép nghịch đảo N (C,k) Khi đó, N (D) = D’, N (E) = E’

Quỹ tích D là đường thẳng d

Quỹ tích D’, E’ là ảnh của đường

thẳng d qua N (C,k)

Ta thấy (O) là đường tròn bất động

đối với N (C, k), góc giữa đường thẳng d

và (O) bằng 900 Do tính chất bảo tồn góc

của hai đường cong của phép nghịch đảo

nên N (d)  N (O) tức N (d) (O), Cd  CN (d)

Vậy ảnh của đường thẳng d qua phép nghịch đảo trên là đường tròn đi qua (C) và trực giao với (O)

Gọi J là giao điểm của AC với (CD’E’) thì (ABJC)  1

Vậy, quỹ tích D’, E’ là đường tròn đường kính CJ, với J là điểm trên AC sao cho (ABJC)  1

ta có: P  I 1 

(C )  P  2  2

ABI

Theo đề bài, tập hợp các điểm M là đường tròn (O)

Tập hợp các điểm M’ là ảnh của (O) qua phép nghịch đảo cực I, phương tích

2

4

AB

Cho ba điểm P, A, B thẳng hàng theo thứ tự, đường thẳng d quay quanh

P Gọi (C1), (C2) là các đường tròn qua A, B và tiếp xúc với d tại M1, M2

a Tìm tập hợp các điểm N1, N2 lần lượt là giao điểm của (AM1M2) với các đường thẳng BM1, BM2

b Tìm tập hợp các điểm Q là giao điểm thứ hai của M1M2 và N1N2

trung điểm của M1M2

Hiển nhiên: PM PM1 2  PA.PB k

(k là thực không đổi)

Xét phép nghịch đảo N 1 = N 1(P,k)